Теория погрешности геодезических измерений

Размещено на http://www.allbest.ru/

Реферат

Теория погрешности геодезических измерений

1. Погрешности и их виды

погрешность измерение точность

Измерения в геодезии рассматриваются с двух точек зрения количественной, выражающей числовое значение измеренной величины, и качественной, характеризующей ее точность.

Из практики известно, что даже при самой тщательной аккуратной работе многократные (повторные) измерения не дают одинаковых результатов. Это указывает на то, что получаемые результаты не являются точным значением измеряемой величины, а несколько отклоняются от него. Значение отклонения характеризует точность измерений. Если обозначить истинное значение измеряемой величины Х, а результат измерения l, то истинная погрешность измерения ?= l - Х.

Любая погрешность результата измерения есть следствие воздействия многих факторов, каждый из которых порождает свою погрешность. Погрешности, происходящие от отдельных факторов, называют элементарными. Погрешности результата измерения являются алгебраической суммой элементарных погрешностей.

Изучением основных свойств и закономерностей действия погрешностей измерений, разработкой методов получения наиболее точного значения измеряемой величины и характеристик ее точности занимается теория погрешностей измерений. Излагаемые в ней методы решения задач позволяют рассчитать необходимую точность предстоящих измерений и на основании этого расчета выбрать соответствующие приборы и технологию измерений, а после производства измерений получить наилучшие их результаты и оценить их точность. Математической основой теории погрешностей измерений являются теория вероятностей и математическая статистика.

Погрешности измерений разделяют по двум признакам: характеру их действия и источнику происхождения.

По характеру действия погрешности бывают грубые, систематические и случайные.

Грубыми называют погрешности, превосходящие по абсолютной величине некоторый установленный для данных условий измерений предел. Они происходят в большинстве случаев в результате промахов и просчетов исполнителя. Такие погрешности обнаруживают повторными измерениями, а результаты, содержащие их, бракуют и заменяют новыми.

Погрешности, которые по знаку или величине однообразно повторяются в многократных измерениях (например, в длине линии из-за неточного знания длины мерного прибора, из-за неточности уложения мерного прибора в створе этой линии и т.п.), называют систематическими. Влияние систематических погрешностей стремятся исключить из результатов измерений или ослабить тщательной проверкой измерительных приборов, применением соответствующей методики измерений, а также введением поправок в результаты измерений.

Случайными являются погрешности, размер и влияние которых на каждый отдельный результат измерения остаются неизвестными. Величину и знак случайной погрешности заранее установить нельзя. Однако теоретические исследования и многолетний опыт измерений показывают, что случайные погрешности подчинены определенным вероятностным закономерностям, изучение которых дает возможность получить наиболее надежный результат и оценить его точность.

По источнику происхождения различают погрешности приборов, внешние и личные.

Погрешности приборов обусловлены их несовершенством, например погрешность угла, измеренного теодолитом, неточным приведением в вертикальное положение оси его вращения.

Внешние погрешности происходят из-за влияния внешней среды, в которой протекают измерения, например погрешность в отсчете по нивелирной рейке из-за изменения температуры воздуха на пути светового луча (рефракция) или нагрева нивелира солнечными лучами.

Личные погрешности связаны с особенностями наблюдателя, например, разные наблюдатели по-разному наводят зрительную трубу на визирную цель.

Так как грубые погрешности должны быть исключены из результатов измерений, а систематические исключены или ослаблены до минимально допустимого предела, то проектирование измерений с необходимой точностью и оценку результатов выполненных измерений производят, основываясь на свойствах случайных погрешностей.

2. Свойства случайных погрешностей

Случайные погрешности характeризуются следующими свойствами.

1. При определенных условиях измерений случайные погрешности по абсолютной величине не могут превышать известного предела, называемого предельной погрешностью. Это свойство позволяет обнаруживать и исключать из результатов измерений грубые погрешности.

2. Положительные и отрицательные случайные погрешности примерно одинаково часто встречаются в ряду измерений, что помогает выявлению систематических погрешностей.

3. Чем больше абсолютная величина погрешности, тем реже она встречается в ряду измерений.

4. Среднее арифметическое из случайных погрешностей измерений одной и той же величины, выполненных при одинаковых условиях, при неограниченном возрастании числа измерений стремится к нулю. Это свойство, называемое свойством компенсации, можно математически записать так:

lim ([?]/n) = 0,

где [?] - знак суммы, т.е. [?] = ?₁ + ?₂ + ?₃ + ••• + ?_n; n - число измерений.

Последнее свойство случайных погрешностей позволяет установить принцип получения из ряда измерений одной и той же величины результата, наиболее близкого к ее истинному значению, т. е. наиболее точного. Таким результатом является среднее арифметическое из п измеренных значений данной величины. При бесконечно большом числе измерений lim([l]/n) = X.

При конечном числе измерений арифметическая средина х = [l]/n содержит остаточную случайную погрешность, однако от точного значения Х измеряемой величины она отличается меньше, чем любой результат l непосредственного измерения. Это позволяет при любом числе измерений, если n > 1, принимать арифметическую средину за окончательное значение измеренной величины. Точность окончательного результата тем выше, чем больше n.

3. Средняя квадратическая, предельная и относительная погрешности

Для правильного использования результатов измерений необходимо знать, с какой точностью, т. е. с какой степенью близости к истинному значению измеряемой величины, они получены. Характеристикой точности отдельного измерения в теории погрешностей служит предложенная Гауссом cредняя квадратическая погрешность т, вычисляемая по следующей формуле:

,

где n - число измерений данной величины.

Эта формула применима для случаев, когда известно истинное значение измеряемой величины. Такие случаи в практике встречаются редко. В то же время из измерений можно получить результат, наиболее близкий к истинному значению, - арифметическую средину. Для этого случая средняя квадратическая погрешность одного измерения подсчитывается по формуле Бесселя:

,

где д - отклонение отдельных значений измеренной величины от арифметической середины, называемые вероятнейшими погрешностями, причем [д] = 0.

Точность арифметической средины, естественно, будет выше точности отдельного измерения. Ее средняя квадратическая погрешность определяется по формуле.

M = m/

где т - средняя квадратическая погрешность одного измерения, вычисляемая по формулам (19.1) или (19.2).

Часто в практике для контроля и повышения точности определяемую величину измеряют дважды - в прямом и обратном направлениях, например, длину линий, превышения между точками. Из двух полученных значений за окончательное принимается среднее из них. В этом случае средняя квадратическая погрешность одного измерения

,

а среднего результата из двух измерений

где d - разность двукратно измеренных величин; п - число разностей (двойных измерений).

В соответствии с первым свойством случайных погрешностей для абсолютной величины случайной погрешности при данных условиях измерений существует допустимый предел, называемый предельной погрешностью. В строительных нормах предельная погрешность называется допускаемым отклонением.

Теорией погрешностей измерений доказывается, что абсолютное большинство случайных погрешностей (68,3 %) данного ряда измерений находится в интервале от 0 до ± m; в интервал от 0 до ±2m попадает 95,4%, а от 0 до ± 3m - 99,7% погрешностей. Таким образом, из 100 погрешностей данного ряда измерений лишь пять могут оказаться больше или равны 2т, а из 1000 погрешностей только три будут больше или равны 3т. На основании этого в качестве предельной погрешности ?_пр. для данного ряда измерений принимается утроенная средняя квадратическая погрешность, т. е. ?_пр.= 3т. На практике во многих работах для повышения требований точности измерений принимают ?_пр. = 2т. Погрешности измерений, величины которых превосходят ?_пр. считают грубыми.

Иногда о точности измерений судят не по абсолютной величине средней квадратичной или предельной погрешности, а по величине относительной погрешности.

Относительной погрешностью называется отношение абсолютной погрешности к значению самой измеренной величины. Относительную погрешность выражают в виде простой дроби, числитель которой - единица, а знаменатель - число, округленное до двух-трех значащих цифр с нулями. Например, относительная средняя квадратическая погрешность измерения линии длиной l = 110м при m_l = 2см равна m_l/l = 1/5500, а относительная предельная погрешность при ?пр. = 3т = 6см ?_пр./l = 1/1800.

4. Оценка точности результатов измерений

Точность результатов многократных измерений одной и той же величины оценивают в такой последовательности.

1. Находят вероятнейшее (наиболее точное для данных условий) значение измеренной величины по формуле арифметической средины х = [l]/п.

2. Вычисляют отклонения д_i = l_i - x каждого значения измеренной величины l₁, l₂, … l_n от значения арифметической средины. Контроль вычислений: [д] = 0.

3. По формуле Бесселя (19.2) вычисляют среднюю квадратическую погрешность одного измерения.

4. По формуле (19.3) вычисляют среднюю квадратическую погрешность арифметической середины.

5. Если измеряют линейную величину, то подсчитывают относительную среднюю квадратичную погрешность каждого измерения и арифметической средины.

6. При необходимости подсчитывают предельную погрешность одного измерения, которая может служить допустимым значением погрешностей аналогичных измерений.

Таблица 1

Таблица 2

Примечание. Если в округляемом числе последняя цифра 5, то ее округляют до четной цифры, например: 10,375 - до 10,38; 0,245 - до 0,24.

Пример 1. Длина линии местности измерена шесть раз. Требуется определить вероятнейшее значение длины линии и оценить точность выполненных измерений. Результаты измерений и вычислений записывают по форме, приведенной в табл. 1.

Пример 2. На метеостанции температура воздуха измерялась в разное время суток двумя одинаковыми термометрами.

Требуется определить среднюю квадратичную погрешность измерения температуры воздуха одним термометром и среднего значения из одновременных измерений двумя термометрами. Значения измеренных температур воздуха и оценку точности измерений записывают по форме, приведенной в табл. 2.

Оценку точности по разностям двукратных измерений производят в такой последовательности. 1. Вычисляют среднее значение из двукратных измерений. 2. Вычисляют разности d двукратных измерений. 3. По формуле (19.4) вычисляют среднюю квадратичную погрешность одного измерения 4,0см. По формуле (19.5) вычисляют среднюю квадратичную погрешность среднего результата из двух измерений.

5. Средняя квадратическая ошибка функции измеренных величин

В тех случаях, когда пользуются косвенными методами измерений, ошибка результата зависит как от ошибок измеренных величин, так и действий, с помощью которых вычислен искомый результат. Поэтому определение ошибок функций измеренных величин m_f имеет большое практическое значение.

Рассмотрим функцию z самого общего вида от многих независимых величин l₁,l₂,…,l_n:

z = f (l₁, l₂… l_n).

С учетом ошибок измерений, можно записать

z +Дz = f (l₁ + Дl₁, l₂ + Дl₂, … l_n + Дl_n).

Поскольку Дl₁, Дl₂, …, Дl_n малы, то функцию можно разложить в ряд Тейлора, ограничиваясь членами, содержащими только первые степени ошибок Дl₁, Дl₂, … Дl_n. При разложении в ряд применяются частные производные, так как в уравнении имеются несколько переменных аргументов.

z + Дz = f(l₁, l₂, … l_n) + (),

откуда

Дz = .

Для удобства записи примем, что

(i = 1, 2, …, n),

тогда уравнение примет вид

Дz = K₁Дl₁ + K₂Дl₂ +… + K_nДl_n,

где K₁, K₂, … K_n - постоянные числа.

Возведем уравнение в квадрат и разделим на n

Если выполнен ряд измерений, то можно получить n аналогичных равенств, просуммировав которые можно получить уравнение

но так как

[Дl_iДl_i+1] = 0,

то

,

и учитывая, что

то

т.е. квадрат средней квадратической ошибки функции общего вида равен сумме квадратов произведений частных производных по каждому аргументу на среднюю квадратическую ошибку соответствующего аргумента.

Литература

1. Басова И.А., Разумов О.С. Спутниковые методы в кадастровых и землеустроительных работах. - Тула, Изд-во ТулГУ, 2007.

2. Буденков Н.А., Нехорошков П.А. Курс инженерной геодезии. - М.: Изд-во МГУЛ, 2008.

3. Буденков Н.А., Щекова О.Г. Инженерная геодезия. - Йошкар-Ола, МарГТУ, 2007.

4. Булгаков Н.П., Рывина Е.М., Федотов Г.А. Прикладная геодезия. - М.: Недра, 2007.

5. ГОСТ 22268-76 Геодезия. Термины и определения.

6. Инженерная геодезия в строительстве./Под ред. О.С. Разумова. - М.: Высшая школа, 2008.

7. Инженерная геодезия. / Под ред. проф. Д.Ш. Михелева. - М.: Высшая школа, 2009.

8. Кулешов Д.А., Стрельников Г.Е. Инженерная геодезия для строителей. - М.: Недра, 2007.

9. Манухов В.Ф., Тюряхин А.С. Инженерная геодезия - Саранск, Мордовский государственный университет, 2008.

10. Манухов В.Ф., Тюряхин А.С. Глоссарий терминов спутниковой геодезии - Саранск, Мордовский государственный университет, 2008.

Размещено на Allbest.ru