Неустановившееся движение газа в пористой среде (дифференциальные уравнения Л.С. Лейбензона)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

УФИМСКИЙ ГОСУДАРТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра разработки и эксплуатации

газовых и газоконденсатных месторождений

Курсовая работа по дисциплине

«Подземная гидромеханика»

на тему:

«Неустановившееся движение газа в пористой среде

(дифференциальные уравнения Л.С. Лейбензона)»

Введение

Подземная гидромеханика - наука о движении жидкостей, газов и их смесей в пористых и трещиноватых горных породах. Она является той областью гидромеханики, в которой рассматривается не движение жидкостей и газов вообще, а особый вид их движения- фильтрация, которая имеет свои специфические особенности. Она служит теоретической основой разработки нефтяных, газовых и газоконденсатных месторождений. Вместе с тем методами теории фильтрации решаются важнейшие задачи гидрогеологии, инженерной геологии, гидротехники, химической технологии и т. д. Расчет притоков жидкости к искусственным водозаборам и дренажным сооружениям, изучение режимов естественных источников и подземных потоков, расчет фильтрации воды в связи с сооружением и эксплуатацией плотин, понижением уровня грунтовых вод, проблемы подземной газификации угля, задачи о движении реагентов через пористые среды и специальные фильтры, фильтрация жидкостей и газов через стенки пористых сосудов и труб - вот далеко не полный перечень областей широкого использования методов теории фильтрации.

Начало развитию подземной гидромеханики было положено французским инженером А- Дарси (1803-1858 гг.). который в процессе работы над проектом водоснабжения г. Дижона (Франция) провел многочисленные опыты по изучению фильтрации воды через вертикальные песчаные фильтры.

В опубликованной в 1856 г. замечательной книге А. Дарси дал подробное описание своих опытов и сформулировал обнаруженный им экспериментальный закон, в соответствии с которым скорость фильтрации жидкости прямо пропорциональна градиенту давления.

В эти же годы другой французский инженер Ж. Дюпюи (1804-1866 гг.) опубликовал монографию, в которой впервые изложил гидравлическую теорию движения грунтовых вод, вывел формулы для расчета дебитов колодцев и дрен, названные его именем, решил другие фильтрационные задачи.

Л. С. Лейбензон (1879-1951 it. ) - основатель советской школы ученых и специалистов, занимающихся развитием теории фильтрации применительно к проблемам разработки нефтяных и газовых месторождений.

Теоретические и экспериментальные исследования Л. С. Лейбензона начались в 1921 г. в Баку. Ему принадлежит приоритет в постановке и решении ряда задач нефтегазовой и подземной гидромеханики. Им проведены первые исследования по фильтрации газированных жидкостей, сформулированы задачи нестационарной фильтрации при расчетах стягивания контуров нефтеносности при вытеснении нефти водой, получены фундаментальные результаты в развитии теории фильтрации природного газа.

Обобщение этих исследований приведено в обширной монографии «Нефтепромысловая механика», я которой, по существу, впервые изложены осноды нефтегазовой подземной гидромеханики.

Трудами учеников и последователей академика Л. С. Лейбензона сложилась школа, которая по праву называется школой Л. С . Лейбензона.

В последние годы ведутся интенсивные исследования в области гидрогазодинамического обоснования повышения степени извлечения углеводородов из недр, Это обусловлено исчерпанием легкодоступных запасов нефти и газа, усложнением горно-геологических и термобарических условий разработки месторождений. Наступает новый этап развития нефтегазовой подземной гидромеханики, в течение которого главным направлением исследований будет достижение достаточно высоких коэффициентов нефтегазоотдачи пластов.

Следует отметить, что фундаментальные гидродинамические аспекты этой проблемы успешно развиваются работами исследователей, которые широко привлекают методы термодинамики, физики, химии, а также современный аппарат математического описания сложных фильтрационных процессов.

Основоположниками отечественной школы теории фильтрации являются профессор И.Е. Жуковский, академики Н.Н- Павловский, Л. С. Лейбензон. Исследования этих выдающихся ученых, их многочисленных учеников и последователей стали фундаментальной основой развития теории фильтрации в нашей стране.

Н.Е. Жуковский (3847-1921 гг.) в 1S89 г. опубликовал первую работу по теории фильтрации «Теоретическое исследование о движении подпочвенных вод». Им впервые выведены общие дифференциальные уравнения теории фильтрации, показано что напор как функция координат удовлетворяет уравнению Лапласа, указано на. математическую аналогию теплопроводности и фильтрации. Им исследованы также вопросы капиллярного поднятия воды в пористой среде решен ряд задач о притоке воды к скважинам.

Н.Н. Павловскому (1884-1937 гг.) принадлежит определяющая роль В развитии теории фильтрации в гидротехническом направлении. В о публике ваян ой монографии «Теория движения грунтовых вод под гидротехническими сооружениями и ее основные приложения» изложена разработанная им строгая математическая теория движения грунтовых вод под гидротехническими сооружениями. Им впервые многие задачи фильтрации воды были сформулированы как краевые задачи математической физики. Н.Н. Павловский впервые обосновал и предложил применение метода электрогидродинамической аналогии (ЭГДА) для решения фильтрационных задач, что в последующем нашло широкое применение для решения задач фильтрации воды, нефти и газа в неоднородных коллекторах.

Н.Н. Павловский впервые предложил использовать параметр Рейнольдса а качестве критерия существования закона Дарси, что имеет важное значение для исследования законов сопротивления при фильтрации, Фундаментальные результаты в развитии теории движения грунтовых вод получены академиком П. Я. Полубариновой-Кочиной.

Л. С. Лейбензон (1879-1951 гг. ) - основатель советской школы ученых и специалистов, занимающихся развитием теории фильтрации применительно к проблемам разработки нефтяных и газовых месторождений.

Теоретические и экспериментальные исследования Л. С. Лейбензона начались в 1921 г. в Баку. Ему принадлежит приоритет в постановке и решении ряда задач нефтегазовой и подземной гидромеханики. Им проведены первые исследования по фильтрации газированных жидкостей, сформулированы задачи нестационарной фильтрации при расчетах стягивания контуров нефтеносности при вытеснении нефти водой, получены фундаментальные результаты в развитии теории фильтрации *природного газа.

Обобщение этих исследований приведено в обширной монография «Нефтепромысловая механика», в которой, по существу, впервые изложены осноды нефтегазовой подземной гидромеханики.

Трудами учеников и последователей академика Л. С. Лейбензона сложилась школа, которая по праву называется школой Л. С . Лейбензона.

§ 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ НЕУСТАНОВИВШЕЙСЯ ФИЛЬТРАЦИИ ГАЗА

1.1 Вывод дифференциального уравнения Лейбензона

Основы теории движения газа в пористой среде были разработаны основателем советской школы нефтегазовой гидромеханики академиком Л. С. Лейбензоном. Он впервые получил дифференциальные уравнения неустановившейся фильтрации совершенного газа в пласте по закону Дарен. Полученное им нелинейное дифференциальное уравнение параболическою типа впоследствии было названо уравнением Лейбензова.

При выводе указанного уравнения предполагалось, что коэффициенты пористости и проницаемости не изменяются с давлением, т.е. пласт недеформируем, вязкость газа также не зависит от давления, газ совершенный. Принимается также, что фильтрация газа в пласте происходит по изотермическому закону, т.е. температура гида и пласта остается неизменной по времени. Впоследствии один из учеников Л. С. Лейбензона - Б.Б. Лапук в работах, посвященных теоретическим основам разработки месторождений природных газов. Показал, что неустановившуюся фильтрацию газа можно приближенно рассматривать как изотермическую, так как изменения температуры газа, возникающие при изменении давления, в значительной мере компенсируются теплообменом со скелетом пористой среды, поверхность контакта газа с которой огромна. Однако при рассмотрении фильтрации газа в призабойной зоне неизотермичность процесса фильтрации сказывается существенно вследствие локализации основного перепада давления вблизи стенки скважины. Кстати, на этом эффекте основано использование глубинных термограмм действующих, скважин для уточнения профиля притока газа по толщине пласта (глубинная дебитометрия). При рассмотрении процесса фильтрации в пласте в целом этими локальными эффектами допустимо пренебрегать.

Для вывода дифференциального уравнения неустановившейся фильтрации совершенного газа воспользуемся уравнением, которое справедливо для любого сжимаемого флюида

(1)

где коэффициенты проницаемости (k) и вязкости (динамической ) постоянны.

Функция Лейбензона для совершенного газа определяется по формуле

(2)

Продифференцируем выражение (2) по координатам 2 раза

^{, ,}

(3)

Преобразуем правую часть уравнения (1). Считая пористость т₀ постоянной и учитывая, что для совершенного газа

, (4) получим:

^. (5)

Подставив выражения (3) и (5) в уравнение (1), получим

 (6)

Выражение в скобке представляет собой оператор Лапласа относительно р², поэтому уравнение (6) можно кратко записать в виде

. (7)

Полученное дифференциальное уравнение неустановившейся фильтрации совершенного газа (6) называется уравнением Л. С. Лейбензона и представляет собой нелинейное уравнение параболического типа. Подчеркнем, что оно справедливо для совершенного газа при выполнении закона Дарси. Изменением коэффициента пористости пренебрегают потому, что он входит в уравнение (1) в виде произведения , в котором плотность газа меняется в гораздо большей степени, чем пористость.

Уравнение Лейбензона (6) можно записать по-другому, умножив правую и левую части на давление р и заменив

;

(8)

В такой записи под знаками производных по координатам и по времени находится одна и та же функция р², но коэффициент в правой части kp/() переменный, в него входит искомая функция р(х, у, z, t).

Нетрудно показать, что неустановившаяся фильтрация реального газа с уравнением состояния и с учетом зависимости коэффициента вязкости от давления и недеформируемости пористой среды (=const, k =const) описывается следующим нелинейным дифференциальным уравнением параболического типа

9)

Для решения конкретных задач, связанных с неустановившейся фильтрацией газа, дифференциальное уравнение в форме (6) или (8) должно быть проинтегрировано по всей области газовой залежи при заданных начальных и граничных условиях. Простейшие виды этих условий следующие.

Продуктивный пласт или выделенную из него часть можно рассматривать как некоторую область пространства, ограниченную поверхностями - границами. Границы могут быть непроницаемыми для флюидов, например кровля и подошва пласта, сбросы и поверхности выклинивания. Граничной поверхность является также поверхность, по которой пласт сообщается с областью питания, (с дневной поверхностью, с естественным водоемом), это так называемый контур питания; стенка скважины служит внутренней границей пласта.

Чтобы получить решение системы уравнений, к ним необходимо добавить начальные и конечные условия.

Начальное условие заключается в задании искомой функции во всей области в некоторый момент времени, принимаемый за начальный. Например, если искомой функцией является пластовое давление то начальное условие может иметь вид

при t=0 (9.1)

т.е. в начальный момент задается распределение давления во всем пласте.

Если в начальный момент пласт не возмущен, то начальное условие примет вид

при t=0. (9.2)

Граничные (краевые) условия задаются на границах пласта. Число граничных условий должно быть равно порядку дифференциального уравнения по координатам.

Возможны следующие граничные условия.

І. На внешней границе Г:

1). постоянное давление

p(Г,t)=p_к=const, (9.3) т.е. граница является контуром питания;

2). Постоянный переток через границу при выполнении закона Дарси

,

где n - нормаль к границе Г, откуда следует, что

; (9.4)

3). Переменный переток через границу

; (9.5)

4). Замкнутая внешняя граница

; (9.6)

5). Бесконечный по простиранию пласт

. (9.7)

ІІ. На внутренней границе:

6). Постоянное давление на забое скважины радиусом r_c

при (9.8)

7). Переменное давление на забое скважины

при (9.9)

8). Постоянный дебит; это условие при выполнении закона Дарси можно представить следующим образом:

(9.10)

или

при (9.11)

где - площадь боковой поверхности скважины; h - толщина пласта;

9). Переменный дебит

 при ; (9.12)

10). Отключение скважины

при ; (9.13)

Так как уравнение (6) или (8) представляет собой сложное нелинейное уравнение в частных производных, оно в большинстве случаев не имеет точных аналитических решений. Его можно проинтегрировать численно с помощью ЭВМ или решить приближенным способом. Приближенные способы хорошо разработаны.

Численные методы решения различных задач фильтрации газа на основе уравнения Л. С. Лейбензова также достаточно хорошо обоснованы в приложениях к проблемам разработки месторождений природных газов. При этом наибольшее распространение получили методы конечных разностей и конечных элементов. Вместе с тем, развитие теории .фильтрации газов, вызванное требованиями практики разработки газовых месторождений, и, в частности, изменением горно-геологических условий их залегания (большие глубины, высокие давления и температуры, многокомпонентностъ газа и т. д.) потребовало учета в основном уравнении, предложенном Л. С. Лейбензоном, многих дополнительных факторов. Так, оказалось что использование функции Лейбензона в форме (2) допустимо при небольших давлениях, в условиях недеформируемых пластов. При достаточно больших давлениях в условиях деформируемых коллекторов под знак интеграла в формуле (2) необходимо внести зависимости изменения проницаемости, вязкости и коэффициента сверхсжимаемости газа от давления. При неизотермической фильтраций во многих случаях необходимо учитывать также изменение свойств газа от температуры.

Уравнение (6) получено с использованием в качестве уравнения движения закона Дарси. Вместе с тем, последующие исследования И.А. Чарного, Е. М. Минского и других показали, что при фильтрации газов в природных пластах в большинстве случаев следует пользоваться нелинейным (двучленным) законом фильтрации. Математические труд-ности в решении получающегося при этом дифференциального уравнения еще более возрастают.

Отметим, что одним из эффективных путей решения уравнения Лейбензона является линеаризация, т. е. сведение его к линейному уравнению Фурье. Как покажем при дальнейшем рассмотрении, в некоторых практических случаях использование различных способов линеаризации уравнения (6) позволяет получать приближенные решения, удовлетворяющие требованиям практики.

1.2 Вывод дифференциального уравнения неустановившейся фильтрации совершенного газа по двучленному закону

Будем считать пласт недеформируемым, фильтрацию изотермической и происходящей по двучленному закону. Рассмотрим плоскорадиальный поток к осесрмметрично расположенной скважине.

Воспользуемся уравнением неразрывности для плоскорадиального движения

. (10)

Воспользовавшись выражением для массовой скорости , получим

линеаризация уравнение фильтрация газ

 (11)

Подставив выражения (11), (12) и (5) в уравнение неразрывности (10) и сократив на , получим

(13)

где

Если сделать замену , то дифференциальное уравнение

неустановившейся фильтрации газа по двучленному закону примет следующий вид

(14)

Аналитическое решение уравнения (14) наталкивается на значительные трудности, однако численное решение для обычных в подземной гидромеханике начальных и граничных условий не представляет затруднений.

§ 2. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ УРАВНЕНИЯ ЛЕЙБЕНЗОНА И ОСНОВНОЕ РЕШЕНИЕ ЛИНЕАРИЗОВАННОГО УРАВНЕНИЯ

Если заменить нелинейное дифференциальное уравнение (8) линейным, т.е. линеаризовать его, то оно упростится - для линейного уравнения существуют точные аналитические решения. Ясно, что эти точные решения линеаризованного уравнения будут приближенными для нелинейного. Оценить погрешность решения, которая возникает при замене точного уравнения линеаризованным, можно, например, сравнивая приближенное решение с решением на ЭВМ точного уравнения.

Были предложены различные способы линеаризации уравнения (8). Если рассматривается плоскорадиальный приток к скважине, то из теории установившейся фильтрации газа, воронка депрессии очень крутая, и в большей части пласта давление мало отличается от контурного. На этом основании Лейбензон предложил заменить переменное давление р в коэффициенте уравнения (8) на постоянное давление равное начальному давлению в пласте. Тогда, обозначив , получим вместо уравнения (8) уравнение

(15)

которое является линейным уравнением пьезопроводности относительно функции р² где - константа, аналогичная коэффициенту пьезопроводности. Такой способ линеаризации, когда переменный коэффициент и в уравнении (15) при различных значениях давления принимается константой, называется линеаризацией по Лейбензону. В дальнейшем различными авторами были предложены уточнения к линеаризации по Лейбензону. Так, И. А. Чарный предложил свести уравнение (8) к линейному заменой переменного давления в коэффициенте на значение

где - максимальное и минимальное давления в газовой залежи на расчетный период.

Используем линеаризованное уравнение {15) для решения конкретной задачи о притоке газа в скважину бесконечно малого радиуса (точечный сток), расположенную в пласте бесконечной протяженности с постоянной толщиной h. В начальный момент времени пласт невозмущен, т. е. давление во всем пласте постоянно и равно р₂. С этого момента начинается отбор газа с постоянным дебитом Q_ат. Нужно найти изменение давления по пласту с течением времени p(r,t).

Для плоскорадиальной фильтрации газа (15) запишется следующим образом

(16)

Здесь выражение представляет собой оператор Лапласа

в полярных координатах относительно квадрата давления для плоско-радиального движения.

Уравнение (16) надо проинтегрировать при начальном условии

при t=0, . (17)

и при граничном условии в удаленных точках

при t>0, . (18)

Выведем условие для давления на забое скважины. Для этого запишем выражение для массового дебита исходя из закона Дарси в дифференциальной форме для плоскорадиальной фильтрации:

Использовав равенства

и сократив на , получим:

Из этого соотношения выразим условие на стенке газовой скважины бесконечно малого радиуса:

при r=0

Решением поставленной задачи для упругой жидкости является основная формула упругого режима :

(20)

Аналогия между фильтрацией упругой жидкости и газа свидетельствует о том, что, заменив в формуле (20) давление на р², a - на , -на получим решение поставленной задачи для, газа

(21)

или

(22)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Это и есть основное решение линеаризованного уравнения Лейбензона.

Для малых значений аргумента можно заменить интегральную показательную функцию логарифмической

(23)

или

(24)

Подчеркнем, что решения (21)-(24) являются приближенными, так как получены в результате интегрирования линеаризованного уравнения (16), а не точного (6).

Формулы (22) и (24) определяют (при фиксированных значениях времени t) распределение давления вокруг газовой скважины, работающей с постоянным дебитом с момента t = 0. Эти депрессионные кривые имеют такой же характер, как при установившейся фильтрации - они очень крутые вблизи скважины (рис. 1.а). Если задать значение r, то можно найти изменение давления в данной точке с течением времени. В частности, можно найти изменение давления на забое (при r = ) после начала работы скважины (рис.1.б)

(25)

§ 3. ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ ОДНОЙ АВТОМОДЕЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ОБ ОСЕСИММЕТРИЧНОМ ПРИТОКЕ ГАЗА К СКВАЖИНЕ С ПОСТОЯННЫМ ДЕБИТОМ

В § 2 приведено решение задачи о нестационарном притоке совершенного газа к скважине бесконечно малого радиуса с постоянным дебитом. Решение получено в результате интегрирования линеаризованного дифференциального уравнения.

Г. И. Баренблатт, применяя анализ размерностей, показал, что нелинейное уравнение Лейбеизона при определенных начальных и граничных условиях имеет точное решение. Это имеет важное значение, так как полученное точное решение может служить эталоном для сравнения с ним приближенных решении.

Как и в § 2, рассматривается задача о нестационарном плоскорадиальном притоке газа с постоянным дебитом к скважине в бесконечном пласте. В этом случае необходимо проинтегрировать нелинейное уравнение Лейбензона

(26)

при тех же начальных и граничных условиях (17); (18), (19).

Г. И. Баренблаттом показано, что в такой постановке задача автомодельна, т. е. давление зависит от некоторого единого комплекса, включающего в себя обе переменные -r и t, а дифференциальное уравнение в частных производных (26) приводится к обыкновенному дифференциальному уравнению, которое легко интегрируется. Чтобы установить, от каких аргументов будет зависеть давление, проведем анализ размерностей.

Распределение давления в пласте зависит, как следует из постановки задачи, от пяти определяющих параметров (n = 5): r, t, , , .

Если обозначить размерность длины через L, размерность времени Т, размерность давления [р], то размерности этих параметров выразятся следующим образйм

[r]=L, [t]-Т, []=[р], []=L²[p]^-1T^-1, []=[p²]

Среди этих параметров - три с независимыми размерностями: r, t, (k = 3). Как следует из П-теоремы, искомая функция-давление, приведенное к безразмерному виду F = р/р_к будет зависеть от двух безразмерных комплексов (п - k = 5 -- 3 = 2), Легко проверить, что такими безразмерными комплексами являются следующие

и ,

Таблица 1
Результаты численного расчета автомодельного решения
0,005787	0.9701	0,003886	0,9842
0,01157	0,9737	0,01555	0,9877
0,01923	0,9763	0.03109	0,9894
0,03472	0,9793	0.06218	0,9912
0,06553	0,9825	0,2487	0,9947
0,09645	0,9845	0,4974	0,9964
0,1582	0,9870	0,9949	0,9980
0,2816	0,9899	1,492	0,9988
0,5285	0,9930	2,487	0,9996
0,7754	0.9948	3.482	0,9999
1,269	0,9970
1,763	0,9982
2,751	0,9994
3,738	0,9999



Дифференцируя функцию F по t и по r как сложную функцию и подставляя производные в уравнение (26), получим, что функция F удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению

(27)

При этом начальные и граничные условия (17)-(19) сводятся к следующими

при при . (28)

Уравнение (27) при условиях (28) было проинтегрировано численно. Результаты расчетов приведены в табл.1 для значений и . Через в табл.1 обозначено такое значение аргумента , что для значения отличаются от меньше, чем на 0,01%. Значит, для можно считать, что . Проинтегрировав это равенство, получим

или

для . (29)

Поэтому значения для в табл.1 не приведены. Сравнивая значения безразмерного давления приведенные в табл.1, со значениями, подсчитанными по формуле (23). можно найти погрешность, которую дает линеаризация уравнения Лейбензона, и убедиться в том, что она составляет доли процента.

§ 4. РЕШЕНО ЗАДАЧИ О ПРИТОКЕ ГАЗА К СКВАЖИНЕ МЕТОДОМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЙ СМЕНЫ СТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИЙ

Этот метод основан на следующих предпосылках: в каждый момент времени существует конечная возмущенная область, в которой происходит движение газа к скважине - движение внутри возмущенной области стационарно, размер возмущенной области определяется из условия материального баланса

Решим этим методом задачу о неустановившемся притоке газа к скважине с постоянным заданным дебитом Q_ат, но будем считать радиус скважины конечным и равным .

В любой момент времени возмущенной областью является круговая область радиусом R(t), внутри которой давление распределено но стационарному закону.

, (30)

Вне возмущенной области давление равно начальному (невозмущенное состояние)

(31)

В возмущенной области можно написать также выражение для дебита по формуле для стационарной фильтрации

(32)

Заметим, что в рассматриваемой задаче забойное давление является функцией времени.

Для удобства последующего изложения найдем из формулы (32) отношение

и подставим его и формулу для давления в возмущенной области (30). В результате получим

, (33)

т.е. распределение давления, выраженное через заданный дебит и параметры пласта.

Для нахождения составим уравнение материального баланса. Начальный запас газа (при р = р_k) в зоне пласта радиусом R(t):

(34)

Текущий запас газа выразим через средневзвешенное давление:

(35)

где определяется по формуле установившейся фильтрации

(36)

Так как отбор газа происходит с постоянным дебитом , отобранная масса газа к моменту t равна . Таким образом,

или, с использованием (34)-(35), найдем:

(37)

Подставив в последнее соотношение выражение (36) для средневзвешенного давления и (32) для получим:

откуда

или

(38)

Для значений времени, для которых , имеем

. (39)

Теперь, зная закон движения границы возмущенной области в виде (38) или (39), можно найти давление в любой точке пласта в любой момент времени по формуле (33), а также изменение давления на забое скважины в любой момент времени



, (40)

(41)

Формулы (40) пригодны как для бесконечного пласта, так и для конечного открытого и закрытого пласта радиусом . В последнем случае они справедливы только для первой фазы движения, пока воронка депрессии не достигнет границы пласта, т. е. для

Изменение давления во второй фазе зависит от граничных условий пласта. Если пласт закрыт, то давление будет продолжать снижаться во всем пласте, включая границу. Если пласт открытый или ), т.е. режим водонапорный, то во второй фазе установится стационарный режим с постоянной депрессией , где

§ 5. МЕТОД УСРЕДНЕНИЯ

Рассмотрим еще один приближенный метод применительно к задачам неустановившейся фильтрации газа метод усреднения временной производной по пространству.

В качестве примера рассмотрим прямолинейно-параллельную фильтрацию реального газа. Соответствующее этому случаю точное дифференциальное уравнение имеет вид

(42)

Сделаем допущение, что коэффициент сверхсжимаемости z(p) можно заменить на , где -некоторое среднее давление в области фильтрации. Введем обозначение Тогда уравнение (42) примет вид

(43)

Пусть имеется первоначально невозмущенный газонасыщенный пласт шириной В, толщиной h, длиной L. С трех сторон пласт ограничен непроницаемыми поверхностями, а с четвертой стороны (x = 0) вскрыт галереей. В момент t = 0 через галерею начинает отбираться газ с постоянным массовым дебитом, который в соответствии с законом Дарси можно записать н виде

Требуется определить давление в пласте в любой момент времени t >0. Для этого нужно найти решение уравнения (43) в области изменения , , удовлетворяющее начальному и граничным условиям

при ; (44)

при x=0, где ; (45)

при x=L. (46)

Принимаем, что в каждый момент времени существует конечная возмущенная область l(t), на границе которой выполняются условия

, при x=l(t) (47)

Центральным моментом в рассматриваемом методе, усреднения является принятие условия

, (48)

равносильного предположению, что во всей части пласта охваченной возмущением, давление изменяется с одинаковой скоростью, тогда уравнение (43) принимает вид

. (49)

Проинтегрировав это уравнение дважды по х, получим:

. (50)

Использовав граничные условия на галерее (45) и на границе возмущенной области (47), найдем константы интегрирования b и с, а также функцию F

, ,

В результате получим

, , (51)

Найдем зависимость l(t). Для этого проделаем следующие преобразования: дважды проинтегрируем исходное уравнение (43) по координате и по времени

в результате, используя граничные условия (45) и (47) получим выражение для средневзвешенного давления

(52)

Примем гипотезу, что средневзвешенное давление, которое находится по формуле

для данного случая определяется из соотношения:

(53)

Приведем выражения для (52) и (53) к безразмерному виду и приравняем их

(54)

Уравнение (54) служит для определения функции l(t). Однако можно получить очень простую приближенную искомую зависимость. Обозначим и разложим в ряд правую часть (54)

Удержав два первых члена ряда, получим

Тогда (54) примет вид

Откуда

. (55)

Подставив полученное выражение в формулу (51), получим явную зависимость давления от координаты и времени.

В момент Т, когда возмущенная зона достигнет непроницаемой границы пласта (l = L), закончится первая фаза.

Для определения ее продолжительности положим в уравнении (54) l = L и выразим время Т

(56)

Можно найти приближенное значение Т из формулы (55) и убедиться, что погрешность не превышает 3-4%.

В течение второй фазы давление на границе х = L падает и выполняется условие (46). Соотношения для второй фазы истощения газового пласта строятся аналогичным образом. Проделав аналогичные выкладки, получим закон распределения давления по пласту

(57)

и закон изменения давления на галерее

. (58)

§ 6. ПРИМЕНЕНИЕ ПРИНЦИПА СУПЕРПОЗИЦИИ К ЗАДАЧАМ НЕУСТАНОВИВШЕЙСЯ ФИЛЬТРАЦИИ ГАЗА

Для решения линеаризованного уравнения неустановившейся фильтрации (15) используется метод суперпозиции (метод наложения потоков). Это уравнение - линейное и однородное относительно р², поэтому если р₁(х, у, z, t), р₂(х, у, z, t) , ..., р_n(х, у, z, t) определяют распределения давления, вызванные работой первой, второй ... , n-й скважин, и являются решениями уравнения (15), то линейная комбинация их квадратов тоже будет решением уравнения (15).

При помощи метода суперпозиции можно решать различные задачи, которые используются при проектировании разработки газовых месторождений,

Используя этот метод, выведем формулу для восстановления забойного давления после остановки газовой скважины, и покажем, как по кривой восстановления давления определяются коллекторские свойства пласта.

Предположим, что газовая скважина в бесконечном пласте эксплуатировалась в течение длительного промежутка времени Т с постоянным дебитом и в момент Т внезапно остановлена, т.е. приток газа к забою мгновенно прекратился.

Используя принцип суперпозиции, будем считать, что в момент t = Т

в дополнение к добывающей скважине, работающей с дебитом Q,_ат, начала работать нагнетательная скважина с тем же дебитом.

Тогда

(59)

Кроме того, в момент остановки скважины Т выполняется равенство

 (60)

Вычитая почленно (59) из (60), получим

Если скважина работала до остановки в течение длительного времени Т и t - Т<< Т, то

и членом ln(t/Т) можно пренебречь. Тогда имеем

(61)

Примем момент остановки Т за новое начало отсчета времени:

t'=t-T, тогда формула (61) запишется в виде:

(62)

Кривая восстановления забойного давления приведена на рис. 2. Легко видеть из последней формулы, что зависимость от In t' - линейная (рис. 3). Выделим в правой части формулы (62) член, содержащий In t':

(63)

Очевидно, что i=представляет собой тангенс угла наклона прямой АВ к оси абсцисс, а ОА - отрезок, отсекаемый прямой АВ на оси ординат, равен

(64)

При исследовании тазовых скважин на неустановившихся режимах, которые проводятся с целью определения коллекторских свойств пластов, получают значения в разные моменты времени t' после остановки скважины.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Эти данные обрабатывают в координатах от In t' (или Ig t').

Экспериментальные точки показаны на рис. 3. Обычно на опытной кривой можно выделить прямолинейный участок, по которому определяют значения i= и ОА. Зная эти величины, а также дебит скважины до остановки , можно определить коэффициент гидропроводности пласта

(65)

и комплексный параметр

. (66)

Отметим, что на участке АС опытные точки отклоняются от прямой за счет притока газа в скважину после ее закрытия, который не учитывается в соотношениях (59)-(61), а также за счет некоторых других факторов.

Зависимость (59) можно записать также в виде

(67)

Кривые восстановления давления после остановки газовых скважин обрабатывают также по методу Хорнера в координатах , . Уравнение (67) в этих координатах представляет собой прямую. По углу наклона прямой можно определить коэффициент гидропроводности по формуле (65); экстраполируя ее до оси ординат = 0 получают пластовое давление , которое, как правило, неизвестно.

§ 7. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ОБ ОТБОРЕ ГАЗА ИЗ ЗАМКНУТОГО ПЛАСТА ПРИ ПОМОЩИ УРАВНЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОГО БАЛАНСА

Рассмотрим несколько задач об отборе газа из замкнутой круговой газовой залежи радиусом R_к.

В центре належи находится скважина радиусом . До вскрытия пласта скважиной давление по всей залежи постоянно и равно р_н.

Будет рассмотрено два простейших случая: а) отбор производится с постоянным дебитом Q_ат, б) забойное давление р_с сохраняется постоянным.

В случае а) нас будет интересовать падение давления на границе пласта и на забое скважины , в случае б) - падение давления на границе и падения дебита .

Обе задачи решаются методом последовательной смены стационарных состояний, т.е. с использованием законов стационарной фильтрации газа и уравнения истощения газовой залежи. Это последнее уравнение - уравнение материального баланса - заключается в том, что количество газа, извлеченного из пласта за некоторый промежуток времени, равно уменьшению запасов газа в пласте. Так как пласт замкнут, то запасы ограничены и не пополняются извне.

Если -плотность газа, соответствующая средневзвешенному давлению в пласте , а -объем порового пространства, принимаемый постоянным, то уменьшение запасов газа за бесконечно малый промежуток времени dt запишется в виде

(68)

Отобранная масса газа за тот же промежуток времени

(69)

Приравняв выражения (68) а (69), получим дифференциальное уравнение истощения газовой залежи

(70)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Б. Б. Лапуком было установлено, что при одинаковых граничные условиях кривая распределения давления в пласте в случае неустановившейся фильтрации располагается несколько выше соответствующей кривой для установившейся фильтрации. Поэтому мы примем условие к заменим s уравнении (70) величину на .

(71)

Рассмотрим случай а), когда Q_ат = const. При этом

(72)

Проинтегрировав это уравнение, учтя, что при t = 0, получим

(73)

т.е. давление на границе пласта падает по линейному закону с течением времени (рис.4). Чтобы найти закон изменения забойного давления с течением времени, запишем формулу для дебита скважины

(74)

и выразим из нее забойное давление

. (75)

Отсюда с учетом выражения (73) для р_k найдем:

(76)

График изменения приведен на рис. 4.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

В случае б), когда р_с = const, для определения зависимости р_k от t, подставим выражение для дебита (74) в уравнение (72) и разделим переменные

(77)

Введя обозначение A= и проинтегрировав (77) oт 0 до t и от р_н до р_k получим:

откуда

(78)

Задаваясь различными значениями давления р_k на границе залежи, начиная от и меньшими, можно найти, соответствующие значения времени t разработки залежи. Подставляя эти же значения р_k в формулу (74), определяем дебиты в те же моменты t. Динамика и для этого случая приведена на рис. 5.

7.1 Задача

Определить изменение во времени дебита газовой скважины, давления на внешней непроницаемой границе и давления на забое скважины , эксплуатирующейся при поддержании постоянной скорости движения в призабойной зоне пласта. Начальное пластовое давление =9,8 Мпа (100 кгс/cм²), радиус контура зоны дренирования R_k=750 м, мощность пласта k=0,3 Д, коэффициент пористости пласта m=20%, динамический коэффициент вязкости газа в пластовых условиях сП, радиус скважины м. Коэффициент с=0,0314 Принять атмосферное давление Мпа (1 кгс/cм²).

Решение. Если газ отбирается при поддержании максимально допустимой скорости фильтрации у забоя скважины, то приведенный дебит.

(79)

обозначая

Получим

(80)

С другой стороны,

(81)

где

.

Приравнивая соотношения (80) и (81), найдем

,

откуда

Обозначая a=, запишем

(82)

Подставляя (82) в (80), найдем зависимость дебита от

Из уравнения материального баланса, заменяя среднее пластовое давление контурным, найдем

 (83)

Вводя новую переменную

и интегрируя дифференциальное уравнение (83), получим

(84)

Подсчитаем объем порового пространства

м³,

значение коэффициента

1/Па.

Подставляя численные значения параметров , с, и в соотношение (84), задаваясь различными значениями определим значения .

t, cут	0	226	462	776	1196	1825	3130	4250	6100
pk, Мпа	9,8	8,33	6,86	5,39	3,92	2,45	0,98	0,49	0,21
pc, Мпа	9,62	8,15	6,68	5,22	3,74	2,28	0,822	0,345	0,098
,м3/cут	2,66	2,25	1,85	1,445	1,035	0,632	0,227	0,0955	0,0271

Заключение

Современное состояние и перспективы дальнейшего развития нефтяной и газовой промышленности характеризуются переходом на интенсивные методы разработки месторождений, существенным усложнением горно-геологических и термобарических условий их эксплуатации. В связи с этим применяются новые методы повышения нефтеотдачи пластов, основанные на дальнейшем совершенствовании методов гидродинамического воздействия на пласты. Более широким применением термических, физико-химических и газовых методов воздействия на природные резервуары и насыщающие их флюиды.

Моделирование процессов разработки при помощи дифференциальных уравнений Л. С. Лейбензона позволяет наиболее рационально контролировать истощение природные запасы подземных флюидов.

Список использованной литературы

1. Басниев К.С., КочинаИ.Н., Максимов В.М. Подземная гидромеханика: Учебник для вузов. - М.: Недра, 1993. - 416 с.

2. Пыхачов Г.б., Исаев Р.Г. Подземная гидравлика. Учебное пособие. М., «Недра», 1972, 360 с.

3. Евдокимова В.А., КочинаИ.Н. Сборник задач по подземной гидравлике. М., «Недра», 1979, 168 с.

Размещено на Allbest.ru