Асимптотическое решение для объемной концентрации нефти, вытесненной водой

Размещено на http://www.allbest.ru/

УДК 51-72

МФ МГТУ им. Н.Э. Баумана

Асимптотическое решение для объемной концентрации нефти, вытесненной водой

Тумор С.В., Малашин А.А.

E-mail: tumor.sergey@mail.ru

Аннотация

заводнение добыча нефть пласт

Одним из способов добычи нефти является так называемый метод «заводнения», при котором в нефтеносный пласт заливается менее вязкая жидкость с целью вытеснения более вязкой. Решения обыкновенных дифференциальных уравнений для зависимых от пространства объемных концентраций таких жидкостей не могут быть получены аналитически. Поэтому в данной работе было использовано уже найденное первое приближение асимптотического ряда для проверки его сходимости и отыскания второго приближения.

Ключевые слова: асимптотическое решение, сходимость ряда, граничные условия.

Annotation

Asymptotic solution for the volumetric concentration of oil displaced by water

Tumor S.V., Malashin A.A.

One of the methods of oil production is the so-called "waterflooding" method, in which a less viscous liquid is poured into the oil reservoir to expel more viscous fluid. The solutions of ordinary differential equations for space-dependent volumetric concentrations of such liquids can`t be obtained analytically. Therefore, in this paper we have used the first approximation of the asymptotic series already found to verify its convergence and the search for the second approximation.

Keywords: asymptotic solution, convergence of series, boundary conditions.

Большинство обыкновенных дифференциальных уравнений на данный момент не имеет аналитических решений. Приближенное же решение может быть получено с помощью асимптотического разложения в ряд.

Используя материалы работы [1], найдем второе приближение и покажем сходимость асимптотического ряда.

Рассмотрим ячейку Хеле-Шоу бесконечной ширины. Другими словами, мы предполагаем, что характерная длина волны возмущения значительно меньше ширины ячейки. Это позволяет исследовать рост малых гармонических возмущений на границе раздела в бесконечной области. Мы будем использовать обобщенный закон Дарси для описания движения жидкостей.

Предполагается, что функция объемной концентрации зависит только от одной пространственной координаты:

?? = ??(??)

Стабилизирующие механизмы, такие как поверхностное натяжение или молекулярная диффузия, не будут приниматься во внимание.

Будем рассматривать возмущенный прерывистый профиль объемной концентрации, а также непрерывный:

,

где константы 0 < ??₁, ??₂ < 1, ?? > 0, ?? > 1.

Вводя безразмерные параметры и решая получившуюся безразмерную систему, мы получим обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка для функций ??_??:

.

Где ??_?? - неизвестные функции, ??_?? - это безразмерная проницаемость фаз, ??_?? - функции объемной концентрации, ?? - коэффициент отношения вязкости нефти к воде.

Исходное уравнение для объемных концентраций, зависимых от пространства, имеет вид:

Вид функций Fi (х) приведен на рис. 1. Функция F1 (х) определена для x ? (-?;0] и F2 (х) для x ? [0;+?).

Чтобы найти асимптотические решения исходных уравнений функции Fi(х) аппроксимируем экспонентами:

??₁(??) ~ ? ??₁??^??1??, ??₁ > 0, ??₁ > 0

??₂(??) ~??₂??^???2??, ??₂ > 0, ??₂ > 0

Коэффициенты выбираются по методу наименьших квадратов.

Рисунок 1. Вид функций Fi (х).

Далее с помощью подстановки Si = иi hi переписываем исходное уравнение. Учитывая, что функция иi известна, а hi необходимо найти:

Граничные условия для полученных уравнений:

,

Вводим параметр е:

И решения ищем в виде разложения:

.

Решения нулевого порядка имеют следующий вид:

Решения первого порядка:

Решения второго порядка будем искать только для x (-?;0], т.к. функции симметричны и для x [0;+?) все действия аналогичны.

Как и для решения первого порядка е = 1.

Получаем:

Проверим сходимость ряда по признаку Даламбера.

Т.к. и всегда положительны, то все разности вида б = 1,2,3,4, мы

мажорируем единицей. В действительности эти разности меньше единицы и с ростом и б они все больше стремятся к нулю.

Сначала найдем отношение в общем виде:

Функция аналитически может быть задана формулой , где

Оценим отношение при данных .

Т.к. для успешного «заводнения» отношение вязкости нефти к воде должно варьироваться от 7 до 10 [2], то мы можем оценить , подставив вместо соответствующие значения.

В результате получаем, что , значит, ряд сходится.

Список литературы

1. Logvinov O.A., Malashin A.A. Generalized Navier-Stokes-Darcy model // European Journal of Mechanics - B/Fluids · February 2017.

2. Желтов Ю.П. Механика нефтегазоносного пласта // Учебное пособие, издательство «Недра» - 1975.

Размещено на Allbest.ru