Методы оптимальных решений

3. Определение новой свободной переменной.

Вычислим значения D_i по строкам как частное от деления: b_i / a_i3

и из них выберем наименьшее:

min (81 : 3 , 68 : 6 , 54 : 7 ) = 7⁵/₇

Следовательно, 3-ая строка является ведущей.

Разрешающий элемент равен (7) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	min
x4	81	7	8	3	1	0	0	27
x5	68	4	1	6	0	1	0	111/3
x6	54	5	1	7	0	0	1	75/7
F(X1)	0	-2	-5	-6	0	0	0	0

4. Пересчет симплекс-таблицы.

Формируем следующую часть симплексной таблицы.

Вместо переменной x₆ в план 1 войдет переменная x₃.

Строка, соответствующая переменной x₃ в плане 1, получена в результате деления всех элементов строки x₆ плана 0 на разрешающий элемент РЭ=7

На месте разрешающего элемента в плане 1 получаем 1.

В остальных клетках столбца x₃ плана 1 записываем нули.

Таким образом, в новом плане 1 заполнены строка x₃ и столбец x₃.

Все остальные элементы нового плана 1, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.

Для этого выбираем из старого плана четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.

НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ

СТЭ - элемент старого плана, РЭ - разрешающий элемент (7), А и В - элементы старого плана, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

B	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5	x 6
81-(54 * 3):7	7-(5 * 3):7	8-(1 * 3):7	3-(7 * 3):7	1-(0 * 3):7	0-(0 * 3):7	0-(1 * 3):7
68-(54 * 6):7	4-(5 * 6):7	1-(1 * 6):7	6-(7 * 6):7	0-(0 * 6):7	1-(0 * 6):7	0-(1 * 6):7
54 : 7	5 : 7	1 : 7	7 : 7	0 : 7	0 : 7	1 : 7
0-(54 * -6):7	-2-(5 * -6):7	-5-(1 * -6):7	-6-(7 * -6):7	0-(0 * -6):7	0-(0 * -6):7	0-(1 * -6):7



Получаем новую симплекс-таблицу:

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6
x4	405/7	34/7	53/7	0	1	0	-3/7
x5	152/7	-2/7	1/7	0	0	1	-6/7
x3	54/7	5/7	1/7	1	0	0	1/7
F(X1)	324/7	16/7	-29/7	0	0	0	6/7

Итерация №1.

1. Проверка критерия оптимальности.

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.

2. Определение новой базисной переменной.

В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x₂, так как это наибольший коэффициент по модулю.

3. Определение новой свободной переменной.

Вычислим значения D_i по строкам как частное от деления: b_i / a_i2

и из них выберем наименьшее:

min (57⁶/₇ : 7⁴/₇ , 21⁵/₇ : ¹/₇ , 7⁵/₇ : ¹/₇ ) = 7³⁴/₅₃

Следовательно, 1-ая строка является ведущей.

Разрешающий элемент равен (7⁴/₇) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	min
x4	576/7	46/7	74/7	0	1	0	-3/7	734/53
x5	215/7	-2/7	1/7	0	0	1	-6/7	152
x3	75/7	5/7	1/7	1	0	0	1/7	54
F(X2)	462/7	22/7	-41/7	0	0	0	6/7	0

4. Пересчет симплекс-таблицы.

Формируем следующую часть симплексной таблицы.

Вместо переменной x₄ в план 2 войдет переменная x₂.

Строка, соответствующая переменной x₂ в плане 2, получена в результате деления всех элементов строки x₄ плана 1 на разрешающий элемент РЭ=7⁴/₇

На месте разрешающего элемента в плане 2 получаем 1.

В остальных клетках столбца x₂ плана 2 записываем нули.

Таким образом, в новом плане 2 заполнены строка x₂ и столбец x₂.

Все остальные элементы нового плана 2, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

B	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5	x 6
576/7 : 74/7	46/7 : 74/7	74/7 : 74/7	0 : 74/7	1 : 74/7	0 : 74/7	-3/7 : 74/7
215/7-(576/7 * 1/7):74/7	-2/7-(46/7 * 1/7):74/7	1/7-(74/7 * 1/7):74/7	0-(0 * 1/7):74/7	0-(1 * 1/7):74/7	1-(0 * 1/7):74/7	-6/7-(-3/7 * 1/7):74/7
75/7-(576/7 * 1/7):74/7	5/7-(46/7 * 1/7):74/7	1/7-(74/7 * 1/7):74/7	1-(0 * 1/7):74/7	0-(1 * 1/7):74/7	0-(0 * 1/7):74/7	1/7-(-3/7 * 1/7):74/7
462/7-(576/7 * -41/7):74/7	22/7-(46/7 * -41/7):74/7	-41/7-(74/7 * -41/7):74/7	0-(0 * -41/7):74/7	0-(1 * -41/7):74/7	0-(0 * -41/7):74/7	6/7-(-3/7 * -41/7):74/7

Получаем новую симплекс-таблицу:

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6
x2	405/53	34/53	1	0	7/53	0	-3/53
x5	1093/53	-20/53	0	0	-1/53	1	-45/53
x3	351/53	33/53	0	1	-1/53	0	8/53
F(X2)	4131/53	262/53	0	0	29/53	0	33/53

1. Проверка критерия оптимальности.

Среди значений индексной строки нет отрицательных. Поэтому эта таблица определяет оптимальный план задачи.

Окончательный вариант симплекс-таблицы:

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6
x2	405/53	34/53	1	0	7/53	0	-3/53
x5	1093/53	-20/53	0	0	-1/53	1	-45/53
x3	351/53	33/53	0	1	-1/53	0	8/53
F(X3)	4131/53	262/53	0	0	29/53	0	33/53

Оптимальный план можно записать так:

x₂ = 7³⁴/₅₃

x₃ = 6³³/₅₃

F(X) = 5*7³⁴/₅₃ + 6*6³³/₅₃ = 77⁵⁰/₅₃

Составим двойственную задачу к прямой задаче.

7y₁ + 4y₂ + 5y₃?2

8y₁ + y₂ + y₃?5

3y₁ + 6y₂ + 7y₃?6

81y₁ + 68y₂ + 54y₃ > min

y₁ ? 0

y₂ ? 0

y₃ ? 0

Решение двойственной задачи дает оптимальную систему оценок ресурсов.

Используя последнюю итерацию прямой задачи найдем, оптимальный план двойственной задачи.

Из теоремы двойственности следует, что Y = C*A^-1.

Составим матрицу A из компонентов векторов, входящих в оптимальный базис.

A = (A2, A5, A3) =	8 0 3 1 1 6 1 0 7

Определив обратную матрицу D = А^-1 через алгебраические дополнения, получим:



D = A-1 =	7/53 0 -3/53 -1/53 1 -45/53 -1/53 0 8/53

Как видно из последнего плана симплексной таблицы, обратная матрица A^-1 расположена в столбцах дополнительных переменных.

Тогда Y = C*A^-1 =

(5, 0, 6) x	7/53 0 -3/53 -1/53 1 -45/53 -1/53 0 8/53	= (29/53;0;33/53)

Оптимальный план двойственной задачи равен:

y₁ = ²⁹/₅₃

y₂ = 0

y₃ = ³³/₅₃

Z(Y) = 81*²⁹/₅₃+68*0+54*³³/₅₃ = 77⁵⁰/₅₃

Критерий оптимальности полученного решения. Если существуют такие допустимые решения X и Y прямой и двойственной задач, для которых выполняется равенство целевых функций F(x) = Z(y), то эти решения X и Y являются оптимальными решениями прямой и двойственной задач соответственно.

Определение дефицитных и недефицитных (избыточных) ресурсов. Вторая теорема двойственности.

Подставим оптимальный план прямой задачи в систему ограниченной математической модели:

7*0 + 8*7³⁴/₅₃ + 3*6³³/₅₃ = 81 = 81

4*0 + 1*7³⁴/₅₃ + 6*6³³/₅₃ = 47²⁰/₅₃ < 68

5*0 + 1*7³⁴/₅₃ + 7*6³³/₅₃ = 54 = 54

1-ое ограничение прямой задачи выполняется как равенство. Это означает, что 1-ый ресурс полностью используется в оптимальном плане, является дефицитным и его оценка согласно второй теореме двойственности отлична от нуля (y₁>0).

2-ое ограничение выполняется как строгое неравенство, т.е. ресурс 2-го вида израсходован не полностью. Значит, этот ресурс не является дефицитным и его оценка в оптимальном плане y₂ = 0.

Неиспользованный экономический резерв ресурса 2 составляет 20³³/₅₃ (68-47²⁰/₅₃).

Этот резерв не может быть использован в оптимальном плане, но указывает на возможность изменений в объекте моделирования (например, резерв ресурса можно продать или сдать в аренду).

3-ое ограничение прямой задачи выполняется как равенство. Это означает, что 3-ый ресурс полностью используется в оптимальном плане, является дефицитным и его оценка согласно второй теореме двойственности отлична от нуля (y₃>0).

Таким образом, отличную от нуля двойственные оценки имеют лишь те виды ресурсов, которые полностью используются в оптимальном плане. Поэтому двойственные оценки определяют дефицитность ресурсов.

Обоснование эффективности оптимального плана.

При подстановке оптимальных двойственных оценок в систему ограничений двойственной задачи получим:

7*²⁹/₅₃ + 4*0 + 5*³³/₅₃ = 6⁵⁰/₅₃ > 2

8*²⁹/₅₃ + 1*0 + 1*³³/₅₃ = 5 = 5

3*²⁹/₅₃ + 6*0 + 7*³³/₅₃ = 6 = 6

1-ое ограничение выполняется как строгое неравенство, т.е. ресурс 1-го вида использовать экономически не выгодно. И действительно в оптимальном плане прямой задачи x₁ = 0.

Поскольку теневая (альтернативная) цена больше рыночной цены этого продукта, то выгоднее продать ресурсы по рыночным ценам.

При этом разница между ценами (6⁵⁰/₅₃ - 2 = 4⁵⁰/₅₃) показывает величину изменения целевой функции F(x) при введении дополнительной единицы x_i.

2-ое ограничение двойственной задачи выполняется как равенство. Это означает, что 2-ый ресурс экономически выгодно использовать, а его использование предусмотрено оптимальным планом прямой задачи (x₂>0).

3-ое ограничение двойственной задачи выполняется как равенство. Это означает, что 3-ый ресурс экономически выгодно использовать, а его использование предусмотрено оптимальным планом прямой задачи (x₃>0).

Задание № 2

Необходимо найти минимальное значение целевой функции F = 12x₁+4x₂ > min, при системе ограничений:

2x1?34	(1)
17x1+12x2?204	(2)
-10x1+25x2?0	(3)
23x1+27x2?621	(4)
x1?0	(5)
x2?0	(6)

Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).



Задача не имеет допустимых решений. ОДР представляет собой пустое множество.

Задание № 3. Транспортная задача.

С целью составления двойственной задачи переменные x_ij в условии (2) заменим на u₁, u₂, u_i,.., u_m, а переменные x_ij в условия (3) на v₁, v₂, v_j,.., v_n.

Поскольку каждая переменная x_ij входит в условия (2,3) и целевую функцию (1) по одному разу, то двойственную задачу по отношению к прямой транспортной задаче можно сформулировать следующим образом.

Требуется найти не отрицательные числа u_i (при i = 1,2,…,m) и v_j (при j = 1,2,..,n), обращающие в максимум целевую функцию

G = ?a_iu_i + ?b_jv_j

при условии

u_i + v_j <= c_ij, i = 1,2,..,m; j = 1,2,..,n (4)

В систему условий (4) будет mxn неравенств. По теории двойственности для оптимальных планов прямой и двойственной задачи для всех i,j должно быть:

u_i + v_j <= c_ij, если x_ij = 0,

u_i + v_j = c_ij, если x_ij >= 0,

Эти условия являются необходимыми и достаточными признаками оптимальности плана транспортной задачи.

Числа u_i , v_j называются потенциалами. Причем число u_i называется потенциалом поставщика, а число v_j - потенциалом потребителя.

По первой теореме двойственности в оптимальном решении значения целевых функций прямой и двойственных задач совпадают: F = G.

Стоимость доставки единицы груза из каждого пункта отправления в соответствующие пункты назначения задана матрицей тарифов

	1	2	3	Запасы
1	4	2	3	140
2	5	3	2	120
3	1	2	3	140
Потребности	98	122	100

Проверим необходимое и достаточное условие разрешимости задачи.

?a = 140 + 120 + 140 = 400

?b = 98 + 122 + 100 = 320

Как видно, суммарная потребность груза в пунктах назначения превышает запасы груза на базах. Следовательно, модель исходной транспортной задачи является открытой. Чтобы получить закрытую модель, введем дополнительную (фиктивную) базу с запасом груза, равным 80 (400--320). Тарифы перевозки единицы груза из базы во все магазины полагаем равны нулю.

Занесем исходные данные в распределительную таблицу.

	1	2	3	4	Запасы
1	4	2	3	0	140
2	5	3	2	0	120
3	1	2	3	0	140
Потребности	98	122	100	80

Этап I. Поиск первого опорного плана.

1. Используя метод наименьшей стоимости, построим первый опорный план транспортной задачи.

Суть метода заключается в том, что из всей таблицы стоимостей выбирают наименьшую, и в клетку, которая ей соответствует, помещают меньшее из чисел a_i, или b_j.

Затем, из рассмотрения исключают либо строку, соответствующую поставщику, запасы которого полностью израсходованы, либо столбец, соответствующий потребителю, потребности которого полностью удовлетворены, либо и строку и столбец, если израсходованы запасы поставщика и удовлетворены потребности потребителя.

Из оставшейся части таблицы стоимостей снова выбирают наименьшую стоимость, и процесс распределения запасов продолжают, пока все запасы не будут распределены, а потребности удовлетворены.

Искомый элемент равен 1

Для этого элемента запасы равны 140, потребности 98. Поскольку минимальным является 98, то вычитаем его.

x₃₁ = min(140,98) = 98.

x	2	3	0	140
x	3	2	0	120
1	2	3	0	140 - 98 = 42
98 - 98 = 0	122	100	80	0

Искомый элемент равен 2

Для этого элемента запасы равны 140, потребности 122. Поскольку минимальным является 122, то вычитаем его.

x₁₂ = min(140,122) = 122.

x	2	3	0	140 - 122 = 18
x	x	2	0	120
1	x	3	0	42
0	122 - 122 = 0	100	80	0

Искомый элемент равен 2

Для этого элемента запасы равны 120, потребности 100. Поскольку минимальным является 100, то вычитаем его.

x₂₃ = min(120,100) = 100.

x	2	x	0	18
x	x	2	0	120 - 100 = 20
1	x	x	0	42
0	0	100 - 100 = 0	80	0

Искомый элемент равен 0

Для этого элемента запасы равны 18, потребности 80. Поскольку минимальным является 18, то вычитаем его.

x₁₄ = min(18,80) = 18.

x	2	x	0	18 - 18 = 0
x	x	2	0	20
1	x	x	0	42
0	0	0	80 - 18 = 62	0

Искомый элемент равен 0

Для этого элемента запасы равны 20, потребности 62. Поскольку минимальным является 20, то вычитаем его.

x₂₄ = min(20,62) = 20.

x	2	x	0	0
x	x	2	0	20 - 20 = 0
1	x	x	0	42
0	0	0	62 - 20 = 42	0

Искомый элемент равен 0

Для этого элемента запасы равны 42, потребности 42. Поскольку минимальным является 42, то вычитаем его.

x₃₄ = min(42,42) = 42.

x	2	x	0	0
x	x	2	0	0
1	x	x	0	42 - 42 = 0
0	0	0	42 - 42 = 0	0



	1	2	3	4	Запасы
1	4	2[122]	3	0[18]	140
2	5	3	2[100]	0[20]	120
3	1[98]	2	3	0[42]	140
Потребности	98	122	100	80

В результате получен первый опорный план, который является допустимым, так как все грузы из баз вывезены, потребность магазинов удовлетворена, а план соответствует системе ограничений транспортной задачи.

2. Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 6, а должно быть m + n - 1 = 6. Следовательно, опорный план является невырожденным.

Значение целевой функции для этого опорного плана равно:

F(x) = 2*122 + 0*18 + 2*100 + 0*20 + 1*98 + 0*42 = 542

Этап II. Улучшение опорного плана.

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы u_i, v_j. по занятым клеткам таблицы, в которых u_i + v_j = c_ij, полагая, что u₁ = 0.

u₁ + v₂ = 2; 0 + v₂ = 2; v₂ = 2

u₁ + v₄ = 0; 0 + v₄ = 0; v₄ = 0

u₂ + v₄ = 0; 0 + u₂ = 0; u₂ = 0

u₂ + v₃ = 2; 0 + v₃ = 2; v₃ = 2

u₃ + v₄ = 0; 0 + u₃ = 0; u₃ = 0

u₃ + v₁ = 1; 0 + v₁ = 1; v₁ = 1

	v1=1	v2=2	v3=2	v4=0
u1=0	4	2[122]	3	0[18]
u2=0	5	3	2[100]	0[20]
u3=0	1[98]	2	3	0[42]

Опорный план является оптимальным, так все оценки свободных клеток удовлетворяют условию u_i + v_j <= c_ij.

Минимальные затраты составят:

F(x) = 2*122 + 0*18 + 2*100 + 0*20 + 1*98 + 0*42 = 542

Проверим оптимальность найденного плана по первой теореме двойственности (в оптимальном решении значения целевых функций прямой и двойственных задач совпадают: F = G).

G = 0*140 + 0*120 + 0*140 + 1*98 + 2*122 + 2*100 + 0*80 = 542

Анализ оптимального плана.

Из 1-го склада необходимо весь груз направить в 2-й магазин

Из 2-го склада необходимо весь груз направить в 3-й магазин

Из 3-го склада необходимо весь груз направить в 1-й магазин

На 1-ом складе остался невостребованным груз в количестве 18 ед.

Оптимальный план является вырожденным, так как базисная переменная x₁₄=0.

На 2-ом складе остался невостребованным груз в количестве 20 ед.

Оптимальный план является вырожденным, так как базисная переменная x₂₄=0.

На 3-ом складе остался невостребованным груз в количестве 42 ед.

Оптимальный план является вырожденным, так как базисная переменная x₃₄=0.

Задание № 4

Системы массового обслуживания.

Исчисляем показатели обслуживания многоканальной СМО:

Интенсивность потока обслуживания:

1. Интенсивность нагрузки.

с = л * t_обс = 1 * 6/60 = 0.1

Интенсивность нагрузки с=0.1 показывает степень согласованности входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания.

3. Вероятность, что канал свободен (доля времени простоя каналов).

= =

Следовательно, 90% в течение часа канал будет не занят, время простоя равно t_пр = 54.1 мин.

Вероятность того, что обслуживанием:

занят 1 канал:

p₁ = с¹/1! p₀ = 0.1¹/1! * 0.9 = 0.0901

заняты 2 канала:

p₂ = с²/2! p₀ = 0.1²/2! * 0.9 = 0.0045

заняты 3 канала:

p₃ = с³/3! p₀ = 0.1³/3! * 0.9 = 0.00015

заняты 4 канала:

p₄ = с⁴/4! p₀ = 0.1⁴/4! * 0.9 = 4.0E-6

заняты 5 каналов:

p₅ = с⁵/5! p₀ = 0.1⁵/5! * 0.9 = 0

заняты 6 каналов:

p₆ = с⁶/6! p₀ = 0.1⁶/6! * 0.9 = 0

заняты 7 каналов:

p₇ = с⁷/7! p₀ = 0.1⁷/7! * 0.9 = 0

заняты 8 каналов:

p₈ = с⁸/8! p₀ = 0.1⁸/8! * 0.9 = 0

заняты 9 каналов:

p₉ = с⁹/9! p₀ = 0.1⁹/9! * 0.9 = 0

заняты 10 каналов:

p₁₀ = с¹⁰/10! p₀ = 0.1¹⁰/10! * 0.9 = 0

4. Доля заявок, получивших отказ.

Заявки не получают отказ. Обслуживаются все поступившие заявки.

5. Вероятность обслуживания поступающих заявок.

В системах с отказами события отказа и обслуживания составляют полную группу событий, поэтому:

p_отк + p_обс = 1

Относительная пропускная способность: Q = p_обс.

p_обс = 1 - p_отк = 1 - 0 = 1

Следовательно, 100% из числа поступивших заявок будут обслужены. Приемлемый уровень обслуживания должен быть выше 90%.

6. Среднее число каналов, занятых обслуживанием.

n_з = с * p_обс = 0.1 * 1 = 0.1 канала.

Среднее число простаивающих каналов.

n_пр = n - n_з = 10 - 0.1 = 9.9 канала.

7. Коэффициент занятости каналов обслуживанием.

Следовательно, система на 0% занята обслуживанием.

8. Абсолютная пропускная способность.

A = p_обс * л = 1 * 1 = 1 заявок/час.

9. Среднее время простоя СМО.

t_пр = p_отк * t_обс = 0 * 0.1 = 0 час.

12. Среднее число обслуживаемых заявок.

L_обс = с * Q = 0.1 * 1 = 0.1 ед.

Число заявок, получивших отказ в течение часа: л * p₁ = 0 заявок в час.

Номинальная производительность СМО: 10 / 0.1 = 100 заявок в час.

Фактическая производительность СМО: 1 / 100 = 1% от номинальной производительности.

Задание № 5

Математические модели пары двойственных задач линейного программирования можно записать так:

найти минимум функции F(x) при ограничениях:

12x₁+3x₂+9x₃+14x₄ ? 1

9x₁+18x₂+13x₃+4x₄ ? 1

F(x) = x₁+x₂+x₃+x₄ = min

найти максимум функции Ф(y) при ограничениях:

12y₁+9y₂ ? 1

3y₁+18y₂ ? 1

9y₁+13y₂ ? 1

14y₁+4y₂ ? 1

Ф(y) = y₁+y₂ = max

Решаем эти системы симплексным методом

12x₁ + 9x₂ + 1x₃ + 0x₄ + 0x₅ + 0x₆ = 1

3x₁ + 18x₂ + 0x₃ + 1x₄ + 0x₅ + 0x₆ = 1

9x₁ + 13x₂ + 0x₃ + 0x₄ + 1x₅ + 0x₆ = 1

14x₁ + 4x₂ + 0x₃ + 0x₄ + 0x₅ + 1x₆ = 1

Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:

A =	12 9 1 0 0 0 3 18 0 1 0 0 9 13 0 0 1 0 14 4 0 0 0 1

Базисные переменные это переменные, которые входят только в одно уравнение системы ограничений и притом с единичным коэффициентом.

Экономический смысл дополнительных переменных: дополнительные перемены задачи ЛП обозначают излишки сырья, времени, других ресурсов, остающихся в производстве данного оптимального плана.

Решим систему уравнений относительно базисных переменных: x₃, x₄, x₅, x₆

Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:

X1 = (0,0,1,1,1,1)

Базисное решение называется допустимым, если оно неотрицательно.

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6
x3	1	12	9	1	0	0	0
x4	1	3	18	0	1	0	0
x5	1	9	13	0	0	1	0
x6	1	14	4	0	0	0	1
F(X0)	0	-1	-1	0	0	0	0

Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.

Итерация №0.

1. Проверка критерия оптимальности.

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.

2. Определение новой базисной переменной.

В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x₂, так как это наибольший коэффициент по модулю.

3. Определение новой свободной переменной.

Вычислим значения D_i по строкам как частное от деления: b_i / a_i2

и из них выберем наименьшее:

min (1 : 9 , 1 : 18 , 1 : 13 , 1 : 4 ) = ¹/₁₈

Следовательно, 2-ая строка является ведущей.

Разрешающий элемент равен (18) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	min
x3	1	12	9	1	0	0	0	1/9
x4	1	3	18	0	1	0	0	1/18
x5	1	9	13	0	0	1	0	1/13
x6	1	14	4	0	0	0	1	1/4
F(X1)	0	-1	-1	0	0	0	0	0

4. Пересчет симплекс-таблицы.

Формируем следующую часть симплексной таблицы.

Вместо переменной x₄ в план 1 войдет переменная x₂.

Строка, соответствующая переменной x₂ в плане 1, получена в результате деления всех элементов строки x₄ плана 0 на разрешающий элемент РЭ=18

На месте разрешающего элемента в плане 1 получаем 1.

В остальных клетках столбца x₂ плана 1 записываем нули.

Таким образом, в новом плане 1 заполнены строка x₂ и столбец x₂.

Все остальные элементы нового плана 1, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.

Для этого выбираем из старого плана четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.

НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ

СТЭ - элемент старого плана, РЭ - разрешающий элемент (18), А и В - элементы старого плана, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

B	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5	x 6
1-(1 * 9):18	12-(3 * 9):18	9-(18 * 9):18	1-(0 * 9):18	0-(1 * 9):18	0-(0 * 9):18	0-(0 * 9):18
1 : 18	3 : 18	18 : 18	0 : 18	1 : 18	0 : 18	0 : 18
1-(1 * 13):18	9-(3 * 13):18	13-(18 * 13):18	0-(0 * 13):18	0-(1 * 13):18	1-(0 * 13):18	0-(0 * 13):18
1-(1 * 4):18	14-(3 * 4):18	4-(18 * 4):18	0-(0 * 4):18	0-(1 * 4):18	0-(0 * 4):18	1-(0 * 4):18
0-(1 * -1):18	-1-(3 * -1):18	-1-(18 * -1):18	0-(0 * -1):18	0-(1 * -1):18	0-(0 * -1):18	0-(0 * -1):18

Получаем новую симплекс-таблицу:

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6
x3	1/2	21/2	0	1	-1/2	0	0
x2	1/18	1/6	1	0	1/18	0	0
x5	5/18	41/6	0	0	-13/18	1	0
x6	7/9	40/3	0	0	-2/9	0	1
F(X1)	1/18	-5/6	0	0	1/18	0	0

Итерация №1.

1. Проверка критерия оптимальности.

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.

2. Определение новой базисной переменной.

В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x₁, так как это наибольший коэффициент по модулю.

3. Определение новой свободной переменной.

Вычислим значения D_i по строкам как частное от деления: b_i / a_i1

и из них выберем наименьшее:

min (¹/₂ : 10¹/₂ , ¹/₁₈ : ¹/₆ , ⁵/₁₈ : 6⁵/₆ , ⁷/₉ : 13¹/₃ ) = ⁵/₁₂₃

Следовательно, 3-ая строка является ведущей.

Разрешающий элемент равен (6⁵/₆) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	min
x3	1/2	101/2	0	1	-1/2	0	0	1/21
x2	1/18	1/6	1	0	1/18	0	0	1/3
x5	5/18	65/6	0	0	-13/18	1	0	5/123
x6	7/9	131/3	0	0	-2/9	0	1	7/120
F(X2)	1/18	-5/6	0	0	1/18	0	0	0

4. Пересчет симплекс-таблицы.

Формируем следующую часть симплексной таблицы.

Вместо переменной x₅ в план 2 войдет переменная x₁.

Строка, соответствующая переменной x₁ в плане 2, получена в результате деления всех элементов строки x₅ плана 1 на разрешающий элемент РЭ=6⁵/₆

На месте разрешающего элемента в плане 2 получаем 1.

В остальных клетках столбца x₁ плана 2 записываем нули.

Таким образом, в новом плане 2 заполнены строка x₁ и столбец x₁.

Все остальные элементы нового плана 2, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

B	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5	x 6
1/2-(5/18 * 101/2):65/6	101/2-(65/6 * 101/2):65/6	0-(0 * 101/2):65/6	1-(0 * 101/2):65/6	-1/2-(-13/18 * 101/2):65/6	0-(1 * 101/2):65/6	0-(0 * 101/2):65/6
1/18-(5/18 * 1/6):65/6	1/6-(65/6 * 1/6):65/6	1-(0 * 1/6):65/6	0-(0 * 1/6):65/6	1/18-(-13/18 * 1/6):65/6	0-(1 * 1/6):65/6	0-(0 * 1/6):65/6
5/18 : 65/6	65/6 : 65/6	0 : 65/6	0 : 65/6	-13/18 : 65/6	1 : 65/6	0 : 65/6
7/9-(5/18 * 131/3):65/6	131/3-(65/6 * 131/3):65/6	0-(0 * 131/3):65/6	0-(0 * 131/3):65/6	-2/9-(-13/18 * 131/3):65/6	0-(1 * 131/3):65/6	1-(0 * 131/3):65/6
1/18-(5/18 * -5/6):65/6	-5/6-(65/6 * -5/6):65/6	0-(0 * -5/6):65/6	0-(0 * -5/6):65/6	1/18-(-13/18 * -5/6):65/6	0-(1 * -5/6):65/6	0-(0 * -5/6):65/6

Получаем новую симплекс-таблицу:

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6
x3	3/41	0	0	1	25/41	-63/41	0
x2	2/41	0	1	0	3/41	-1/41	0
x1	5/123	1	0	0	-13/123	6/41	0
x6	29/123	0	0	0	146/123	-80/41	1
F(X2)	11/123	0	0	0	-4/123	5/41	0

Итерация №2.

1. Проверка критерия оптимальности.

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.

2. Определение новой базисной переменной.

В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x₄, так как это наибольший коэффициент по модулю.

3. Определение новой свободной переменной.

Вычислим значения D_i по строкам как частное от деления: b_i / a_i4

и из них выберем наименьшее:

min (³/₄₁ : ²⁵/₄₁ , ²/₄₁ : ³/₄₁ , - , ²⁹/₁₂₃ : 1²³/₁₂₃ ) = ³/₂₅

Следовательно, 1-ая строка является ведущей.

Разрешающий элемент равен (²⁵/₄₁) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	min
x3	3/41	0	0	1	25/41	-122/41	0	3/25
x2	2/41	0	1	0	3/41	-1/41	0	2/3
x1	5/123	1	0	0	-13/123	6/41	0	-
x6	29/123	0	0	0	123/123	-139/41	1	29/146
F(X3)	11/123	0	0	0	-4/123	5/41	0	0

4. Пересчет симплекс-таблицы.

Формируем следующую часть симплексной таблицы.

Вместо переменной x₃ в план 3 войдет переменная x₄.

Строка, соответствующая переменной x₄ в плане 3, получена в результате деления всех элементов строки x₃ плана 2 на разрешающий элемент РЭ=²⁵/₄₁

На месте разрешающего элемента в плане 3 получаем 1.

В остальных клетках столбца x₄ плана 3 записываем нули.

Таким образом, в новом плане 3 заполнены строка x₄ и столбец x₄.

Все остальные элементы нового плана 3, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

B	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5	x 6
3/41 : 25/41	0 : 25/41	0 : 25/41	1 : 25/41	25/41 : 25/41	-122/41 : 25/41	0 : 25/41
2/41-(3/41 * 3/41):25/41	0-(0 * 3/41):25/41	1-(0 * 3/41):25/41	0-(1 * 3/41):25/41	3/41-(25/41 * 3/41):25/41	-1/41-(-122/41 * 3/41):25/41	0-(0 * 3/41):25/41
5/123-(3/41 * -13/123):25/41	1-(0 * -13/123):25/41	0-(0 * -13/123):25/41	0-(1 * -13/123):25/41	-13/123-(25/41 * -13/123):25/41	6/41-(-122/41 * -13/123):25/41	0-(0 * -13/123):25/41
29/123-(3/41 * 123/123):25/41	0-(0 * 123/123):25/41	0-(0 * 123/123):25/41	0-(1 * 123/123):25/41	123/123-(25/41 * 123/123):25/41	-139/41-(-122/41 * 123/123):25/41	1-(0 * 123/123):25/41
11/123-(3/41 * -4/123):25/41	0-(0 * -4/123):25/41	0-(0 * -4/123):25/41	0-(1 * -4/123):25/41	-4/123-(25/41 * -4/123):25/41	5/41-(-122/41 * -4/123):25/41	0-(0 * -4/123):25/41

Получаем новую симплекс-таблицу:

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6
x4	3/25	0	0	41/25	1	-63/25	0
x2	1/25	0	1	-3/25	0	4/25	0
x1	4/75	1	0	13/75	0	-3/25	0
x6	7/75	0	0	-146/75	0	26/25	1
F(X3)	7/75	0	0	4/75	0	1/25	0

1. Проверка критерия оптимальности.

Среди значений индексной строки нет отрицательных. Поэтому эта таблица определяет оптимальный план задачи.

Окончательный вариант симплекс-таблицы:

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6
x4	3/25	0	0	41/25	1	-63/25	0
x2	1/25	0	1	-3/25	0	4/25	0
x1	4/75	1	0	13/75	0	-3/25	0
x6	7/75	0	0	-146/75	0	26/25	1
F(X4)	7/75	0	0	4/75	0	1/25	0

Оптимальный план можно записать так:

x₂ = ¹/₂₅

x₁ = ⁴/₇₅

F(X) = 1*¹/₂₅ + 1*⁴/₇₅ = ⁷/₇₅

Оптимальный план можно записать так: x₃ = ¹/₂₅; x₁ = ⁴/₇₅; F(X) = 1*¹/₂₅ + 1*⁴/₇₅ = ⁷/₇₅

Оптимальный план двойственной задачи равен:y₁ = ⁴/₇₅; y₂ = ¹/₂₅; ; Z(Y) = ⁷/₇₅

Цена игры: g = 1 : ⁷/₇₅ = ⁷⁵/₇

p1=⁴/₇

p2=0

p3=³/₇

p4=0

q1=⁴/₇

q2=³/₇

Цена игры: ⁷⁵/₇

_{Графический метод}

Рассмотрим игру двух лиц, интересы которых противоположны. Такие игры называют антагонистическими играми двух лиц. В этом случае выигрыш одного игрока равен проигрышу второго, и можно описать только одного из игроков.

Предполагается, что каждый игрок может выбрать только одно из конечного множества своих действий. Выбор действия называют выбором стратегии игрока.

Если каждый из игроков выбрал свою стратегию, то эту пару стратегий называют ситуацией игры. Следует заметить, каждый игрок знает, какую стратегию выбрал его противник, т.е. имеет полную информацию о результате выбора противника.

Чистой стратегией игрока I является выбор одной из n строк матрицы выигрышей А, а чистой стратегией игрока II является выбор одного из столбцов этой же матрицы.

1. Проверяем, имеет ли платежная матрица седловую точку. Если да, то выписываем решение игры в чистых стратегиях.

Считаем, что игрок I выбирает свою стратегию так, чтобы получить максимальный свой выигрыш, а игрок II выбирает свою стратегию так, чтобы минимизировать выигрыш игрока I.

Игроки	B1	B2	a = min(Ai)
A1	12	9	9
A2	3	18	3
A3	9	13	9
A4	14	4	4
b = max(Bi)	14	18

Находим гарантированный выигрыш, определяемый нижней ценой игры a = max(a_i) = 9, которая указывает на максимальную чистую стратегию A₁.

Верхняя цена игры b = min(b_j) = 14.

Что свидетельствует об отсутствии седловой точки, так как a ? b, тогда цена игры находится в пределах 9 ? y ? 14. Находим решение игры в смешанных стратегиях. Объясняется это тем, что игроки не могут объявить противнику свои чистые стратегии: им следует скрывать свои действия. Игру можно решить, если позволить игрокам выбирать свои стратегии случайным образом (смешивать чистые стратегии).

Так как игроки выбирают свои чистые стратегии случайным образом, то выигрыш игрока I будет случайной величиной. В этом случае игрок I должен выбрать свои смешанные стратегии так, чтобы получить максимальный средний выигрыш.

Аналогично, игрок II должен выбрать свои смешанные стратегии так, чтобы минимизировать математическое ожидание игрока I.

3. Находим решение игры в смешанных стратегиях.

Решим задачу геометрическим методом, который включает в себя следующие этапы:

1. В декартовой системе координат по оси абсцисс откладывается отрезок, длина которого равна 1. Левый конец отрезка (точка х = 0) соответствует стратегии B₁, правый - стратегии B₂ (x = 1). Промежуточные точки х соответствуют вероятностям некоторых смешанных стратегий S₁ = (p₁,p₂).

2. На левой оси ординат откладываются выигрыши стратегии B₁. На линии, параллельной оси ординат, из точки 1 откладываются выигрыши стратегии B₂.

Решение игры (m x 2) проводим с позиции игрока B, придерживающегося максиминной стратегии. Доминирующихся и дублирующих стратегий ни у одного из игроков нет.

Максиминной оптимальной стратегии игрока B соответствует точка N, лежащая на пересечении прямых A₁A₁ и A₃A₃, для которых можно записать следующую систему уравнений:

y = 12 + (9 - 12)q₂

y = 9 + (13 - 9)q₂

Откуда

q₁ = ⁴/₇

q₂ = ³/₇

Цена игры, y = ⁷⁵/₇

Теперь можно найти минимаксную стратегию игрока A, записав соответствующую систему уравнений, исключив стратегию A₂,A₄, которая дает явно больший проигрыш игроку A, и, следовательно, p₂ = 0,p₄ = 0.

12p₁+9p₃ = y

9p₁+13p₃ = y

p₁+p₃ = 1

или

12p₁+9p₃ = ⁷⁵/₇

9p₁+13p₃ = ⁷⁵/₇

p₁+p₃ = 1

Решая эту систему, находим:

p₁ = ⁴/₇.

p₃ = ³/₇.

Ответ:

Цена игры: y = ⁷⁵/₇, векторы стратегии игроков:

P(⁴/₇, 0, ³/₇, 0), Q(⁴/₇, ³/₇)

Задание № 6

Игры с природой

Исходные данные:

94	33	44	68	11
74	56	-9	64	-3
69	51	95	-13	42
-4	59	71	89	43
46	-12	57	15	68

Критерий максимакса.

Критерий максимакса ориентирует статистику на самые благоприятные состояния природы, т.е. этот критерий выражает оптимистическую оценку ситуации.

Ai	П1	П2	П3	П4	П5	max(aij)
A1	94	33	44	68	11	94
A2	74	56	-9	64	-3	74
A3	69	51	95	-13	42	95
A4	-4	59	71	89	43	89
A5	46	-12	57	15	68	68

Выбираем из (94; 74; 95; 89; 68) максимальный элемент max=95

Вывод: выбираем стратегию N=3.

Критерий Байеса.

По критерию Байеса за оптимальные принимается та стратегия (чистая) A_i, при которой максимизируется средний выигрыш a или минимизируется средний риск r.

Считаем значения ?(a_ijp_j)

?(a_1,jp_j) = 94*0.2 + 33*0.2 + 44*0.2 + 68*0.2 + 11*0.2 = 50

?(a_2,jp_j) = 74*0.2 + 56*0.2 + (-9)*0.2 + 64*0.2 + (-3)*0.2 = 36.4

?(a_3,jp_j) = 69*0.2 + 51*0.2 + 95*0.2 + (-13)*0.2 + 42*0.2 = 48.8

?(a_4,jp_j) = (-4)*0.2 + 59*0.2 + 71*0.2 + 89*0.2 + 43*0.2 = 51.6

?(a_5,jp_j) = 46*0.2 + (-12)*0.2 + 57*0.2 + 15*0.2 + 68*0.2 = 34.8

Ai	П1	П2	П3	П4	П5	?(aijpj)
A1	18.8	6.6	8.8	13.6	2.2	50
A2	14.8	11.2	-1.8	12.8	-0.6	36.4
A3	13.8	10.2	19	-2.6	8.4	48.8
A4	-0.8	11.8	14.2	17.8	8.6	51.6
A5	9.2	-2.4	11.4	3	13.6	34.8
pj	0.2	0.2	0.2	0.2	0.2



Выбираем из (50; 36.4; 48.8; 51.6; 34.8) максимальный элемент max=51.6

Вывод: выбираем стратегию N=4.

Критерий Лапласа.

Если вероятности состояний природы правдоподобны, для их оценки используют принцип недостаточного основания Лапласа, согласно которого все состояния природы полагаются равновероятными, т.е.:

q₁ = q₂ = ... = q_n = 1/n.

q_i = 1/5

Ai	П1	П2	П3	П4	П5	?(aij)
A1	18.8	6.6	8.8	13.6	2.2	50
A2	14.8	11.2	-1.8	12.8	-0.6	36.4
A3	13.8	10.2	19	-2.6	8.4	48.8
A4	-0.8	11.8	14.2	17.8	8.6	51.6
A5	9.2	-2.4	11.4	3	13.6	34.8
pj	0.2	0.2	0.2	0.2	0.2

Выбираем из (50; 36.4; 48.8; 51.6; 34.8) максимальный элемент max=51.6

Вывод: выбираем стратегию N=4.

Критерий Вальда.

По критерию Вальда за оптимальную принимается чистая стратегия, которая в наихудших условиях гарантирует максимальный выигрыш, т.е.

a = max(min a_ij)

Критерий Вальда ориентирует статистику на самые неблагоприятные состояния природы, т.е. этот критерий выражает пессимистическую оценку ситуации.

Ai	П1	П2	П3	П4	П5	min(aij)
A1	94	33	44	68	11	11
A2	74	56	-9	64	-3	-9
A3	69	51	95	-13	42	-13
A4	-4	59	71	89	43	-4
A5	46	-12	57	15	68	-12

Выбираем из (11; -9; -13; -4; -12) максимальный элемент max=11

Вывод: выбираем стратегию N=1.

Критерий Севиджа.

Критерий минимального риска Севиджа рекомендует выбирать в качестве оптимальной стратегии ту, при которой величина максимального риска минимизируется в наихудших условиях, т.е. обеспечивается:

a = min(max r_ij)

Критерий Сэвиджа ориентирует статистику на самые неблагоприятные состояния природы, т.е. этот критерий выражает пессимистическую оценку ситуации.

Находим матрицу рисков.

Риск - мера несоответствия между разными возможными результатами принятия определенных стратегий. Максимальный выигрыш в j-м столбце b_j = max(a_ij) характеризует благоприятность состояния природы.

1. Рассчитываем 1-й столбец матрицы рисков.

r₁₁ = 94 - 94 = 0; r₂₁ = 94 - 74 = 20; r₃₁ = 94 - 69 = 25; r₄₁ = 94 - (-4) = 98; r₅₁ = 94 - 46 = 48;

2. Рассчитываем 2-й столбец матрицы рисков.

r₁₂ = 59 - 33 = 26; r₂₂ = 59 - 56 = 3; r₃₂ = 59 - 51 = 8; r₄₂ = 59 - 59 = 0; r₅₂ = 59 - (-12) = 71;

3. Рассчитываем 3-й столбец матрицы рисков.

r₁₃ = 95 - 44 = 51; r₂₃ = 95 - (-9) = 104; r₃₃ = 95 - 95 = 0; r₄₃ = 95 - 71 = 24; r₅₃ = 95 - 57 = 38;

4. Рассчитываем 4-й столбец матрицы рисков.

r₁₄ = 89 - 68 = 21; r₂₄ = 89 - 64 = 25; r₃₄ = 89 - (-13) = 102; r₄₄ = 89 - 89 = 0; r₅₄ = 89 - 15 = 74;

5. Рассчитываем 5-й столбец матрицы рисков.

r₁₅ = 68 - 11 = 57; r₂₅ = 68 - (-3) = 71; r₃₅ = 68 - 42 = 26; r₄₅ = 68 - 43 = 25; r₅₅ = 68 - 68 = 0;

Ai	П1	П2	П3	П4	П5
A1	0	26	51	21	57
A2	20	3	104	25	71
A3	25	8	0	102	26
A4	98	0	24	0	25
A5	48	71	38	74	0

Результаты вычислений оформим в виде таблицы.

программирование игровой планирование двойственный

Ai	П1	П2	П3	П4	П5	max(aij)
A1	0	26	51	21	57	57
A2	20	3	104	25	71	104
A3	25	8	0	102	26	102
A4	98	0	24	0	25	98
A5	48	71	38	74	0	74

Выбираем из (57; 104; 102; 98; 74) минимальный элемент min=57

Вывод: выбираем стратегию N=1.

Критерий Гурвица.

Критерий Гурвица является критерием пессимизма - оптимизма. За оптимальную принимается та стратегия, для которой выполняется соотношение:

max(s_i)

где s_i = y min(a_ij) + (1-y)max(a_ij)

При y = 1 получим критерий Вальде, при y = 0 получим - оптимистический критерий (максимакс).

Критерий Гурвица учитывает возможность как наихудшего, так и наилучшего для человека поведения природы. Как выбирается y? Чем хуже последствия ошибочных решений, тем больше желание застраховаться от ошибок, тем y ближе к 1.

Рассчитываем s_i.

s₁ = 0.4*11+(1-0.4)*94 = 60.8

s₂ = 0.4*(-9)+(1-0.4)*74 = 40.8

s₃ = 0.4*(-13)+(1-0.4)*95 = 51.8

s₄ = 0.4*(-4)+(1-0.4)*89 = 51.8

s₅ = 0.4*(-12)+(1-0.4)*68 = 36

Ai	П1	П2	П3	П4	П5	min(aij)	max(aij)	y min(aij) + (1-y)max(aij)
A1	94	33	44	68	11	11	94	60.8
A2	74	56	-9	64	-3	-9	74	40.8
A3	69	51	95	-13	42	-13	95	51.8
A4	-4	59	71	89	43	-4	89	51.8
A5	46	-12	57	15	68	-12	68	36

Выбираем из (60.8; 40.8; 51.8; 51.8; 36) максимальный элемент max=60.8

Вывод: выбираем стратегию N=1.

Таким образом, в результате решения статистической игры по различным критериям чаще других рекомендовалась стратегия A₁.



Список используемой литературы

1. Юденков А.В. Математическое программирование в экономике: Учеб. пособие для вузов / А.В. Юденков, М.И. Дли, В.В. Круглов. - М.: Финансы и статистика, 2010.

2. Экономико-математические методы и модели: задачник: Учеб.-практ. посо-бие для вузов / Под ред. С.И. Макарова, С.А. Севастьяновой. - 2-е изд., пере-раб. - М.: КноРус, 2009.

3.Ширяев В.И., Ширяев Е.В. Принятие решений: математические основы. Ста-тические задачи. - М.: Либроком, 2009.

4. Дубина И.Н. Основы теории экономических игр: Учеб. пособие для вузов / И.Н. Дубина. - М.: КноРус, 2010.

5. Минько Э.В., Минько А.Э. Методы прогнозирования и исследования опера-ций: Учеб. пособие для вузов. - М.: Финансы и статистика, 2010.

6. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Методы линейного программирования. Ч. 1-3. - М.: Либроком, 2010.

7. Ивченко Г.И., Каштанов В.А., Коваленко И.Н. Теория массового обслужива-ния. - М.: Высшая школа, 2012.

8. Акулич, И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах [Текст] : Учеб. пособие / И.Л. Акулич. - М.: Высш. шк., 1993. - 336 с.

9. http://www.matburo.ru (Учебники и учебные материалы по математическому программированию, исследованию операций в экономике)

10. www.alleng.ru/d/econ/econ319.htm (Математические методы исследования операций в экономике: Грызина Н.Ю., Мастяева И.Н., Семенихина О.Н. 2008)

11. http://www.initkms.ru/bibl (Математика. Экономико-математические методы. Логинов В.Н.)

12. http://matlab/exponenta.ru/optimiz/book_2/1.php (Характеристика методов ре-шения задач оптимизации)

13. http://b-i.narod.ru/sys.htm (Основы теории принятия решений)

Размещено на Allbest.ru