Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

• Введение
• 1. Гипотезы о природе масштабного эффекта
• 2. Аналитические исследования масштабного эффекта
• Вывод
• Список литературы

Введение

При конструировании деталей механизмов и машин, зданий и сооружений инженеры неизбежно сталкиваются с проблемой прочности, которая предполагает поиск компромисса между силовыми воздействиями на объект, его физико-механическими свойствами, размерами, назначением, понесенными затратами. По этому поводу написаны сотни книг и статей, в физике определилось самостоятельное направление - механика разрушения.

В процессе многолетних исследований было установлено, что прочность геометрически подобных объектов не остается постоянной. Это явление было названо масштабным эффектом, а причины его вызывающие - масштабными факторами. Особенно сильно масштабный эффект проявляется в том случае, если материал изучаемого объекта является структурно неоднородным. К таким материалам относятся, прежде всего, массивы горных пород, в которых сооружаются выработки различного назначения, в том числе и долговременного использования. Породные массивы содержат неоднородности структуры различных размеров, трещины и текстурные особенности, которые в совокупности оказывают на него ослабляющее влияние с точки зрения прочности.

1. Гипотезы о природе масштабного эффекта

Неоднородность реальных твердых тел, в том числе и горных пород, является главной причиной того, что по отношении к ним наблюдается существенное отклонение от закона подобия. Это невыполнение является следствием геометрических размеров деформируемых твердых тел, и в связи с этим, причины, его вызывающие, называют масштабным фактором, а само явление - масштабным эффектом.

Известен масштабный эффект давно. Еще в 1907 г. Дэниэлс и Мур показали, что с увеличением линейных размеров образцов антрацита прочность их существенно снижается. Первой аналитической работой, объясняющей масштабный эффект, имевший место в опытах со стеклом, была работа А. Гриффитса, появившаяся в 1921 г. Позднее в 1933 г.А.П. Александров и С. Н Журков также, экспериментируя подобно А. Гриффитсу со стеклянными нитями, наиболее полно исследовали зависимость их удельной прочности от диаметра. Было показано, что с увеличением диаметра средняя прочность 18нитей уменьшается с одновременным уменьшением разброса данных.

Работами А.Ф. Иоффе и его учеников было установлена интересная и важная особенность: масштабный эффект существенно проявляется при деформировании материалов, склонных к хрупкому разрушению, и значительно менее выражен при испытаниях материалов, разрушающихся вязко.

Обширные исследования проявлений масштабного эффекта по отношению к металлам были выполнены B. B. Чечулиным, а применительно к углям С.Е. Чирковым. В последней работе отмечается, что все исследователи масштабного эффекта в углях приходят к единому выводу: увеличение размеров испытуемых образцов приводит к существенному снижению их прочности.

масштабный эффект горная порода

Результаты же испытаний горных пород и некоторых иных материалов, выполненных, различными авторами на геометрически подобных образцах далеко не столь однозначны. По итогам их можно разделить на четыре группы:

1. С увеличением размеров образцов относительная прочность их падает;

2. С увеличением размеров образцов относительная прочность их растет;

3. С увеличением размеров образцов до определенного предела относительная прочность их растет, а затем асимптотически падает до некоторой постоянной величины;

4. С изменением размеров образцов прочность их остается постоянной.

Результаты второй группы опытов были получены при испытаниях образцов каменной соли, обладающей существенной вязкостью. Они требуют, видимо особого анализа и трактовки. Испытания других литологических разностей не показали однозначного увеличения относительной прочности с увеличением размеров образцов. Результаты опытов, отнесенные к четвертой группе, немногочисленны и резко отличаются от большинства известных аналогичных исследований.

Анализируя результаты своих опытов и известных в литературе, М.И. Койфман в 1959 г. предложил различать масштабные эффекты первого и второго рода.

Масштабный эффект первого рода, или объемный, связан со структурной неоднородностью испытуемого материала, наличием случайно распределенных по объему дефектов.

Масштабный эффект второго рода, или поверхностный, связан с качеством обработки поверхности испытуемых образцов и степенью разрушения (деструкции) приповерхностного слоя.

Масштабный эффект первого рода М.И. Койфман назвал главным.

Поверхностный масштабный эффект существенно сказывается при испытаниях образцов малых размеров. В зависимости от характера поверхностных дефектов он может в одних случаях усилить главный масштабный эффект, а в других уменьшить. При переходе же от образца к массиву основным является главный масштабный эффект.

Интересная классификация проявлений масштабного эффекта предложена М.В. Рацем. В горных породах выделяются неоднородности четырех порядков в зависимости от размеров исследуемой области (от 10^-6 до 10⁶ см). Масштабный эффект проявляется в том, что все моменты вероятностного распределения конкретного признака изменяются с изменением размеров области воздействия.

В соответствии с этим выделяются масштабные эффекты I, II и III рода, которые характеризуются, соответственно, распределениям Вейбулла, логарифмически нормальным и нормальным. Масштабный эффект I рода соответствует тому, который имеет место при испытаниях породных образцов разных размеров.

Одна из первых гипотез, объясняющих природу масштабного эффекта, принадлежит А.П. Александрову и С.Н. Журкову. Реальные твердые тела всегда содержат внутренние дефекты в виде вакансий, дислокации, трещин, включений микрообъемов разной прочности, распределенных по объему случайным образом. Чем больше объем тела, тем больше в нем дефектов, тем ниже его прочность. Особенно отчетливо статистическая природа прочности твердых тел отражена в работе В. Вейбулла.

Гипотезы, объясняющие масштабный эффект с позиций наиболее слабого звена, получили названий статистических. Согласно статистической гипотезе всегда существует закономерный разброс экспериментально определяемых значений прочности, причем, чем мельче образцы, тем меньше вариация значений прочности.

Имеются и иные объяснения природы масштабного эффекта. Так, например, А. Уэлс и Н.Н. Давиденков высказали предположение, что причина снижения прочности крупных образцов заключается в том, что система "испытательная машина-образец" накапливает больше упругой энергии, чем при разрушении образцов малого размера.

И.А. Одинг объяснил масштабный эффект неодинаковой технологией изготовления образцов разного размера.

В.В. Лавров, производя опыты со льдом, пришел к выводу, что причина снижения прочности крупных образцов кроется в наличии микротрещин, которых всегда больше в большем объеме.

Б.В. Матвеев связал масштабный эффект со структурой и видом напряженного состояния деформированного твердого тела. Им рассмотрен ряд статистических задач, в которых функция вероятности разрушения структурных элементов принимается по В. Вейбуллу. Сам процесс разрушения зависит от вида напряженного состояния и от склонности материала к хрупкому или вязкому разрушению. Рассматривая часто встречающийся в геомеханике случай объемного сжатия хрупкого тела, Б.В. Матвеев существенно опирается на работу Л.Г. Седракяна. Конечные формулы подтверждают выявленную экспериментально тенденцию снижения прочности при испытаниях крупных образцов.

Более общие аналитические работы, направленные на оценку масштабного эффекта в твердых телах со статистической точки зрения, были выполнены С.Д. Волковым и В.В. Болотиным. В них отмечается, что масштабный эффект имеет место во всех материалах при любых напряженных состояниях, но особенно ярко он выражен для хрупких материалов, находящихся в условиях объемного сжатия.

Г.П. Черепанов, исходя из анализа размерностей, показал, что наличие в неоднородном хрупком материале с гипотетически дефектами поверхностной энергии разрушения приводит к зависимости прочности от размера структурного элемента как на квантово-механическом, так и на макроуровне.

Зависимость эта однозначна: увеличение объема испытуемого материала всегда ведет к снижению его относительной прочности.

А.Н. Полипов, также используя энергетический подход, объясняет масштабный эффект тем, что упругая энергия, накапливаемая в теле, пропорциональна объему, а разрушение материала происходит по некоторой поверхности и работа разрушения пропорциональна площади сечения; это неизбежно приводит к зависимости относительной прочности от абсолютных: размеров тела. Поскольку волны напряжений и деформаций, а, следовательно, и энергия, не могут распространяться в материале со скоростью, большой скорости упругих волн, то при некоторой критической длине образца должна исчезнуть зависимость прочности от размеров тела.

Подводя итоги исследований, посвященным объяснению природы масштабного эффекта, можно отметить следующие важные положения:

теоретические и лабораторные исследования в подавляющем своем большинство показывают, что с увеличением объема прочность твердых тел падает;

масштабный эффект существенно зависит от структуры материала и вида напряженного состояния.

2. Аналитические исследования масштабного эффекта

Аналитическое описание отличия прочности системы (агрегата) от прочности его структурных элементов дано в работа, основанных на статистических теориях прочности.

Так, опираясь а асимптотическое выражение В. Вейбулла для плотности распределения наименьших значений прочности (прочности дефектов) в некотором объеме, В.В. Болотин [77] получил следующую формулу для математического ожидания прочности тела, имеющего заданный объем V:

(1)

Здесь функция g (R) определяет некоторую область, в которой функция напряжений Rф (x, y,z), определенная во всей рассматриваемой области пространства, превышает минимальную прочность дефекта S_0:

(2)

где S0= б Rc - минимальная прочность дефекта; уc= - параметр, имеющий размерность напряжений;

Rc - средний предел прочности эталонного образца; a, b, б - коэффициенты статистического представления, определяемые на основании испытания образцов различного объема.

Интеграл (2) представляет собой некоторый приведенный объем V*. После ряда преобразований выражение для математического ожидания прочности тела принимает вид:

_{, (}3)

где V₀ - эталонный объем испытываемого образца.

Величина представляет собой, по сути, коэффициент структурного ослабления. Применительно к горному массиву сложно трактовать понятие приведенного объема. Массив изначально напряжен, т.е. если положить прочность дефекта равной нулю, в любой точке тела (массива) напряжения будут превосходить прочность дефекта, т.е. V* будет стремиться к бесконечности.

Следовательно, прочность всего тела, т.е. массива, будет стремиться к нулю.

Этот результат абсурден, и, очевидно, не должен рассматриваться. Но если даже положить прочность дефектного элемента некоторой константой, отличной от нуля, область, где действующие напряжения превосходят минимальную прочностную характеристику, согласно известным решениям будет сопоставима с размерами обнажения, но во много раз превышать величину эталонного образца.

Отношение опять таки будет близким к нулю.

Уравнения, полученные В.В. Болотиным, хорошо описывают масштабный эффект для тел ограниченных объемов и широко используются в машиностроении. Однако автоматическое перенесение их в геомеханику не дает желаемых результатов.

Большой вклад в развитие статистических теорий прочности внесли труды Л.Г. Седракяна, следуя которым, породную среду следует рассмотреть как конструкцию, состоящую из отдельных параллельно работающих элементов различной прочности. При разрушении одного из них нагрузка перераспределяется между уцелевшими элементами. Пусть на конструкцию действует нагрузка:

(4)

Элементы с пределом прочности, меньшим, разрушаются. Число этих элементов n_R/

Вероятность встречи такого элемента в конструкции по классическому определению вероятности равна:

(5)

При известной функции распределения предела прочности элементов F (R) вероятность того, что элемент имеет прочность, меньшую Rc, равна:

) =P ( (6)

Тогда ( (7)

Число неразрушенных элементов составит . Значения напряжений в уцелевших элементах после перераспределения нагрузки между ними возрастает и станет равным

. (8)

Теперь разрушатся элементы, предел прочности которых хотя и больше Rc, но меньше последнего выражения. После разрушения этой группы элементов нагрузка передается на еще меньшее количество элементов. Процесс постепенного разрушения элементов прекратится, когда напряжения в уцелевших элементах станут меньше предела их прочности. Значения напряжения в уцелевшем элементе обозначим R. Число разрушенных элементов, соответствующее устойчивому состоянию конструкции равно NF (R).

Число уцелевших элементов определится выражением . С другой стороны

(9)

Отсюда (10)

Или (11)

где P (R) - плотность распределения прочности элементов.

Соотношение (11) дает связь между средним напряжением Rм и местным напряжением R. Значение предела прочности конструкции равно максимальному значению Rм, определенному из (11). Таким образом, предел прочности породного массива в варианте Л.Г. Седракяна определится выражением R_m=max ( (12)

Конкретный вид выражения (12) зависит от выбора функции распределения прочности структурных элементов массива, в отношении которой могут выдвигаться различные гипотезы. Разрушение структурного элемента можно рассматривать как "отказ" системы, связанный с выходом из строя наиболее слабого звена. Распределение Вейбулла получено именно как распределение крайних значений в выборке и широко используется в статистических моделях, связанных с надежностью систем, например, как распределение времени безотказной работы системы.

Интегральная функция плотности распределения Вейбулла имеет вид:

^о) (13)

где о,у₀ - параметры распределения.

Тогда средняя прочность системы (массива) в соответствии с выражением (12) равна:

R_m=max

Минимизируя выражение в фигурных скобках получим:

R_m= (14)

Выражение (14) определяет прочность пород в массиве с учетом случайно распределенных дефектов. Используя его можно получить коэффициент структурного ослабления. Лабораторные образцы пород можно рассматривать как структурные элементы системы. Их средняя прочность в соответствии с принятой гипотезой равна математическому ожиданию случайной величины, распределенной по закону Вейбулла.

Математическое ожидание и дисперсия для распределения Вейбулла выражаются через параметры распределения следующим образом:

M (R) =

D=,

где Г (t) - гамма-функция Тогда коэффициент структурного ослабления равен:

Полученное выражение определяет коэффициент структурного ослабления массива только в зависимости от параметра формы н кривой распределения Вейбулла.

С одной стороны, простота в математическом плане является достоинством полученной зависимости, но с другой - снижает эффективность величины k_с как характеристики объекта: степень снижения прочности системы по отношению к прочности ее элементов зависит только от параметра, физическая сущность которого не очевидна.

Интегральная функция нормального распределения имеет вид:

F (R) =

где a,у - параметры распределения, соответственно равные математическому ожиданию и среднеквадратическому отклонению случайной величины.

Путем замены переменной эту функцию приводят к нормированному виду и выражают через табулированные в справочниках так называемые интегралы вероятностей. Поскольку в данном случае идет речь о величине, принимающей только положительные значения, автор счел возможным использовать в качестве функции распределения интеграл:

erf t= (15),

где t - параметр, определяемый выражением:

t= (16)

Продифференцировав выражение (11) с учетом (15) по t и приравняв его к нулю, получим уравнение:

) exp (²=0 (17)

где t* - решение уравнения (17), з - коэффициент вариации прочности, равный у /a.

Решая уравнение (17) методом приближений, получим зависимость t*=f (з). С ошибкой, не превышающей 8 %, эта кривая может быть представлена в аналитическом виде

(18)

При t = t* заменим в выражении (16) R на Rm и получим

(19)

Приравнивая правые части уравнений (17) и (19) получим выражение для определения средней прочности массива на одноосное сжатие

(20)

Полученное выражение для средней прочности массива использовалось для определения коэффициента структурного ослабления.

Поскольку математическое ожидание нормально распределенной величины равно параметру а, формула для определения коэффициента структурного ослабления, в случае принятия гипотезы о нормальном распределения прочности структурных элементов, имеет вид:

= (21)

Полученная зависимость связывает коэффициент структурного ослабления с реальной характеристикой - вариацией значений прочности относительно своего среднего. Для идеально однородной среды з =0 и коэффициент структурного ослабления равен единице. По мере увеличения вариации данных, то есть с ростом неоднородности среды величина kс уменьшается.

Исследуем подробнее поведение функции (21). Предел функции при з > ?, найденный по правилу Лопиталя, равен единице. Это значит, что в области своего определения функция (21) должна иметь экстремум. Действительно, исследование первой производной показывает, что при з =2 имеет место минимум, значение которого составляет 0,39.

То есть, в соответствии с формулой (21) коэффициент структурного ослабления не может быть ниже значения kс=0,39 даже при сколь угодно больших значениях относительной вариации прочности. Очевидно, что этот факт не соответствует реальности. Выше упоминалось, что для углевмещающих пород величина коэффициента структурного ослабления может принимать значения 0,2…0,6. Значения коэффициента структурного ослабления, получаемые из выражения (21), завышены, поскольку автором искусственно исключена из рассмотрения вероятность появления отрицательных величин путем использования функции Лапласа, ограниченной слева, в то время как график плотности распределения вероятностей в соответствии с законом Гаусса простирается и в отрицательную область, что должно быть учтено при интегрировании. Эта ошибка тем больше, чем выше неоднородность рассматриваемого объекта, т.е. чем выше значение дисперсии случайной выборки.

Завершая обзор работ, посвященных количественной оценке масштабного эффекта в горных породах, следует отметить, что на настоящий момент по сути дела нет общепринятой методики определения коэффициента структурного ослабления, в основе которой лежала бы адекватная физическая модель, учитывающая основные ослабляющие микро - и макродефекты, структуру и тектоническую нарушенность породных массивов, а также особенности их нагружения.

Вывод

Исследование реальной прочности сложноструктурного породного массива, содержащего дефекты структуры в виде систем трещин, является одной из наиболее сложных и самых интересных задач геомеханики. В тоже время, это и практически важная задача, на основе которой выполняется оценка устойчивости подземных выработок, определяются инженерные мероприятия по ее обеспечению и устанавливаются затраты, соответствующие назначению объекта.

В настоящей реферативной работе были рассмотрены вероятностно-статистические модели породной среды с точки зрения ее прочности. Предлагаемая методика позволяет обойтись минимальным количеством исходных данных, а глубокий анализ стохастической природы объекта и законов распределения прочности делает рассматриваемые модели достаточно адекватными и надежными. Все это в совокупности позволяет надеяться, что предлагаемые зависимости найдут применение при проектировании подземных выработок различного назначения и установленные закономерности помогут глубоко понять природу масштабного эффекта в горных породах.

Список литературы

1. Шашенко А.Н., Пустовойтенко В.П. Механика горных пород. К.: Новый друк, 2003. - 309 с.

2. Шашенко А.Н., Сдвижкова Е.А., Кужель С.В. Масштабный эффект в горных породах: Монография. Донецк: Издательство "Норд-Пресс", 2004. - 126 с.

Размещено на Allbest.ru