Применение ЭВМ к расчёту скважины в безнапорном потоке грунтовых вод

Размещено на http://www.allbest.ru/

ИГУ им. К. Тыныстанова

УДК 532.546

Применение ЭВМ к расчёту скважины в безнапорном потоке грунтовых вод

Ж.М. Мамыров

Решается задача по определению уровня грунтовых вод в прискважинной зоне при работе одиночной скважины в безнапорном водоносном горизонте

Гидрогеологические расчеты скважин являются основой для выбора наиболее рациональной схемы их расположения при устройстве водозаборов, дренажей, водопонизительных сооружений и т.д. Формулы для гидрогеологических расчетов скважины в идеализированных моделях движения подземных вод приведены в [1, 2].

При откачке из скважины в грунтовых водах со свободной поверхностью следует учитывать вертикальные составляющие скорости фильтрации, поскольку в результате понижения уровня воды происходит уменьшение мощности водоносного пласта, особенно вблизи скважины. При этом скорость снижения уровня при заданном расходе определяется в основном водопроводимостью и водоотдачей пород при их осушении.

Пусть в безнапорном неоднородном водоносном пласте действует совершенная скважина диаметром 2r_c. Расход скважины q считаем постоянным. Для таких условий требуется определить уровень грунтовых вод H (или понижение уровня S) в любой точке водоносного пласта с координатой r (в том числе в самой скважине, когда r=r_c) в любой момент времени t.

Задача о притоке к скважине в безнапорном потоке должна решаться на основе уравнения

, (1)

где H(r,t) -УГВ, z - вертикальная координата.

Уравнение (1) описывает как установившееся, так и неустановившееся движение, что определяется граничными условиями. В частности, для неограниченного пласта выводится следующее условие на свободной поверхности [2]:

, (2)

где - водоотдача или недостаток насыщения.

Для неустановившегося движения решение уравнения (1) применительно к расчету скважины при условии (2) рассматривалось в работах Н.Боултона и В.К.Беляковой [3, 4]. Однако из-за трудности решения это условие задавалось ими не на движущейся свободной поверхности, а на первоначальной.

Если исходить из предпосылки о постоянстве горизонтальных составляющих скоростей фильтрации по глубине, то уравнение (1) переходит в уравнение Буссинеска, в котором автоматически учитывается граничное условие (2).

Рассмотрим численное решение одномерного уравнения Буссинеска для осесимметрического потока:

, (3)

r_c < r < R , t > 0,

с начально-граничными условиями

H(r,0)=H_e , r_c < r < R , 2rk(H-b) = - q , r=r_c , t > 0.

H(R,t)=H_e , t > 0,

Здесь k=k(r) -коэффициент фильтрации; b=b(r) - поверхность водоупора; H_e - начальный УГВ до откачки; R- радиус влияния скважины.

Сделав в задаче (3) замену переменных: r*=lnr, q*=q/2, перепишем ее в виде (для удобства записи звездочки опущены):

e^2r (4)

H (e^R,0 )=H_e , H (e^R,t )=H_e , t >0 ,

k(H-b) = - q , r=e , t > 0. (5)

Задачу (4), (5) решаем вариационно-разностным методом [5].

Заменяя производную по времени разностным отношением, получаем уравнение:

, (6)

P= k (H-b), Q = e^2r / , = e^2r H / +e^2rf ,

H=H (r, t_j) , H = H (r, t_j-1) , j=1,2,… (7)

Решение уравнения (6) с краевыми условиями (5) равносильно нахождению функции, минимизирующей функционал

J (H)= . (8)

Выбрав линейные функции

в качестве базисных, представим искомую функцию в виде

H ( r, t_j ) = ₁H_i+1+₂H_i , r_i r r_i+1 , i=0,1,2,,…,n-1, (9)

где H_i - значение искомой функции в точке r = r_i.

Подставляя функцию (9) в формулу (8), из необходимого условия минимума функционала J(H)/H_i =0 (i=1,2,…,n-1) получим систему уравнений

a_iH_i-1 - b_iH_i + c_iH_i+1 + d_i = 0 , i=1,2,3,…,n-1, (10)

(11)

К вычислению интегралов в равенствах (11) можно применять различные квадратурные формулы. В частности, применение формулы трапеций приводит к следующим равенствам:

(12)

Для получения аналога левого краевого условия решаем уравнение

J(H)/ H₀ =0.

Имеем

-b₀H₀ + c₀H₁ + d₀ = 0 , (13)

Система (10) решается методом прогонки. Представив искомое решение в виде

H_i=_iH_i+1+_i , i=0,1,2,...,n-1, (14)

получаем формулы для прогоночных коэффициентов

(15)

₀ и ₀ находятся из уравнений (13) и (14) при i=0:

₀ = c₀ / b₀ , ₀ = d₀ / b₀ , (16)

а H_n находится из правого краевого условия

H_n=H_e . (17)

Полученные по формулам (10)-(17) значения H_i (i=0,1,2,…,n) подставляются в функцию P вместо H и процедура счета выполняется до выполнения условия

max H_i - H_i < ,

где > 0 - заданное число. После выполнения этого неравенства значения H(x_i ,t_j ) используются в качестве начального условия для временного слоя t_j+1.

По изложенной методике решена задача о неустановившемся притоке грунтовых вод к центральной совершенной скважине, работающей с постоянным дебитом q =4000 м³/сут в однородной пористой среде, круговой в плане (радиус R). На отрезке r r_c R интегрируется уравнение (3) при следующих исходных данных:

H_e =250 м; k =5 м/сут; =0.05; R=2500 м;

f = 0 м/сут; r_c=0.1 м; t=3 сут

В табл. 1 приведены понижения УГВ, полученные путем решения уравнения (3) (в числителе) и вычисленные по формуле [1, стр.180]

где R=1.5, a = kH_ср/ (18)

Таблица 1

Понижения УГВ в прискважинной зоне, м

Формула (18) получена при решении линеаризованного уравнения Буссинеска. Величина H_ср означает некоторую среднюю мощность водоносного пласта в течении всего периода откачки. Эта величина должна устанавливаться таким образом, чтобы обеспечивалось наибольшее совпадение приближенного решения (18) с решением уравнения Буссинеска. Для расчетов притока воды к скважинам в пластах, имеющих большую площадь распространения, обычно принимают H _ср (0.7-0.8)H_e . В данном случае наиболее подходящим оказалось значение H _ср H_e м.

скважина грунтовый безнапорный гидрогеологический

Литература

1. Бочевер Ф.М., Гармонов И.В., Лебедев А.В., Шестаков В.М. Основы гидрогеологических расчетов.- М.:Недра.1969.-367с.

2. Полубаринова-Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод. -М.:Наука,1977.-664 с.

3. Белякова В.К. Неустановившийся приток грунтовых вод к скважинам. // Прикл. мат. и мех. 20, № 1, 1956, с. 109-115.

4. Boulton N. The Drawdown of the water - table under nonsteady conditions near a pumped well in a unconfined formation. // Proc. Inst. Civil Engrs, 1954, № 3 pp. 564-579.

5. Джаныбеков Ч. Математическое моделирование движения грунтовых вод в многослойных средах.-Фрунзе: Илим, 1982.-280 с.

Размещено на Allbest.ru