Одномерные установившиеся потоки жидкости и газа в пористой среде

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования Российской Федерации

Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина филиал в г. Оренбурге

Курсовая работа

По дисциплине «Подземная гидромеханика»

на тему:

«Одномерные установившиеся потоки жидкости и газа в пористой среде»

Выполнил:

Группа:

Проверил: Полкунов Ю. Г.

г.Оренбург - 2009

Содержание

Аннотация

Введение

1.Схемы одномерных фильтрационных потоков

2. Расчет основных характеристик одномерных фильтрационных потоков жидкости и газа

2.1 Прямолинейно-параллельный фильтрационный поток

2.2 Плоскорадиальный фильтрационный поток

2.3 Радиально-сферический фильтрационный поток

3. Установившееся движение газированной жидкости в пористой среде

4. Одномерное установившееся движение газов по линейному закону

5. Установившиеся безнапорные течения

6. Одномерные безнапорные фильтрационные потоки жидкости

7. Задачи

Выводы

Список литературы

Аннотация

В данной курсовой работе рассматривается установившееся движение жидкости и газа в пористых средах, разные виды течения жидкости, фильтрация жидкости, газа и их смесей в природных пластах. Так же приведены расчеты характеристик одномерных фильтрационных потоков. Прилагаемые задачи показывают практическое применение данного метода.

Курсовая работа состоит из введения, 7 глав, заключения, списка литературы, 39 страниц печатного текста, 16 рисунков.

Введение

Современное состояние и перспективы дальнейшего развития нефтяной и газовой промышленности характеризуются переходом на интенсивные методы разработки месторождений, существенным усложнением горно-геологических и термобарических условий их эксплуатации. В связи с этим применяются новые методы повышения нефтеотдачи пластов, основанные на дальнейшем совершенствовании методов гидродинамического воздействия на пласты, более широким применением термических, физико-химических и газовых методов воздействия на природные резервуары и насыщающие их флюиды.

Рассмотрение одномерного установившегося потоков жидкости и газа в пористой среде является очень важной сферой исследования, при исследовании термического состояния пористых пластов рассматривают общие закономерности межфазового теплообмена, термодинамических эффектов при движении по пласту жидкости и газа.

Жидкости и газы движутся в продуктивных пластах в мельчайших каналах, образованных либо системой сообщающихся друг с другом пор между зернами горной породы, либо трещинами в скелете плотного песчаника, известняка и т.д. Такое движение в пористой и трещиноватой среде называется фильтрацией.

В отличие от движения жидкостей и газов по трубам и в открытых руслах фильтрация имеет следующие характерные особенности: чрезвычайно малые поперечные размеры поровых каналов, крайне малые скорости движения жидкостей, исключительно большая роль сил трения вследствие вязкости жидкостей и огромных поверхностей стенок поровых каналов, о которые происходит трение жидкостей и газов при фильтрации.

фильтрация поток жидкость газ безнапорный

1. Описание одномерных потоков. Схемы одномерных фильтрационных потоков

Ввиду чрезвычайной сложности реальных процессов фильтрации пластовых флюидов построить полностью подобные физические или геометрические модели невозможно. Поэтому в большинстве случаев ограничиваются приближенным моделированием фильтрационных течений, позволяющим обеспечить адекватное математическое описание процесса разработки нефтяных и газовых месторождений. Изучение этого процесса может проводиться на упрощенных (идеализированных) моделях - схемах одномерных и не одномерных фильтрационных потоков при установившихся или неустановившихся режимах. При изучении фильтрационных потоков жидкости и газа в природных пластах должна быть проведена такая схематизация геометрической формы движения, которая позволяет создать расчетные схемы, учитывающие основные эффекты и позволяющие определить параметры течения. При изучении элементарных фильтрационных потоков в подземной гидромеханике основными являются модели установившейся и неустановившейся фильтрации однофазных флюидов (несжимаемых или сжимаемых) в однородной (изотропной) пористой среде. Эти модели являются классическими и позволяют изучать фильтрационные течения методами математической физики. Однако необходимость решения более сложных неодномерных задач фильтрации жидкостей, газов и их смесей в природных пластах потребовала создания более совершенных математических моделей, основанных на лучшем знании и понимании гидродинамических и физико-химических процессов, происходящих в залежи при ее разработке. Использование этих моделей, как правило, связано с применением численных методов и современной вычислительной техники. Данная глава посвящена изучению простейших одномерных установившихся потоков жидкости и газа в пористой среде по линейному и нелинейному закону фильтрации. Одномерным называется фильтрационный поток жидкости или газа, в котором скорость фильтрации, давление и другие характеристики течения являются функциями только одной координаты, отсчитываемой вдоль линии тока. Наиболее характерными, применительно к процессам фильтрации нефти, воды и газа, одномерными потоками являются:

- прямолинейно-параллельный фильтрационный поток;

- плоскорадиальный фильтрационный поток;

- радиально-сферический фильтрационный поток.

Приведем краткое описание этих потоков. Прямолинейно-параллельный фильтрационный поток. Предположим, что при фильтрации флюида траектории всех частиц параллельны, а скорости фильтрации во всех точках любого поперечного (перпендикулярного линиям тока) сечения равны друг другу. Законы движения вдоль всех траекторий такого фильтрационного потокоодинаковы, а поэтому достаточно изучить движение вдоль одной из траекторий, которую можно принять за ось координат ось х (рисунок 1.1). Прямолинейно-параллельный поток имеет место в лабораторных условиях при движении жидкости или газа через цилиндрический керн или через прямую трубу постоянного диаметра, заполненную пористой средой; на отдельных участках продуктивного пласта при движении жидкости к батарее скважин, если пласт постоянной толщины имеет в плане форму прямоугольника (смотри рисунок 1.1). Линии тока будут искривляться только вблизи скважин. Если уплотнить сетку скважин в батарее заменить батарею сплошной прямолинейной выработкой галереей, то движение к галерее будет строго прямолинейно-параллельным. Поток можно считать прямолинейно-параллельным на некотором участке между нагнетательной и добывающей батареями скважин.



Рисунок 1.1: Схема прямолинейно-параллельного потока к батарее скважин.

Рисунок 1.2: Схема прямолинейно-параллельного течения в пласте.

Пласт, в котором имеет место прямолинейно-параллельный поток, удобно схематизировать в виде прямоугольного параллелепипеда высотой h (толщина пласта), шириной В и длиной L (рисунок 1.2). Левая грань является контуром питания, здесь давление постоянно и равно Рк правая грань - поверхность стока (галерея) с давлением Рг. Все остальные грани непроницаемы.

Плоскорадиальный фильтрационный поток. Предположим, что имеется горизонтальный пласт постоянной толщины h и неограниченной или ограниченной протяженности. В пласте пробурена одна скважина, вскрывшая его на всю толщину и имеющая открытый забой. При отборе жидкости или газа их частицы будут двигаться по горизонтальным траекториям, радиально сходящимся к скважине. Такой фильтрационный поток называется плоскорадиальным. Картина линий тока в любой горизонтальной плоскости будет одинакова, и для полной характеристики потока достаточно изучить движение флюида в одной горизонтальной плоскости. В плоскорадиальном одномерном потоке давление и скорость фильтрации в любой точке зависят только от

расстояния r данной точки от оси скважины.

а) б)

Рисунок 1.3: Схема плоскорадиального потока в круговом пласте: a) Общий вид; б) план.

Рисунок 1.4. Вертикальное сечение радиально - сферического фильтрационного потока

На рисунке 1.3, а, б приведена схема плоскорадиального фильтрационного потока. Схематизируемый пласт ограничен цилиндрической поверхностью радиусом Rk, (контуром питания), на которой давление постоянно и равно р_к; на цилиндрической поверхности скважины радиусом r_c (забой скважины) давление равно р_с. Кровля и подошва пласта непроницаемы. На рисунке 1.3 б, приведены сечение пласта горизонтальной плоскостью и радиальные линии тока, направленные к скважине. Если скважина не добывающая, а нагнетательная, то направление линий тока надо изменить на противоположное. Радиально - сферический фильтрационный поток. Рассмотрим схему пласта неограниченной толщины с плоской горизонтальной непроницаемой кровлей. Скважина сообщается с пластом, имеющим форму полусферы радиусом Rk, (рисунок 1.4). При эксплуатации такой скважины траектории движения всех частиц жидкости или газа в пласте будут прямолинейными в пространстве и радиально сходящимися в центре полусферического забоя, в точке О. В таком установившемся потоке давление и скорость в любой его точке будут функцией только расстояния г этой точки от центра полусферы. Следовательно, этот фильтрационный поток является также одномерным и называется радиально-сферическим. Такой поток может реализовываться вблизи забоя, когда скважина вскрывает только самую кровлю пласта или глубина вскрытия h значительно меньше толщины пласта. Описанные схемы одномерных фильтрационных потоков позволяют создавать простейшие модели реальных течений, возникающих при разработке нефтегазовых месторождений и решать практические задачи. Задача исследования установившегося фильтрационного потока заключается в определении следующих характеристик: дебита (или расхода), давления, скорости фильтрации в любой точке потока, а также установление закона движения частиц жидкости или газа вдоль их траекторий и определение средневзвешенного по объему порового пространства пластового давления.

2. Расчет основных характеристик одномерных фильтрационных потоков жидкости и газа

Для расчета перечисленных характеристик одномерных фильтрационных потоков жидкости и газа можно использовать два подхода. Первый из них вывод дифференциальных уравнений и их решение отдельно для прямолинейно-параллельного, плоскорадиального и радиально-сферического потоков жидкости и газа. Второй-вывод обобщенного уравнения одномерного течения флюида в недеформируемой трубке тока переменного сечения с использованием функции Лейбензона и получение из него конкретных формул применительно к различным схемам фильтрационных потоков. Второй подход более эффективен, позволяет исходить из обобщенных характеристик течения. Он используется в настоящем учебнике. В случае одномерного течения флюида в недеформируемой трубке тока переменного сечения (смотри рисунок 1.5) массовый расход по всей длине струйки сохраняется постоянным:

Qs=pQ=pwщ(s)=const, (2.1)

где s - координата, взятая вдоль линии тока, возрастающая по течению флюида.

Рисунок 1.5. Трубка тока

Запишем закон Дарси (2.2) через функцию Лейбензона (2.3). Для этого умножим правую и левую части уравнения (2.2) на плотность флюида р(р) и на площадь сечения щ(s):

, (2.2)

(2.3)

получим:

.

На основании формулы (2.3) можно заменить сdp = dР

Тогда:

. (2.4)

Это дифференциальное уравнение является основным при расчете одномерных потоков.

Найдем из него распределение функции Лейбензона по длине струйки Р(s) и выведем формулу для расчета дебита. В уравнении (2.4) разделим переменные

. (2.5)

и проинтегрируем в пределах от s=s₁ где известно значение функции Лейбензона Р=Р₁ до текущего значения s и соответствующего ему Р:

. (2.6)

Обозначим

, (2.7)

тогда

, (2.8)

Интегрируя (2.5) по s в пределах от s₁ до s₂ и по P от P₁ до P₂ , получим:

. (2.9)

Из последнего равенства найдем массовый расход:

, (2.10)

где:

. (2.11)

Формула (2.9) является аналогом закона Ома: силе тока соответствует дебит, электрическому потенциалу - функция Лейбензона, и по аналогии с электрическим сопротивлением знаменатель формулы (2.9) R₁₂ , т.е. выражение (2.11), называют фильтрационным сопротивлением. Подставив выражение для массового расхода из (2.9) в (2.8), получим окончательно:

. (2.12)

Массовая скорость фильтрации определяется равенством:

. (2.13)

Из соотношения (2.12)

,

тогда:

. (2.14)

Зная конкретные зависимости плотности р и функции Лейбензона Р от давления для различных флюидов, а также выражения R_1s, R₁₂. щ(s) для разных одномерных потоков, можно рассчитать распределение давления p(s), скорости фильтрации w(s), получить формулы для массового и объемного расходов. По распределению давления в дальнейшем найдем средневзвешенное по объему порового пространства пластовое давление, определяемое по формуле:

, (2.15)

где Vn- общий объем порового пространства пласта.

Время движения отдельных частиц флюида определяется решением уравнения:

.

При условии, что в начальный момент t = 0 частица имела координату s = s₀, получим:

(2.16)

Запишем теперь полученные в общем виде формулы (2.10), (2.12), (2.14) в конкретном виде для каждого из одномерных потоков жидкости и газа.

2.1 Прямолинейно-параллельный фильтрационный поток

Площадь поперечного сечения щ = Bh = const; на контуре питания х₁ = 0, Р₁ = Р_к на галерее х₂ = L, Р₂ =Р_г , из R_1s = x/(Bh), из (2.11) R₁₂ = L/(Bh).

Тогда

. (2.17)

, (2.18)

. (2.19)

2.2 Плоскорадиальный фильтрационный поток

Перейдем от координаты s к координате r, отсчитываемой от центра

скважины. Для добывающей скважины s = R_к - r , так что ds = -dr; площадь фильтрационной поверхности щ(s) = 2рrh - боковая поверхность цилиндра; на контуре питания r₁ =R_k, P₁=P_k на забое скважины r₂ =r_c, P₂=P_k . Тогда

,

,

Из (2.10)

 (2.20)

Из (2.12)

, (2.21)

Из (2.14)

. (2.22)

2.3 Радиально-сферический фильтрационный поток

В этом случае для добывающей скважины с полусферическим забоем имеем: s = Rx - r, ds = - dr, щ(s) = 2рr² - площадь поверхности полусферы с радиусом r; r₁= R_k, P₁ = P_k, r₂ = r_c, P₂ = P_с (смотри рисунок 1.4). Вычисляем фильтрационные сопротивления по формулам (2.7) и (2.11):

, так как r_c << R_k.

Далее из (2.10), (2.12, (2.14) находим:

 (2.23)

; (2.24)

. (2.25)

3. Установившееся движение газированной жидкости в пористой среде

Под неоднородной жидкостью в подземной гидравлике понимается газированная жидкость (смесь жидкости и пузырьков газа), смесь нефти и воды, смесь нефти, воды и газа. Последняя, в отличие от первых двух, представляющих двухкомпонентные системы, является трехкомпонентной системой, поскольку она содержит три разных фильтрующихся компонента нефть, воду и газ.

Уравнения (3.1) в дифференциальной форме имеют вид:

(3.1)

где (Qж -- объемный расход жидкой фазы газированной жидкости;

Qг -- объемный расход газа в каждой секции пласта.

(3.2)

(3.3)

где (Qж - объемный расход жидкой фазы газированной жидкости, движущейся в направлении L;

F -- площадь нормального к направлению L сечения пласта, причем F = F(L);

Qг - приведенный к атмосферному давлению объемный расход газа (свободного и растворенного) через сечение F пласта; Р, причем р - атмосферное давление.

Процесс фильтрации газированной жидкости принят изотермическим, кроме того, предполагается, что газ подчиняется закону идеальных газов, растворение газа в жидкости происходит по закону парциальных давлений и вязкости газа µ_г и жидкости µ_ж меняются при изменении давления.

Обозначим через Г=Qж/Qг газовый фактор. Разделив расход газа (3.3) на расход жидкости (3.2) и учитывая, что в условиях установившейся фильтрации газовый фактор постоянен, имеем:

(3.4)

отсюда

(3.5)

Уравнение (3.5) выражает связь между эффективными проницаемостями для газа kг и жидкости kж, газовым фактором Г и давлением р.

Обозначим

(3.6)

и введем функцию G(S), определяемую условием (7, XIII). Тогда уравнение (3.4) приводится к виду:

 (3.7)

Обозначая левую часть уравнения (3.7) через постоянную о:

(3.8)

получим:

(3.9)

Из формулы (3.9) имеем:

(3.10)

или

(3.11)

Формула (3.11) позволяет построить зависимость между безразмерным давлением р* и насыщенностью жидкостью порового пространства S. Задаваясь различными значениями S и соответствующими им значениями G(S) (в зависимости от того, какими породами представлена пористая среда) и зная величину б для данных жидкости и газа, вычисляем по уравнению (3.11) давление р*. На рисунке 3.4 показана кривая р* = p*(S), построенная нами на основании кривых (рисунок 3.1), причем б = 0, 015.

Располагая графиками кривых k'ж = k'ж(S) и k'г= k'г(S) (рисунок 3.1, 3.2 или 3.3) и р* = p*(S) (для несцементированных кривых рисунок 3.4), легко найти графически зависимости k'ж = k'ж(р^*) и k'г= k'г(р^*), где k'ж= kж/ k и k'г= kг/ k - отношения фазовых проницаемостей к проницаемости к пористой среды для однородной жидкости. На рисунке 3.5 приведена кривая зависимости фазовой проницаемости kж от давления р* для несцементированных песков при б = 0, 015.

Рисунок 3.1. Зависимость фазовых проницаемостей от насыщенности жидкостью парового пространства несцементированных песков.



Рисунок 3.2. Зависимость фазовых проницаемостей от насыщенности жидкостью парового пространства сцементированных песков.

Рисунок 3.3: Характер зависимости газового фактора при пластовом давлении от насыщенности жидкостью порового пространства.



Рисунок 3.4. Зависимость между безразмерным давлением р* и насыщенностью жидкостью порового пространства S для несцементированных песков.

Рисунок 3.5. Зависимость фазовой проницаемости k'ж от безразмерного давления р* при фильтрации газированной жидкости в несцементированных песках.

Как видно из рисунка 3.5, чем выше давление в пласте р*, тем больше величина фазовой проницаемости для жидкости k'ж, а следовательно, больше дебит скважин. Отсюда вытекает, что эксплуатацию скважин выгоднее вести при более высоких давлениях в пласте.

Так как для обеспечения притока нефти к забою скважин необходимо создание депрессии ?р = р_к - р_с, причем с ростом депрессии дебит скважин увеличивается, то для повышения добычи более эффективным средством является увеличение депрессии за счет повышения пластового (контурного) давления р_к, но не путем снижения забойного давления р_с. Повышение пластового давления достигается закачкой воды за контур нефтеносности либо газа в сводовую часть пласта. Можно сделать вывод о незначительной эффективности интенсификации добычи нефти путем создания на скважинах вакуума.

4. Одномерное установившееся движение газов по линейному закону фильтрации

Согласно линейному закону фильтрации весовая скорость фильтрации газа в горизонтальном направлении, противоположном направлению оси х, равна:

, (4.1)

где г -- удельный вес газа, µ-- его абсолютная вязкость, принимаемая постоянной, остальные обозначения прежние.

Рассматривая движение газа в пористой среде как изотермический процесс и считая газ идеальным, в качестве уравнения состояния газа можно принять:

(4.2)

где гат -- удельный вес газа при атмосферном давлении р_ат и пластовой температуре, причем согласно характеристическому уравнению идеальных газов

Здесь R -- газовая постоянная, Т -- абсолютная температура.

Подставляя в правую часть уравнения (4.1) значение г из формулы (4.2), получим:

 (4.3)

Обозначим через G - весовой расход газа, Q - объемный расход газа, F - площадь вертикального сечения пласта. Тогда

(4.4)

Подставляя в формулу(4.4) значение весовой скорости фильтрации газа из формулы (4.3), получим:

(4.5)

Введем, следуя Л. С. Лейбензону [100], переменную Р = р². Дифференцируя Р по х, находим:

что дает

Подставляя это значение в формулу (4.5), имеем:

 (4.6)

Поскольку весовой расход газа в случае установившейся фильтрации постоянен, то уравнение (4.6) содержит две переменные Р и х, разделив которые имеем:

(4.7)

Граничные условия выражаются следующим образом:

х=0, р=р_г, Р=Р_г=р_г²

при

х=L_k, р=р_к, Р=Р_к=р_к², (4.8)

где р_г -- давление газа на выходе из пласта, который (выход) мы условно назовем галереей;

р_к -- давление на контуре пласта, удаленном на расстояние L_K от галереи.

Интегрируя уравнение (4.7) по Р в пределах от Р_г до Р_к и по х от 0 до L_K и решая полученное уравнение относительно G, находим весовой расход газа:



или

(4.9)

Для нахождения распределения давления в пласте проинтегрируем уравнение (4.7) в пределах от Рг до Р и от 0 до ж.

,

отсюда

, (4.10)

. (4.11)

Из формулы (4.9) имеем:

.

Подставляя это выражение в уравнение (4.11), получим:

, (4.12)

Если уравнение (4.7) проинтегрировать по Р в пределах от до Р и по х от L_K до х, то, аналогично предыдущему, формулу распределения давления в пласте получим в виде:

(4.13)

Когда начало координат находится на контуре питания и направление оси х совпадает с направлением движения газа, в формулу (4.13) вместо (L_K- х) надо подставить х. Тогда

. (4.14)

Формулы (4.11), (4.12) и (4.13) представляют уравнения распределения давления в пласте. В отличие от одномерного движения несжимаемой жидкости, в котором величина давления является линейной функцией координаты х, формулы (4.11) и (4.12) являются уравнениями параболы. На рисунке 4.1 показана кривая распределения давления при установившейся одномерной фильтрации газа (парабола), построенная по формуле (4.12). Если по оси ординат откладывать не давления р, а квадраты давлений р² = Р, а по оси абсцисс - значения х, то получим прямую линию (рисунок 4.2).

Определим величину средневзвешенного по объему пласта давления р'.

Обозначим Щ - объем порового пространства газового пласта, L_K -- длина пласта (расстояние от контура питания до галереи).

Тогда:

. (4.15)

Среднее давление

, (4.16)

где элементарный объём пористой среды равен:

(4.17)

Рисунок 4.1. Распределение давления в пласте при установившейся одномерной фильтрации газа по линейному закону фильтрации.



Рисунок 4.2. Распределение квадратов давления Р в пласте при установившееся одномерной фильтрации газов по линейному закону фильтрации.

Подставляя в уравнение (4.16) вместо Щ, dЩ и р их значения из формул (4.15), (4.17) и (4.14), получим:

что после интегрирования дает тождественные равенства

(4.18)

Рассмотрение формулы (4.18) показывает, что в условиях линейной фильтрации среднее давление р не зависит от длины L_K пласта и может значительно отличаться от контурного давления р_к. Так, в частном случае при р_Г =0

 (4.19)

т. е. среднее давление составляет 2/3 от контурного давления.

Найдем приведенный к атмосферному давлению объемный расход газа Q. Для этого разделим весовой расход газа G на удельный вес его при атмосферном давлении р_ат. Из формулы (4.9) имеем:

(4.20)

Из формул (4.20) и (4.9) видно, что, в отличие от фильтрации несжимаемой жидкости, расход газа прямо пропорционален не разности давлений (р_к-р_г), а разности квадратов давлений. Если по оси ординат отложить значения Q или G, а по оси абсцисс соответствующие им значения депрессии (р_к - р_г), то получим параболу, в отличие от фильтрации несжимаемой жидкости, для которой индикаторная линия выражается прямой (рисунок 4.3).

Найдем скорость фильтрации газа. Для этого приведенный к атмосферному давлению и пластовой температуре расход газа Q разделим на величину - F, тогда из формулы (4.20) получим:

(4.21)

где значения давления р даются формулами (4.10) или (4.11).

Формулу (4.21) можно также получить продифференцировав уравнение (4.12) по х и умножив (в соответствии с линейным законом фильтрации) полученное значение градиента давления dp/dx на величину k/µ.

Поскольку с уменьшением х величина р уменьшается, по мере приближения к галерее скорость фильтрации газа увеличивается, в отличие от одномерного движения несжимаемой жидкости, при котором скорость фильтрации постоянна.

Обозначим через Q -- объемный расход газа, приведенный к среднеарифметическому давлению

. (4.22)

Подставляя в формулу (4.22) вместо Q его значение из уравнения (4.20), получим:

(4.23)

Формула (4.23) приведенного к среднеарифметическому давлению объемного расхода газа совпадает с формулой (4.6) расхода для одномерного движения несжимаемой жидкости.

Найдем из формулы (4.20) значение коэффициента проницаемости к.

(4.24)

Формулой (4.24) пользуются для лабораторного определения величины коэффициента проницаемости образцов пористой среды при помощи газа, причем в этом случае р_к и р_г - давление соответственно у входа и выхода газа в образец пористой среды, F - площадь поперечного сечения образца, a L_K его длина.

Если величину к определить из уравнения (4.23), то

(4.25)

Формула (4.25) аналогична формуле (4.15), справедливой для несжимаемой жидкости.

Сравнение формул распределения давления в пласте при установившейся фильтрации газа и несжимаемой жидкости со свободной поверхностью показывает полное их совпадение. Аналогичное строение имеют и формулы расхода газа и жидкости в обеих указанных формулах расход пропорционален разности квадратов давлений. Математически это объясняется тем, что дифференциальные уравнения установившегося движения газа и несжимаемой жидкости со свободной поверхностью одинаковы. С физической точки зрения указанную аналогию можно объяснить тем, что в обоих случаях по мере приближения к галерее (выходу из пласта) имеет место увеличение скорости фильтрации. При движении газа этот рост скорости фильтрации происходит за счет расширения газа вследствие падения давления, при движении жидкости со свободной поверхностью увеличение скорости фильтрации обусловлено уменьшением живого сечения пласта, вызванным непрерывным уменьшением высоты уровня жидкости в пласте по мере приближения ее к галерее.

5. Установившиеся безнапорные течения

Безнапорным называется фильтрационное течение, при котором полный напор недостаточен для того, чтобы жидкость поднялась до кровли пласта, в результате чего фильтрационный поток ограничивается сверху свободной поверхностью - поверхностью раздела между грунтовыми водами и воздухом или между нефтью и газом. Аналогичное течение имеем в тех случаях, когда под слоем движущейся нефти располагается неподвижная подошвенная вода. В термине «свободная поверхность» пренебрегается тем обстоятельством, что переходная область между жидкостью и газом или между двумя жидкостями в пористой среде не является резкой границей типа границы вода - воздух в стакане, а обязательно размыта из-за действия капиллярных сил. Толщина капиллярного переходного слоя измеряется десятками сантиметров и метрами. Поэтому кратко рассматриваемая в этом параграфе теория оказывается тем более точной, чем больше характерные размеры потока.

Будем рассматривать, таким образом, свободную границу как математическую поверхность, отделяющую фильтрационный поток от области, занятой неподвижной жидкостью. На этой границе должны выполняться два физических условия. С одной стороны, такая поверхность представляет собой поверхность тока, на которой нормальная компонента скорости обращается в нуль:

U_n|г=0, (5.1)

а с другой стороны - давление на свободной границе определяется гидростатическим давлением пограничной с фильтрационным потоком неподвижной жидкости, и потому

Р|г=р₀-р'gz (5.2)

где р '-- плотность «соседней» жидкости; р₀ - давление в этой жидкости на горизонтальной поверхности (z = 0). В частности, если фильтрационный поток граничит с частью пласта, заполненной воздухом или газом пренебрежимо малой плотности, то из (5.2) получаем условие постоянства давления на свободной поверхности безнапорного потока р|г = р_о. Именно выполнение этого условия характерно для безнапорных течений.

Свободная граница отличается от заданных заранее тем, что на ней ставятся два граничных условия вместо одного. Лишнее краевое условие служит для отыскания неизвестной заранее свободной границы.

Безнапорные фильтрационные течения играют основную роль в теории движения грунтовых вод. В настоящее время создан аналитический аппарат, позволяющий получить точные решения ряда важных задач. Эти задачи и их решения рассмотрены детально в классической монографии П. Я. Кочиной. В последующем изложении используется лишь приближенная гидравлическая теория так называемых пологих безнапорных движений.

Под пологим фильтрационным движением понимается движение, происходящее в пластах с конечной глубиной водо - упора, в котором вертикальная компонента скорости фильтрации uz мала по сравнению с горизонтальной компонентой. Так как характерной скоростью при безнапорном фильтрационном движении является коэффициент фильтрации С, то горизонтальная компонента скорости может быть либо порядка С, либо мала по сравнению с С, т. е.

Uz<<C=kpg/µ. (5.3)

Это неравенство можно переписать еще так:

µUz/k<<pg. (5.4)

Но µUz/k представляет собой ту часть вертикальной компоненты градиента давления, которая обусловлена движением. Из неравенства (5.4) следует, что вертикальная компонента фильтрационного градиента давления при пологих безнапорных движениях мала по сравнению с гидростатической. Поэтому распределение давления по вертикали можно при пологих движениях считать гидростатическим. Выведем одно важное для дальнейших рассуждений соотношение. Рассмотрим объем V, ограниченный свободной поверхностью жидкости и некоторой цилиндрической поверхностью с вертикальными образующими. Обозначим через h расстояние от свободной поверхности жидкости до водо - упора, а через z₀ расстояние от водо - упора до горизонтальной плоскости г = 0. Объем жидкости, заключенной в области V и приращение этого объема за время dt равны соответственно

(5.5)

где S -- проекция объема V на горизонтальную плоскость.

Вместе с тем указанное приращение объема равно объему жидкости, притекающей в область V извне за время dt:

(5.6)

где Г - замкнутый контур, ограничивающий площадку S; U_n - нормальная компонента скорости и; q_n - нормальная компонента вектора потока q на Г.

Приравнивая (5.5) и (5.6), по формуле преобразования контурного интеграла в интеграл по площади и с учетом того, что площадка S может быть выбрана произвольно, получаем уравнение:

mh_t+div₂q=0. (5.7)

Заметим, что уравнение (5.7) -точное, справедливое независимо от каких-либо допущений.

Для установления связи между q и h воспользуемся предположением о пологости движения.

По предыдущему, давление в этом случае распределяется по вертикали с точностью до малых величин по гидростатическому закону, так что величина H= z + p/pg вдоль каждой вертикали будет постоянна и равна h + z₀:

H = h + z₀ + O (Uz/С); U = - С grad2 (h + z₀) + О (Uz).

Таким образом, пренебрегая малыми величинами, скорость и можно вынести из-под знака интегрирования по вертикали в соотношении (5.6), определяющем вектор q. Получаем

q = - Chgrad₂(h + z₀). (5.8)

Подставляя (5.8) в (5.7), имеем:

h_t = (С/m) div (hgrad(h + z₀)). (5.9)

В частности, если поверхность водо - упора представляет собой горизонтальную плоскость (z₀ = 0), уравнение (5.9) принимает вид:

h_t = б?h², б = C/2m = 2^-1kpg(µm)^-1. (5.10)

Уравнения (5.9) и (5.10) были впервые получены Буссинеском.

Для стационарных движений уравнение Буссинеска приводится к уравнению Лапласа для квадратичной функции напора:

?x = 0, х = 2^-1 (h² + 2hz₀). (5.11)

Теория пологих безнапорных движений приближенная. Несмотря на это, при фильтрации в области, ограниченной цилиндрической поверхностью с вертикальными образующими и горизонтальным водо - упором, на основе такой теории получаются точные значения дебитов и точные распределения по плоскости вектора интегрального потока q.

6. Одномерные безнапорные фильтрационные потоки жидкости

Безнапорное движение жидкости - это такое движение, в котором пьезометрическая поверхность совпадает со свободной поверхностью фильтрующейся жидкости, над которой давление постоянно.

При неподвижном состоянии жидкости ее свободная поверхность горизонтальна, в процессе движения она искривляется, понижаясь вдоль потока.

Безнапорное движение в добыче нефти встречается при шахтной и карьерной разработке нефтяных месторождений. Задачи безнапорного движения интересуют в большей степени гидротехников, например при фильтрации воды через земляные плотины, притоке грунтовой воды к скважинам и колодцам и др. Кроме того, задачи безнапорной фильтрации представляют большой теоретический интерес. Они значительно труднее, чем аналогичные задачи напорного движения. Главная трудность точного решения задач безнапорной фильтрации заключается в том, что неизвестна форма области, занятой грунтовым потоком. В напорной фильтрации форма области потока известна, так как непроницаемые кровля и подошва пласта фиксированы.

Рассмотрим прямоугольную перемычку (плотину), через которую происходит фильтрация жидкости (рисунок 6.1). Уровень жидкости Н₁, называется верхним бьефом, уровень Н₂ - нижним бьефом. Свободная поверхность жидкости, фильтрующейся через тело плотины, называется депрессионной (пьезометрической) поверхностью (кривая ABC). Свободная поверхность выходит на правую грань всегда выше нижнего бьефа. Величина ВС называется промежутком высачивания.

Гидравлическая теория безнапорного движения основывается на следующих допущениях:

1) горизонтальные компоненты скорости фильтрации распределены равномерно в любом поперечном сечении потока;

2) давление вдоль вертикали распределено по гидростатическому закону, т. е. напор.

Рисунок 6.1. Схема безнапорного течения через прямоугольную перемычку

(6.1)

Таким образом, напор вдоль каждой вертикали предполагается постоянным.

Считая давление на свободной поверхности атмосферным (т.е. избыточное давление равно нулю), из (6.1), получим, что напор равен глубине потока h: Н=h.

Горизонтальная компонента скорости фильтрации постоянна вдоль вертикали и равна:

W_x=-k_фdh/dx,

где k_ф = kрq/з - коэффициент фильтрации.

Вертикальная компонента скорости фильтрации равна нулю. Расход жидкости на единицу ширины потока q, т.е. через прямоугольник высотой h и единичной шириной равен:

q= W_x/h*l= k_фhdh/dx (6.2)

Из этой формулы найдем уравнение свободной поверхности. Разделив переменные и проинтегрировав, получим:

Здесь постоянная интегрирования С находится из граничного условия h = Н₁ при х = 0 и равна k_ф Н₁²/2. Тогда уравнение свободной поверхности принимает вид:

qx= k_ф(H₁²-h²)/2. (6.3)

Отсюда легко найти глубину потока h в любом сечении х. Предварительно найдем расход жидкости q. Подставив в (6.3) второе граничное условие h = H 2 при х = l, получим:

q= k_ф(H₁²- H₂²)/(2l). (6.4)

и расход жидкости Q через плотину шириной В будет равен:

Q=Bk_ф(H₁²- H₂²) )/(2l)=Bkpq(H₁²- H₂²)/(2зl) (6.5)

Форму депрессионной поверхности (пьезометрической линии АС) найдем из формулы (6.3). Подставив в нее выражение (6.4) для расхода q, получим:

(6.6)

Таким образом, согласно гидравлической теории безнапорного движения, пьезометрическая линия АС является параболой, что, строго говоря, не отражает реальную картину течения.

Это ясно из следующих соображений. Из формулы (6.6) при Н₂ = 0 у выхода в нижний бьеф (при х = l) получим h = 0 и, следовательно, бесконечную скорость фильтрации W_x = q/h, что физически невозможно.

Следовательно, в действительности должно быть h (l) > H₂, т. е. должен существовать промежуток высачивания ВС и пьезометрическая кривая будет иметь вид ABC, а не АС.

Формула же для дебита (6.5), хотя и выведена на основании приближенных допущений, тем не менее является точной, как было доказано И. А . Чарным.

Рассмотрим теперь схему установившегося безнапорного притока жидкости к совершенной скважине (или колодцу) (рисунок 6.2). Пусть на расстоянии R_k уровень грунтовых вод постоянен и равен Н_к, в скважине установлен постоянный уровень H_с.

Рисунок 6.2. Схема безнапорного притока к совершенной скважине

Скорость фильтрации на расстоянии r от оси скважины:

W_r=- k_фdh/dr,

а расход жидкости через боковую поверхность цилиндра:

Q=|W| 2рrh=k_ф2рrhdh/dr. (6.7)

Разделив в (6.7) переменные и проинтегрировав, получим:

Q ln r = р k_ф h² + С,

где постоянная интегрирования С находится из граничного условия на контуре питания: Н = H_k. или r = R_k.

Тогда имеем:

Q ln (Rk/r) = р k_ф (H_k²- h²), (6.8)

откуда найдем дебит жидкости подставив второе граничное условие на забое скважины: Н = Н_с при r= r_с.

В результате получим:

(6.9)

Разрешив уравнение (6.8) относительно h, найдем уравнение

депрессионной кривой АС:

(6.10)

Формулы (6.5) и (6.9) называются формулами Дюпюи.

7. Задачи

№66

Для возведения фундамента требуется понизить уровень грунтовых вод на 1,5м на площади 10х10 м² при помощи дренирования. Уровень грунтовых вод находится на глубине 0,5 м от поверхности земли. Вырыт колодец радиусом 20 см на глубину 6,5 м (рисунок 7.1). Определить:

1. производительность насоса для обеспечения необходимого дренажа;

2. на каком расстоянии r' уровень воды понизится на 2 м, если производительность насоса увеличить на 10%.

Решение:

Рисунок 7.1

Как видно из чертежа, .

Определим необходимый уровень грунтовых вод на расстоянии r1=7.05м, отсчитывая его от дна колодца: h1=6-1,5=4,5м.

Уровень воды в колодце найдем по формуле:



Подсчитаем подачу насоса

Если подачу насоса увеличить на 10%, то она составит Q'=1.1, Q=0.163*10^-3 м³/с.

Определим уровень воды в колодце, соответствующий значению Q',

Найдем расстояние r', на котором понижение уровня воды равно 1,5м, т.е. h'=4.5 м.

или

откуда

и

№ 34

Скважина радиусом r_c=10 см расположена в центре кругового пласта радиусом R_k=350 м. Коэффициент проницаемости пласта k=0,8 Д, мощность h=12м, динамический коэффициент вязкости нефти µ=5сП. Определить дебит скважины, считая, что залежь по контуру радиуса R_k частично непроницаема (рисунок 7.2). Контур питания представляет собой в плане дугу окружности радиусом R_k с центральным углом б=120^о. Давление на контуре питания p_k=27,9 МПа (285 кгс/см²), давление на забое скважины p_c=7,84 МПа (80 кгс/см²).

Рисунок 7.2

Решение:

Выводы

В курсовой работе были рассмотрены одномерные установившиеся потоки жидкости и газа в пористой среде, схемы фильтрационных потоков и их описание, приведены расчеты основных характеристик одномерных фильтрационных потоков жидкости и газа, по полученным данным построены графики зависимостей фазовых проницаемостей от насыщенности жидкостью парового пространства песков. В заключении предложены решенные задачи, показывающие практическое применение данных методов.

Список литературы:

1. К.С. Басниев, И.Н. Кочина, В.М. Максимов «Подземная гидромеханика», М.: Недра, 1993, 416 с.

2. В.Н. Щелкачев, Б.Б Лапук «Подземная гидравлика», М.-Ижевск: РХД, 2001, 736 с.

3. В.Н. Николаевский, К.С. Басниев, А.Т. Горбунов, Г.А. Зотов «Механика насыщенных пористых сред», М.: Недра, 1970, 336 с.

4. М. Маскет «Течение однородных жидкостей в пористой среде», М.-Ижевск: ИКИ, 2004, 628 с.

5. Г.И. Баренблатт, В.М. Енотов, В.М. Рыжик «Движение жидкостей и газов в пористых пластах», М.: недра, 1982, 208 с.

Размещено на Allbest.ru