Применение метода конечных элементов к решению задач установившейся фильтрации в многослойных пластах

Размещено на http://www.allbest.ru/

ЫГУ им. К. Тыныстанова

Применение метода конечных элементов к решению задач установившейся фильтрации в многослойных пластах

М.У. Мурзакматов

Э.Э. Маданбекова

Рассмотрим установившееся движение подземных вод в многослойном пласте, состоящем из основного хорошо проницаемого напорного горизонта, покрытого малопроницаемой покровной толщей и подстилаемого снизу слабопроницаемой прослойкой, через которую происходит связь с нижележащим водоносным горизонтом в жестком режиме (рис. 1). При расчетах фильтрации в слоистых водоносных системах обычно используются общие предпосылки перетекания, в которых предполагается, что движение через раздельные относительно малопроницаемые слои происходит только по вертикали, а в хорошо проницаемых слоях - только по горизонтали.

Движение подземных вод в многослойной среде с учетом указанных предпосылок описывается следующей системой дифференциальных уравнений [1-3]:

где h(x, y), H(x, y) и Z(x, y) - отметки уровня грунтовых вод (УГВ) в верхнем слое и напоров в основном и нижележащем напорных пластах соответственно; Т(x, y)=к(x, y) m(x,y) - водопроводимость основного водоносного горизонта; к_в(x, y), к(x, y) и к_н= const - коэффициенты фильтрации верхнего, основного и слабопроницаемого пластов соответственно; в(x,y) - поверхность раздела покровного и основного напорного слоев; m(x,y) и m_н(x,y) - мощности напорного и слабопроницаемого пластов; f(x, y) - функция инфильтрации; W(x,y) - функция, учитывающая работу эксплуатационных скважин, отбирающих воды основного водоносного горизонта.

Граничные условия для уравнений (1) имеют вид

(3)

(4)

Здесь

(5)

- заданные функции, Д - область фильтрации в плане, S - ее граница, ? ? ?n - производная по нормали к границе области.

В задаче (1) -(4) перейдем к безразмерным переменным по формулам

Здесь l - диаметр области; Н_хар, Т_хар - некоторые характерные значения напоров и водопроводимости. В дальнейшем для упрощения записи звездочки у безразмерных переменных опускаем.

Задачу (1)-(4) решаем методом конечных элементов [4, 5]. Разобьем область Д на m треугольных элементов и представим искомые функции h (х, у) и Н(х, у) в виде разложения

, (6)

, (7)

где - значения искомых функций в узлах сетки;

- линейные базисные функции; n - число узлов сетки.

Представим уравнения (1), (2) в виде

(8)

(9)

(10)

Образуя начальные приближения h⁽⁰⁾ (х, у) и Н⁽⁰⁾ (х, у), подставим их в формулы (5) и (10) вместо функций h и Н и решаем уравнения (8) и (9) совместно с краевыми условиями (3) и (4) соответственно. Обозначим полученные решения через h⁽¹⁾ и H⁽¹⁾, подставим их в формулы (5) и (10), и, решая задачи (8), (3) и (9), (4), находим следующие приближения h⁽²⁾ и Н⁽²⁾ и т.д. Итерационный процесс продолжим до выполнения каждого из условий

(11)

где v - номер итерации; i=1,2,3,…,n; е>0 - заданное малое число.

Подставляем в уравнения (8) и (9) и краевые условия (3) и (4) вместо h и H функции h_n и H_n и применяем обобщенный принцип Галеркина:

Используя формулу Грина, получаем системы уравнений

или, в силу разложений (6) и (7) приходим к системам линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

(12)

и

(13)

Матрицы СЛАУ (12) и (13) являются хорошо обусловленными с диагональным преобладанием, и они легко решаются методом Гаусса.

Изложенный алгоритм и реализующая его программа отлажены на ряде тестовых задач. Рассмотрим одну из них. Область фильтрации в плане представляет собой круг радиуса r=3000 м, а вертикальный разрез имеет вид как на рис.1. Уравнения (1) и (2) описывают движение грунтовых и напорных вод в первых двух пластах от поверхности земли соответственно. На границе области, т.е. на окружности радиуса r заданы краевые условия (3) и (4). Проведя концентрические окружности радиуса 1000 м и 2000 м, область разбиваем на 55 элементов, число узлов при этом n=39.

Задача (1)-(4) решается со следующими данными:

В табл. 1. приведены точные и приближенные значения искомых функций в некоторых узлах сетки. Узел № 20 расположен в центре области.

Таблица 1. Результаты тестовой задачи

Литература

фильтрация подземный вода грунтовый

1. Полубаринова-Кочина П.Я., Пряжинская В.Г., Эмих В.Н. Математические методы в вопросах орошения. - М.: Наука, 1969. - 414 с.

2. Абуталиев Ф.Б., Абуталиев Э.Б. Методы решения задач подземной гидромеханики на ЭВМ. - Ташкент: ФАН, 1968.

3. Джаныбеков Ч.Дж. Математическое моделирование движения грунтовых вод в многослойных средах. - Фрунзе: Илим, 1982. - 288 с.

4. Джаныбеков Ч.Дж. Моделирование гидрогеодинамических процессов с применением ЭВМ.- Фрунзе: Илим, 1989. - 184 с.

5. Мурзакматов М.У., Мамыров Ж.М. Приближенное решение уравнения Буссинеска методом конечных элементов // Проблемы спектроскопии и спектрометрии: Межвузовский сборник научных трудов. - Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ - УПИ, 2004. Вып. 17, С. 83-89.

Размещено на Allbest.ru