Теоретичні основи фільтрації в середовищах, що деформуються, та їх застосування в області дренажу

Размещено на http://www.allbest.ru/

РІВНЕНСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

УДК 532.546

05.23.16 - гідравліка та інженерна гідрологія

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня ДОКТОРА ТЕХНІЧНИХ НАУК

ТЕОРЕТИЧНІ ОСНОВИ ФІЛЬТРАЦІЇ В СЕРЕДОВИЩАХ, ЩО ДЕФОРМУЮТЬСЯ, ТА ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ В ОБЛАСТІ ДРЕНАЖУ

Хлапук Микола Миколайович

Рівне 1999

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Рівненському державному технічному університеті (РДТУ) Міністерства освіти України

Науковий консультант: ДМИТРІЄВ АНАТОЛІЙ ФЕДОРОВИЧ доктор технічних наук, професор, завідувач кафедри гідротехнічних споруд РДТУ

Офіційні опоненти: ЛАВРИК ВОЛОДИМИР ІВАНОВИЧ доктор технічних наук, професор, завідувач відділу математичного моделювання і прогнозування водних екосистем інституту гідробіології НАН України

ПОЛЯКОВ ВАДИМ ЛЕОНТІЙОВИЧ доктор технічних наук, провідний науковий співробітник інституту гідромеханіки НАН України

ШТИКОВ ВАЛЕРІЙ ІВАНОВИЧ доктор технічних наук, професор, завідувач кафедри гідравліки та гідрології С.-Петербурзького державного університету шляхів сполучення

Провідна установа: Український транспортний університет Міністерства освіти України, м. Київ

Захист відбудеться "27" січня 2000 р. о 14-й годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 47.104.01 у Рівненському державному технічному університеті за адресою: 33000, м. Рівне, вул. Соборна, 11.

З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці Рівненського державного технічного університету за адресою: м. Рівне, вул. Приходька, 75.

Автореферат розісланий "24" грудня 1999 р.

Учений секретар спеціалізованої вченої ради к.т.н., доцент Востріков В.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Натурне вивчення роботи дренажних систем виявило, що біля третини дренажу не виконує проектних функцій, тобто недоосушує землі, а тому потребує дострокової реконструкції. Причини, що призводять до такого стану, пов'язані, в основному, з рухом води в навколодренній зоні та гідродинамічною дією фільтраційного потоку на грунт. При фільтрації в ґрунтах відбуваються різного роду деформаційні процеси: переорієнтація частинок неправильної форми у просторі під дією напруженності поля градієнтів напору, суфозія, кольматаж. Механізм дії дренажу на приплив і, особливо, на частинки ґрунту, які можуть переміщуватися в порах, не розкритий в тій мірі, щоб його можна було описати аналітично з метою використання в інженерній практиці.

Тепер набувають поширення осушувально-зволожувальні системи, які більш досконалі порівняно з осушувальними, та системи внутрішньогрунтового зволоження. Якщо ж осушувальна дія дренажу на певних методичних засадах вивчалася у багатьох наукових і виробничих організаціях, то вплив роботи конструкцій в режимі зволоження, а тим більше в циклічному режимі (чергування осушення і зволоження), на деформаційні процеси в ґрунті практично не досліджена. При проектуванні осушувально-зволожувальних систем вважається, що робота дрен в режимі підґрунтового зволоження у фільтраційному відношенні не відрізняється від режиму осушення. Відсутність необхідних даних, які б обґрунтовано підтверджували необхідність врахування фільтраційних деформацій, є причиною того, що в усіх запропонованих методиках розрахунку зволоження коефіцієнт фільтрації ґрунту приймається постійним. Неврахування зміни коефіцієнта фільтрації ґрунту практично знецінює існуючі методики і приводить до відмов у роботі осушувально-зволожувальних систем.

Аналіз застосування основ теорії фільтрації до розв'язання задач дренування ґрунтів показує, що відомих диференціальних рівнянь недостатньо для побудови математичної моделі суфозійних деформацій при фільтрації рідини крізь зернисті середовища. Існуюча методика фільтраційних розрахунків базується на недопущенні механічної суфозії, наприклад, при проектуванні зворотних фільтрів гідротехнічних споруд, якщо і допускається винесення суфозійних частинок крізь захисні фільтри дрен меліоративних систем, то не встановлюються наслідки такого процесу. Для врахування розвитку суфозійних деформацій та їх впливу на переформування коефіцієнта фільтрації ґрунту, отже, і на фільтраційну витрату, виникає необхідність в доповненні основних рівнянь геофізичної фільтрації рівняннями, що описують переміщення суфозійних частинок та баланс їх мас.

Отже, проблема деформаційних процесів в ґрунтах актуальна для дренажних конструкцій гідротехнічних споруд і, особливо, для меліоративного дренажу через те, що практично всі незв'язні ґрунти, в яких будуються дренажні системи, в тій чи іншій мірі суфозійні. Для України, де сільськогосподарське виробництво є одним із пріоритетних напрямків розвитку, розв'язання цієї проблеми має важливе значення.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана за планами науково-дослідних робіт Рівненського державного технічного університету, що розроблялись за господарською та госбюджетною тематиками відповідно до комплексних союзних і республіканських галузевих наукових програм з меліорації та сільського господарства протягом 1982-1998 р.р., в тому числі за координаційним планом Держкомітету СРСР по науці і техніці по проблемі О.Ц.034 "Підвищення ефективності меліорованих земель і використання водних ресурсів в меліорації", за планом розробки науково-технічної продукції і надання науково-технічних послуг Мінводгоспу УРСР, комплексна тема IV-86-17 "Удосконалення конструкцій, методів розрахунку, проектування, технології будівництва і експлуатації осушувально-зволожувальних систем" та розділом міжвузівської цільової комплексної науково-технічної програми "Прискорення науково-технічного прогресу в меліорації на основі розробки та впровадження передових технологій, автоматизації, механізації і удосконалення виробництва".

Мета і завдання досліджень. Мета роботи - розробити математичну модель для сумісного опису нелінійної фільтрації в зернистому середовищі та суфозійних процесів, викликаних дією сил з боку фільтраційного потоку, і на її основі отримати аналітичні розв'язки відповідних крайових задач, які можна використати в інженерній практиці гідротехнічного і меліоративного будівництва.

Для досягнення поставленої мети необхідно вирішити наступні задачі:

розробити систему диференціальних рівнянь для сумісного опису взаємовпливових процесів фільтрації в зернистих середовищах і переміщення суфозійних частинок;

поставити крайові задачі нелінійної фільтрації з післядією, тобто з врахуванням деформаційних процесів, та розробити підходи до їх розв'язання;

отримати аналітичні розв'язки задач фільтрації при стабілізації суфозійних процесів, які можна безпосередньо використати при вирішенні актуальних практичних проблем;

розробити моделі збурень в ґрунтах різного гранулометричного складу і на основі розв'язання відповідних крайових задач фільтрації визначити вплив деформаційних процесів на роботу дренажних конструкцій;

виконати математичне моделювання нелінійних процесів фільтрації із зволожувача в середовище, що деформується, і на його основі отримати оптимальні значення впливових параметрів;

лабораторними дослідженнями встановити вплив градієнта напору на зміну коефіцієнта фільтрації ґрунтів різного гранулометричного складу та отримати його кількісні характеристики;

провести лабораторні та натурні дослідження деформаційних процесів в ґрунті довкола дренажних конструкцій та зволожувачів і на їх основі встановити адекватність теоретичних розв'язків дослідним даним;

розробити: рекомендації по фільтраційному розрахунку осушувально-зволожувальних систем з врахуванням деформаційних процесів в ґрунті придренної зони; рекомендації по визначенню твердого стоку, викликаного суфозійними процесами; критеріальні рівняння для конструювання дрен оптимальних розмірів та встановлення безпечних умов їх експлуатації.

Наукова новизна отриманих результатів полягає в тому, що вперше створена математична модель, яка описує взаємовпливовий процес фільтрації в зернистому середовищі і суфозійних деформацій в зоні дії градієнтів напору вищих за критичні. На основі використання цієї моделі в поєднанні з експериментальними дослідженнями отримані наступні нові результати:

встановлено, що деформаційні процеси через зміну коефіцієнта фільтрації ґрунту значимо впливають на функції розподілу напорів, їх градієнтів та фільтраційну витрату;

розроблена методика проведення експериментальних досліджень, яка дозволяє встановлювати зміну коефіцієнта фільтрації суфозійних і несуфозійних ґрунтів в придренній зоні при роботі дренажних конструкцій в режимах осушення і зволоження;

поставлено задачі фільтрації довкола дрен при їх роботі в режимах осушення і зволоження та отримані аналітичні розв'язки, які враховують наслідки деформаційних процесів в ґрунті придренної зони;

отримано критеріальні рівняння для визначення розмірів дренажних конструкцій та допустимих значень напорів з умови недопущення негативних наслідків механічної суфозії та кольматажу;

виконано моделювання деформаційних процесів в ґрунтах різного гранулометричного складу при різних умовах формування зон суфозії та кольматажу;

додатково до критичного градієнта напору введено нові параметри, які характеризують властивість ґрунтів змінювати коефіцієнт фільтрації при зміні діючих градієнтів;

застосовано критичний градієнт зупинки суфозійних частинок, який є функцією характеристик ґрунту та гідродинамічних параметрів потоку, що дозволило отримати аналітичні розв'язки задач фільтрації при роботі дрен в режимі зволоження;

отримана універсальна характеристика водоприймальної спроможності дренажних конструкцій за характером розкриття пласта, яка, на відміну від додаткового фільтраційного опору, не залежить від коефіцієнта фільтрації ґрунту;

встановлено, що водоприймальна спроможність дрен осушувально-зволожувальних систем при їх роботі в режимі зволоження і циклічному режимі значимо відрізняється від режиму осушення.

Практичне значення одержаних результатів полягає, головним чином, у тому, що вони дозволяють враховувати вплив деформаційних процесів в ґрунті в придренній зоні на роботу осушувально-зволожувальних систем і систем внутрішньогрунтового зволоження, а саме:

визначити приплив до дрен і витрату із зволожувачів для різних діючих градієнтів та ґрунтових умов при виникненні механічної суфозії та кольматажу;

обчислити об'єм твердого стоку та регулювати його величину;

встановити експлуатаційні вимоги та проектувати дренажні конструкції з такими параметрами, при яких не виникають деформаційні процеси, або вони не призводять до негативних наслідків.

Результати наукової роботи були використані в "Посібнику з проектування і експлуатації осушувально-зволожувальних систем Української РСР" (АН УРСР, інститут гідромеханіки, Київ, 1990), "Рекомендаціях з фільтраційного розрахунку дренажних конструкцій меліоративних систем, що працюють в режимі двобічного регулювання в умовах Полісся України" (договір №12.410 від 11.04.1990 р., ГНТУ Мінводгоспу УРСР).

Вони також впроваджені в навчальний процес і використовуються при викладанні спецкурсу "Автоматизовані модульні осушувально-зволожувальні системи" для спеціальності "Гідромеліорація" Рівненського державного технічного університету.

Особистий внесок здобувача. На основі теоретичних та експериментальних досліджень автором особисто розроблені і сформульовані всі основні положення дисертаційної роботи з окресленого кола питань, що стосуються побудови математичної моделі взаємовпливового процесу фільтрації і суфозійних деформацій, розв'язання крайових задач фільтрації при роботі дренажних конструкцій в режимах осушення і зволоження, розробки методики проведення лабораторних та натурних досліджень.

Всі наведені автором теоретичні дослідження виконані самостійно. Експерименти, зважаючи на їх великий об'єм та необхідність виконання значних підготовчих робіт, проводилися особисто та колективом аспірантів під керівництвом автора.

В процесі роботи над дисертацією автор як докторант, керівник науково-дослідних робіт, науковий керівник аспірантів успішно співпрацював з науковим консультантом д.т.н., професором А.Ф. Дмитрієвим та наставниками д.т.н., професором, член.-кор. НАН України О.Я. Олійником, д.т.н., професором М.Г. Пивоваром. Результати такої співпраці підвищили рівень та глибину виконаних автором досліджень.

Апробація результатів дисертації. Результати досліджень, що включені до дисертації, були оприлюднені і отримали позитивну оцінку на численних науково-технічних міжнародних, союзних, республіканських і вузівських конференціях (Київ, 1996; Львів, 1996; Севастополь, 1987; Санкт-Петербург, 1987; Коломна, Московська обл., 1989; Волгоград, 1980; Новочеркаськ, 1988, 1989; Тбілісі, 1989; Рівне, 1982-1985, 1987-1989, 1992, 1995-1998), на сумісному засіданні Проблемної Ради по осушенню і осушувальних системах Мінводгоспу СРСР і секцій осушення і використання меліоративних земель ВАСГНІЛ по оптимізації параметрів осушувальних і осушувально-зволожувальних систем з метою підвищення продуктивності меліоративних земель (Львів, 1985), на засіданнях Українського наукового семінару з гідравліки (Київ, 1995, 1998).

Публікації. Результати дисертації опубліковані взагалі у 56 друкованих працях, в тому числі 1 монографії, 22 статтях у фахових виданнях.

Структура та об'єм дисертації. Дисертація складається із вступу, п'яти розділів, висновків, списку використаних джерел. Робота викладена на 367 сторінках машинописного тексту, в тому числі вміщує 105 рисунків на 35 сторінках, 71 таблицю на 23 сторінках та список використаних літературних джерел з 468 найменувань вітчизняних та зарубіжних авторів на 29 сторінках.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

Загальна проблема впливу суфозійних процесів на роботу дренажів меліоративних систем і гідротехнічних споруд та врахування їх наслідків.

Під час руху рідини крізь пористі середовища (ґрунти, зернисті матеріали тощо) в них, як правило, відбуваються різного роду деформаційні процеси, зокрема, це переорієнтація частинок неправильної форми у просторі під дією фільтраційних сил; переміщення мілких (суфозійних) частинок в порах скелету, сформованого більш крупними частинками, - механічна суфозія; зупинка суфозійних частинок в певних зонах масиву фільтрації, наприклад, біля дренажних конструкцій - кольматаж. Стосовно меліоративного дренажу, свердловин, дренажних пристроїв в гідротехнічних спорудах суфозійні деформації, тобто переміщення або зупинка при певних гідродинамічних умовах частинок, що рухаються, найбільш впливові, особливо в початковий період їх роботи. Суфозійні процеси, які виникають в придренній зоні, обумовлені появою градієнтів напору, вищих за критичні, їх початкова інтенсивність залежить від вмісту суфозійних частинок в ґрунті, а інтенсивність затухання від швидкості спадання градієнтів, викликаного зростанням коефіцієнта фільтрації ґрунту внаслідок суфозії, або перерозподілом градієнтів завдяки виникненню зони кольматажу.

Незважаючи на великий об'єм досліджень, проблема суфозії залишається актуальною і на теперішній час. Наприклад, при роботі меліоративних систем різного роду суфозійні явища приводять до зниження ефективності значної частини дренажу або й до повного його виходу з ладу. Тому потрібно визнати, що наші знання про механізм дії дренажу на приплив води та силовий вплив на частинки ґрунту, які можуть переміщатися в порах, ще не повні. Отже, наукове обґрунтування норм проектування і будівництва недостатнє і навіть коректне виконання всіх вимог та дотримання зафіксованих експлуатаційних обмежень не забезпечує якості осушення.

Проблема фільтраційних деформацій досить серйозна і для ґрунтових гребель. Наприклад, за даними Дж. Джастіна причиною руйнування біля 45 % гребель (з більш ніж 300 досліджених випадків) стали фактори, викликані фільтраційними процесами. Якщо ж гребля і не руйнується, суфозійні деформації в її тілі призводять до зростання фільтраційних витрат і твердого стоку або до його замулення, що може погіршити умови експлуатації споруди. Для водозабірних свердловин однією з проблем є наявність твердого стоку (що є наслідком суфозійних процесів), який може швидко вивести з ладу насосне обладнання та водопровідні системи.

Основні гідромеханічні положення динаміки підземних вод були закладені дослідженнями, проведеними рядом відомих спеціалістів в області гідравліки та теоретичної механіки (А. Дарсі, Ж. Дюп'юї, Ж. Буссінеск, М.Є. Жуковський, Ф. Форхгеймер та інші). Для вирішення задач динаміки підземних вод в цих дослідженнях використовувалися диференціальні рівняння водного потоку. Особливий розвиток теорія фільтрації отримала в останні десятиліття в зв'язку з інтенсивним розширенням гідротехнічного і меліоративного будівництва в роботах таких відомих вчених як М. Маскет, М.М. Павловський, І.А. Чарний, П.Я. Полубаринова-Кочина, Л.С. Лейбензон, В.М. Щелкачов, А.А. Хейн, С.Ф. Авер'янов, В.М. Шестаков, Ф.М. Бочевер, Н. Кристеа, М.М. Веригін, В.І. Аравін, С.М. Нумеров, П.Ф. Фільчаков, О.Я. Олійник, С.В. Васильєв, В.М. Єнтов, В.М. Ніколаєвський та інші.

Вихідна модель геофільтраційного потоку являє собою його опис з позицій математичної фізики і включає рівняння руху (основний закон фільтрації), рівняння нерозривності (балансу) потоку, рівняння стану, яке пов'язує напруження і деформації пласта, а також умови однозначності, які складаються з початкових і граничних умов процесу. Рівняння руху мають вид

V_x=-k h/ x, V_y=-k h/ y, V_z=-k h/ z, (1)

де V_x, V_y, V_z - складові швидкості фільтрації; h = h(x, y, z, t) - функція фільтраційного напору; k = k(x, y, z) - коефіцієнт фільтрації.

Для виведення рівняння нерозривності, яке описує матеріальний баланс потоку, розглядаються складові такого балансу в нескінченно малому елементі простору за нескінченно малий проміжок часу. В результаті отримується наступне рівняння:

(2)

де r - густина рідини. Три рівняння руху (1) та рівняння нерозривності (2) не дозволяють знайти всі необхідні характеристики потоку - проекції швидкості фільтрації, функцію напору та густину рідини. Для замикання системи (1), (2) використовується рівняння, яке описує залежність між густиною, тиском і абсолютною температурою. Наприклад, для важкої нестислої рідини (=const) при фільтрації в однорідному ізотропному середовищі, що не деформується (жорсткий режим фільтрації), рівняння нерозривності матиме вид

(k h/ x)/ x+ (k h/y)/ y+ (k h/ z)/ z . (3)

За допомогою різних методів розв'язання задач фільтрації з використанням наведених рівнянь були вирішені проблеми гідротехнічного та меліоративного будівництва, пов'язані з фільтрацією в основах споруд, в ґрунтових греблях, поблизу водоймищ, з каналів, довкола свердловин та дрен тощо. При осушенні надлишково зволожених земель широко застосовується трубчастий дренаж. Розрахунок відстані між дренажними лініями пов'язаний, в першу чергу, з встановленням закономірностей руху води в ґрунті, які описуються, наприклад, рівняннями безнапірної фільтрації при наявності (відсутності) на поверхні депресії стоків або витоків.

Таке рівняння відоме під назвою рівняння Буссинеска і для випадку неусталеного руху рідини в однорідному середовищі на горизонтальному водоупорі матиме вид

di(hh)=(h h/x)/x+(h h/y)/y=( /k) h/y - q/k , (4)

де h - напір; m - коефіцієнт водовіддачі або водонасичення відповідно при опусканні або піднятті кривої депресії; q - інтенсивність стоків (витоків).

Лінеаризоване різними способами рівняння Буссинеска широко застосовується при розрахунку динаміки ґрунтових вод при осушенні та зволоженні, наприклад, Ш.І. Брусиловським, А.І. Івицьким, В.С. Кремезом, В.Ф. Мітіним, А.І. Мурашко, О.Я. Олійником, В.Л. Поляковим, О.П. Тельцовим, Л.О. Холодок, М.Г Хубларяном, а при дослідженні фільтрації до свердловин та вертикальних колодязів - В.І. Аравіним та С.М. Нумеровим, В.С. Усенко, В.М. Шестаковим.

Задача про фільтрацію із вільною поверхнею важко піддається розв'язку через нелінійність граничних умов. В той же час точний математичний роз'язок не завжди самоціль, тому що самі диференціальні рівняння, граничні та початкові умови, допущення про однорідність, ізотропність, характер живлення (опади, випаровування), як правило, наближені. В зв'язку з цим були розроблені наближені методи розрахунку. До них відноситься, наприклад, метод (теорія) Дюп'юї-Форхгеймера, який вперше був запропонований Дюп'юї для дослідження стаціонарних потоків до свердловин і дренажних галерей і узагальнений Форхгеймером. М.М. Павловський розповсюдив цей метод на фільтрацію в гідротехнічних спорудах і в їх основах. Для меліоративного дренажу відомі наближення теорії Дюп'юї-Форхгеймера, виконані Хоугхаудтом, Кіркгемом, Весселінгом, Лістом, Хаммадом, С.Ф. Авер'яновим.

Для розрахунку стаціонарної осесиметричної фільтрації до свердловин та дрен використовується метод стоків та витоків. Так, наприклад, В.В. Ведерніковим отримані розв'язки задачі притоку до систематичного дренажу, що працює в підрусловому режимі, зокрема, залежності для обчислення питомої витрати до дрени (порожнини в ґрунті) і швидкості (градієнта напору) в будь-якій точці області фільтрації. Аналогічні розв'язки для неоднорідно-шаруватих ґрунтів отримані О.Я.Олійником.

Вказані та інші розв'язки задач фільтрації в абсолютній більшості справедливі для досконалої дрени, під якою розуміється порожнина в ґрунті. Практично всі дренажні труби, що застосовуються, мають непроникні стінки, а ґрунтова вода надходить крізь перфораційні отвори чи стикові зазори.

Задача визначення припливу до перфорованих дренажних труб, розташованих в радіальному потоці, в загальному випадку є просторовою, а рівняння фільтрації в циліндричних координатах, що застосовується для стаціонарних задач, має вид

(r /r)/r/r+ ² /r^{2 2}+ ² /y²=0 , (5)

яке отримане з рівняння Лапласа (3) введенням потенціалу швидкості фільтрації =-kh. А.І. Мурашко, використавши рівняння (5) при відповідних граничних умовах, отримав розв'язки задач фільтрації до різним чином перфорованих труб. Аналогічні розв'язки отримані М. Маскетом для дрен з поздовжньо-паралельними щілинами обмеженої довжини, а Д. Кіркгемом для стикового зазору в керамічних трубах.

Дослідження дренажних конструкцій не замикалось на теоретичних розв'язках задач фільтрації. У великому обсязі виконувалися досліди по визначенню, як правило, водоприймальної спроможності дрен різних конструкцій (стосовно меліоративного дренажу) в лабораторних та натурних умовах. Великий об'єм досліджень, особливо горизонтального пластмасового дренажу, виконано під керівництвом А.І. Мурашко, дренажу з волокнистими фільтрами - М.Г. Пивовара. Під нашим керівництвом та за розробленою нами методикою проведені лабораторні та польові дослідження дрен різних конструкцій, які працюють в режимі двобічної дії.

Дослідники відмічали розбіжність між припливом до дрени, обчисленим за теоретичними формулами, і припливом, визначеним з дослідів, які проводились з додержанням відповідних граничних умов. Так, за даними А.І. Мурашко приплив до пластмасових дрен складав лише 60-85 % від припливу до досконалої дрени, обчисленому за теоретичними залежностями. Цей факт пояснюється ним, зокрема, тим, що не враховуються суфозійні зміни в прифільтровій зоні, які приводять, в даному випадку, до зменшення фільтраційної витрати. Наші досліди та виконані нами обрахунки експериментальних даних М.Г. Пивовара показали, що приплив до дрени, яка закладається в однорідний та ретельно промитий пісок (переміщення частинок в порах відсутнє), на 30 % і більше перевищує приплив до досконалої дрени. Тобто в даному випадку деформації переорієнтації частинок в придренній зоні приводять до збільшення коефіцієнта фільтрації ґрунту.

Все це вказує на необхідність вдосконалення теоретичних методів розрахунку нарівні з проведенням ретельних експериментальних досліджень. Як раніше нами було показано, особливу дію на приплив до дрени чинить механічна суфозія, яка виникає в придренній зоні, і кольматаж придренного шару ґрунту та захисного фільтра суфозійними частинками. Розглянуті вище теоретичні розв'язки не враховують і не спроможні врахувати суфозійні явища. Всі наведені диференціальні рівняння і розв'язки відповідних задач фільтрації побудовані на припущенні, що коефіцієнт фільтрації ґрунту масиву фільтрації величина постійна.

Деякі вчені, наприклад, М.І. Хрисанов, для опису суфозійних процесів пропонують використовувати диференціальні рівняння геохімічної фільтрації. Однак, вони не можуть бути безпосередньо використані для побудови математичних моделей механічної суфозії, викликаної дією фільтраційного потоку на частинки ґрунту масиву фільтрації. Недоліком такого підходу, коли для описання процесу суфозії (чи кольматажу) використовується закон Фіка, є те, що суфозійні частинки вважаються повністю асоційованими з фільтраційним потоком, тобто конвективне перенесення маси відбувається із швидкістю фільтрації. В цьому випадку при будь-якій невеликій швидкості, відмінній від нуля, повинна виникати суфозія. В дійсності ж, механічна суфозія (рух частинок діаметром d_c0,03 мм; в гідротехнічних спорудах такі ґрунти широко розповсюджені) можлива лише при перевищенні діючими градієнтами напору I критичного значення I_kp для даного середовища, тобто при швидкості фільтрації V більшій за критичну V_kp. Крім цього, механічна суфозія і, відповідно, кольматаж можливі і при фільтрації "чистої" води, в якій в певних зонах масиву фільтрації не міститься жодних речовин.

Аналіз досліджень деформаційних процесів показує, що в процесі механічної суфозії змінюється пористість ґрунту, його коефіцієнт фільтрації, розміри поперечного перетину фільтраційних пор, критичний градієнт напору - практично всі основні характеристики процесу суфозії. Разом з тим методики розрахунку захисних фільтрів, що пропонуються, базуються на тому, що суфозійні частинки проходять кріз них, а гідравлічні параметри потоку і характеристики прифільтрової зони ґрунту при цьому залишаються незмінними. Нами звертається увага на те, що можливі різноманітні наслідки процесу переміщення суфозійних частинок в залежності від конкретних умов, в яких він відбувається. При можливості винесення суфозійних частинок крізь фільтр за межі масиву, що дренується, коефіцієнт фільтрації ґрунту зростає, а значить, змінюються параметри фільтраційного потоку, наприклад, зростає витрата. Коли ж суфозійні частинки не проходять крізь фільтр, а накопичуються в прифільтровій зоні, де діють, як правило, великі градієнти (значно вищі за середні по масиву), створюється ущільнений шар ґрунту, який може суттєво зменшити фільтраційні витрати. Такі процеси, які необхідно вміти прогнозувати через їх значний вплив на роботу дренажних конструкцій і в цілому споруд, не описуються існуючими методиками розрахунку зворотних фільтрів чи фільтраційного розрахунку дрен.

В останні роки в меліоративній практиці поширюються осушувально-зволожувальні системи, які досконаліші за осушувальні, та системи внутрішньогрунтового зволоження. Але незважаючи на великий об'єм досліджень роботи таких систем, фільтраційні деформації довкола труб експериментально практично не вивчені, хоча їх вплив на фільтраційну витрату може бути визначальним. Відсутність необхідних дослідних даних, які б обґрунтовано підтверджували необхідність врахування фільтраційних деформацій, є причиною того, що в усіх розрахунках зволоження, що пропонуються, коефіцієнт фільтрації ґрунту приймався постійним. Неврахування зміни коефіцієнта фільтрації ґрунту k під дією градієнтів напору практично знецінює запропоновані розрахункові залежності.

Методика виконання досліджень.

Досвід показує, що найбільш доцільним підходом до вивчення природних процесів є використання цілеспрямованих модельних методів з високим рівнем математичного опису. При побудові розрахункової математичної моделі, на основі якої можна ставити і вирішувати фільтраційні задачі, пов'язані з перенесенням речовин в природному середовищі або штучних ґрунтових спорудах, нами враховані наступні вимоги: модель повинна відображати основні властивості явища, які визначають перенесення механічних частинок в пористих середовищах і, як наслідок, приводять до зміни характеристик останніх; на основі моделі повинні бути отримані корисні практичні результати за допомогою доступних і достатньо точних математичних засобів (перевага надається пошуку аналітичних розв'язків, за якими можна виконати аналіз процесів, що вивчаються, і які можна використати в інженерній практиці); для параметрів середовища, що входять в модель, повинні бути розроблені методики їх визначення (в лабораторних чи природних умовах); точність результатів, отриманих за допомогою математичного моделювання із введенням відомих параметрів середовища, повинна бути сумірна з точністю визначення цих вихідних даних.

Для дослідження процесу фільтрації традиційно використовується модель геофільтраційного потоку. В цій моделі приймається постійним коефіцієнт фільтрації середовища k_o, що обмежує її застосування в рамках середовищ, що не деформуються. Для опису фільтрації в ґрунтах, в яких під дією фільтраційного потоку виникають процеси механічної суфозії, дана модель стає наближеною, а в певний момент, коли зміна коефіцієнта фільтрації велика, взагалі не може застосовуватися.

Для побудови моделі фільтрації в середовищах, де під дією гідродинамічних сил виникають суфозійні явища, наслідком яких є суттєва і різнопланова зміна структури ґрунту, необхідно виконати поглибленний аналіз цих процесів і отримати їх математичний опис. При цьому береться до уваги, що надмірно детальний опис явища неприйнятний, оскільки використати такі моделі для розв'язання практичних задач через їх складність стане неможливим.

Нами застосовується загальноприйнятий метод побудови математичних моделей з використанням другого закону Ньютона, закону збереження маси і термодинамічного закону стану з окресленням кола сил, що є найбільш впливовими для механічної суфозії. Це дозволяє не відкидати отримані раніше моделі, а органічно їх доповнити і розширити діапазон застосування, використати напрацювання щодо розв'язання крайових задач фільтрації.

Ціленаправленість моделювання розкривається нами шляхом розмежування суфозійних процесів за таким параметром як час. Загальна модель нестаціонарного процесу значно спрощується, якщо розглядати лише кінцевий стан, коли всі процеси переміщення завершуються. Розв'язок задач фільтрації, що відповідають цьому кінцевому стану, має велике практичне значення.

Для перевірки адекватності залежностей для фільтраційної витрати, функції напорів і їх градієнтів, які можна отримати з теоретичних розв'язків задач, необхідно мати надійні систематизовані дослідні дані, які розкривають картину явищ, що виникають довкола дрен та зволожувачів в процесі фільтрації. Ці дані можна отримати на фізичних моделях, які мають перевагу над натурними випробовуваннями в тому, що на таких моделях контролюються всі впливові фактори. Фізичні моделі будуються у повній відповідності з граничними умовами задач фільтрації, що розглядаються. В натурних умовах досягти такого практично неможливо і недоцільно. Тому нами основний об'єм експериментальних досліджень виконано в лабораторних умовах.

Для вивчення одномірного фільтраційного потоку використовувалися напірна і безнапірна установки Дарсі. Дослідження плоского фільтраційного потоку в зоні щілини проводилися на прямокутному лотку з поперечними розмірами 3311 см і загальною висотою 120 см. Радіальний фільраційний потік досліджувався в секторному лотку шириною 33,5 см і кутом між похилими стінками 90. Для вивчення двомірного фільтраційного потоку використовувалися ґрунтові лотки двох типів. В першому досліджувалася робота дренажних конструкцій в підрусловому режимі, в другому - як в підрусловому режимі, так і в режимі інфільтраційного живлення. Ширина лотків 33,5 см. В ґрунтових лотках досліджувалися різні конструкції дрен і зволожувачів (гончарних і пластмасових) без захисту і захищених фільтраційними матеріалами, зокрема, гончарний дренаж (50 мм) при з'єднанні трубок встик і за допомогою муфт-фільтрів, що застосовуються в гідромеліоративній практиці, пластмасовий гофрований та гладкостінний дренаж зовнішнім діаметром 50 та 63 мм з різною перфорацією тощо.

На ґрунтових моделях використовувалися ретельно промиті однорідні піски (фракції) з різними середніми діаметрами і коефіцієнтами фільтрації (грунти №1-№5, №7, №9, №10, №11), суфозійний грунт (№8) і грунт виробничо-дослідної ділянки (№6), гранулометричний склад яких наведений в табл.1.

Мілкопіщані суфозійні ґрунти з вмістом суфозійних частинок біля 5% є найбільш поширеними в поліській зоні і найбільш небезпечними з точки зору розвитку суфозійних процесів.

Досліди на установках Дарсі і ґрунтових лотках проводилися згідно матриць планування. Граничні рівні та інтервали зміни досліджувальних факторів встановлювалися на основі апріорної інформації, яка отримана з літературних джерел та гідравлічної практики. Для компенсації впливу випадкових помилок, спрощення математичної обробки і підвищення точності експериментальних даних, випробування проводились при рівномірному трикратному дублюванні дослідів.

При обробці результатів дослідів, їх узагальненні і перевірці гіпотези адекватності теоретичних розв'язків використовувалися методи математичної статистики: дисперсний і регресивний аналізи, методи найменших квадратів, інтерполяції і екстраполяції. Перевірка гіпотези адекватності теоретичних залежностей виконувалася за допомогою F-критерію Фішера. Оцінка випадкових помилок виконана із застосуванням теорії випадкових явищ шляхом проведення повторних (паралельних) вимірювань. Для виключення впливу систематичних помилок використовувалися різні прилади і інструменти, які періодично повірялися і атестувалися за зразковими мірами.

Для перевірки в натурних умовах результатів лабораторних досліджень фільтрації до дрен різних конструкцій, із зволожувачів в грунт за розробленим нами проектом була побудована дослідно-виробнича ділянка осушувально-зволожувальної системи площею 8,9 га, яка складається з 14 модулів. На кожному модулі вкладено 5 дрен-зволожувачів. Для можливості порівняння теоретичних розв'язків з даними натурних досліджень на базовому модулі, який максимально насичений п'єзометрами, свердловинами і діафрагмовими вимірювачами витрати, були виконані детальні вимірювання всіх необхідних величин.

Теоретичні дослідження сумісного процесу фільтрації і суфозійних деформацій.

При побудові системи диференціальних рівнянь для сумісного опису фільтрації в зернистому середовищі і суфозійних процесів, викликаних дією градієнтів напору, нами розглядається грунт, який складається з відносно нерухомого скелету і суфозійних частинок, що рухаються або можуть перейти в стан руху при певних гідродинамічних умовах в конкретній точці (елементарному об'ємі). Між частинками є простір, який формується в пори складної структури. Нехай n - пористість; m_cк, m_c - відповідно долі об'ємів частинок, що сформовують скелет, та суфозійних частинок в одиниці об'єму грунту. Нами приймається, що

m_cк+ m_c(x, y, t)+ n(x, y, t, m_c)=1, (6)

тобто в дане рівняння входять ефективні величини пористості і об'єму суфозійних частинок, а частинки скелета не переміщуються у просторі. По аналогії з недеформованим середовищем, розглядаючи елементарний об'єм, отримаємо диференціальне рівняння балансу маси для пористого середовища, в якому з фільтраційним потоком рухаються суфозійні частинки, в циліндричних координатах

+

+=0, (7)

де U_r, U , U_z - складові дійсної середньої швидкості руху води в порах; V_cr, V_c , V_cz, - складові середньої швидкості руху суфозійних частинок; _s, - відповідно щільність частинок та густина води.

Для осесиметричної фільтрації (U_r= U, V_cr= V_c) матимемо

. (8)

Оскільки взаємодія фільтраційного потоку з суфозійними частинками відбувається на рівні дійсних швидкостей в досить складній формі і без фазових перетворень, то перехід на фіктивні швидкості руху частинок, коли вони вважаються асоційованими з рідиною, стає неможливим. При наявності в пористому середовищі двохкомпонентного конгломерату, що розглядається, перетворення маси однієї компоненти в масу іншої не відбувається. Вміст кожної з цих компонент всередині фіксованого елементарного об'єму може змінюватися лише за рахунок входу і виходу самої маси цієї компоненти через обмежуючу поверхню. Тому рівняння зміни загальної маси (8) розпадається на два незалежних рівняння зміни маси кожної компоненти, в результаті отримаємо систему

n/+(tr nU)/r r=0, m_c /t - (rm_cV_c)/r r=0. (9)

На основі відсутності фазового перетворення виникає необхідність додатково до закону Дарсі, який описує рух рідини, ввести рівняння для визначення швидкості суфозійних частинок в залежності від характеристик фільтраційного потоку та доповнити ним рівняння системи (9). Для обґрунтування загальної форми такого рівняння нами була розглянута течія Куетта, модифікована до виду, коли рухома площина замінюється на рухому пористу стінку деякої товщини, а також течія між коаксіальними циліндрами, один з яких (наприклад, внутрішній) рухається. В загальному для даних випадків можна записати

 (10)

де V_c - швидкість руху стінки чи циліндра; A, B - параметри, значення яких залежить тільки від геометрії потоку і фізичних характеристик рідини; I - діючий градієнт напору; - дійсна середня швидкість потоку; I_kp, - відповідно градієнт напору і швидкість, при яких починається рух стінки чи циліндра. Як бачимо, рух твердого тіла починається лише при досягненні потоком певної швидкості (градієнта), а швидкість руху V_c пропорційна різниці (або ).

Якщо розглянути аналогічним чином рух суфозійних частинок в зернистому середовищі, то з використанням об'ємної фільтраційної сили, а також формули опору для ламінарної фільтрації, виведеною Д.М. Мінцем на основі значного експериментального матеріалу по фільтрації рідин та газів крізь шари кульок і справедливою для пористих середовищ різноманітної геометричної структури, можна отримати формулу

V_c=(V-V_kp)/n=(k/n)(I-I_kp), (11)

де k_o, n - відповідно коефіцієнт фільтрації і пористість середовища; V- швидкість фільтрації. Формула (11) в межах прийнятих допущень описує рух частинок в порах скелета ґрунту під дією фільтраційного потоку.

Підставивши (11) в (9), отримаємо

(12)

В рівняннях (12) невідомими є величини h, k, n, m_c. Доцільно виразити пористість n і вміст суфозійних частинок m_c через коефіцієнт фільтрації k за допомогою відповідних рівнянь стану. Величину m_c можна знайти з рівняння (6) як функцію пористості

m_c=а_n- n , (13)

де а_n=1-m_cк=const - об'єм, що займають пори і суфозійні частинки в одиниці об'єму ґрунту. Коефіцієнт фільтрації виразимо через пористість, скориставшись, наприклад, формулою В. Мацкрле

k=(k_o/n_o)n=a_кn . (14)

Тоді з врахуванням (13) і (14) з (12) отримаємо систему рівнянь з частинними похідними

(15)

з двома невідомими функціями h=h(r, t), k=k(r, t), де [a]=а, якщо а >0, [a]=0, якщо а0, тобто друге рівняння вироджується до k/ t =0 при k (r, t)a_к а_n або при h/ tI_кр. При цьому: k(r, t)=k_o, якщо r_c(t)rR_o; k(r, t)=k_в, якщо r_orr_в(t), де r_в(t), r_c(t) - відповідно розв'язки рівнянь k(r, t)=k_в і I(r, t)=I_кр; k_в=a_к а_n - граничне значення коефіцієнта фільтрації, який відповідає повному вимиву суфозійних частинок; r_o- радіус свердловини (дрени); R_o - радіус області впливу.

Таким чином, система (15) описує сумісний процес фільтрації в усьому масиві (перше рівняння) і суфозійних деформацій в зоні дії градієнтів напору, вищих за критичні (друге рівняння). Для отриманої системи рівнянь можливі різноманітні постановки задач фільтрації при умові виникнення в межах масиву градієнтів напору вищих за критичні.

Нами показано, що період завершення процесів механічної суфозії t_c значно менший за загальний період роботи дренажних конструкцій. Тому для інженерної практики фільтраційних розрахунків буде достатнім отримати розв'язки відповідних крайових задач при стабілізації деформаційних процесів, коли час t досить великий (близький до періоду t_c), а різниця напорів =H_o-h_o (H_o, h_o - відповідно напори в точках R_o і r_o) є такою, що навколо дрени (свердловини) виникає локальна область, в якій діючі градієнти перевищують критичні значення. Тоді в рівняннях (15) можна покласти k/t=0. В результаті розв'язку рівняння (rk(r)h/r)/r=0, де k(r)=k_o, якщо r_crR_o, k(r)=f(r), якщо r_or<r_c (f(r) - невідома функція, f(r_c)=k_o), при граничних умовах h(r_o)=h_o, h(R_o)=H_o та умовах спряження h(r_c+0)=h(r_c -0), h(r_c+0)=h(r_c -0) матимемо

(16)

де

(17)

В результаті розв'язку рівняння I₂(r_c)=I_kp матимемо =(r_c)/k_oI_kp.

Невідому функцію f(r) шукаємо шляхом розв'язання наступної задачі:

(18)

яка еквівалентна інтегральному рівнянню

. (19)

В результаті розв'язку отримуємо трансцендентне рівняння для знаходження невідомої величини

.(20)

Тоді матимемо /r, тобто

, (21)

Як бачимо з (21) при стабілізації процесу діючий градієнт в усій зоні r_or<r_c постійний і рівний I_кр. Це значить, що при прийнятому в рівнянні (15) постійному значенні критичного градієнта I_кр деформації припиняються тільки тоді, коли діючі градієнти спадають до рівня I_кр. В дійсності ж, в процесі вимиву суфозійних частинок пористість і, відповідно, коефіцієнт фільтрації зростає і вже їх подальший вимив повинен відбуватися при іншому значенні градієнта, тобто критичний градієнт в зоні суфозії змінюється в залежності від зміни коефіцієнта фільтрації - I_kp=I_kp(k(r)). Це узгоджується із залежностями, які отримані дослідним шляхом. Тому, в даному випадку, коли діапазон зміни пористості (коефіцієнта фільтрації) ґрунту невеликий, можна прийняти лінійну залежність I_kp(k), яка для випадку радіальної фільтрації має вигляд

I_kp(k)= I_kpо(k_о/k+), (22)

де , - коефіцієнти, що характеризують вплив зміни коефіцієнта фільтрації на зміну критичного градієнта, +=1; I_кро - критичний градієнт при вихідному значенні коефіцієнта фільтрації k_о. В результаті аналогічного попередньому розв'язку задачі при k/ t=0 для випадку зміни I_кр за формулою (22) отримаємо

(23)

Наведені розв'язки задач фільтрації при стабілізації суфозійних процесів показують, що для більшості практичних задач фільтрації, коли потрібно встановити лише кінцевий ефект суфозійних деформацій, достатньо побудувати локально нелінійні моделі процесу фільтрації, які враховують зміну коефіцієнта фільтрації ґрунту під дією вищих за критичні градієнтів напору.

Для опису збурення коефіцієнта фільтрації ґрунту можна використовувати моделі типу (23), які фактично враховують дію градієнтів напору на грунт. Розв'язки відповідних задач фільтрації при такій постановці значно простіші за нестаціонарні, а отримані аналітичні вирази для функцій напорів, їх градієнтів і фільтраційних витрат можуть бути безпосередньо використані в практичних розрахунках. Необхідні коефіцієнти a, b (або , ), які є характеристиками грунту, можуть бути знайдені з простих дослідів на установці Дарсі за розробленою нами методикою або обчислені з використанням рекомендацій по проектуванню зворотних фільтрів гідротехнічних споруд.

Такий підхід до розв'язання задач фільтрації, коли потрібно знати кінцевий результат впливу деформаційних процесів, нами застосовано для моделювання збурень при фільтрації до дрен у двофракційних та багатофракційних ґрунтах, у випадку циліндричної шаруватості середовища (об'ємні фільтри тощо), а також при фільтрації із зволожувача в грунт, в якому можливий рівномірний та нерівномірний кольматаж.

При моделюванні збурень у двофракційних ґрунтах, в яких суфозійні частинки та частинки, що формують скелет, однозначно характеризуються середніми діаметрами, пропонований підхід полягає в наступному. Стаціонарний процес осесиметричної фільтрації в круговому недеформованому пласті r_orR_o описується, як відомо, за допомогою наступної модельної задачі

(rkh/r)/rr=0, h(r_o)=h_o, h(R_o)=H_o, (24)

де k=k_o- коефіцієнт фільтрації (k_o=const); h_o<H_o (розглядається приплив до дрени (свердловини)); h=h(r) - напір в точці r (на колі радіусом r ), звідки

h(r)=h_o(r)=h_o+ . (25)

Але, у випадку, коли діючі градієнти напору довкола дрени (свердловини) перевищують критичне значення I_kp, в цій зоні виникають суфозійні деформації ґрунту, що приводить до зміни коефіцієнта фільтрації як у просторі, так і в часі. Отже, дана модель (24), що побудована на класичній (лінійній) формі закону Дарсі V=-kI, стає неточною, а в ряді випадків і зовсім непридатною.

Збурення коефіцієнта фільтрації, отже, і градієнта напору можна отримати таким чином. В результаті розв'язку рівняння I_до(r)=I_kp знаходимо r_co - нульове наближення точки-радіуса розділу збуреної (kk_o, I_до(r)> I_kp) та незбуреної (k=k_o, I_до(r)<I_kp) зон: r_co=(H_o-h_o)/I_kpln(R_o/r_o). В зоні збурення r_or<r_co певним чином змінюємо коефіцієнт фільтрації, поклавши k=k(r)=k_o(ar_co/r+b), що відповідає моделі зміни k, отриманої з розв'язку при стабілізації суфозійних процесів і лінійній залежності I_kp=I_kp(k). Напір шукаємо у вигляді h(r)=h₁(r)=h₁₁(r), якщо r_or<r_co, або h₁(r)=h₁₂(r), якщо r_corR_o, де h₁₁(r) та h₁₂(r) є розв'язком таких "неповних" задач

d((ar_co+br) dh₁₁(r)/dr)/dr=0, h₁₁(r_o)=h_o, r_or<r_co,

d(rdh₁₂(r)/dr)/dr=0, h₁₂(r_o)=h_o, r_corr_o

при умовах узгодженості (спряження) в точці розділу зон h₁₁(r_со-0)=h₁₂(r_со+0), dh₁₁(r_со-0)/dr=dh₁₂(r_со+0)/dr. В результаті їх розв'язку матимемо (рис.1)

(27)

де (r_co)=ln(R_o/r_o)+b^-1ln(r_co/(ar_co+br_o)).

Єдиний корінь r=r_c1 (перше наближення точки розділу зон) рівняння I_д1=I_kp задовольняє нерівності r_cor_c1r_o, причому r_c1= (H_o-h_o)/(r_co). Аналогічно знаходимо наступні наближення точки розділу

r_cn=(H_o-h_o) /(r_c(n-1)) , n=2, 3... (28)

Для довільного n має місце нерівність r_cn>r_c(n-1), а відображення (28) є стискаючим. Отже, існує єдина точка r_c збуреної і незбуреної зон, яка може бути знайдена в результаті розв'язку рівняння

r_c=( H_o-h_o)/(b^-1ln(r_c/(a r_c+br_o))+ln(R_o/r_c)) (або r_c=). (29)

Відповідні цьому значенню r_c функції розподілу напорів та їх градієнтів будуть

(30)

де (r_c)=ln(R_o/r_c)+b^-1ln(r_c/(ar_c+br_o)).

Приплив до дрени обчислюється за формулою q=2k_o(H_o-h_o)/(r_c), з якої бачимо, що на q суттєво впливають процеси (збурення), що відбуваються в ґрунті на ділянці r_or<r_c, і інтенсивність яких, в свою чергу, залежить від характеристик ґрунту (а, b), розміру контура живлення (R_o) та конструктивних параметрів дрени (r_o). У випадку, коли k(r)=k_o=const, тобто навколодренна зона не збурюється, формулу для витрати можна перетворити до виду q=2k(H_o-h_o)/ln(R_o/r_o), в якому вона традиційно використовується при визначенні припливу до одиночної горизонтальної пористої дрени при круговому контурі живлення. В роботі розглянуто і інші моделі формування коефіцієнта фільтрації збуреної зони, в якій I_д>I_kp.

При моделюванні збурень у багатофраційних ґрунтах в умовах задачі вводиться не одне, а діапазон (спектр) значень критичного градієнта, який відповідає спектру діаметрів суфозійних частинок. Якщо I_kp1 та I_kp2 - відповідно мінімальне та максимальне значення критичного градієнта, то можна виділити три зони: r_or - зона повного вимиву суфозійних частинок всіх діаметрів, коефіцієнт фільтрації k=k₂>k_o; r - зона часткового вимиву суфозійних частинок відповідно до проміжних значень критичного градієнта, зміну коефіцієнта фільтрації можна описати залежністю k=k₁(r)=k_o(a/r+b); r R_o - незбурена зона, k=k_о(k_о=const), де a=(k₂-k_o)/(-)k_о , b=1-a. Значення радіусів розділу зон на нульовому кроці знаходяться з рівнянь I_д=I_kpі , і=1,2, і обчислюються за формулою =(H_o-h_o)/ (рис.2). Тоді по аналогії з попереднім рівняння для знаходження точок розмежування зон мають вигляд

, (31)

де

Питомий приплив води до дрени в даному випадку визначається за формулою

q=/ , (32)

де

Відмітимо, що у випадку, коли діючі градієнти перевищують на певному відрізку значення критичного градієнта для максимального розміру суфозійних частинок то в рівняння для напору h(r), градієнта I(r) та точок розділу і не входять коефіцієнти a і b з наведеної моделі (k=k₁(r)), які кількісно характеризують здатність ґрунту змінювати коефіцієнт фільтрації під дією градієнтів. Це викликано тим, що вже спочатку стає відомим максимальне значення коефіцієнта фільтрації а отже точки 1 і 2 (рис.2) зафіксовуються (коли у попередньому випадку вводився один критичний градієнт, то це означало, що крива не досягла точки 2, тобто ).