Элементы теории вероятностей и математической статистики
Вычисление числовых характеристик дискретной случайной величины. Закон редких явлений Пуассона. Функция распределения непрерывной величины, ее числовые параметры. Вероятность попадания данных в интервал. Свойства плотности дифференциального распределения.
| Рубрика | Экономико-математическое моделирование |
| Вид | методичка |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 19.03.2015 |
| Размер файла | 4,8 M |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Изменение среднего квадратического отклонения при фиксированном значении математического ожидания приводит к изменению формы кривой распределения. С уменьшением значения у вершина кривой распределения будет подниматься, кривая будет более "островершинной" (вытянутой вдоль оси симметрии). С увеличением значения у кривая распределения менее островершинная и более растянута вдоль оси абсцисс. Одновременное изменение параметров m и у приведет к изменению формы и положения кривой нормального распределения.
2.9 Экспоненциальное распределение
Экспоненциально распределенная случайная величина имеет функцию распределения:
(2.17)
Плотность распределения экспоненциально распределенной случайной величины:
(2.18)
Это распределение используется при моделировании систем массового обслуживания. Он широко используется для моделирования промежутков времени, прошедших между двумя запросами, которые могут представлять собой приход клиента в банк или ресторан быстрого обслуживания, поступление пациента в больницу и т.д. и т.п. Поступление запросов можно рассматривать как поток однородных событий. Среднее количество событий, происходящих в единицу времени, называется интенсивностью потока.
Экспоненциальное распределение зависит только от одного параметра, который обозначается буквой л и представляет собой среднее количество запросов, поступающих в систему за единицу времени, т.е. л - это интенсивность потока запросов. Величина 1/ л равна среднему промежутку времени, прошедшему между двумя последовательными запросами. Например, если в систему в среднем поступает 4 запроса в минуту, т.е. л=4, то среднее время, прошедшее между двумя последовательными запросами, равно 1/ л =1/4 мин.=15 сек. Вероятность того, что следующий запрос поступит раньше, чем через х единиц времени, может быть вычислена по формуле
.
Экспоненциальное распределение характеризуется единственным параметром л, который представляет собой среднее значение в исследуемом диапазоне. Числовые характеристики экспоненциальной случайной величины определяются следующими формулами:
M(X)=1/л; D(X)=1/л2 (2.19)
Стандартное отклонение равно:
(2.20)
Экспоненциальное (показательное) распределение тесно связано с распределением Пуассона, которое используется для вычисления вероятности появления события в некоторый период времени.
2.10 Распределение 2 (хи - квадрат)
Пусть хi (i=1, 2,…, n) - независимые нормально распределенные СВ с математическими ожиданиями mi и средними квадратическими отклонениями у--i, соответственно, то есть:
хi ~ N(mi,у--I2).
Тогда случайные величины:
являются независимыми СВ, имеющими стандартное нормальное распределение, Ui~N(0, 1).
Случайная величина ч2 имеет хи - квадрат распределение с n- степенями свободы, если:
(2.21)
Число степеней свободы этой случайной величины определяется числом случайных величин, ее составляющих, уменьшенным на число линейных связей между ними.
Распределение ч2 определяется одним параметром - числом степеней свободы n, при этом математическое ожидание и дисперсия случайной величины ч2 равны соответственно:
M(ч2)=n; D(ч2) =2n. (2.22)
Распределение ч2 принимает только положительные значения. Распределение очень несимметрично при малом числе степеней свободы, но постепенно становится более симметричным при увеличении числа степеней свободы. Кроме того, при увеличении числа степеней свободы вероятность появления более высоких значений возрастает.
2.11 Распределение Стьюдента
Пусть случайная величина U ~ N(0,1), т.е. следует нормальному закону распределения с параметрами 0, 1. CВ V не зависит от СВ U и распределена по закону ч2 с n-степенями свободы. Тогда величина:
(2.23)
имеет распределение Стьюдента (t- распределение) с n-степенями свободы. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины Т равны соответственно:
M(T)=0; . (2.24)
Распределение Стьюдента определяется одним параметром - n. При n>30 распределение Стьюдента практически можно заменить нормальным распределением.
2.12 Распределение Фишера
Пусть V и W - независимые случайные величины, распределенные по закону ч2 со степенями свободы v1= m и v2=n соответственно. Тогда величина:
(2.25)
имеет распределение Фишера со степенями свободы v1= m и v2=n. Т.о., F распределение Фишера определяется двумя параметрами - числами степеней свободы m и n. Математическое ожидание и дисперсия этого распределения могут быть найдены по формулам:
(2.26)
где n - число степеней свободы знаменателя;
m - число степеней свободы числителя.
Все эти распределения широко применяются при проверке статистических гипотез. При этом большое значение имеет понятие p-значения и соответствующего критического значения некоторого критерия, используемого при проверке статистической гипотезы. Критическое значение, соответствующее значению p, равно 1-p квантилю. Таким образом, нахождение критического значения, соответствующего p=0,05 аналогично нахождению 95-го центиля. Геометрический смысл критического значения, соответствующего p-значению, это такое значение абсциссы прямой параллельной оси 0Y, которая делит площадь соответствующего подграфика функции плотности таким образом, что площадь соответствующего "правого хвоста подграфика" равна p.
При использовании распределения Стьюдента большое значение имеет понятие p-значения и соответствующего критического значения, при этом различают двустороннее и одностороннее критические значения. Односторонняя критическая область полностью соответствует понятию критического значения для распределения ч2, т.е. одностороннее критическое значение соответствует значению p, равному 1-p квантилю. Двустороннее критическое значение tкрит определяется как значение, удовлетворяющее соотношению:
.
В силу симметричности распределения двусторонняя критическая область соответствует значению p, равному 1-p/2 квантилю. Например, нахождение критического значения, соответствующего p=0,05, аналогично нахождению 97,5-го центиля. Геометрически двусторонняя критическая область, соответствующая вероятности p, состоит из двух областей. Площадь каждой области равна p/2. Двусторонне критическое значение - это такое значение абсциссы прямой параллельной оси 0Y, при котором площадь соответствующего "правого хвоста подграфика" равна p/2. В силу симметричности распределения, площади "правого хвоста подграфика" и "левого хвоста подграфика" равны, а суммарная площадь равна p (рис. 2.20).
2.13 Задание
Задача 1. Случайная величина распределена нормально с параметрами m и у. Требуется:
1) Составить таблицу значений плотности функции распределения при изменении значений x от -4 у до 4 у c шагом h=0.2 у. Построить график плотности распределения. Таблицу составить двумя способами:
a) пользуясь непосредственным определением функции плотности;
b) пользуясь встроенной функцией НОРМРАСП();
2) Построить график функции распределения (пользуясь встроенной функцией НОРМРАСП()).
3) Найти вероятности попадания СВ в указанные интервалы и сделать графическую иллюстрацию на основе графика п.1.
(2.27)
Для вычисления воспользоваться соотношением:
Обратить внимание, что последнее из соотношений (2.27), используется в известном из теории вероятности "правиле 3-х сигм".
4) Численно, используя приемы приближенного интегрирования, проверить соотношения (2.6), (2.15). Вычислить погрешности.
Исходные данные для различных вариантов составляются по следующему правилу:
m=k+(n/10); у =1+(n/10),
где k - номер подгруппы в потоке; n - номер студента в списке.
Задача 2. Экспоненциальное распределение. Случайная величина распределена экспоненциально с параметром .
1. Построить графики плотности распределения и функции распределения, построив таблицу значений функции при изменении x от 0 до b c шагом h=b/N, при N=40. Таким образом, таблица будет содержать 41 значение. Значение b подобрать самостоятельно, так, чтобы таблица была содержательной, т.е. F(b) было достаточно близко к 1, a f(b) достаточно близко к 0, и шаг h был достаточно мал. Если это не удается сделать при N=40, увеличьте N.
Таблицу построить двумя способами:
a) пользуясь непосредственным определением функции плотности и функции распределения СВ;
b) пользуясь встроенной функцией ЭКСПРАСП().
2. Используя приемы приближенного интегрирования, проверить соотношения (2.6), (2.19) для заданного распределения. Вычислить погрешности.
Вычислить вероятности следующих событий:
Случайная величина принимает значение меньше 1/.
Случайная величина принимает значение больше 1/.
Случайная величина принимает значение больше 1/ и меньше 2/
Случайная величина принимает значение меньше 1/ или больше 2/.
Используя графики функций плотности распределения f(x) и распределения F(x), построенные в п.1, проиллюстрируйте полученный результат.
Исходные данные для различных вариантов составляются по следующему правилу:
=k+(n/10);
где k - номер подгруппы в потоке; n - номер студента в списке.
Задача 3. Построить графики плотности вероятности для следующих распределений:
1) распределение ч2 (хи - квадрат);
2) распределение Стьюдента (t-распределение);
3) распределение Фишера (F-распределение) для нескольких степеней свободы.
Сделать выводы о симметричности распределений в зависимости от числа степеней свободы.
При фиксированном числе степеней свободы найти односторонние критические значения для следующих значений p: 0,05; 0,025 и 0,01.
Сделать выводы об изменении критических значений в зависимости от величины p-значений.
Для распределения Стьюдента вычислить двусторонние критические значения для тех же p-значений. Сделать соответствующие иллюстрации.
Данные для построения распределений (число степеней свободы) подобрать самостоятельно.
2.14 Примеры решения задач
Задача 1. 1. Пусть случайная величина Х распределена нормально с параметрами m=0 и у=1. Все вычисления приведены на рис. 2.4 и рис. 2.5.
а) Столбец С содержит значения функции плотности распределения, найденные по определению этой функции по формуле (2.13).
b) Столбец D содержит значения функции плотности распределения, найденные с помощью встроенной функцией НОРМРАСП().
Эта встроенная функция возвращает значения, связанные с нормальным распределением для указанного среднего и стандартного отклонения.
Синтаксис: НОРМРАСП(x; m; sigma; logical),
где x - значение, для которого вычисляется значения функций F(x) и f(x);
m и sigma - параметры распределения;
logical - логическое значение, определяющее форму функции. Если logical имеет значение ИСТИНА, то функция НОРМРАСП возвращает интегральную функцию распределения; если аргумент имеет значение ЛОЖЬ, то возвращается функция плотности распределения.
2. Столбец E содержит значения функции распределения F(x), найденные с помощью встроенной функцией НОРМРАСП(). На рис. 2.6. показаны графики построенных функции распределения и функции плотности.
3. Результаты вычислений для пункта 3 представлены в строках 51:57. На рис. 2.7. приведены соответствующие иллюстрации, площади заштрихованных криволинейных трапеций равны искомым вероятностям.
4. Для проверки соотношения (2.6), необходимо вычислить, интеграл:
,
а в случае m=0 и у=1, интеграл:
.
Поскольку аналитическое вычисление интеграла путем нахождения первообразной невозможно, вычислим интеграл, используя приемы приближенного интегрирования. Принимая во внимание, что большая часть распределения сосредоточена в интервале от -3у до 3у, справедливо следующее соотношение
.
Чтобы найти численно последний интеграл, воспользуемся формулой трапеций:
, (2.28)
.
Вычисление этого интеграла приведено на рис. 2.4 и 2.5. Подынтегральной функцией является функция f(x). В интервале F8:F48 содержатся слагаемые для вычисления выражения в квадратных скобках формулы 2.28. В ячейке F49 содержится сумма всех слагаемых, в ячейке G60 содержится приближенное значение интеграла, вычисленного по формуле (2.28), оно равно 0,999933. Теоретическое значение этого интеграла равно 1, таким образом, абсолютная погрешность вычисления равна 10-4.
Для приближенного вычисления математического ожидания, определяемого формулой (2.7), необходимо воспользоваться формулой (2.28), взяв в качестве подынтегральной функции функцию х f(x). Все промежуточные вычисления содержатся в интервале G8:G49. В ячейке G62 содержится приближенное значение этого интеграла, вычисленного по формуле (2.28), равное 0,000000. Теоретическое значение математического ожидания равно нулю (a=0), таким образом, абсолютная погрешность равна 10-6.
Для приближенного вычисления дисперсии, определяемой формулой (2.8), необходимо воспользоваться формулой (2.28), взяв в качестве подынтегральной функции .
Все промежуточные вычисления содержатся в интервале H8:H49. В ячейке G64 содержится приближенное значение интеграла, вычисленного по формуле (2.28), равное 0,998816. Теоретическое значение дисперсии равно у2=1, таким образом абсолютная погрешность равна 10-3.
Рис. 2.4. Рабочий лист в режиме отображения данных
Рис. 2.5. Рабочий лист в режиме отображений формул
Рис. 2.6. Графики плотности и функции распределения для нормального распределения
Размещено на http://www.allbest.ru/
Рис. 2.7. Геометрический смысл вычисления вероятности попадания СВ в интервал
Задача 2. В отделение банка приходит n клиентов в час. Известно, что промежуток времени между приходами двух клиентов распределен по экспоненциальному закону распределения. Исследовать этот закон распределения при заданной интенсивности, выполнив следующие действия:
1. Составить таблицу значений функции плотности распределения и функции распределения при изменении значений x от 0 до b c шагом h=b/N, при N=40. Построить графики этих функций. Значение b подобрать самостоятельно таким образом, чтобы таблица была содержательной, т.е. F(b) было достаточно близко к 1, a f(b) достаточно близко к 0, а шаг h был достаточно мал.
Таблицу построить двумя способами:
a) пользуясь непосредственным определением функции плотности и функции распределения;
b) пользуясь встроенной функцией ЭКСПРАСП().
2. Используя приемы приближенного интегрирования, проверить соотношения (2.6), (2.19) для заданного распределения. Вычислить погрешности.
3. Предположим, что в банк уже пришел один клиент.
a) какова вероятность того, что следующий клиент придет не ранее, чем через 12 мин и не позже, чем через 24 мин?
b) какова вероятность того, что следующий клиент придет в течение 12 мин?
c) какова вероятность того, что следующий клиент придет позже, чем через 24 мин?
Используя графики функции плотности распределения f(x) и функции распределения F(x), проиллюстрируйте полученный результат. Приведем решение при n =5.
Решение задачи при n =5.
По определению интенсивности, в данном случае л = 5.
Построим таблицу значений функции при изменении x от 0 до 2 у c шагом h=0,05. Т.е. таблица будет содержать 41 значение.
Все построения приведены на рис. 2.8-2.10.
а) Столбцы В и С содержат значения функции плотности распределения и функции распределения, вычисленных по определению (2.18), (2.17).
b) Столбцы D и Е содержат значения тех же функций, вычисленных с помощью встроенной функцией ЭКСПРАСП().
Эта встроенная функция возвращает значения, связанные с экспоненциальным распределением для значения параметра л.
Синтаксис: ЭКСПРАСП(x; lyambda; logical)
где x - значение, для которого строится распределение;
lyambda - это значение параметра распределения;
logical - логическое значение, определяющее форму функции. Если logical имеет значение ИСТИНА, то функция ЭКСПРАСП возвращает интегральную функцию распределения, если аргумент имеет значение ЛОЖЬ, то возвращается функция плотности распределения.
Искомые графики приведены на рис. 2.10.
2. Для того чтобы проверить соотношение (2.6), необходимо вычислить интеграл:
т.к. л=5, вычисляем интеграл:
.
Принимая во внимание, что большая часть распределения сосредоточена в интервале от 0 до 2 (для данного л), справедливо следующее соотношение:
.
Чтобы найти последний интеграл, воспользуемся приближенной формулой трапеций (2.28).
Вычисление этого интеграла приведено на рис. 2.8 и 2.9. Подынтегральной функцией является функция f(x). В интервале F7:F47 содержатся слагаемые для вычисления выражения в квадратных скобках из формулы (2.28). В ячейке F48 содержится сумма всех слагаемых, в ячейке F58 содержится приближенное значение интеграла, вычисленного по формуле (2.28), т.е. 1,005157.
Теоретическое значение этого интеграла равно 1, таким образом, абсолютная погрешность вычислений равна 0.005.
Для приближенного вычисления математического ожидания (2.7) используем (2.28), взяв в качестве подынтегральной функции функцию х f(x). Все промежуточные вычисления содержатся в интервале G7:G47. В ячейке F60 содержится приближенное значение интеграла, вычисленного по формуле (2.28), т.е. 0,198861.
Теоретическое значение математического ожидания равно 1/л =0.2, таким образом, абсолютная погрешность вычислений равна 0,001.
Для приближенного вычисления дисперсии (2.8) необходимо воспользоваться формулой (2.28), взяв в качестве подынтегральной функции функцию . Все промежуточные вычисления содержатся в интервале H7:H48. В ячейке F62 содержится приближенное значение интеграла, вычисленного по формуле (2.28), т.е. 0.040453.
Теоретическое значение дисперсии распределения равно (1/ л)2=(0.2)2=0.04, таким образом, абсолютная погрешность вычислений равна 0,004.
Рис. 2.8. Рабочий лист в режиме отображения данных
Рис. 2.9. Рабочий лист в режиме отображения формул
Размещено на http://www.allbest.ru/
Рис. 2.10. Графики плотности и функции распределения для экспоненциального распределения
3. Чтобы вычислить вероятность того, что следующий клиент придет не ранее, чем через 12 мин и не позже, чем через 24 мин, необходимо сначала перевести минуты в часы, поскольку в качестве интенсивности используется количество посещений в час. При этом 12 мин - это 0,2 часа, а 24 мин - это 0,2 часа. Таким образом, искомую вероятность можно вычислить по формуле:
Cтрока 52 (рис. 2.8) содержит указанные расчеты. На рис. 2.11. приведена иллюстрация для вычисления значений . Это площадь заштрихованной криволинейной трапеции, и она равна 0,6826.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Рис. 2.11. Использование графиков плотности и функции распределения экспоненциального распределения для вычисления искомой вероятности
Аналогичные расчеты и диаграммы необходимо построить для двух других интервалов.
Задача 3. Т.к. MS Excel не является специализированным математическим пакетом, в нем отсутствуют встроенные функции для построения плотности и функции распределения многих распределений. Поэтому для построения необходимо использовать функции, написанные пользователем UDF (user define function) написанные на встроенном языке VBA (Visual Basic for Application). Эти функции из [1] приведены в Приложении.
Для вычисления значений функций плотности распределений ч2 (хи - квадрат), Стьюдента (t-распределение) и распределения Фишера (F-распределение) можно использовать UDF CPDF, TPDF и FPDF соответственно.
Распределение ч2 (хи - квадрат). Для нахождения критических значений распределения ч2 в MS Excel имеется встроенная функция ХИ 2ОБР().
Синтаксис: ХИ 2ОБР(p;df)
где p - это p-значение;
df - это число степеней свободы.
Решение приведено на рис. 2.12-2.17.
Рис. 2.12. Построение таблицы значений функции плотности ч2 при различном числе степеней свободы df (режим отображения данных)
Рис. 2.13. Графики функции плотности ч2 при различном числе степеней свободы df
Рис. 2.14. Нахождение критических значений для различных p-значений распределения ч2
Рис. 2.15. Геометрический смысл критических значений для различных p-значений
Рис. 2.16. Построение таблицы значений функции плотности ч2 при различном числе степеней свободы df (режим отображения формул)
Рис. 2.17. Нахождение критических значений для различных p-значений распределения ч2 (режим отображения формул)
Используя рис. 2.13, сделайте вывод о симметричности распределения в зависимости от числа степеней свободы. Анализируя рис. 2.14-2.15, сделайте выводы об изменении критических значений в зависимости от p-значений.
Распределение Стьюдента. Для нахождения критических значений распределения Стьюдента в MS Excel есть встроенная функция СТЬЮДРАСПОБР. Эта функция возвращает двустороннее tкрит критическое значение распределения Стьюдента как функцию вероятности и числа степеней свободы.
Синтаксис: СТЬЮДРАСПОБР(p; df)
где p - вероятность, соответствующая двусторонней критической области распределения Стьюдента;
df - число степеней свободы, характеризующее распределение.
Критическая точка (t-значение) для односторонней критической области может быть получена при замене аргумента "вероятность" на 2*"вероятность". Для вероятности 0,05 и числа степеней свободы равного 10, критическое значение для двухсторонней критической области критическое значение вычисляют с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР(0,05;10) и оно равно 2,28139. Критическое значение для односторонней критической области для той же вероятности и числа степеней свободы может быть вычислено по формуле СТЬЮДРАСПОБР(2*0,05;10) и равняется 1,812462.
Решение приведено на рис. 2.18-2.23.
.
Рис. 2.18. Таблица значений функции плотности распределения Стьюдента при различном числе степеней свободы df (режим отображения данных)
Рис. 2.19. Графики функции плотности распределения Стьюдента при различном числе степеней свободы df
Рис. 2.20. Нахождение двусторонних критических значений распределения Стьюдента для различных p-значений
Размещено на http://www.allbest.ru/
Рис. 2.21. Геометрический смысл двустороннего критического значения для распределения Стьюдента для p-значения равного 0,05
Рис. 2.22. Геометрический смысл одностороннего критического значения для распределения Стьюдента для p-значения, равного 0,05
С помощью рис. 2.19 сделайте вывод об изменении графика распределения Стьюдента в зависимости от числа степеней свободы и его близости к кривой нормального распределения. По данным рис. 2.20 сделайте выводы об изменении критических t значений в зависимости от p-значений. По рис. 2.21 и 2.22 оцените односторонние и двусторонние критические значения при фиксированном числе степеней свободы и одном и том же уровне значимости p.
Рис. 2.23. Построение таблицы значений функции плотности распределения Стьюдента при различном числе степеней свободы df (режим отображения формул)
Распределение Фишера. Для нахождения критических значений распределения Фишера в MS Excel имеется встроенная функция FРАСПОБР().
Синтаксис: FРАСПОБР(p;df1;df2)
где p - это p-значение;
df1 - это число степеней свободы числителя;
df2 - это число степеней свободы знаменателя.
Решение приведено на рис. 2.24-2.29.
Рис. 2.24. Таблица значений функции плотности распределения Фишера при различном числе степеней свободы df2 и фиксированном значении числа степеней свободы df1, равном 5 (режим отображения данных)
Рис. 2.25. Нахождение критических значений распределения Фишера для различных p-значений
Рис. 2.26. Геометрический смысл критических значений для различных p-значений распределения Фишера
Рис. 2.27. Графики функции плотности распределения Фишера при различном числе степеней свободы df2 и фиксированном значении числа степеней свободы df1, равном 5
Рис. 2.28. Построение таблицы значений функции плотности распределения Фишера при различном числе степеней свободы df2 и фиксированном значении числа степеней свободы df1 равном 5 (режим отображения формул)
Рис. 2.29. Нахождение критических значений распределения Фишера для различных p-значений (режим отображения формул)
Список литературы
1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика, изд.9, М., Высшая школа, 2003, с. 480.
2. Господариков В.П. и др. Математический практикум, ч.5, Теория вероятности и математическая статистика. Теория функций комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория поля. Санкт-Петербургский горный ин-т, СПб, 2003, с. 187.
3. Бер К., Кэйри П., Анализ данных с помощью Microsoft Excel, М., Вильямс, 2004, с. 560.
Приложение
Функции, определенные пользователем (user define function), написаны на встроенном языке VBA (Visual Basic for Application) для вычисления плотностей некоторых распределений (рис. П 1.1). Для того, чтобы они были доступны на рабочем листе MS Excel, необходимо проделать следующее:
1). Открыть окно редактора VBA, выполнив следующие действия:
Сервис Макрос Редактор Visual Bаsic.
2). Открыть папку Modules в Project Explorer.
3). Скопировать и вставить (или набрать) текст функций в окно редактора.
4). Сохранить набранный текст.
5). После этого эти функции будут доступны в "Мастере функций" в категории "Определенные пользователем" на рабочем листе.
Распределение c2 (хи - квадрат):
Синтаксис CPDF(p;df), где x - значение, для которого строится функция плотности распределения;
d f - число степеней свободы.
Function CPDF(x, df)
x1 = x ^ (0.5 * (df - 2))
x2 = Exp(-0.5 * x)
x3 = 2 ^ (df / 2)
x4 = Exp(Application.GammaLn(df / 2))
CPDF = x1 * x2 / (x3 * x4)
End Function
Рис. 1.1
Распределение Стьюдента (t-распределение):
Синтаксис: TPDF(p;df)
где x - значение, для которого строится функция плотности распределения;
df-число степеней свободы.
Function TPDF(x, df)
x1 = Exp(Application.GammaLn(0.5 * (df + 1)))
x2 = (1 + x ^ 2 / df) ^ (-0.5 * (df + 1))
x3 = Exp(Application.GammaLn(0.5 * df))
x4 = Sqr(Application.Pi() * df)
TPDF = x1 * x2 / (x3 * x4)
End Function
Распределение Фишера (F-распределение):
Синтаксис: FPDF(p;df)
где x - значение, для которого строится функция плотности распределение;
df - это число степеней свободы.
Function FPDF(x, df1, df2)
x1 = (df1 / df2) ^ (df1 / 2) * x ^ ((df1-2) / 2)
x2 = (1 + (df1 / df2) * x) ^ (-(df1 + df2) / 2)
x3 = Exp(Application.GammaLn(df1 / 2)) * Exp (Application.GammaLn (df2 / 2)) / Exp(Application.GammaLn((df1 + df2) / 2))
FPDF = x1 * x2 / x3
End Function
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Построение вариационного (статистического) ряда, гистограммы и эмпирической функции распределения. Определение выборочных оценок числовых характеристик случайной величины. Расчет матрицы парных коэффициентов корреляции и создание модели парной регрессии.
контрольная работа [2,0 M], добавлен 05.04.2014Способы описания случайной величины, основные распределения и их генерация в Excel. Дисперсионный анализ как особая форма анализа регрессии. Применение элементов линейной алгебры в моделировании экономических процессов и решение транспортной задачи.
курс лекций [1,6 M], добавлен 05.05.2010Понятия доверительного интервала и доверительной вероятности и их применение в эконометрических задачах. Доверительный интервал для математического ожидания нормальной случайной величины при известной и при неизвестной дисперсии, генеральная совокупность.
реферат [2,0 M], добавлен 12.12.2009Закон распределения генеральной совокупности. Вычисление вероятности при помощи распределения Гаусса. Срок действия декларации о соответствии и сертификата соответствия. Применение математической статистики при измерениях и испытаниях продукции.
презентация [128,7 K], добавлен 30.07.2013Анализ различных подходов к определению вероятности. Примеры стохастических зависимостей в экономике. Проверка ряда гипотез о свойствах распределения вероятностей для случайной компоненты как один из этапов эконометрического исследования. Вариации.
реферат [261,0 K], добавлен 17.11.2008Особенности метода проверки гипотезы о законе распределения по критерию согласия хи-квадрат Пирсона. Свойства базовой псевдослучайной последовательности. Методы оценки закона распределения и вероятностных характеристик случайной последовательности.
лабораторная работа [234,7 K], добавлен 28.02.2010Элементы математического анализа: производная, определенный интеграл и ряды. Арифметические операции и функции комплексной переменной. Основные понятия и определения теории вероятности, статистики и комбинаторики. Законы распределения вероятностей.
методичка [2,9 M], добавлен 05.07.2010Построение гистограммы и эмпирической функции распределения. Нахождение доверительного интервала для оценки математического распределения. Проверка статистической гипотезы о равенстве средних значений, дисперсий, их величине, о виде закона распределения.
курсовая работа [1,7 M], добавлен 29.11.2014Построение временной ряда величины по данным об уровне безработицы в России за 10 месяцев 2010 г., вычисление ее числовых характеристик. Регрессионная модель временного тренда. Краткосрочный и долгосрочный прогнозы изменения рассматриваемой величины.
контрольная работа [118,1 K], добавлен 26.02.2012Проблемы неравномерного распределения доходов среди населения. Закон распределения Парето: зависимость между размером доходов и количеством людей. Распределение Парето в теории катастроф. Методы обработки данных с распределением с тяжелыми хвостами.
курсовая работа [413,0 K], добавлен 06.01.2012
