Геометрия земного эллипсоида

Размещено на http://www.allbest.ru/

Реферат

Геометрия земного эллипсоида

Оглавление

1. Земной эллипсоид

2. Полюса Р и Р1

3. Полуоси земного эллипсоида, центр земного эллипсоида

4. Экватор

5. Параллель

6. Меридианные плоскости, меридианы

7. Нормаль к поверхности земного эллипсоида, ее свойство

8. Нормальная плоскость, нормальное сечение

9. Наклонное (косое) сечение

10. Плоскость первого вертикала. Сечение первого вертикала

11. Главные нормальные сечения

12. Геодезический азимут

13. Радиусы кривизны

14. Применение М, N, R (первая, вторая и третья величина, f)

15. Взаимные нормальные сечения (прямое, обратное)

16. Геодезическая линия

1. Земной эллипсоид

Поверхность геоида имеет сложную, геометрически неправильную форму.

Поэтому для обработки геодезических измерений в единой для обширной территории системе координат поверхность геоида заменяют математической поверхностью эллипсоида вращения, наиболее близкого по своей форме и размерам к геоиду.

Этот эллипсоид вращения называется земным эллипсоидом или также сфероидом.

2. Полюса Р и Р1

Земной эллипсоид - геометрически правильное тело, образованное вращением эллипса PE1P1E (рис. 1) вокруг его малой оси PP1.

Концы малой оси эллипсоида P и P1 наз. полюсами, один из которых P - северный, а другой P1 - южный.

3. Полуоси земного эллипсоида, центр земного эллипсоида

Малая ось эллипсоида одновременно является геометрической осью вращения Земли, а центр эллипсоида О - центром её тяжести.

Большую полуось ОЕ эллипсоида ОЕ обозначают через а, а малую полуось ОР - через b (рис. 1).

Рис. 1

4. Экватор

Плоскость EQE1, проходящая через центр эллипсоида перпендикулярно к его оси вращения, называется плоскостью экватора, а сечение этой плоскостью поверхности эллипсоида - экватором.

Очевидно, что экватор - это окружность, радиус которой равен большой полуоси ОЕ = а (рис. 2).

земной эллипсоид экватор азимут

Рис. 2

5. Параллель

Сечения поверхности эллипсоида плоскостями, параллельными плоскости экватора, называются параллелями. Параллели - так же окружности определенного радиуса r (смотреть рис. 2).

6. Меридианные плоскости, меридианы

Плоскости, проходящие через ось вращения эллипсоида, называются меридианными плоскостями, а сечения этими плоскостями поверхности эллипсоида называются меридианными сечениями или просто меридианами. Меридианные плоскости перпендикулярны к плоскости экватора (смотреть рис. 2).

7. Нормаль к поверхности земного эллипсоида, её свойство

Если через точку М на поверхности эллипсоида провести касательную плоскость КК, то прямая МN, проходящая через данную точку перпендикулярно к плоскости КК, называется нормалью к поверхности эллипсоида в данной точке (рис. 3).

Рис. 3

8. Нормальная плоскость, нормальное сечение

Всякая плоскость, проходящая через нормаль, называется нормальной, а сечение этой плоскостью поверхности эллипсоида - нормальным сечением.

9. Наклонное (косое) сечение

Любое другое сечение эллипсоида плоскостью, не проходящей через нормаль, называется наклонным, или косым сечением.

10. Плоскость первого вертикала. Сечение первого вертикала

Нормальная плоскость, проходящая через данную точку М перпендикулярно к плоскости меридиана, называется плоскость первого вертикала, а сечение этой плоскостью поверхности эллипсоида - сечением первого вертикала (смотреть рис. 3).

11. Главные нормальные сечения

Меридианное сечение и сечение первого вертикала называются главными нормальными сечениями.

12. Геодезический азимут

Взаимное положение меридиана и любого другого нормального сечения, проходящего через точку М на данном меридиане, определяется на поверхности эллипсоида А, образованным данной нормальной плоскостью с плоскостью меридиана.

Этот угол называется геодезическим азимутом (рис. 4).

Рис. 4

13. Радиусы кривизны

Для вычисления различных геодезических величин, связанных с кривизной поверхности эллипсоида, выделяются только два нормальных сечений, кривизну которых необходимо знать. Это главные нормальные сечения: меридиан и сечение первого вертикала. Кривизна их определяется радиусами кривизны, которые, по аналогии с соответствующими нормальными сечениями носят название главных радиусов кривизны и обозначаются:

М - радиус кривизны меридиана N - радиус кривизны первого вертикала R - радиус шара.

М = (1)

Формула радиуса кривизны первого вертикала:

N = (2)

Из формул (1) и (2) видно, что радиусы кривизны М и N главных нормальных сечений увеличиваются с возрастанием широты В. Следовательно, кривизна этих сечений уменьшается с перемещением от экватора к полюсам.

Указанными формулами определяется так же, что радиус кривизны меридиана М является наименьшим, а радиус кривизны первого вертикала N - наибольшим в данной точке. На полюсах

М = N

Средний радиус кривизны равен:

R = = ,

то есть среднему геометрическому из радиусов кривизны главных нормальных сечений.

14. Применение М, N, R (первая, вторая и третья величина, f)

Радиусы кривизны М и N - основные элементы сфероидической геодезии, без которых вычисления многих геодезических величин на поверхности эллипсоида невозможны. В частности, радиус кривизны меридиана М необходим для вычисления длин дуг меридиана и разностей широт, а радиус кривизны первого вертикала N - для вычисления длин дуг параллелей, разностей долгот и разностей азимутов (сближений меридианов).

Средний радиус кривизны R используется в геодезии для вычисления сферических избытков треугольников, а так же при замене некоторых частей поверхности эллипсоида поверхностью шара.

Для величин М, N, R имеются специальные таблицы, в которых численные значения их даются в форме выражений:

(1) = ….(первая величина)

(2) = …. (вторая величина)

(3) = …(третья величина)

f = … (величина f)

Здесь ?" - число секунд в радиане, равное 206265",806 ; как известно, число это вводится в вычисления для перевода угловых величин из градусной меры в аналитическую и наоборот.

15. Взаимные нормальные сечения (прямое, обратное)

Нормальные сечения, образующие между точками А и В узкий двуугольник, называются взаимными нормальными сечениями, из которых АаВ - прямое нормальное сечение в точке А, а ВвА - обратное нормальное сечение в то же точке А (рис. 5).

Рис. 5

16. Геодезическая линия

При малых расстояниях, не превышающих 20-30 км, взаимные нормальные сечения расходятся на ничтожно малые углы близких к нулю. В таких случаях каждое прямое и обратное нормальное сечение принимают во всех построениях за одну кривую, соединяющую две точки на поверхности эллипсоида.

Но при значительных расстояниях между точками эти расхождения необходимо учитывать. Взаимные нормальные сечения заменяют в этом случае так называемой геодезической линией, представляющей собой кривую (рис. 6), по которой расположилась бы нить, туго натянутая между двумя точками на поверхности эллипсоида. Следовательно, она является линией кратчайшего расстояния между данными точками.

Длина её практически равна длине нормальных сечений и определяется по формуле:

S = ·N1,

где

?" - центральный угол, выраженный в секундах, которому соответствует дуга S на поверхности эллипсоида

N1 - радиус кривизны в точке А.

Рис. 6

Размещено на Allbest.ru