К оценке точности определения координат в задаче Ганзена

Размещено на http://www.allbest.ru/

К оценке точности определения координат в задаче Ганзена

Соколов Юрий Григорьевич

Гурский Иван Николаевич

Струсь Сергей Сергеевич

Пшидаток Саида Казбековна

Аннотация

В последнее время широкое применение для определения координат точек получили спутниковые методы, которые позволяют, не имея взаимной видимости между определяемыми точками, находить их координаты. Однако в отдельных случаях, например в лесных массивах, в городских застройках применение этих методов становится проблематичным и проще применять традиционные методы. В статье рассмотрен случай использования метода расчета координат по «задаче Ганзена» и проведена оценка точности определения координат точек. В некоторых работах даются только рекомендации, что наиболее точные результаты получаются, когда рассматриваемая фигура построения по форме близка к квадрату. В нашем случае на основании полученных формул проведен анализ влияния длины определенного базиса и его удаленности от исходной стороны на точность определения координат исходных точек. Вывод состоит в том, что точность определения координат искомых точек зависит от соотношения длины исходного базиса и исходной линии. При этом оптимальной может считаться удаленность, равная 0,3-0,6 от длины исходной линии. Проведенные в работе исследования могут с успехом использоваться при составлении проектов геодезической привязки полигонометрических ходов и сетей сгущения

Ключевые слова: задача ганзена, условный базис, геодезическая сеть, оценка точности, координаты

Annotation

How to estimate the accuracy of determining the coordinates in the approach of hansen

Recently, there have been satellite-based methods widely used to determine the coordinates of points, which allow, without mutual visibility between points, to pursue their coordinates. However, in some cases, for example in forests, in urban buildings the application of these methods becomes a problem and it is easier to apply traditional methods. The article describes the case of using the method of calculation of coordinates for "the approach of Hansen" and held to evaluate the accuracy of determining the coordinates of the points. Some studies provide only recommendation guidelines that the most accurate results are obtained when the shape of the building is shaped similar to a square. In our case, on the basis of obtained formulae we had an analysis of the influence of the length of the corresponding base, and its distance from the source side on the accuracy of determination of coordinates of the original points. The conclusion is that the accuracy of determination of coordinates of required points depends on the ratio of the length of the original basis and the baseline. The optimal can be considered the distance equal to 0.3-0.6 of the length of the baseline. The holding data in the study can successfully be used for the drafting of geodetic reference polygonometries moves and thickening of networks

Keywords: approach of hansen, conditional basis, geodetic network, coordinates, accuracy assessment

Вопросу решения задачи Ганзена для привязки двух точек по двум исходным с известными координатами посвящено ряд работ [1,2]. Наиболее простым ее решением, по нашему мнению, является способ условного базиса (Рисунок 1).

Рисунок 1 Схема геодезических пунктов, углов и сторон для решения задачи Ганзена

На рисунке 1 показаны измеренные углы в1,в2,на точке P и углы в3, в4 на точке Q. Известны координаты пунктов А(ха,уа) и В(хb,уb). Для решения треугольников АQР и BQPс целью вычисления сторон S1, S2, S3, и S4необходим линейный элемент (сторона PQ). В общем случае принята условная длина PQ=1м.

Тогда по теореме синусов, согласно способу условного базиса, находят условные длины сторон S'1, S'2, S'3, и S'4. В результате получают:

, (1)

, (2)

, (3)

, (4)

Здесь:в1+в2=ш; в3+в4=ш'; г=180°-(в1+в2+ в3); г'=180°-(в2+в3+ в4).

Далее находят масштабный коэффициент К, из треугольника АВР, по формуле:

; (5)

и для контроля вычисляют этот коэффициент из треугольника ABQ

; (6)

где: b? длина исходной стороны AB вычисленная по координатам решением обратной геодезической задачи (ОГЗ).

; (7)

Выводя среднее значение масштабного коэффициента, вычисляют фактические длины сторон треугольников по формуле:

; (8)

Координаты искомых точек P и Q вычисляют по формулам линейной засечки [2].

Существенным недостатком в рассматриваемых научных статьях и литературе способах решения задачи Ганзена является отсутствие оценки точности полученных результатов координат точек P и Q. В некоторых работах даются только заключения, что наиболее точные результаты получаются, когда рассматриваемая фигура по определению координат в этой задаче близка к квадрату.

Нами предлагается проводить оценку точности по измеренным углам между сторонами образующими линейную засечку и по вычисленным фактическим значениям этих сторон.

Учитывая, что масштабный коэффициент К для всех сторон одинаков, находят частные производные по измеренным углам для сторон S1 и S2.

, (9)

, (10)

, (11)

, (12)

,

,

Аналогичным образом получают частные производные для сторон S3 и S4.

; (15)

огда средние квадратические погрешности (СКП) определения сторон S1 и S2 будут:

; (16)

; (17)

Полагая, что, получим

; (18)

; (19)

Здесь г=в1+в2+ в3; г'=в2+в3+ в4.

Далее находят среднюю квадратическую погрешность определения координат точки P.

; (20)

Подставляя (18) и (19) в (20), получают

; (21)

Аналогичным способом находят среднюю квадратическую погрешность для сторон S3 и S4.

; (22)

; (23)

Учитывая, что , получим:

; (24)

; (25)

Далее находят среднюю квадратическую погрешность определения координат точки Q.

; (26)

Как сказано выше, считается, что самой оптимальной фигурой образованной точками A, B, P, Q является четырехугольник, близкий к квадрату, при этом погрешности минимальны.

Но анализа влияния изменения длины базиса PQ и его удаленности от исходной линии АВ на величину погрешностей в литературных источниках не встречается.

Нами проведен такой анализ с использованием исходных данных, полученных в графическом редакторе AutoCAD, по следующим геометрическим фигурам: квадрат, прямоугольник, трапеция, четырехугольник. Координаты точек А и В исходной линии указаны в каталоге координат в таблице 1

Длина базиса PQ равна или близка длине стороны АВ. При этом в прямоугольнике, трапеции и четырехугольнике базис PQ расположен на расстоянии близком половине исходной линии АВ. Угловые элементы для названных фигур представлены в таблицах 2,3,4,5.

Таблица 1 КАТАЛОГ КООРДИНАТ ИСХОДНЫХ ПУНКТОВ

Таблица 2 УГЛОВЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ФИГУРЫ КВАДРАТ

Таблица 3 УГЛОВЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ФИГУРЫ ПРЯМОУГОЛЬНИК

Таблица 4 УГЛОВЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ФИГУРЫ ТРАПЕЦИЯ

Таблица 5 УГЛОВЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ФИГУРЫ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК

Для рассматриваемых фигур произведены расчеты средних квадратических погрешностей по предлагаемым формулам (21, 26)

Таблица 6 ВЫЧИСЛЕНИЕ СРЕДНИХ КВАДРАТИЧЕСКИХ ПОГРЕШНОСТЕЙ ПО ФИГУРАМ

Для наглядности сравним средние квадратические погрешности на диаграмме.

Рисунок 2 Диаграмма погрешностей точек P, Q в зависимости от фигуры построения

Анализ полученных среднеквадратических погрешностей опровергает утверждение об оптимальности квадрата в схеме построений при решении задачи Ганзена.

По нашим расчетам самой точной схемой построения является фигура в виде прямоугольника, удаленного на расстоянии половины длины исходной стороны.

В свете полученных результатов нами предлагается рассмотреть изменение величины погрешностей на примере четырехугольников с различной длиной базиса PQ и разной удаленностью от исходной линии с шагом через 0,1 длины исходной стороны.

Использование фигуры четырехугольник обусловлено тем, что в полевых условиях сложно обеспечить параллельность базиса PQ и исходной линии АВ.

Ввиду того что расстояние межу точками А и В равно 1250 метров, принимаем значения базисов близкие к 250, 500, 625, 750 и 1000 метров. При этом первый базис расположен на расстоянии около 250 метров, второй на расстоянии 375 метров, третий 500 метров и т.д.

Общая схема построений показана на рисунке 3.

Рисунок 3 Общая схема построения четырехугольников

Значения исходных углов и полученные результаты вычисления средних квадратических погрешностей mP и mQ. По результатам проведенных расчетов определения координат точек P и Q, построены диаграммы, ранжируемые по длине базиса и его удаленности от линии.

Таблица 7 ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОГРЕШНОСТЕЙ ПО ПЕРЕМЕННОМУ БАЗИСУ И ЕГО УДАЛЕННОСТИ

Рисунок 4 Диаграмма изменения погрешности mP

Рисунок 5 Диаграмма изменение погрешности mQ

Как видно из расчетов и представленным диаграммам, минимальные погрешности определения координат точек P и Q получены при длине базиса PQ равной и более. При этом оптимальной может считаться удаленность, равная 0,3 ? 0,6 от длины исходной линии.

координата ганзен точность спутниковый

Литература

1. Справочник геодезиста. Под ред. В. Д. Большакова и Г. П. Левчука, М, Недра, 1985.

2. Г. Г. Поклад, С. П. Гриднев. Геодезия: учебное пособие для вузов - М: Академический Проект, 2007.

References

1. Spravochnik geodezista. Pod red. V. D. Bol'shakova i G. P. Levchuka, M, Nedra, 1985.

2. G. G. Poklad, S. P. Gridnev. Geodezija: uchebnoe posobie dlja vuzov - M: Akademicheskij Proekt, 2007.

Размещено на Allbest.ru