Номер уравнения	Число эндогенных переменных в уравнении, HY	Число экзогенных перемен-ных из общего их списка, отсутствующих в уравнении, Dx	Сравнение параметров HY и Dx + 1	Решение об идентификации уравнения
1	2	1	2 = 1+1	точно идентифицировано
2	2	1	2 = 1+1	точно идентифицировано
Система уравнений в целом	точно идентифицирована

Процедура КМНК состоит в том, чтобы путём преобразования результатов решения приведённых уравнений получить искомые структурные уравнения. Используемый приём подстановок обеспечивает получение точных результатов только в том случае, если выполняемые преобразования точны и безошибочны. Чтобы получить первое структурное уравнение из первого приведённого необходимо отсутствующий в структурном уравнении признак выразить через Y₂, используя результаты второго приведённого уравнения. То есть:



После подстановки значения в первое приведённое уравнение и преобразования подобных членов, получаем следующий результат:

.

Как видим, полученный результат соответствует исходной рабочей гипотезе. Анализ показывает, что стоимость ВРП находится в прямой зависимости от розничного товарооборота, стоимости основных фондов в экономике, от размера инвестиций в экономику и от численности населения, занятого в экономике региона. Указанные переменные объясняют 86,3% вариации результата, а характеристики установленной зависимости являются статистически значимыми и надёжными, так как

для .

Следовательно, есть основания для отклонения нулевой гипотезы о случайной природе выявленной зависимости.

Аналогично выполняем преобразования для определения параметров второго структурного уравнения. Выразим отсутствующий в уравнении через Y₁, используя результаты построения первого приведённого уравнения. То есть:

.

После подстановки значения во второе приведённое уравнение и преобразования подобных членов, получаем следующий результат:

.

Уравнение описывает линейную зависимость розничного товарооборота от стоимости ВРП, основных фондов в экономике, от численности занятых в экономике и от уровня среднедушевых расходов населения за месяц. Данный перечень переменных объясняет 87,4% вариации оборота розничной торговли, а соотношение позволяет отклонить нулевую гипотезу о случайной природе выявленной зависимости.

4. Для выполнения прогнозных расчётов и наиболее простым является вариант, по которому прогнозные значения экзогенных переменных () подставляются в приведённые уравнения. Точность и надёжность прогнозов в этом случае зависит от качества приведённых моделей и от того, как сильно отличаются прогнозные значения экзогенных переменных от их средних значений.

Задача № 6.

Среднегодовая численность занятых в экономике Российской Федерации, млн. чел., за период с 1990 по 2000 год характеризуется следующими данными:



Годы	Qt
1990	75,3
1991	73,8
1992	72,1
1993	70,9
1994	68,5
1995	66,4
1996	66,0
1997	64,7
1998	63,8
1999	64,0
2000	64,3

Задание:

1. Постройте график фактических уровней динамического ряда -Q_t

2. Рассчитайте параметры параболы второго порядка : ,

линейной : и логарифмической функций :

3. Оцените полученные результаты:

с помощью показателей тесноты связи ( r и с ; r² и с² );

значимость модели тренда (F-критерий);

качество модели через корректированную среднюю ошибку аппроксимации , а также через коэффициент автокорреляции отклонений от тренда -

4. Выберите лучшую форму тренда и выполните по ней прогноз до 2003 года.

5. Проанализируйте полученные результаты.

Решение:

1.Общее представление о форме основной тенденции в уровнях ряда даёт график их фактических значений. Для его построения введём дополнительные обозначения для комплекса систематически действующих факторов, который по традиции обозначим через t и условно отождествим с течением времени. Для обозначения комплекса систематических факторов используются числа натурального ряда: 1, 2, 3, …,n. См. табл. 1.

В первую очередь выявим линейный тренд и проверим его статистическую надёжность и качество. Параметры рассчитаем с помощью определителей второго порядка, используя формулы, рассмотренные нами в зад. 1. Получены значения определителей:; ; . С их помощью получены следующие параметры линейного тренда: ; , уравнение имеет вид:. Уравнение детерминирует 92,2% вариации численности занятых (; ).

Таблица 1.

Годы	Qt	t	T2	Qt*t	Qt расч.	DQt	(dQt)2
А	1	2	3	4	5	6	7	8
1990	75,3	1	1	75,3	74,3	1,0	1,0	1,5
1991	73,8	2	4	147,6	73,0	0,8	0,6	1,2
1992	72,1	3	9	216,3	71,8	0,3	0,1	0,4
1993	70,9	4	16	283,6	70,6	0,3	0,1	0,4
1994	68,5	5	25	342,5	69,4	-0,9	0,8	1,3
1995	66,4	6	36	398,4	68,2	-1,8	3,2	2,6
1996	66,0	7	49	462,0	66,9	-0,9	0,8	1,3
1997	64,7	8	64	517,6	65,7	-1,0	1,0	1,5
1998	63,8	9	81	574,2	64,5	-0,7	0,5	1,0
1999	64,0	10	100	640,0	63,3	0,7	0,5	1,0
2000	64,3	11	121	707,3	62,1	2,2	4,8	3,2
Итого	749,8	66	506	4364,8	749,8	0,0	13,4	15,4
Средняя	68,2	6,0	--	--	--	--	--	1,4
Сигма	4,01	3,16	--	--	--	--	--	--
Дисперсия, D	16,08	10,0	--	--	--	--	--	--



Средняя ошибка аппроксимации очень невелика (= 1,4%), что указывает на высокое качество модели тренда и возможность её использования для решения прогнозных задач. Фактическое значение F-критерия составило 108 и сравнение с 5,12 его табличного значения позволяет сделать вывод о высокой степени надёжности уравнения тренда.

Для дополнительной проверки качества тренда выполним расчёт коэффициента корреляции отклонений фактических уровней от рассчитанных по уравнению тренда. Если будет установлено отсутствие связи отклонений, это укажет на их случайную природу, то есть на то, что тренд выбран верно, что он полностью исключил основную тенденцию из фактических уровней ряда и что он сформировал случайный значения отклонений.

Выполним расчёт в табл.2. Поместим во второй графе фактические отклнения от тренда , для удобства расчёта обозначим их через Y. В соседней графе поместим эти же отклонения, но, сместив их относительно первой строки, на один год вниз; обозначим их через и рассмотрим в качестве фактора X. Линейный коэффициент корреляции отклонений рассчитаем по формуле:

Используем значения определителей второго порядка для расчёта коэффициента регрессии с₁, который отражает силу связи отклонений и . Получены следующие значения определителей:

Отсюда . При этом, коэффициент корреляции отклонений составит:

В данном случае выявлена заметная связь, существенность которой подтверждает сравнение фактического и табличного значений F- критерия: . Следовательно, нулевая гипотеза о случайной природе отклонений не может быть принята, отклонения связаны между собой и не являются случайными величинами. То есть, линейный тренд не полностью исключил из фактических уровней влияние систематических факторов, формирующих основную тенденцию. Следует рассмотреть тренд иной формы.

Таблица 2

	(Y)	(X)
	1,0	--	--	--
1	0,8	1,0	0,8	1,0
2	0,3	0,8	0,2	0,6
3	0,3	0,3	0,1	0,1
4	-0,9	0,3	-0,3	0,1
5	-1,8	-0,9	1,6	0,8
6	-0,9	-1,8	1,6	3,2
7	-1,0	-0,9	0,9	0,8
8	-0,7	-1,0	0,7	1,0
9	0,7	-0,7	-0,5	0,5
10	2,2	0,7	1,5	0,5
Итого	-1,0	-2,2	6,6	8,6
Средняя	-0,1	-0,2	--	--
Сигма	1,12	0,91	--	--

2.Рассмотрим возможность использования для описания тренда равносторонней гиперболы:. В качестве аргумента в уравнении тренда здесь выступает . Выполним расчёт параметров и оценим полученное уравнение. См. табл. 3.

Таблица 3

Годы					.
1	2	3	4	5	6	7	8	9
1990	75,3	1,000	75,300	1,0000	77,8	-2,5	6,3	3,7
1991	73,8	0,500	36,900	0,2500	71,2	2,6	6,8	3,8
1992	72,1	0,333	24,033	0,1111	68,9	3,2	10,2	4,7
1993	70,9	0,250	17,725	0,0625	67,8	3,1	9,6	4,5
1994	68,5	0,200	13,700	0,0400	67,2	1,3	1,7	1,9
1995	66,4	0,167	11,067	0,0278	66,7	-0,3	0,1	0,4
1996	66,0	0,143	9,429	0,0204	66,4	-0,4	0,2	0,6
1997	64,7	0,125	8,088	0,0156	66,3	-1,6	2,6	2,3
1998	63,8	0,111	7,089	0,0123	66,0	-2,2	4,8	3,2
1999	64,0	0,100	6,400	0,0100	65,8	-1,8	3,2	2,6
2000	64,3	0,091	5,845	0,0083	65,7	-1,4	2,0	2,1
Итого	749,8	3,020	215,575	1,5580	749,8	0,0	47,5	29,8
Средняя	68,2	0,275	--	--	--	--	4,3	2,7
Сигма	4,01	0,257	--	--	--	--	--	--
D	16,08	0,066	--	--	--	--	--	--

Определители составили:; ; . По их значениям рассчитаны параметры и получено уравнение тренда: . Уравнение тренда выявляет тенденцию постепенного снижения и сохранения на неизменном уровне численности занятых. Индекс корреляции оценивает выявленную связь как тесную:

(см. гр. 7 и 8).

Здесь изменения численности занятых на 73,3% определены изменениями систематических факторов, а на 26,7% - прочими причинами. Ошибка аппроксимации очень невелика =2,7% (гр. 9) и поэтому возможности дальнейшего использования модели будут зависеть от оценки корреляции отклонений.

Коэффициент корреляции отклонений (коэффициент автокорреляции) выявил их заметную связь (), которая является статистически незначимой: , то есть нулевая гипотеза может быть принята с 5%-ой вероятностью допустить ошибку. Таким образом, имеются веские основания для использования модели равносторонней гиперболы для выполнения прогнозных расчётов.

При выполнении прогнозов на 2001, 2002, 2003 и 2004 годы подставим в уравнение прогнозные значения фактора, 12, 13, 14, 15, что позволяет получить результат на уровне 65,6 - 65,4 млн. чел.: ; ; ; . В данном прогнозе реализуется гипотеза о стабилизации численности занятых и её сохранении на уровне 65,4 млн. чел.

3.Рассмотрим возможность использования показательной кривой для описания тенденции и прогноза. Показательная форма тренда имеет вид и предполагает выполнение процедуры линеаризации исходного уравнения с целью приведения его к линейному виду. В расчёте параметров полученного линейного уравнения участвуют значения и Порядок расчёта представим в табл. 4.

Расчёт определителей второго порядка даёт следующие результаты:

По ним рассчитаны параметры линеаризованной функции:

и построено уравнение: . Для получения уравнения в естественной форме выполним процедуру потенцирования результатов: .

Таблица 4.

Годы
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1990	75,3	4,321	1	1	4,321	4,309	0,013	0,00017	74,3	1,0	1,5
1991	73,8	4,301	2	4	8,603	4,291	0,010	0,00010	73,0	0,8	1,2
1992	72,1	4,278	3	9	12,834	4,273	0,005	0,00003	71,8	0,3	0,4
1993	70,9	4,261	4	16	17,045	4,256	0,006	0,00004	70,5	0,4	0,6
1994	68,5	4,227	5	25	21,134	4,238	-0,011	0,00012	69,3	-0,8	1,2
1995	66,4	4,196	6	36	25,174	4,220	-0,025	0,00063	68,0	-1,6	2,3
1996	66,0	4,190	7	49	29,328	4,203	-0,013	0,00017	66,9	-0,9	1,3
1997	64,7	4,170	8	64	33,358	4,185	-0,015	0,00023	65,7	-1,0	1,5
1998	63,8	4,156	9	81	37,402	4,167	-0,011	0,00012	64,5	-0,7	1,0
1999	64,0	4,159	10	100	41,589	4,149	0,009	0,00008	63,4	0,6	0,9
2000	64,3	4,164	11	121	45,799	4,132	0,032	0,00102	62,3	2,0	2,9
Итого	749,8	46,422	66	506	276,587	46,422	0,0	0,00271	749,7	0,102	14,8
Средняя	68,2	4,220	6	--	--	--	--	0,00025	--	--	1,3
Сигма	4,01	0,0581	3,162	--	--	--	--	--	--	--	--
D	16,08	0,00337	10,00	--	--	--	--	--	--	--	--

Показательный тренд установил, что численность занятых сокращается со среднегодовым темпом, равным 0,9825 или 98,3%. За период 1990-2001 гг. численность занятых ежегодно уменьшалась в среднем на 1,7%.

В данном случае, показатели тесноты изучаемой связи рассчитываются не как обычно - на фактических и расчётных значениях результата ( и ), а с использованием линеаризованных значений результата и , потому что именно для них выполняется требование МНК о наименьшей сумме квадратов отклонений. Расчёт выполнен в гр.8 и 9.

Выявлена весьма тесная зависимость численности занятых от комплекса систематических факторов:

.

Уравнение и его параметры статистически значимы и надёжны, т.к. F_факт.=112, что значительно превосходит F_табл.=5,12 (при d.f.₁ = 1; d.f.₂ = 11-1-1 = 9; б = 0,05).

Средняя ошибка аппроксимации в данной задаче рассчитывается как обычно, с использованием и , т. к. при решении прогнозных задач производится оценка естественных, а не линеаризованных значений результата. Ошибка мала: =1,3% и поэтому модель может быть рекомендована для использования при прогнозировании. При этом, важно убедиться, что после выявления тренда формируются отклонения =, представляющие собой значения случайной переменной.

Для этого рассчитаем коэффициент автокорреляции отклонений: . Расчёт выполняется по линеаризованным значениям результата, то есть, с иcпользованием и .

Необходимая для расчёта информация представлена в табл. 5.

По аналогии с предыдущими расчётами находим коэффициент автокорреляции через определители второго порядка для двух рядов отклонений: и .

;

; ;

;

Таблица 5

	(Y)	(X)
	0,013	--	--	--
1	0,010	0,013	0,00013	0,00016
2	0,005	0,010	0,00005	0,00011
3	0,006	0,005	0,00003	0,00002
4	-0,011	0,006	-0,00006	0,00003
5	-0,025	-0,011	0,00027	0,00012
6	-0,013	-0,025	0,00032	0,00060
7	-0,015	-0,013	0,00019	0,00017
8	-0,011	-0,015	0,00017	0,00023
9	0,009	-0,011	-0,00011	0,00013
10	0,032	0,009	0,00030	0,00009
Итого	-0,013	-0,032	0,00129	0,00166
Средняя	-0,0013	-0,0032	--	--
Сигма	0,01579	0,0124841	--	--
D	0,0002493	0,0001559	--	--

Отклонения от показательного тренда находятся в заметной зависимости, которая, по оценке F-критерия, является статистически значимой и надёжной: . Нулевая гипотеза о несущественной связи отклонений должна быть отвергнута с 5%-ой вероятностью ошибки. Это означает, что показательный тренд не является лучшим, т.к. не аккумулирует в себе влияния всего комплекса существенных факторов, а оставляет часть этого влияния в отклонениях от тренда. Поэтому показательный тренд не следует рассматривать как лучший.

4.Остановимся на порядке построения и использования степенной модели в решении поставленных задач. В данной модели реализуется концепция мультипликативного механизма воздействия фактора на результат: . Построению модели предшествует процедура линеаризации исходного уравнения путём логарифмирования его элементов: . В расчёте параметров участвуют и . Необходимая для расчёта исходная и промежуточная информация представлена в табл. 6.

Расчёт определителей приводит к следующим результатам:

;

;

.

Значения параметров линеаризованного уравнения составят:

; ,

а уравнение в линейной форме имеет вид: .

Таблица 6

Годы
1	2	3	4	5	6	7	8
1990	0,000	4,321	0,000	0,000	4,346	-0,025	0,00063
1991	0,693	4,301	0,480	2,981	4,291	0,010	0,00010
1992	1,099	4,278	1,207	4,700	4,259	0,019	0,00036
1993	1,386	4,261	1,922	5,907	4,236	0,025	0,00063
1994	1,609	4,227	2,590	6,803	4,219	0,008	0,00006
1995	1,792	4,196	3,210	7,518	4,204	-0,009	0,00008
1996	1,946	4,190	3,787	8,153	4,192	-0,002	0,00000
1997	2,079	4,170	4,324	8,671	4,182	-0,012	0,00014
1998	2,197	4,156	4,828	9,131	4,172	-0,016	0,00026
1999	2,303	4,159	5,302	9,576	4,164	-0,005	0,00003
2000	2,398	4,164	5,750	9,984	4,156	0,007	0,00005
Итого	17,502	46,422	33,400	73,424	46,422	0,000	0,00234
Средняя	1,591	4,220	--	--	--	--	0,00021
Сигма	0,710	0,058	--	--	--	--	--
D	0,505	0,0034	--	--	--	--	--

После процедуры потенцирования получаем уравнения в естественной форме:

или иначе .

В модели нашло отражение единственная тенденция устойчивого сокращения численности занятых со снижающимся темпом этого сокращения. Если использовать модель для прогноза, то это будет прогноз снижения численности занятых, но при этом, процент её (численности) сокращения год от года будет уменьшаться.

Степенная модель выявляет связь, которая оценивается как весьма тесная и статистически значимая:

. .

Особо отметим, что в данном случае, так же, как и при оценке тесноты связи показательной модели, расчёты общей и остаточной дисперсий проводятся по линеаризованным значениям признака-результата, то есть по и

Расчёт ошибки аппроксимации приводится в табл. 7. Её значение очень невелико и составляет 1,7%. При отсутствии автокорреляции в отклонениях от тренда степенная модель может использоваться для прогноза без формальных ограничений.

Таблица 7.

Годы
1990	77,2	-1,9	3,6	2,8	-0,025	--	--	--
1991	73,1	0,7	0,5	1,0	0,010	-0,025	-0,00025	0,000610
1992	70,8	1,3	1,7	1,9	0,019	0,010	0,00019	0,000101
1993	69,2	1,7	2,9	2,5	0,025	0,019	0,00047	0,000355
1994	67,9	0,6	0,4	0,9	0,008	0,025	0,00020	0,000617
1995	67,0	-0,6	0,4	0,9	-0,009	0,008	-0,00007	0,000065
1996	66,2	-0,2	0,0	0,3	-0,002	-0,009	0,00002	0,000074
1997	65,5	-0,8	0,6	1,2	-0,012	-0,002	0,00003	0,000006
1998	64,9	-1,1	1,2	1,6	-0,016	-0,012	0,00019	0,000139
1999	64,3	-0,3	0,1	0,4	-0,005	-0,016	0,00008	0,000271
2000	63,8	0,5	0,3	0,7	0,007	-0,005	-0,00004	0,000025
Итого	749,73	0,1	11,7	14,2	0,025	-0,007	0,00083	0,002265
Средняя	--	--	1,06	1,3	0,0025	-0,0007	--	--
D	--	--	--	--	0,01283	0,01503	--	--

В табл. 7 приводятся результаты проверки остатков на их автокоррелированность. В результате установлено, что в остатках существует умеренная связь, но она не является статистически значимой, то есть ряд отклонений представляют собой случайную переменную.

; ;

; .

Следовательно, нулевая гипотеза о статистической незначимости взаимосвязи отклонений от степенного тренда должна быть принята, при том, что вероятность допустить ошибку не превысит общепринятого 5% уровня.

Следовательно, степенной тренд отражает влияние комплекса систематических факторов и после исключения этого влияния из фактических уровней в них остаются значения, случайные по своей природе. Поэтому нет формальных ограничений на использование степенной модели в прогнозных расчётах.

5.Выполним расчёт параметров уравнения параболы второго порядка и оценим возможность её использования для выполнения прогнозов.

Значения параметров рассчитаем, используя определители третьего порядка, формулы которых приведены в решении типовой задачи №1. Необходимые данные представлены в табл. 8. В результате получены следующие значения определителей системы нормальных уравнений:

Табл. 8

Годы
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1990	75,3	1	75,3	1	1	1	75,3	75,9	-0,6	0,36	0,9
1991	73,8	2	147,6	4	8	16	295,2	73,7	0,1	0,01	0,1
1992	72,1	3	216,3	9	27	81	648,9	71,7	0,4	0,16	0,6
1993	70,9	4	283,6	16	64	256	1134,4	69,9	1,0	1,00	1,5
1994	68,5	5	342,5	25	125	625	1712,5	68,4	0,1	0,01	0,1
1995	66,4	6	398,4	36	216	1296	2390,4	67,0	-0,6	0,36	0,9
1996	66,0	7	462,0	49	343	2401	3234	65,9	0,1	0,01	0,1
1997	64,7	8	517,6	64	512	4096	4140,8	65,1	-0,4	0,16	0,6
1998	63,8	9	574,2	81	729	6561	5167,8	64,4	-0,6	0,36	0,9
1999	64,0	10	640,0	100	1000	10000	6400	64,0	0,0	0,00	0,0
2000	64,3	11	707,3	121	1331	14641	7780,3	63,8	0,5	0,25	0,7
Итого	749,8	66	4364,8	506	4356	39974	32979,6	749,8	0,0	2,68	6,4
Средняя	68,2	6	--	--	--	--	--	--	--	0,24	0,6
Сигма	4,01	3,16	--	--	--	--	--	--	--	--	--
D	16,08	10,0	--	--	--	--	--	--	--	--	--

; ; ;

; ; .

Уравнение параболы второго порядка имеет вид:. Знак минус у коэффициента регрессии а₂ указывает на то, что парабола обращена своей вершиной вниз. То есть, у параболы есть точка минимума, в которой результат принимает наименьшее значение. Достигается это минимальное значение при условии равенства нулю первой производной данной функции. В нашем примере то есть . Отсюда .

В соответствии с используемой моделью параболы второго порядка численность занятых в экономике РФ будет наименьшей в период между 11 и 12 годами, то есть в период 2000-2001 года. В этот момент численность занятых достигнет своего минимального значения в 63,8 млн. чел.:

(млн. чел.).

Начиная с этого момента, в соответствии с рассматриваемой моделью, численность занятых в экономике РФ будет постепенно увеличиваться. Проблема состоит в том, чтобы определить те временные границы, в которых рассматриваемая модель может использоваться с наибольшей результативностью, т.е. давать наиболее точные и достоверные прогнозы.

Для нас важной особенностью представляемой модели является то, что в ней реализуется гипотеза о стабилизации процесса снижения численности занятых и следующего за ним процесса постепенного увеличения контингента занятых. Но, при этом, очень важно, чтобы для модели были характерны высокие оценочные параметры.

В гр. 9, 10 и 11 представлены данные для расчёта показателей тесноты описанной параболой связи. Уравнение выявило весьма тесную связь (), которая на 98,5% детерминирована системой устойчивых, статистически значимых факторов. Об этом говорит F-критерий, фактическое значение которого в десятки раз превышает его табличное значение: при d.f.₁ = 2; d.f.₂ = 8 при б = 0,05.

Ошибка аппроксимации имеет весьма малое значение: =0,6%, что указывает на хорошие перспективы при использовании модели для прогнозных расчётов.

В табл. 9 представлены данные для проверки наличия автокорреляции в отклонениях фактических уровней ряда от теоретических, рассчитанных по уравнению параболы.

Рассчитаем определители для коэффициента регрессии отклонений с₁ и по ним найдём его значение:



С помощью коэффициента регрессии отклонений (с₁) и значений средних квадратических откло-

Таблица 9

Годы
1990	77,2	-0,6	--	--	--
1991	73,1	0,1	-0,6	-0,06	0,36
1992	70,8	0,4	0,1	0,04	0,01
1993	69,2	1,0	0,4	0,40	0,16
1994	67,9	0,1	1,0	0,10	1,00
1995	67,0	-0,6	0,1	-0,06	0,01
1996	66,2	0,1	-0,6	-0,06	0,36
1997	65,5	-0,4	0,1	-0,04	0,01
1998	64,9	-0,6	-0,4	0,24	0,16
1999	64,3	0,0	-0,6	-0,00	0,36
2000	63,8	0,5	0,0	0,00	0,00
Итого	749,73	0,6	-0,5	0,56	2,43
Средняя	--	0,06	-0,05	--	--
D	--	0,476	0,491	--	--

нений каждого ряда остатков ( и ) определим коэффициент автокорреляции:

;

.

Как показали расчёты коэффициента автокорреляции, отклонения от параболического тренда находятся в слабой взаимосвязи, которая не является статистически значимой, устойчивой и надёжной. То есть, парабола наилучшим образом отражает форму основной тенденции в фактических уровнях.

Кроме того, парабола способна реализовать прогноз, основанный на предположении о постепенной стабилизации численности занятых с её последующим увеличением. В качестве альтернативы может быть рассмотрен прогноз, основанный на гипотезе о снижающейся численности занятых, но с затухающими темпами этого снижения, то есть вариант стабилизирующейся численности занятых. Указанный вариант прогноза может быть выполнен либо по уравнению равносторонней гиперболы, либо по степенной модели. Окончательный выбор вариантов прогноза может быть сделан по результатам анализа оперативной информации о текущих изменениях численности занятых в экономике РФ.

Заканчиваем решение задачи выполнением прогноза по параболе второго порядка. Прогноз выполним на четыре года: на 2001 - 2004 гг. Условный фактор - фактор времени t, примет прогнозные значения, продолжающие натуральный ряд чисел, использованных для его обозначения. То есть,

При подстановке значений и в уравнение параболы и после выполнения соответствующих расчётов получаем прогнозные значения численности занятых:

млн. чел.;

млн. чел.;

млн. чел.;

млн. чел.

По результатам прогноза по параболе численность занятого населения в ближайшие годы будет постепенно возрастать, достигая 64 - 65 млн. чел.

Задача № 7.

Данные о стоимости экспорта () и импорта () Франции, млрд. $, приводятся за период с 1991 по 2000 г.

В уровнях рядов выявлены линейные тренды:

для экспорта - , а для импорта - .

По указанным трендам произведено выравнивание каждого ряда, то есть рассчитаны теоретические значения их уровней: и

Годы	Экспорт ()	Импорт ()
	.
1991	217	217	232	219
1992	236	228	240	228
1993	209	240	202	238
1994	236	250	230	247
1995	287	261	275	256
1996	289	272	278	265
1997	290	283	270	275
1998	306	294	289	284
1999	301	305	290	293
2000	295	316	301	302

Предварительная обработка исходной информации привела к следующим результатам:

	Mt	Zt	t
Mt	1	0,9606	0,8836
Zt	0,9606	1	0,8629
t	0,8836	0,8629	1
Итого	2666	2607	55
Средняя	266,6	260,7	5,5
	35,579	30,845	2,872

Задание

1. Для изучения связи рядов рассчитайте отклонения фактических значений каждого ряда от теоретических ( и );

2. Для оценки тесноты связи рассчитайте: а) линейный коэффициент парной корреляции отклонений от линии тренда: ; б) уровней рядов: и в) коэффициент частной корреляции уровней: ; поясните их значения, укажите причины различий значений парных коэффициентов корреляции (пп. «а» и «б») и схожести коэффициентов парной корреляции отклонений и частной корреляции уровней (пп. «а» и «в»);

3. Постройте уравнение множественной регрессии с участием временной с участием временной составляющей:

4. Проанализируйте полученные результаты.

Решение.

1.Изучение связи рядов выполним двумя способами, сравним их результаты и выберем из них правильный. Для оценки тесноты связи рядов через величины отклонений от оптимального тренда рассчитаем значения отклонений: и

См. табл. 1.

Таблица 1

Годы
1991	1	217	217	232	219	0	13	0	0	169
1992	2	236	228	240	228	8	12	96	64	144
1993	3	209	240	202	238	-31	-36	1116	961	1296
1994	4	236	250	230	247	-14	-17	238	196	289
1995	5	287	261	275	256	26	19	494	676	361
1996	6	289	272	278	265	17	13	221	289	169
1997	7	290	283	270	275	7	-5	-35	49	25
1998	8	306	294	289	284	12	5	60	144	25
1999	9	301	305	290	293	-4	-3	12	16	9
2000	10	295	316	301	302	-21	-1	21	441	1
Итого	55	2666	--	2607	--	0	0	2223	2836	2488
Средняя	5,5	266,6	--	260,7	--	0	0	--	283,6	248,8
Сигма	2,87	35,58	--	30,84	--	16,84	15,77	--	--	--
D	8,25	1265,84	--	951,41	--	283,60	248,80	--	--	--

Выполним расчёт коэффициента корреляции отклонений от трендов через коэффициент регрессии отклонений с₁, и . Но для этого предварительно рассчитаем определители второго порядка по уравнению регрессии отклонений:

.

В силу того, что свободный член уравнения регрессии отклонений равен нулю, вид уравнения будет отличаться от традиционного:. С изменением отлонений импорта от своего тренда на единицу отклонения экспорта от своего тренда изменятся в том же направлении на 0,8935 часть своей единицы. В дальнейшем коэффициент с₁ используется для расчёта показателей тесноты связи двух рядов отклонений:

;

Выявлена тесная связь отклонений от трендов, которая означает, что вариация отклонений экспорта на 70% детерминирована изменениями импорта и на 30% - влиянием прочих факторов.

Второй вариант оценки связи двух рядов основан на традиционной оценке корреляции их уровней:

.

Данный подход к решению задачи предполагает традиционный расчёт определителей уравнения регрессии уровней, нахождение коэффициента регрессии а₁ и далее с помощью и - расчёт коэффициента корреляции. Необходимая информация представлена в табл. 2.

Расчёт определителей дал следующие результаты:

Значения параметров регрессии: ; , а уравнение имеет вид:

.

Оценки тесноты связи уровней составят:; . Это значит, что в уровнях существует весьма тесная связь, при которой вариации импорта предопределяет 92,2% вариации экспорта.

Таблица 2

Годы
1991	217	232	47089	53824	50344
1992	236	240	55696	57600	56640
1993	209	202	43681	40804	42218
1994	236	230	55696	52900	54280
1995	287	275	82369	75625	78925
1996	289	278	83521	77284	80342
1997	290	270	84100	72900	78300
1998	306	289	93636	83521	88434
1999	301	290	90601	84100	87290
2000	295	301	87025	90601	88795
Итого	2666	2607	723414	689159	705568
Средняя	266,6	260,7
Сигма	35,58	30,84
D	1265,84	951,41

2.Однако, делать подобный вывод было бы глубоко ошибочно потому, что в уровнях и одного, и другого рядов выявлены устойчивые, статистически значимые линейные тренды. В подобных условиях выявленное взаимодействие уровней не является отражением причинной зависимости, а представляет собой оценку ложной связи, вызванной наличием трендов схожей линейной формы. В силу того, что оба тренда сформированы под влиянием разного комплекса факторов, схожесть их формы создаёт иллюзию связи рядов. Подобные соображения позволяют отказаться от результатов изучения связи уровней рядов, содержащих тренд. В данной ситуации особо пристального внимания заслуживает связь случайных отклонений от трендов. Именно этот подход позволяет выявить и количественно оценить истинную связь рядов.

В действительности связь рядов существует и оценивается она как тесная, то есть, в ней экспорт на 70% детерминирован вариацией импорта. Фактический F-критерий равен 18,9. Это больше табличного (F _табл.=5,32), что доказывает надёжность и значимость истинной связи рядов.

3.Для формализованного представления подобных зависимостей и использования моделей связи динамических рядов в прогнозных расчётах предлагается построить множественную регрессионную модель связи рядов, включая в неё в качестве обязательной составляющей фактор времени t. Речь идёт о построении модели следующего вида: . В данной задаче в уровнях обоих рядов присутствует линейный тренд. Поэтому включение в модель линейно влияющего фактора времени позволит через коэффициент а₂ отразить наличие линейного тренда в уровнях обоих рядов. Если в уровнях рядов представлены тренды иной, более сложной формы, тогда уравнение множественной регрессии должно через фактор времени отразить эту более сложную форму трендов.

Истинную силу и направление связи рядов отразит коэффициент регрессии а₁ , а тесноту их связи оценит частный коэффициент корреляции: .

Используем для расчёта параметров множественной регрессии матрицу парных коэффициентов корреляции, представленную в исходных данных.

Для построения уравнения в стандартизованном масштабе: рассчитаем значения -коэффициентов:

Получено следующее уравнение: .

Его параметры позволяют сделать вывод о том, что влияния импорта на экспорт почти в четыре раза сильнее, чем влияние систематических факторов, формирующих линейный тренд:



По значениям -коэффициентов рассчитаем параметры множественной регрессии в естественной форме:

;

.

Уравнение имеет вид:. С увеличением импорта на 1 млрд. $ экспорт увеличивается на 0,895 млрд.$; под влиянием комплекса систематических факторов (которые условно обозначили через t_i ) экспорт увеличивается в среднем за год на 2,65 млрд. $.

Оценку тесноты связи рядов, очищенную от влияния комплекса систематических факторв, даёт частный коэффициент корреляции:

;

.

Как видим, получены результаты, точно совпадающие с оценками тесноты связи по отклонениям от лучших трендов, которыми, в данном случае, являются линейные тренды.

Использование динамической модели в прогнозе заключается в подстановке в её правую часть прогнозных значений фактора и фактора. То есть,

Приложение 1.

Таблица значений F-критерия Фишера (двусторонний)

d.f.2= = n - k - 1) степени свободы остаточной дисперсии	степени свободы факторной дисперсии - d.f.1 = k
	k=1	k=2	k=3	k=4
	Уровень значимости, б
	0,10	0,05	0,01	0,10	0,05	0,01	0,10	0,05	0,01	0,10	0,05	0,01
1	39,9	161,5	4052	49,5	199,5	5000	53,6	215,72	5403	55,8	224,57	5625
2	8,5	18,5	98,5	9,0	19,0	99,00	9,2	19,16	99,2	19,2	19,25	99,30
3	5,54	10,13	34,1	5,46	9,6	30,82	5,39	9,28	29,5	5,34	9,12	28,71
4	4,54	7,71	21,2	4,32	6,9	18,00	4,19	6,59	16,7	4,11	6,39	15,98
5	4,06	6,61	16,3	3,78	5,79	13,27	3,62	5,41	12,1	3,52	5,19	11,39
6	3,78	5,99	13,8	3,46	5,14	10,92	3,29	4,76	9,8	3,18	4,53	9,15
7	3,59	5,59	12,3	3,26	4,74	9,55	3,07	4,35	8,5	2,96	4,12	7,85
8	3,46	5,32	11,3	3,11	4,46	8,65	2,92	4,07	7,6	2,81	3,84	7,01
9	3,36	5,12	10,6	3,01	4,26	8,02	2,81	3,86	7,0	2,69	3,63	6,42
10	3,29	4,96	10,0	2,92	4,10	7,56	2,73	3,71	6,6	2,61	3,48	5,99
11	3,23	4,84	9,7	2,86	3,98	7,20	2,66	3,59	6,2	2,54	3,36	5,67
12	3,18	4,75	9,3	2,81	3,88	6,93	2,61	3,49	6,0	2,48	3,26	5,41
13	3,14	4,67	9,1	2,76	3,80	6,70	2,56	3,41	5,7	2,43	3,18	5,20
14	3,10	4,60	8,9	2,73	3,74	6,51	2,52	3,34	5,6	2,39	3,11	5,03
15	3,07	4,54	8,7	2,70	3,68	6,36	2,49	3,29	5,4	2,36	3,06	4,89
16	3,05	4,49	8,5	2,67	3,63	6,23	2,46	3,24	5,3	2,33	3,01	4,77
17	3,03	4,45	8,4	2,64	3,59	6,11	2,44	3,20	5,2	2,31	2,96	4,67
18	3,01	4,41	8,3	2,62	3,55	6,01	2,42	3,16	5,1	2,29	2,93	4,58
19	2,99	4,38	8,2	2,61	3,52	5,93	2,40	3,13	5,0	2,27	2,90	4,50
20	2,97	4,35	7,9	2,59	3,49	5,72	2,38	3,10	4,9	2,25	2,87	4,31
21	…	4,32	8,0	…	3,47	5,78	…	3,07	4,9	…	2,84	4,37
22	2,95	4,30	7,9	2,56	3,44	5,72	2,35	3,05	4,8	2,22	2,82	4,31
23	…	4,28	7,9	…	3,42	5,66	…	3,03	4,8	…	2,80	4,26
24	2,93	4,26	7,8	2,54	3,40	5,61	2,33	3,01	4,7	2,19	2,78	4,22
25	…	4,24	7,8	…	3,38	5,57	…	2,99	4,7	…	2,76	4,18
26	2,91	4,22	7,7	25,2	3,37	5,53	2,31	2,98	4,6	2,17	2,73	4,14
30	2,88	4,17	7,56	2,49	3,32	5,39	2,28	2,92	4,5	2,14	2,69	4,02
40	2,84	4,08	7,31	2,44	3,23	5,18	2,23	2,84	4,3	2,09	2,61	3,83
60	2,79	4,00	7,08	2,39	3,15	4,98	2,18	2,76	4,1	2,04	2,53	3,65
80	2,77	8,96	6,96	2,37	3,11	4,88	2,16	2,72	4,0	2,02	2,48	3,56
100	2,76	3,94	6,90	2,36	3,09	4,82	2,14	2,70	3,98	2,00	2,46	3,51
?	2,71	3,84	6,63	2,30	3,00	4,61	2,08	2,60	3,78	1,94	2,37	3,32

Приложение 2

Таблица критических значений t-статистики Стьюдента

Число степеней свободы, d.f.=n-k-1	Уровень значимости, б (двусторонний)
	0,40	0,30	0,20	0,10	0,05	0,02	0,01
1	1,38	1,96	3,08	6,31	12,71	31,82	63,66
2	1,06	1,39	1,89	2,92	4,30	6,97	9,93
3	0,98	1,25	1,64	2,35	3,18	4,54	5,84
4	0,94	1,19	1,53	2,13	2,78	3,75	4,60
5	0,92	1,16	1,48	2,02	2,57	3,37	4,03
6	0,91	1,13	1,44	1,94	2,45	3,14	3,71
7	0,90	1,12	1,42	1,90	2,37	3,00	3,50
8	0,89	1,11	1,40	1,86	2,31	2,90	3,36
9	0,88	1,10	1,38	1,83	2,26	2,82	3,25
10	0,88	1,09	1,37	1,81	2,23	2,76	3,17
11	0,88	1,09	1,36	1,80	2,20	2,72	3,11
12	0,87	1,08	1,36	1,78	2,18	2,68	3,06
13	0,87	1,08	1,35	1,77	2,16	2,65	3,01
14	0,87	1,08	1,35	1,76	2,15	2,62	3,00
15	0,87	1,07	1,34	1,75	2,13	2,60	2,95
16	0,87	1,07	1,34	1,75	2,12	2,58	2,92
17	0,86	1,07	1,33	1,74	2,11	2,57	2,90
18	0,86	1,07	1,33	1,73	2,10	2,55	2,88
19	0,86	1,07	1,33	1,73	2,09	2,54	2,86
20	0,86	1,06	1,33	1,73	2,09	2,53	2,85
21	0,86	1,06	1,32	1,72	2,08	2,52	2,83
22	0,86	1,06	1,32	1,72	2,07	2,51	2,82
23	0,86	1,06	1,32	1,71	2,07	2,50	2,81
24	0,86	1,06	1,32	1,71	2,06	2,49	2,80
25	0,86	1,06	1,32	1,71	2,06	2,49	2,79
26	0,86	1,06	1,32	1,71	2,06	2,48	2,78
27	0,86	1,06	1,31	1,70	2,05	2,47	2,77
28	0,86	1,06	1,31	1,70	2,05	2,47	2,63
29	0,85	1,06	1,31	1,70	2,05	2,46	2,76
30	0,85	1,06	1,31	1,70	2,04	2,46	2,75
40	0,85	1,05	1,30	1,68	2,02	2,42	2,70
60	0,85	1,05	1,30	1,67	2,00	2,39	2,66
120	0,85	1,04	1,30	1,66	1,98	2,36	2,62
?	0,84	1,036	1,28	1,65	1,96	2,33	2,58

Приложение 3.

Шкала атрибутивных оценок тесноты корреляционной зависимости

Значения показателей корреляции ()	Атрибутивная оценка тесноты выявленной зависимости	Значения показателей детерминации, % ()
До 0,3	Слабая	До 10
0,3 - 0,5	Умеренная	10 - 25
0,5 - 0,7	Заметная	25 - 50
0,7 - 0,9	Тесная	50 - 80
0,9 и более	Весьма тесная	80 и более

Приложение 4.

Случайная ошибка коэффициента асимметрии для выборок разного объема

Объём выборки,
4	1,014	0,926
5	0,913	0,866
6	0,845	0,816
7	0,794	0,775
8	0,752	0,739
9	0,717	0,707
10	0,687	0,679
11	0,661	0,655
12	0,637	0,632
13	0,616	0,612
14	0,597	0,594
15	0,580	0,577
16	0,564	0,562
17	0,550	0,548
18	0,536	0,535
19	0,524	0,522
20	0,512	0,511
21	0,501	0,500
22	0,491	0,490
23	0,481	0,480
24	0,472	0,471
25	0,464	0,463

Размещено на Allbest.ru