Моделювання топографії, будови та внутрішнього гравітаційного поля місяця

Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти і науки України

Національний університет “Львівська політехніка”

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук

Моделювання топографії, будови та внутрішнього гравітаційного поля місяця

Заяць О.С.

Спеціальність - 05.24.01 - Геодезія

Львів - 2006

Вступ

Актуальність теми полягає у тому, що для перспективного планування та проведення експериментів з метою освоєння та використання Місяця як сировинної бази необхідно провести комплексний аналіз його гравітаційного поля, внутрішньої будови а також поверхневих особливостей. Крім цього такий аналіз дозволить краще зрозуміти процес утворення та еволюції Сонячної системи.

Останні місії космічних апаратів до Місяця забезпечили дослідників великою кількістю інформації про топографію Місяця. Зокрема за даними космічного апарату Clementine було отримано глобальне покриття планети даними лазерної альтиметрії, що дозволило значно покращити відомості про геометричну фігуру Місяця та особливості його поверхневих структур. Велика кількість спектрозональних знімків поверхні Місяця дала можливість проводити вивчення фізико-мінералогічної будови його поверхневих шарів. Крім того вперше було отримано велику кількість знімків полярних регіонів Місяця, інформація про які до останнього часу була неповною. Отримана інформація про топографію Місяця дозволила будувати більш точні моделі кори. Завдяки відсутності ерозійних процесів на Місяця історію формування його сучасного обліку можна буквально читати на поверхні. З огляду на вищенаведене особливої ваги набуває питання створення високоточних моделей топографії Місяця із залученням максимальної кількості інформації. Метод середньої квадратичної колокації є класичним методом моделювання в геодезії (як правило для трансформант гравітаційного поля), але з огляду на специфіку розташування даних лазерної альтиметрії застосування цього методу для цілей моделювання топографії потребує детального дослідження. З огляду на велику кількість публікацій, з вивчення рельєфу Місяця проблема моделювання його топографії є і до сьогодні актуальним питанням.

Моделювання внутрішньої будови Місяця може стати вирішальним у розв`язанні цілої низки актуальних селенодезичних проблем, а саме: визначення форми та розмірів ядра Місяця (можливо навіть і приблизний хімічний склад), пояснення механізмів формування масконів, створення моделей селеноїда і т.д. Дослідженням внутрішньої будови Місяця присвячено велику кількість публікацій вітчизняних і зарубіжних вчених. Сучасні відомості про внутрішню будову Місяця опираються, в основному, на результати спостережень за штучними супутниками Місяця та дані сейсмічних станцій на поверхні Місяця. Комплексне використання такої інформації може слугувати для побудови референсних (глобальних) радіальних моделей внутрішньої будови Місяця. Залучення ж додаткової інформації (параметр фізичної лібрації та модель селенопотенціалу) дозволить вирішити обернену задачу гравіметрії і отримати з деякими припущеннями більш детальні тривимірні моделі розподілу неоднорідностей в надрах Місяця.

Дослідження внутрішнього гравітаційного поля Місяця як і планет в цілому є темою мало дослідженою. Передовсім це пов`язано з відсутністю можливостей проведення гравіметричних вимірів у надрах планет. Натомість використання тривимірних моделей розподілу неоднорідностей густини дозволить значно покращити знання про внутрішнє гравітаційне поле планети. Інтегрування таких моделей допоможе отримати тривимірні розподіли неоднорідностей потенціалу планет, що сприятиме вивченню глибинних процесів, механізмів еволюції та формування планет. Комплексне використання локальних і глобальних моделей потенціалу та густини є актуальним не тільки для Місяця, а й для Землі, особливо у вирішенні задач геологорозвідування родовищ корисних копалин.

Отже в рамках порівняльної планетодезії дослідження топографії, будови та внутрішнього гравітаційного поля Місяця є базовими для розуміння процесів утворення та еволюції не тільки Місяця, а й інших планет Сонячної системи, в цілому зокрема і Землі.

Зв`язок роботи з науковими програмами, планами, темами

Тематика дисертаційної роботи відповідає тематиці кафедри теорії математичної обробки геодезичних вимірів Національного університету “Львівська політехніка”, на якій було виконано роботу, частину результатів роботи використано під час виконання державної бюджетної теми ДБ“Референц” 2002-2003рр. (номер держреєстрації №0102u001196).

Мета і завдання досліджень

Метою роботи є розробка нових та удосконалення існуючих методів моделювання топографії, внутрішньої будови та внутрішнього гравітаційного поля Місяця.

Для досягнення вказаної мети поставлені та виконані такі завдання:

Програмно реалізовано: новий метод побудови емпіричних коваріаційних функцій, метод середньої квадратичної колокації. Запропоновано нові вирази для апроксимації емпіричних коваріаційних функцій (ЕКФ) та проведено дослідження особливостей моделювання рельєфу Місяця за даними лазерної альтиметрії з використанням цих аналітичних виразів.

Вдосконалено алгоритм обчислення коефіцієнтів зв`язку між стоксовими постійними та степеневими моментами густини, розроблено відповідний алгоритм групування цих коефіцієнтів у матриці зв`язку.

Програмно реалізовано алгоритм моделювання розподілу неоднорідностей густини в надрах еліпсоїдальних планет.

Досліджено можливість та доведено переваги використання геометричних характеристик еліпсоїда у вигляді збіжних рядів для представлення внутрішнього потенціалу як однорідного так і неоднорідного еліпсоїда.

Запропоновано та програмно реалізовано метод побудови моделей неоднорідностей внутрішнього потенціалу еліпсоїда з використанням моделей неоднорідностей густини.

Об`єктом досліджень є природній супутник Землі - Місяць.

Предметом досліджень в дисертаційній роботі є топографія, внутрішня будова та неоднорідності внутрішнього потенціалу Місяця.

Методи дослідження

Для побудови регулярної моделі топографічної поверхні Місяця використовувався метод середньої квадратичної колокації.

Для побудови тривимірної моделі розподілу неоднорідностей використано методику узгодження стоксових постійних з степеневими моментами густини, як додаткова інформація залучено параметр фізичної лібрації та радіальну модель стрибків густини Місяця.

Для моделювання неоднорідностей внутрішнього потенціалу проведено специфічне інтегрування моделі неоднорідностей густини.

Наукова новизна одержаних результатів

Запропоновано використовувати нові аналітичні коваріаційні функції (АКФ) для моделювання топографії за даним лазерної альтиметрії;

Удосконалено алгоритм побудови тривимірних моделей густини для еліпсоїдальних планет;

Побудована модель тривимірного розподілу густини надр Місяця дозволяє інтерпретувати не тільки глобальні, а і локальні особливості будови Місяця;

Запропоновано представляти геометричні характеристики еліпсоїда у вигляді збіжних рядів;

Вперше побудовано тривимірні моделі розподілу неоднорідностей внутрішнього потенціалу Місяця, зроблено їх аналіз та інтерпретацію.

Практичне значення отриманих результатів

В дисертації запропонована методика побудови ЕКФ яка передбачає видалення з вихідних даних низькочастотного тренду, значно пришвидшує та спрощує процес отримання ЕКФ.

Запропоновані в дисертаційній роботі нові аналітичні вирази для апроксимації ЕКФ можуть використовуватися і для розв`язку задач інтерполяції з інших галузей науки, особливо у випадку коли вихідна інформація характеризується досить щільним розташуванням та складною структурою (коли абсолютні різниці вимірів для двох найближчих точок є набагато більшими за точність самих вимірів).

Отримана модель внутрішнього розподілу неоднорідностей густини надр Місяця може використовуватися як референсна для дослідження локальних чи регіональних особливостей розподілу густини, для побудови моделей селеноїда, для пояснення та аналізу глибинних процесів, що відбувались у надрах Місяця, для пояснення механізмів та природи утворення масконів. За цією моделлю можна створювати глобальні моделі кори, уточнювати референсну модель стрибків густини Місяця.

Представлення геометричних характеристик еліпсоїда у вигляді збіжних рядів може застосовуватися для вирішення задач в ядерній фізиці та у фізиці плазми, де ці характеристики називають потенціальними факторами. Використання геометричних характеристик є зручним апаратом для обчислення внутрішнього і зовнішнього потенціалу однорідного або неоднорідного еліпсоїда.

Спільне використання моделі розподілу неоднорідностей внутрішнього потенціалу та моделі розподілу неоднорідностей густини є потужним інструментом для аналізу особливостей будови планети. Оскільки потенціал є інтегральною функцією густини, то спільне використання згаданих моделей дозволить встановити об`єм локалізації внутрішнього розрідження або згущення мас, що є досить практичним з точки зору пошуку залягання корисних копалин не тільки на Місяці, а й на Землі.

Особистий внесок здобувача

Результати, наведені у дисертаційній роботі, отримані автором самостійно. Основні результати дисертації висвітлено у публікаціях [1-7]. В працях опублікованих у співавторстві, авторові належить:

Постановка задачі, розробка алгоритму і безпосередня участь в обчисленнях [1,2].

Розробка алгоритму, проведення обчислень та обговорення і інтерпретація результатів [4-7].

Автор висловлює щиру подяку своєму науковому керівникові професорові Зазуляку П.М. за слушні поради та неодноразові консультації під час виконання дисертаційної роботи. Вдячний професорам Марченку О.М. та Бурштинській Х.В. за доречні зауваги в обговоренні результатів роботи. Особливу подяку автор складає доценту Фису М.М. за поради та зауваження до 3-го і 4-го розділів роботи.

Апробація результатів дисертації

Результати роботи доповідались на:

ІХ Міжнародній науково-технічній конференції “GEOFORUM 2004” (квітень 2004р. Львів-Яворів, Україна);

Х Міжнародній науково-технічній конференції “GEOFORUM 2005”, (квітень 2005р. Львів-Яворів, Україна);

Міжнародній науково-практичній конференції “Новітні досягнення геодезії, геоінформатики та землевпорядкування - Європейський досвід”. (травень 2005р. Чернігів, Україна);

Міжнародній науково-технічній конференції “Геоінформаційний моніторинг навколишнього середовища - GPS i GIS-технології” (вересень 2005р. Алушта, Україна);

ХІ Міжнародній науково-технічній конференції “GEOFORUM 2006”, (квітень 2006р. Львів-Яворів, Україна);

Х-тій Міжнародній науково-практичній конференції “Новітні досягнення геодезії, геоінформатики та землевпорядкування - Європейський досвід”. (травень 2006р. Чернігів, Україна);

Міжкафедральному семінарі кафедри теорії математичної обробки геодезичних вимірів Національного університету “Львівська політехніка”, 2005р.

Публікації.

Основні положення і результати дисертації відображені у 7-ми друкованих працях (4 з них у фахових виданнях). Окрім цього автор брав участь у написанні звіту з науково-дослідної роботи, пов`язаною з темою дисертації.

Структура та обсяг дисертації.

Дисертаційна робота складається зі вступу, чотирьох розділів, списку використаних джерел із 118 найменувань. Загальний обсяг дисертації складає 127 сторінок, робота містить 31 рисунок і 13 таблиць.

1. Основний зміст роботи

У вступі подано загальну характеристику роботи, обґрунтовано актуальність теми, охарактеризовано наукову новизну, практичне значення отриманих результатів та особистий внесок здобувача.

Перший розділ дисертації присвячено аналізові літератури з питань, пов`язаних з тематикою дисертації. Зокрема проведено аналіз сучасного стану вивчення внутрішньої будови Місяця за сейсмічними даними та даними дистанційного зондування. В цьому розділі наведено огляд двох останніх супутникових місій до Місяця “Lunar Prospector” та “Clementine”, зроблено огляд основних досягнень, отриманих з їх допомогою у вивченні топографії та гравітаційного поля Місяця.

Другий розділ роботи присвячений проблематиці моделювання топографії Місяця методом середньої квадратичної колокації з використанням даних лазерної альтиметрії.

Застосування моделей рельєфу для вирішення різних геодезичних, геофізичних, геоморфологічних, селенофізичних задач зумовило необхідність використання різних методів моделювання. На сьогоднішній час в задачах моделювання топографії застосовують велику кількість математичних апаратів апроксимації та інтерполяції рельєфу. Очевидно основним критерієм вибору того чи іншого методу моделювання є точність отриманої моделі. Відомо, що метод середньої квадратичної колокації дає можливість отримати незміщені оцінки з мінімальною дисперсією - це дозволяє вважати цей метод найбільш придатним для побудови високоточних моделей топографії. Одночасно залишаються недослідженими особливості застосування методу середньої квадратичної колокації для створення моделей рельєфу за даними лазерної альтиметрії. Специфіка розташування вихідної інформації (зосередженість уздовж слідів супутникових трас), висока точність даних альтиметрії, складність рельєфу Місяця - всі ці фактори мають безпосередній вплив на точність моделювання методом середньої квадратичної колокації.

Детальний аналіз глобальної коваріаційної функції рельєфу Місяця, отриманої за даними лазерної альтиметрії ШСМ Clementine, свідчить про неможливість її використання для моделювання топографії Місяця, оскільки характеризується великим значенням довжини кореляції 250, що, враховуючи складну структуру рельєфу Місяця, є абсолютно неправдоподібним. Причиною цього є наявність систематичної низькочастотної складової у вихідних даних. Для видалення з вихідної інформації цієї систематичної частини запропоновано інший підхід для побудови ЕКФ, основна ідея якого полягала в наступному: 1) вся поверхня Місяця розбивалась на рівновеликі трапеції з однаковим кроком по широті; 2) для кожної з цих трапецій було побудовано коваріаційну функцію; 3) остаточна коваріаційна функція була отримана шляхом усереднення коваріаційних функцій в усіх трапеціях. З використанням цієї методики побудовано усереднені ЕКФ для рівновеликих трапецій з кроком 100, 150, 200 та 300 по широті.

Для апроксимації аналітичними виразами було вибрано ЕКФ, отриману усередненням в трапеціях з кроком 100. Для її апроксимації було запропоновано використовувати такі аналітичні коваріаційні функції (АКФ):

В дисертаційній роботі наведено аналітичні вирази для обчислення основних параметрів цих коваріаційних функцій. Всі перелічені вище функції відповідають умовам: та , за винятком функції (4), яка може набувати і від`ємних значень. Параметр кривини у функцій (1)-(4) не є фіксованим (на відміну від більшості використовуваних сьогодні аналітичних функцій), а залежить від значення коефіцієнта . Фіксований параметр кривини є недоліком, оскільки з трьох важливих параметрів коваріаційної функції реально варіювати можна тільки двома, що суттєво зменшує клас можливих випадкових полів для даних коваріаційних функцій. Ще однією перевагою використання запропонованих функцій є те, що на відміну від більшості класичних функцій, де визначають тільки один параметр, для апроксимації ЕКФ запропонованими виразами (1)-(5), визначаю два параметри , що уможливлює отримати кращі результати апроксимації.

Для кожної з цих функцій було побудовано модель топографії Місяця та зроблено порівняльний аналіз з незалежною моделлю топографії, обчисленою програмним пакетом GMT (таблиця 1).

З аналізу результатів, наведених у табл. 1, встановлено, що внутрішня точність моделей, побудованих з використанням АКФ (2)-(4), є на кілька порядків меншою за внутрішню точність моделі АКФ (1). Одночасно модель АКФ (1) є краще узгодженою і з вихідними даними, і з контрольним набором точок. Пояснити цей феномен можна двома чинниками: щільним розташуванням даних альтиметрії та поведінкою похідних АКФ в околі нуля. Доведено, що на оцінку точності методу середньої квадратичної колокації у випадку щільного розташування вихідної інформації (окіл вихідних даних стягується в точку) значно впливає поведінка похідної АКФ в околі нуля.

У випадку (7), через хорошу обумовленість , отримують більш надійні оцінки, однак оцінка точності буде дещо завищеною. Ці факти підтверджуються результатами, наведеними у табл.1., оскільки для функцій (2)-(4) виконується умова (6), а для (1),(5) виконується умова (7). Функцію (5) взято як модифікацію (2) для остаточної перевірки гіпотези про вплив похідної коваріаційної функції в околі нуля на точність результатів прогнозування.

Таким чином ще раз доведено, що в задачах моделювання рельєфу за даними лазерної альтиметрії ключове значення для точності моделі має правильний вибір аналітичної коваріаційної функції. Очевидно, для такого моделювання краще підходитимуть АКФ, для яких похідна в околі нуля відповідатиме похідній ЕКФ.

В третьому розділі розглянуто один наближений метод вирішення оберненої задачі теорії потенціалу, запропоновано деякі удосконалення цього методу, наведено результати моделювання внутрішньої будови Місяця.

Суть оберненої задачі теорії потенціалу полягає у встановленні розподілу мас в надрах тіла за його відомим зовнішнім гравітаційним полем. Ця задача належить до так званих некоректних задач і без використання додаткової інформації немає однозначного розв`язку. Для однозначного розв`язання цієї задачі необхідно знати степеневі моменти густини ()

Використовуючи зв`язки (8) і (9) та розподіл (11), в роботі обчислено коефіцієнти . За основу в цьому випадку використано відомий наближений алгоритм побудови тривимірних моделей густини, запропонований Фисом М.М. та Мещеряковим Г.О. Деякі співвідношення цього алгоритму через свою складність та громіздкість є незручними для програмної реалізації, зокрема формули зв`язку (9) у декартовій системі координат. Тому в роботі запропоновано більш спрощене представлення такого зв`язку

Специфіка (13) обумовлює те, що загальна матриця зв`язку між стоксовими сталими та степеневими моментами густини має клітинкову структуру, тобто для кожного порядку справедливим є наступний запис

Оскільки стоксові сталі мають подвійну індексацію, а степеневі моменти густини - потрійну, виникла проблема у встановленні положення коефіцієнтів та у відповідних матрицях зв`язків. Для вирішення цієї проблеми запропоновано метод групування

Правильність обчислень коефіцієнтів та перевірено, використовуючи властивість гармонійності кульових функцій у декартовій системі координат

Дослідження показали, що отримані відхилення від нуля правих частин (15) для коефіцієнтів до 20-го порядку є несуттєвими (співмірними з машинним представленням нуля ЕОМ), що дозволяє однозначно підтвердити правильність співвідношення (13).

Зробивши деякі модифікації алгоритму вказаних вище авторів, побудовано модель внутрішнього розподілу неоднорідностей густини Місяця (11). За вихідну інформацію використовувались: модель гравітаційного поля Місяця JGL165p1 до 20 порядку і степеня, радіальна модель стрибків густини Місяця та значення параметру фізичної лібрації Місяця . За апріорну одновимірну модель густини (стрибків густини) приймали трьохшарову модель: кора товщиною 60км та густиною 2.92 г/см3, мантія з середньою густиною 3.38 г/см3, ядро радіусом 340 км та густиною 5.22 г/см3.

Для більш детального вивчення особливостей внутрішньої будови Місяця побудовано карти горизонтальних неоднорідностей густини на глибинах 10 (рис.1), 60, 100 та 1400км та подано інтерпретацію отриманих результатів.

Окремо побудовано радіальні профілі розподілу неоднорідностей для найбільших масконів Місяця, зроблено їх класифікацію відповідно до поведінки густини у приповерхневих шарах планети. Додатково проведено аналіз динаміки зміни знаків аномалій густини по всій планеті загалом та в корі, мантії, ядрі зокрема. Глобальною особливістю виявилось зосередження районів ущільнення речовини вздовж екватора Місяця, райони з домінуванням розрідженої речовини розташовані у полярних районах планети. Використовуючи профілі неоднорідностей густини в приповерхневих шарах Місяця вздовж найбільших масконів, підтверджено припущення про глибину їх залягання від 20-60км на видимому до 100-150км на зворотному боці Місяця.

В четвертому розділі розглянуто проблему моделювання внутрішнього потенціалу Місяця, запропоновано розв`язання цієї проблеми з використанням геометричних характеристик еліпсоїда, наведено відповідні співвідношення, побудовано модель неоднорідностей внутрішнього потенціалу Місяця, густину якого задають функцією стрибків та моделі внутрішнього потенціалу Місяця з тривимірним розподілом густини типу.

У роботі розглянуто потенціал еліпсоїдальної планети, густину якої подано як кусково-неперервну функцію стрибків

Для моделювання розподілу внутрішнього потенціалу Місяця та його похідних для радіальної моделі стрибків густини використано представлення потенціалу однорідного двовісного еліпсоїда

.

Якщо точка у якій визначається потенціал, лежить в середині еліпсоїда, то її еліпсоїдальна координата дорівнює нулю, в протилежному випадку її визначають як найбільший корінь рівняння

Для тришарової моделі стрибків густини Місяця, отримано розподіл його внутрішнього потенціалу та його похідних (рис. 2а - 2г)

Після нескладних перетворень (20) отримано остаточне співвідношення для визначення потенціалу еліпсоїдальної планети з тривимірним розподілом густини

Для обчислення (22) запропоновано використовувати або рекурентні співвідношення або розкладати підінтегральний вираз в ряд і інтегрувати його. Для першого і для другого випадку було отримано відповідні співвідношення. Згідно з проведеними дослідженнями більш ефективним в сенсі точності виявився розклад підінтегральної функції в ряд та її інтегрування

В роботі також встановлено область збіжності (23). Виявилось, що (23) можна використовувати для планет з стисненням меншим за 0.2929, що є абсолютно прийнятним для усіх планет Сонячної системи. Співвідношення (23) допомагає виражати потенціал не тільки всередині, а і ззовні еліпсоїдальної планети у вигляді збіжного ряду для заданого розподілу густини.

З використанням (21) побудовано моделі горизонтальних неоднорідностей потенціалу на глибинах 10 (рис.3), 60, 100 та 1400км. За результатами моделювання проведено детальний аналіз особливостей внутрішнього гравітаційного поля Місяця, встановлено, що потенціал як інтегральна функція густини слабо реагує на різкі зміни густини і фактично вузьколокалізована динаміка густини абсолютно не проявляє себе у динаміці потенціалу

Рис. 3. Розподіл горизонтальних неоднорідностей внутрішнього потенціалу Місяця на глибині 10км. Суцільні ізолінії проведено через

.

Також виявлено, що через значну поверхневу диференціацію речовини характер розподілу неоднорідностей густини та потенціалу є найбільш узгодженим в надрах планети, а найменш узгодженим - близько поверхні Місяця. Проведено також порівняльну характеристику розподілу неоднорідностей потенціалу та густини в радіальних напрямках для найбільших масконів Місяця. Підтверджено припущення, що маскони є вузьколокалізованими поверхневими структурами, оскільки значні зміни в густині на поверхні не спричиняють таких різких змін потенціалу.

рельєф місяць планета еліпсоїд

Висновки

Досліджено особливості моделювання топографії Місяця методом середньої квадратичної колокації з використанням даних лазерної альтиметрії, запропоновано методику моделювання ЕКФ та нові АКФ, вказано на переваги використання таких функцій. Побудовано ряд моделей топографії Місяця та зроблено їх оцінку точності.

Встановлено, що на точність моделювання топографії за даними лазерної альтиметрії значно впливає поведінка коваріаційної функції в околі нуля. Практично доведено, що використання в задачах моделювання АКФ, для яких похідна в нулі дорівнює 0, приводить до згладження результатів інтерполяції.

Запропоновано удосконалення методики обчислення коефіцієнтів зв`язку між степеневими моментами інерції планети та стоксовими сталими, зроблено перевірку правильності їх обчислення, запропоновано методику групування цих коефіцієнтів у відповідні матриці зв`язку.

Побудовано тривимірну модель розподілу неоднорідностей в надрах Місяця, карти розподілу неоднорідностей густини на певних глибинах, вздовж певних маршрутів та побудовано радіальні профілі густини для найбільших масконів. Здійснено детальний аналіз та запропоновано інтерпретацію отриманих результатів.

Досліджено методику обчислення геометричних характеристик двовісного еліпсоїда у вигляді збіжних рядів у всьому просторі та встановлено умови збіжності таких рядів. Запропоновано використовувати ці характеристики для обчислення потенціалу як однорідного так і неоднорідного еліпсоїда

Побудовано модель розподілу внутрішнього потенціалу, прискорення сили притягання та його похідної для Місяця, густина якого задавалась радіальною моделлю стрибків густини. На базі моделі тривимірного розподілу неоднорідностей густини побудовано карти розподілу аномалій потенціалу на різних глибинах Місяця, а також в радіальних напрямках на найбільші маскони. Здійснено детальний аналіз та запропоновано інтерпретацію отриманих результатів.

Список основних опублікованих праць за темою дисертації

1. Бурштинська Х.В., Заяць О.С. Моделювання рельєфу земної поверхні із застосуванням колокації // Геодезія картографія і аерофотознімання. Вип. 64. - Л.: В-во НУ”ЛП”, 2003, С. 107-113.

2. Бурштинська Х.В., Заяць О.С. Теоретичні основи та експериментальні дослідження математичних функцій для побудови цифрових моделей рельєфу // Вісник геодезії та картографії, Київ. 2002. - №4(27). С.32-37.

3. Заяць О., Фис М., Зазуляк П. Моделювання внутрішнього потенціалу для неоднорідного Місяця // Новітні досягнення геодезії, геоінформатики та землевпорядкування - Європейський досвід. -Вип.2., Чернігів,-2006. -С. 86.

4. Заяць О.С. Про використання даних космічних апаратів при вивченні гравітаційного поля і внутрішньої будови Місяця // Новітні досягнення геодезії, геоінформатики та землевпорядкування - Європейський досвід. Вип.1., Чернігів.- 2005. -С. 195-199.

5. Фис М., Зазуляк П., Заяць О. До питання визначення кульових функцій в загальнопланетарній системі координат // Сучасні досягнення геодезичної науки та виробництва.- Л.: Ліга-Прес, 2004, -С. 401-408.

6. Фис М., Заяць О., Фоца Р., Волос В. Про один метод визначення потенціалу еліпсоїдальної планети. // Сучасні досягнення геодезичної науки та виробництва.- Л.: В-во НУ”ЛП”, 2005, -С. 236-239.

7. Фис М.М., Зазуляк П.М., Заяць О.С. Про один комбінований метод знаходження потенціалу радіальної еліпсоїдальної планети // Геоінформаційний моніторинг навколишнього середовища: GPS та GIS технології. - Алушта, 2005. -С. 39-41.

Размещено на Allbest.ru