Гидравлические сопротивления

1

Размещено на http://www.allbest.ru/

Гидравлические сопротивления

1. Уравнение Бернулли для потока несжимаемой жидкости

К одномерным относятся течения, описываемые одной координатой. Для установившихся течений одномерное уравнение Бернулли для потока конечных размеров имеет вид

(1)

где геометрические высоты расположения центров тяжести сечений относительно горизонтальной плоскости сравнения (удельные потенциальные энергии сечений); избыточные давления; пьезометрические напоры (удельные потенциальные энергии давления); средние скорости в сечениях, определяемые как отношение расхода к площади живого сечения S; скоростные (динамические) напоры (удельные кинетические энергии); коэффициенты кинетической энергии (коэффициенты неравномерности распределения местных скоростей по живым сечениям потока) ; местные скорости течения; плотность жидкости; ускорение свободного падения; полные потери напора (удельные потери энергии потока) (рис.1). Индексы указывают на принадлежность к сечениям потока 1-1 и 2-2 соответственно. Составляющие полной энергии потока называются удельными, поскольку отнесены к единице веса жидкости.

При ламинарном течении в круглых трубах 2, при развитом турбулентном 1,1. В общем случае значение зависит от формы эпюры скорости и может значительно превышать единицу. Компонент уравнения Бернулли выражает потерю удельной энергии между сечениями 1-1 и 2-2. В гидродинамике приняты следующие обозначения: гидродинамический, или полный напор; пьезометрический напор; скоростной напор или «скоростная» высота.

Рис.1. Геометрическая интерпретация уравнения Бернулли для потока несжимаемой жидкости

Основной причиной потерь энергии в потоке жидкости являются силы вязкости, которые проявляются в виде потерь механической энергии и складываются из потерь по длине и потерь на местные сопротивления ,

2. Потери по длине

Потери по длине возникают при течении жидкостей и газов по цилиндрическим трубам или каналам с постоянной по длине потока средней скоростью. В этих случаях потери напора определяются по формуле Дарси - Вейсбаха

(2)

где длина потока, на котором возникают потери; средняя скорость; R - гидравлический радиус, определяемый как отношение площади нормального сечения потока к смоченному периметру ,

Для круглых труб 4R=d , где d - диаметр трубы и формула приобретает вид

(3)

Потери энергии, выраженные в размерности давления, определяются по формуле

(4)

Гидравлический коэффициент трения в общем случае зависит от геометрических и физических условий на границах потока (формы поперечного сечения и шероховатости стенок) и числа Рейнольдса Re. Общий характер зависимости от числа Re и шероховатости стенок для круглых труб по данным опытов Никурадзе показан на рис.1. В этих опытах шероховатость создавалась искусственно и оценивалась средним размером выступа . Различаются следующие режимы течения: 1 - ламинарный; 2 - гладкостенный турбулентный; 3 - доквадратичный турбулентный; 4 - квадратичный турбулентный.



1-2 - зоны ламинарного и гладкостенного режимов; 3-4 - зоны доквадратичного и квадратичного сопротивлений; К-К - нижняя граница квадратичного режима; А - расчет по формуле = 64 /Re; Б - расчет по формуле = 0,316/Re^0,25; В - расчет по формуле Прандтля

Рис.2. Зависимость гидравлического коэффициента трения от числа Рейнольдса для круглых труб с однородной шероховатостью:

Таблица 1. Эквивалентная абсолютная шероховатость труб из разных материалов

Примечание. В числителе приведены пределы изменения , в знаменателе - его средние значения.

Для промышленных труб, в которых шероховатость неравномерна, в качестве ее характеристики применяется эквивалентная абсолютная шероховатость , значения которой приведены в табл.1. Графическая зависимость от для таких труб приведена на рис.3.

Наиболее распространенные зависимости для коэффициента даны в табл.1.

Сжимаемость газов мало влияет на зависимость , о чем свидетельствуют опытные данные, приведенные на рис.5. Однако в области чисел Маха М, близких к 1, наблюдаются заметные отклонения значений для газа от значений этого коэффициента для несжимаемой жидкости (рис.6).

Внутренняя структура течения в круглых трубах зависит от режимов течения.

2-4 - зоны соответственно гладкостенного, доквадратичного и квадратичного режима; нижнее граничное число Рейнольдса квадратичной зоны сопротивления

Рис.3. Расчетный график гидравлического коэффициента трения для стальных круглых труб с естественной шероховатостью, по данным ВТИ:

При стабилизированном ламинарном течении распределение местных скоростей подчиняется параболическому закону

(5)

или в безразмерном виде

 (6)

где р - давление; радиус трубы; координата, отсчитываемая вдоль оси трубы вниз по течению; максимальная скорость.

Таблица 2. Расчетные формулы для гидравлического коэффициента трения

1 - ламинарное течение, ; 2 - турбулентное течение ;

_ _ - ламинарное течение в круглой трубе, ; а - равнобедренный прямоугольный треугольник,; б - равносторонний треугольник, ; в - квадрат, ; г - прямоугольник (), ; д - кольцевая щель, ; - измерения Никурадзе; - измерения Шиллера; - ; - , измерения Коха и Файнда

Рис.4. Зависимость гидравлического коэффициента трения от числа Рейнольдса для труб некруглого сечения:

Средняя скорость в 2 раза меньше максимальной: . Падение давления на участке горизонтальной трубы длиной определяют по формуле Пуазейля

(7)

- дозвуковое течение; - сверхзвуковое течение;

расчет по формуле Прандтля - Никурадзе

Рис.5. Зависимость гидравлического коэффициента трения для гладкой трубы от числа Рейнольдса:

Из уравнения Бернулли, составленного для граничных сечений участка , следует, что , где - потери напора и, следовательно,

(8)

откуда вытекает, что = 64 /Re, где Re =. Для наклонной трубы падение гидродинамического напора:

(9)

где - отметки центров тяжести сечений трубы в начале и конце участка .

Стабилизированное течение устанавливается лишь на некотором расстоянии от входа в трубу, за пределами начального участка, длина которого для круглой трубы .

Падение давления на начальном участке не подчиняется формуле Пуазейля, но приближенно может быть определено по формуле

(10)

где давление в резервуаре, к которому присоединена труба; давление в конце начального участка.

Разрушение ламинарного режима в трубе и переход к турбулентному режиму происходит при достижении критического числа Рейнольдса. Для круглых труб это значение составляет приблизительно 2300. При наблюдается устойчивый ламинарный режим; при возможно появление турбулентности, но не исключено и сохранение ламинарного режима, который является неустойчивым. Для труб некруглого сечения критическое число Рейнольдса приблизительно равно 2000, причем , где - гидравлический диаметр, определяемый соотношением , в котором - смоченный периметр сечения трубы.

При стабилизированном турбулентном течении в трубах распределение местных осредненных скоростей описывается полуэмпирическими или эмпирическими формулами. Наиболее известные из них:

логарифмическая формула для гладкостенного режима течения

(11)

где динамическая скорость;

касательное напряжение на стенке;

расстояние от стенки.

Другая форма этой зависимости имеет вид

(12)

где - максимальная скорость (на оси трубы).

Средняя скорость связана с максимальной соотношением

(13)

универсальная логарифмическая формула для всех турбулентных режимов в шероховатых трубах

(14)

где функция определяется графиком, приведенном на рис. 7;

коэффициенты трения для газа и несжимаемой жидкости;

опыты МЭИ; опыты МО ЦКТИ

Рис.6. Влияние числа Маха на гидравлический коэффициент трения при дозвуковом течении газа в гладкой трубе:

степенная формула (эмпирическая)

(15)

где показатель в зависимости от числа Re изменяется от 1/6 до 1/10. Значение, соответствующее гладкостенному режиму (при ): 1/7.

Рис.7. Вид функции определяющей закон распределения скоростей в шероховатых трубах

- тройник; - шаровой клапан; - угольник 90°; - разъемный клапан;

- диафрагма (при отношении площади отверстия к площади трубы 0,05)

Рис. 8. Зависимость коэффициента местных сопротивлений от числа Рейнольдса:

3. Местные гидравлические сопротивления

К этим сопротивлениям относятся резкие изменения формы граничных поверхностей потока (расширения, сужения, изгибы, изломы и т.п.). Общей зависимостью для определения потерь напора в местных сопротивлениях служит формула

(16)

или

(17)

где коэффициент местного сопротивления, зависящий в общем случае от числа Re и конфигурации граничных поверхностей.

Общий характер этой зависимости для нескольких типов местных сопротивлений приведен на рис.8.8. Эти кривые удовлетворительно описываются формулой вида

(18)

где постоянные, зависящие от геометрической формы местного сопротивления.

Таблица 3. Значения и для некоторых местных сопротивлений

* Через обозначено отношение площади проходного сечения, открытого задвижкой, или отверстия диафрагмы к площади сечения трубы.

В табл.3 приводятся постоянные для нескольких видов местных сопротивлений. Величина выполняет функцию коэффициента местного сопротивления при весьма больших числах Re (в области квадратичного сопротивления). Значения отнесены к скоростному напору перед местным сопротивлением.

В большинстве случаев местные сопротивления работают при больших числах Re или в условиях квадратичного режима, когда .

Таблица 4. Расчетные формулы для коэффициента, отнесенного к сечению

При проходе потока из трубы площадью через диафрагму с площадью отверстия в трубу площадью (табл.8.4) формула для коэффициента сопротивления, отнесенного к скоростному напору за сопротивлением, имеет вид

(19)

где коэффициент местного сопротивления при входе в диафрагму; поправочный коэффициент к потерям на расширение (при больших допустимо принимать );

коэффициент сжатия за диафрагмой, где площадь сечения струи за диафрагмой после выхода в трубу с сечением Он имеет значения: гидравлический сопротивление напорный трубопровод

Формулы для определения коэффициента приведены в табл.4.

Постепенное расширение (диффузор) также может рассматриваться как вид местного сопротивления. Потери в диффузорах можно выражать в долях потерь при внезапном расширении:

(20)

где

(21)

или

(22)

Коэффициент связан с коэффициентом сопротивления, отнесенным к скорости , формулой

(23)

и при фиксированных входных условиях (включая число Re) зависит главным образом от угла раскрытия диффузора (рис.9).

При наличии на трубопроводе нескольких местных сопротивлений, разделенных участками равномерного движения, суммарные потери напора могут быть определены на основе принципа сложения потерь

 (24)

где число участков равномерного течения;

число местных сопротивлений.

Рис.9. Зависимость коэффициента потерь в круглом диффузоре от угла его раскрытия при трех значениях степени расширения

При этом суммирование потерь в местных сопротивлениях допустимо лишь при условии, что они расположены на таких расстояниях одно от другого, что искажение стабилизированной эпюры скоростей, вызванное прохождением потока через сопротивление, становится незначительным при подходе к следующему. Минимально необходимые расстояния между местными сопротивлениями определяются из условия

(25)

где радиус трубы.

Ориентировочно при больших числах Re можно принимать

4. Неустановившееся движение в напорном трубопроводе

Такое движение описывается уравнением одномерного неустановившегося движения, которое является обобщением для всего потока уравнения элементарной струйки

(26)

где потери в гидравлических сопротивлениях, вычисляемые в первом приближении по тем же формулам, что и для установившегося движения;

инерционный напор, вычисляемый по средней скорости .

Для трубы постоянного диаметра инерционный напор

(27)

где координата, отсчитываемая вдоль оси трубы; площадь сечения; длина участка трубы.

При медленно изменяющемся во времени неустановившемся движении инерционным напором можно пренебречь, и тогда расчетные зависимости приобретают тот же вид, что и для установившегося движения.



Рис.10. Схема к выводу уравнений гидравлического удара в трубах

Гидравлический удар в трубах является одним из видов неустановившегося движения и проявляется в резком изменении давления в трубе, вызванном маневрированием (закрытием или открытием) затвора. Течение при гидравлическом ударе описывается системой дифференциальных уравнений

(28)

(29)

где - пьезометрический напор; средняя скорость; координата, отсчитываемая вдоль оси трубы; скорость распространения в трубе ударной волны; уклон трения (потеря энергии на трение на единице длины трубы).

Если длина трубопровода не очень велика, то уклоном трения пренебрегают. Обычно пренебрегают также членами и и используют уравнения удара в виде

(30)

Поскольку величинами и пренебрегают, при установившемся режиме пьезометрический напор по длине трубы постоянен.

Таким образом, система (28-29) приводится к двум волновым уравнениям, общие решения которых применительно к схеме рис. 10, а имеют вид

(31)

(32)

где и - соответственно пьезометрический напор и скорость в трубе при установившемся движении; и - произвольные функции; - скорость распространения в трубе волны изменения давления, определяемая формулой Жуковского,

(33)

где - скорость распространения звука в жидкости; - объемный модуль упругости жидкости; - модуль упругости материала стенок; - диаметр трубы; - толщина ее стенок.

При давлениях 10…15 10 кПа и температуре = 10°С = 1435 м/с. Значения скорости распространения ударной волны в трубах из разных материалов приводятся в табл. 5.

Единицей времени в теории гидравлического удара служит фаза удара, т.е. время пробега ударной волны двойной длины трубопровода.

Таблица 5. Скорость распространения волны гидравлического удара в трубах

В зависимости от закона закрытия или открытия затвора и параметров трубы возникает прямой или непрямой гидравлический удар.

Прямой удар возникает, если время закрытия (открытия) меньше фазы удара (). Ударное изменение пьезометрического напора в этом случае определяется формулой

(34)

где и соответственно напор и скорость в трубопроводе перед затвором до удара и в конце процесса закрытия (открытия).

Если затвор закрывается полностью, то = 0 и ударное изменение напора выражается формулой Жуковского для прямого удара

(35)

Учитывая, что для стальных трубопроводов 1000 м/с, принимаем

(36)

гдев метрах в секунду.

Непрямой удар имеет место, если закрытие (открытие) происходит за время . Для непрямого удара можно вывести цепные уравнения, связывающие значения скорости перед затвором с соответствующими значениями напора в концах каждой из фаз в течение времени закрытия :

(37)

где индексами отмечены значения напора и скорости в конце каждой из фаз, составляющих в сумме интервал времени закрытия (открытия) .

Если закон изменения скорости перед затвором известен, то известны значения правых части всей цепочки уравнений (37), и тогда, последовательно вычисляя (начиная с 1), с помощью уравнений (37) строим график изменения напора от фазы к фазе и по нему находим максимальный (минимальный) напор, а значит, и давление.

5. Гидравлический расчет трубопроводных систем

Гидравлический расчет трубопроводных систем основывается на определении потерь в гидравлических сопротивлениях. Когда потерями в местных сопротивлениях можно пренебречь, записывается выражение для величины объемного расхода

(38)

где модуль расхода (расходная характеристика) здесь площадь поперечного сечения трубы.

Для квадратичного режима значение зависит от геометрических параметров трубы (диаметра и шероховатости), при других режимах - также и от числа Рейнольдса. В некоторых расчетах (38) используется в виде

(39)

гдеполное сопротивление трубопровода.

Гидравлический уклон, или уклон трения, т.е. потерю напора на единицу длины трубопровода, определяют по формуле

(40)

где .

Значения модуля расхода для промышленных труб табулированы и приводятся в гидравлических справочниках. Для новых стальных труб значения, вычисленные с использованием формулы Шифринсона (табл.2), приведены в табл.6.

При наличии местных сопротивлений на длинном трубопроводе потери в них можно учесть по способу эквивалентной длины, который заключается в том, что вместо местного сопротивления с коэффициентом вводится эквивалентная длина трубы

(41)

на которой потери напора равны потерям в местном сопротивлении. Эту длину суммируют с длиной цилиндрического участка () и сумму затем подставляют в (38).

Таблица 6. Модули расхода для новых стальных труб (=0,2 мм)

Последовательное соединение труб разных диаметров (рис.11, а). В этом случае потери напора на отдельных участках суммируются. Так как расход для всех участков одинаков, то

(42)

где - число участков постоянного диаметра.

Вместе с формулами потерь для отдельных участков эта зависимость образует расчетную систему уравнений. Другая форма этой зависимости имеет вид

(43)

гдеплощадь поперечного сечения трубы на основном (расчетном) участке; коэффициент расхода системы,

(44)

Рис.11. Расчетные схемы трубопроводных систем при последовательном (а) и параллельном (б) соединении труб

Здесь число местных сопротивлений, коэффициент потерь.

Параллельное соединение труб (рис.11, б). Потеря напора на каждой из ветвей одна и та же. Расход в й ветви

(45)

где а полный расход системы

(46)

Эти уравнения образуют систему, из которой может быть определено неизвестное.

6. Истечение несжимаемой жидкости

Истечение при постоянном напоре. Такое истечение через отверстия и насадки может происходить в газовую среду или под уровень той же или иной жидкости. В первом случае отверстие или насадок называется незатопленным, во втором - затопленным. Отверстие считается малым, если его максимальный размер не превосходит (рис.12).

Рис.12. Истечение несжимаемой жидкости через малое отверстие в тонкой стенке

При истечении через малое незатопленное отверстие струя сжимается и площадь ее сечения уменьшается относительно площади отверстия Отношение называется коэффициентом сжатия.

Скорость истечения через малое отверстие из большого резервуара с постоянным уровнем

(47)

где - коэффициент скорости; коэффициент потерь на входе в отверстие; и - давление на свободной поверхности и во внешней среде соответственно.

Объемный расход истечения

(48)

где коэффициент расхода, причем и зависят от числа Re (рис.13), которое в данном случае рекомендуется представлять в виде

(49)

Рис.13. Зависимость коэффициентов расхода скорости и сжатия от числа Рейнольдса при истечении через малое отверстие

При Re > 10⁴ значения , можно рассчитать по формуле

(50)

Ориентировочные значения для круглых отверстий при следующие:

При истечениях через затопленное отверстие (рис.14) расход

(51)

где

Значения коэффициента для затопленных отверстий приближенно можно принимать такими же, как и для незатопленных.

Насадки, или короткие трубы (длиной около трех диаметров входного отверстия), могут существенно влиять на параметры вытекающей струи. В табл.7 приведены некоторые встречающиеся в практике конфигурации насадков (круглого сечения) и соответствующие им средние значения коэффициентов истечения.

Рис.14. Истечение несжимаемой жидкости через малое отверстие в тонкой стенке

Таблица 7. Коэффициенты истечения через насадки

Примечание. Для всех насадков коэффициенты даны применительно к выходному сечению.

Размещено на Allbest.ru