Об идентификации водопроводимости напорного потока методом теории возмущений

Размещено на http://www.allbest.ru/

Об идентификации водопроводимости напорного потока методом теории возмущений

М.У. Мурзакматов

Б.А. Байболотов

Для достоверного описания процесса фильтрации подземных вод необходимо привести в соответствие математическую модель изучаемому объекту. В существующих методах моделирования все еще отсутствуют эффективные подходы идентификации основных гидрогеологических параметров среды. Изза недостаточности информации исследователи используют в математических моделях не совсем достоверные, грубо осредненные значения этих параметров.

В одномерных задачах для определения коэффициента фильтрации покровного слоя, притока грунтовых вод к горизонтальной дрене и фильтрационного сопротивления дрены разработаны эффективные алгоритмы, основанные на методе регуляризации А.Н. Тихонова [14]. Но для многомерных задач эти алгоритмы не нашли применения, так как процедуру решения прямых задач приходится применять в каждом узле сеточной области при огромном количестве итераций. Алгоритм идентификации коэффициента водопроводимости для планового фильтрационного потока предложен Ч. Джаныбековым [5]. В работе [6] этот алгоритм усовершенствован путем применения дополнительной информации о гладкости искомой функции.

Некоторые обратные задачи математической физики успешно решаются на основе методов теории малых возмущений и теории сопряженных функций [7,8]. В последнее время на основе этих теорий разработаны алгоритмы для идентификационных задач теории фильтрации [9]. В данной работе мы рассмотрим применение указанных идей к идентификации водопроводимости в плановой задаче напорной фильтрации подземных вод.

Рассмотрим краевую задачу

Lh=f(x,y), (x,y) D, (1)

lh=(x,y), (x,y) S=D, (2)

(3)

где h=h(x,y) функция напора; T=T(x,y) водопроводимость пласта; Q=Q(x,y)функция, учитывающая перетоки из выше и нижележащих горизонтов; f(x,y) функция источников и стоков; (x,y) и (x,y) заданные функции.

Пусть правые части уравнения (1) и краевого условия (2) получают малые возмущения f и соответственно. Тогда задача (1), (2) переходит в задачу

Lh =f , (x,y) D, (4)

lh = , (x,y) S, (5)

h =h+h, f =f+f, =+.

Из (4) и (5) с учетом краевой задачи (1), (2) приходим к краевой задаче относительно вариации h:

Lh =f , (x,y) D, (6)

lh = , (x,y) S. (7)

Задача (6), (7) при известных вариациях f и позволяет построить поле вариаций напоров h.

Краевые задачи (1), (2) и (6), (7) решаются методом конечных элементов (МКЭ) по одному и тому же алгоритму. Мы здесь приведем алгоритм решения задачи (1), (2) [5], а для решения задачи (6), (7) достаточно в алгоритме заменить функцию f(x,y) на функцию f(x,y), а (x,y) на (x,y).

Разобьем область D на треугольные элементы с общим количеством узлов n. Решение задачи ищется в виде

(8)

где h_j=h(x_j , y_j) неизвестные коэффициенты, N_j(x,y) линейные базисы в МКЭ. Применение обобщенного метода Галеркина к задаче (1), (2) приводит к системе уравнений

i=1,2,...,n. (9)

Используя формулу Грина, получаем систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ):

(10)

с коэффициентами

Матрица системы (10) симметрична с диагональным преобладанием, поэтому ее можно решить методом Гаусса. Система (10) при известных коэффициентах T(x,y), Q(x,y), (x,y) и правых частях f(x,y), (x,y) дает приближенное решение задачи (1), (2).

Теперь рассмотрим случай, когда малые возмущения принимают не только правые части уравнений (1) и (2), но и их коэффициенты T(x,y), Q(x,y) и (x,y). Это равносильно изменению гидрогеологических характеристик пористой среды. Пусть вместо задачи (1), (2) имеем краевую задачу

L h =f , (x,y) D, (11)

l h = , (x,y) S, (12)

L =L+L , h =h+h, f =f+f ,

l =l+l , =+ ,

Из (11), (12) с учетом (4), (5) получаем краевую задачу

(13)

(14)

Если известна функция h (x,y), отсюда можно получить уравнение относительно вариации искомой функции T(x,y). Решение задачи (13), (14) ищем в виде

(15)

T_j=T(x_j ,y_j).

Применяя обобщенный принцип Галеркина к задаче (13), (14), имеем

Подставляя вместо T ее разложение (15) и используя формулу Грина, приходим к СЛАУ относительно T_j:

(16)

i=1,2,...,n.

Система (16) является плохо обусловленной, так как функция q(N_i ,h) не обеспечивает системе диагонального преобладания и ее определитель близок к нулю. Поэтому для решения этой системы необходимо применить метод сингулярного разложения матрицы (SVD метод) [10]. Кроме этого, мы должны располагать некоторым количеством исходной информации об искомой функции, т.е. должны быть заданы ее экспериментальные значения в некотором множестве точек

T(x_s ,y_s)=T^э(x_s ,y_s), s=1,2,..., p. (17)

Мы также используем субъективную информацию о гладкости искомой функции, другими словами, потребуем, чтобы градиент ее вариации был близок к нулю. Тогда система (16) примет вид

(18)

где направляющие косинусы в точке (x_r ,y_r),

, положительные числа, выполняющие роль параметров регуляризации.

Для вершины i элемента (e) уравнение (18) имеет вид:

a_iiT_i+a_ijT_j+a_ikT_k=f_i, (19)

s=i,j,k.

Таким образом, вычислительная процедура идентификации функции T(x,y) состоит из следующих этапов.

Шаг 1. Располагая внутренние условия (17) в узлах сетки, образуем начальное приближение искомой функции в виде

(20)

Решив краевую задачу (1), (2) с функцией находим начальное приближение напорной функции

Шаг 2. Решив задачу (6), (7) при той же функции и заданных функциях f(x,y) и (x,y), находим вариацию напорной функции h(x,y) и образуем функцию

h (x,y)=h⁽⁰⁾(x,y)+h(x,y).

Шаг 3. Используя полученную функцию h (x,y), решаем задачу (13), (14) относительно T(x,y) и образуем первое приближение водопроводимости по формуле

Подставляя вместо T(x,y), повторяем шаги 1, 2, 3 и находим и т.д. Итерационный процесс продолжается до выполнения условия

(21)

где номер итерации, заданное малое положительное число.

Вместо условия (21) может быть использовано аналогичное условие относительно напорной функции

На практике достаточно ограничиться выполнением условия (22), поскольку объективным признаком идентификации течения является поле напорной функции или расход жидкости.

Работа алгоритма проверена на решении тестовой задачи, рассмотренной в [6]. Областью фильтрации D является круг x²+y² 0.25, который разделен на 54 треугольника (элемента). Число узлов сетки (вершин треугольников) 37, из них 18 граничных. Максимальная длина сторон элемента (шаг сетки) равна 0.2. В области заданы функции h(x,y)=x²+y²+5, Q(x,y)=0, f(x,y)=40(2x²+2y²+1). Искомой функцией является T(x,y)=10(x²+y²+1). Число узлов, в которых задаются экспериментальные (точные) значения искомой функции, равно: в I варианте k=17; во II варианте k=13; в III варианте k=7; в IV варианте k=4.

Область фильтрации и все функции, входящие в задачу, специально подобраны так, чтобы они обладали центральной и осевой симметрией и следовательно, искомое решение имело такие же свойства. Поэтому в табл.1 приведены значения искомой функции только в узлах, лежащих в первой четверти круга, причем узлы 2, 4, 9, 15, 22 являются граничными.

В табл. 2 решение данной задачи сравнивается с соответствующими результатами, полученными другим методом [6]. Сравнение показывает преимущество метода возмущений, которое имеет место несмотря на то, что экспериментальные значения напоров в данном случае вообще не задаются.

Таблица 1. Приближенные значения водопроводимости, полученные методом малых возмущений

Таблица 2. Сравнение с результатами, полученными другим методом

Примечание: a погрешности, полученные методом малых возмущений, b погрешности, полученные в работе [6].

Литература

водопроводимость фильтрационный поток

1. Мурзакматов М.У. О решении граничной обратной задачи фильтрации методом регуляризации. // Тезисы Респ. научнотехн. конф. по вопросам технологии и автоматизации гидромелиоративных систем. Фрунзе, 1977.

2. Мурзакматов М.У. К расчету притока (оттока) грунтовых вод по замеру УГВ в одной точке. // Вопросы водного хозяйства. Вып. 44. Фрунзе, 1978.

3. Мурзакматов М.У. Определение фильтрационного сопротивления дрены методом регуляризации. // Тезисы докладов Всесоюзного научнотехн. семинара «Матем. моделирование гидрогеологических процессов». М.: ВСЕГИНГЕО, 1981.

4. Мурзакматов М.У., Мамыров Ж.М. Об идентификации коэффициента фильтрации в неоднородном водоносном горизонте // Вестник ИГУ, № 3, Каракол, 1999. - с. 49-54.

5. Джаныбеков Ч. Моделирование гидрогеодинамических процессов с применением ЭВМ. Фрунзе: Илим, 1989. 183 с.

6. Мурзакматов М.У., Исабеков К.А. Об идентификации параметров планового фильтрационного потока. // Вестник ИГУ, № 9, Каракол, 2003.

7. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. - М.: Наука, 1980. - 536 с.

8. Марчук Г.И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. М.: Наука, 1982. 319 с.

9. Джаныбеков Ч., Мурзакматов М.У. Идентификация коэффициента фильтрации пористой среды методом теории возмущений. // Вестник ИГУ, № 7, Каракол, 2002. с. 2434.

10. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. М.: Мир, 1980. 279 с.

Размещено на Allbest.ru