Размещено на http://www.allbest.ru/

Кубанский Государственный Технологический Университет, г. Краснодар

Моделирование динамики нефтяного пятна в прибрежной области

Чередниченко Владимир Георгиевич,

старший преподаватель кафедры Физики,

Оби Эммануэль Оду,

аспирант кафедры физики

Моделирование динамики нефтяного пятна является важным инструментом для определения направления движения нефти, разлитой в море. Это позволяет, при наличии разлива в прибрежной области, своевременно предсказать направление движения пятна, время, которое потребуется ему, чтобы достичь берега и оценить возможные экологические последствия для подвергшейся загрязнению береговой зоны. Результаты моделирования смогут помочь правительству и спасательным службам заблаговременно спланировать все необходимые меры на случай непредвиденного разлива нефти и дают возможность выбрать наилучший метод очистки окружающей среды, если разлив все-таки произойдет. Как только характер движения нефтяного пятна становится известным, в нужных местах может быть установлено необходимое очистное оборудование, что поможет избежать экологической катастрофы [3].

В настоящей статье рассматривается математическая модель динамики нефтяного пятна на основе двумерного уравнения нестационарной диффузии при наличии конвективного поля скоростей:

, (1)

здесь C - концентрация нефти, кг/м²; t - время, с; v_x, v_y - компоненты вектора скорости течения, в общем случае зависящие от времени, м/с²; x,y - декартовы координаты; K - коэффициент турбулентной диффузии, м²/с. и функция f (C) описывает процесс деструкции пятна. Дополнительно к данному уравнению использовались краевые условия, приведенные ниже.

Для численного решения краевой задачи можем применялся неявный алгоритм переменных направлений при наличии регуляризации конечно-разностной схемы конвективно-диффузионного процесса. Данная схема показала хорошую устойчивость и аппроксимацию во всем интересующем диапазоне скоростей.

Остановимся вкратце на основных моментах решения указанной краевой задачи.

Исходная краевая задача.

Рассмотрим двумерное нестационарное уравнение конвективной диффузии:

, (2)

(3)

Перейдем в уравнении (2) к следующим обозначениям:

(4)

Сведение к цепочке одномерных задач.

С целью построения экономичного вычислительного алгоритма сведем задачу (3), (4) к цепочке одномерных задач посредством метода суммарной аппроксимации [1]. Для этого представим уравнение (4) в виде суммы "одномерных" уравнений:

(5)

Каждый временной интервал шириной разобьем на две части и, обозначив -полуинтервал , будем последовательно решать уравнения

, (6)

Полагая при этом

. (7)

Решением этой задачи будем считать

Конечно-разностная аппроксимация.

Каждое из "одномерных" уравнений (6) заменим неявной 2-слойной разностной схемой, аппроксимируя и соответствующими разностными выражениями на сетке с шагами :

, (8)

где. При построении разностного оператора необходимо учесть следующее обстоятельство: наличие в операторе (3) конвективного слагаемого с произвольным значением требует построения специальной монотонной схемы, удовлетворяющей требованиям аппроксимации и устойчивости вычислительного процесса [1]. С этой целью, заменим оператор возмущенным оператором

(9)

Представим в виде суммы

и аппроксимируем выражением , где . В результате указанной аппроксимации мы получаем следующее выражение:

(10)

Подставляя полученное выражение (10) в (8), получаем на каждом временном полушаге следующее трехдиагональное матричное уравнение:

, (11)

, (12)

которое решается стандартным методом прогонки с затратой машинного времени порядка .

В силу построения оператора (10) погрешность аппроксимации есть . Коэффициенты трехдиагональной матрицы (12) удовлетворяют условию принципа максимума для матричного уравнения (12): , что гарантирует устойчивость вычислительной процедуры метода прогонки [1].

Таким образом для решения исходной задачи (2), (3) применяется экономичный локально одномерный алгоритм, согласно которому, на каждом временном подынтервале решаются трехдиагональные матричные уравнения (11) с коэффициентами (12). Решения этих уравнений образуют цепочку (7) с начальным и конечным значениями искомой величины и на каждом временном шаге. Указанная схема обеспечивает первый порядок аппроксимации по временному и второй порядок по пространственному шагам и обеспечивает безусловную устойчивость счета при любых . Полученный программный комплекс, названный "slickmovement”, использовался для моделирования нефтяного разлива в прибрежных водах Республики Нигерии.

Для изучения разлива нефти были выбрана точка, расположенная в 70 км (5⁰33'16.30" северной широты и 4⁰06'11.94" восточной долготы) от Нигерийской береговой линии. Расчеты проводились для дождливого (с апреля по ноябрь) и сухого (с декабря по март) сезонов, характерных для тропического климата нигерийского побережья.

Течение в прибрежных водах Нигерии в сезон дождей имеет скорость 30 см/с и достигает морского дна в местах с глубинами менее 50 м, [2]. В сухой сезон нефтяное пятно перемещается течением Benguela. Shannon (1985), собрал всю доступную информацию о поверхностной скорости из предыдущих исследований и вычислил среднюю скорость течения Benguela, которая получилась равной 17 см/с. Wedepohl (2000), нашел что средние скорости течения изменяются от 11 см/с до 23 см/с.

Результаты эксперимента представлены на рис.1-6.

Первоначальная площадь разлива нефти была принята равной 78.5 км². Расположение разлива и направление поверхностного течения представлены на рисунке 1.

Рис.1. Начальное положение нефтяного пятна и течение в прибрежных водах Нигерии в сухой сезон.

Рис.2. Смещение нефтяного пятна через 16 часов в сухой сезон.

Мы можем легко проследить траекторию нефтяного пятна и узнать место, где произойдет его выход на берег.

Рис.3. Траектория движения нефтяного пятна в сухой сезон.

Для сезона дождей поведение нефтяного разлива представлено на рис.4,5 и 6.

Рис.4. Начальное положение нефтяного пятна и течение в прибрежных водах Нигерии в сезон дождей.

динамика нефтяное пятно моделирование

Рис.5. Смещение нефтяного пятна через 12 часов в сезон дождей.

Рис.6. Траектория нефтяного пятна в сезон дождей.

Согласно результатам моделирования, траектория нефтяного разлива будет иметь вид, как показано в рис.6. Разница во времени, через которое нефть достигнет берега, обусловлена сезонной разницей в скорости и направлении течения.

Результаты моделирования показывают зависимость нефтяного разлива, траектории движения нефтяного пятна и времени достижения береговой линии от сезонного характера морского течения в изучаемой области.

Литература