Економіко-математичне моделювання

Характерними рисами математичної моделі ігрової ситуації є наявність, по-перше, кількох учасників, яких називають гравцями, по-друге, опису можливих дій кожної із сторін, що називаються стратегіями, по-третє, визначених результатів дій для кожного гравця, що подаються функціями виграшу. Задачею кожного гравця є знаходження оптимальної стратегії, яка за умови багатократного повторення гри забезпечує даному гравцю максимально можливий середній виграш.

сьогодні це:

? Математичні моделі торгів та аукціонів (мікрорівень).

? Виробнича поведінка фірм як на рівні продукту, так і на рівні його виробництва, - включаючи також і поведінку внутрішніх для фірми суб'єктів (на проміжному рівні економіки).

? Моделі конкуренції країн та торгівельна політика держав, монетарна політика (макрорівень)

Результати (плата) за всіма можливими варіантами гри задаються спеціальними функціями, які залежать від стратегій гравців, як правило, у вигляді платіжної матриці.

Нехай -- виграш гравця А;

-- виграш гравця В.

Оскільки гра з нульовою сумою, то

Тоді в разі, якщо то

Отже, мета гравця А -- максимізувати величину , а гравця В -- мінімізувати її. Нехай тобто маємо матрицю А:

де рядки відповідають стратегіям Аі, а стовпці -- стратегіям Bj.

Матриця А називається платіжною, а також матрицею гри. Елемент цієї матриці aij -- це виграш гравця А, якщо він вибрав стратегію Ai, а гравець В -- стратегію Bj.

25. Матричні ігри двох осіб. Гра у чистих стратегіях. Максимінна та мінімаксна стратегія. Сідлова точка

Найчастіше розглядається гра з двома гравцями, в якій виграш однієї сторони дорівнює програшу іншої, а сума виграшів обох сторін дорівнює нулю, що в теорії ігор називають грою двох осіб з нульовою сумою. Основною метою розв'язування задач цього класу є розроблення рекомендацій щодо вибору оптимальних стратегій конфліктуючих сторін на основі застосування методичних підходів теорії ігор.

Цілком визначені ігри називаються іграми з сідловою точкою, а елемент платіжної матриці, значення якого дорівнює виграшу гравця А (програшу гравця В) і є сідловою точкою. В цій ситуації оптимальним рішенням гри для обох сторін є вибір лише однієї з можливих, так званих чистих стратегій -- максимінної для гравця А та мінімаксної для гравця В, тобто якщо один із гравців притримується оптимальної стратегії, то для другого відхилення від його оптимальної стратегії не може бути вигідним.

Максимін - це максимальний виграш, який гравець А може собі гарантувати в грі проти розумного противника.

Якщо гравець А буде дотримуватись максимінної стратегії, то йому при будь-якої розумної поведінці гравця В гарантовано виграш, не менший ніж а.

Мінімакс - це мінімальний програш, який гравець В може собі дозволити в грі проти розумного противника.

Якщо гравець В буде дотримуватись найбільш обережної з усіх стратегій - мінімаксної - то йому при будь-якої випадку забезпечено програш, не більший ніж в.

Стратегія, яка відповідає мінімаксу називається мінімаксною.

26. Змішані стратегії. Приведення задачі ігор зі змішаними стратегіями до задачі ЛП. Основна теорема теорії матричних ігор

Скінченні ігри, як правило, не мають сідлової точки. Якщо гра не має сідлової точки, тобто і то максимінно-мінімаксні стратегії не є оптимальними, тобто кожна із сторін може покращити свій результат, вибираючи інший підхід. Оптимальний розв'язок такої гри знаходять шляхом застосуваннязмішаних стратегій, які є певними комбінаціями початкових «чистих» стратегій. Тобто змішана стратегія передбачає використання кількох «чистих» стратегій з різною частотою.

Ймовірності (або частоти) вибору кожної стратегії задаються відповідними векторами:

для гравця А -- вектор де

для гравця В -- вектор де

Очевидно, що .

Виявляється, що коли використовуються змішані стратегії, то для кожної скінченної гри можна знайти пару стійких оптимальних стратегій. Існування такого розв'язку визначає теорема, яку наведемо без доведення.

Теорема (основна теорема теорії ігор). Кожна скінченна гра має, принаймні, один розв'язок, можливий в області змішаних стратегій.

Нехай маємо скінченну матричну гру з платіжною матрицею

Оптимальні змішані стратегії гравців А і В за теоремою визначають вектори і , що дають змогу отримати виграш:.

Використання оптимальної змішаної стратегії гравцем А має забезпечувати виграш на рівні, не меншому, ніж ціна гри за умови вибору гравцем В будь-яких стратегій. Математично ця умова записується так:

(11.1)

З другого боку, використання оптимальної змішаної стратегії гравцем В має забезпечувати за будь-яких стратегій гравця А програш, що не перевищує ціну гри u, тобто:

(11.2)

Ці співвідношення використовуються для знаходження розв'язку гри.

Зауважимо, що в даному разі розраховані оптимальні стратегії завжди є стійкими, тобто якщо один з гравців притримується своєї оптимальної змішаної стратегії, то його виграш залишається незмінним і дорівнює ціні гри u незалежно від того, яку із можливих змішаних стратегій вибрав інший гравець.

Размещено на Allbest.ru