Понятие и принципы моделирования

Строго предпочтительным является решение x₁ X в многокритериальной задаче оптимизации по сравнению с x₂ X, если все критерии W₁, W₂, …, W_n для первого решения больше или равны соответствующим критериям для второго решения, причем хотя бы один из них строго больше.

(1.7)

Строго предпочтительные решения обозначаются следующим образом: .

Допустимые решения x₁, x₂ X задачи многокритериальной оптимизации называются эквивалентными, если все критерии W₁, W₂, …, W_n для первого решения равны соответствующим критериям для второго решения.

. (1.8)

Эквивалентные решения обозначаются следующим образом: .

Решения обладают следующими свойствами:

1. ;

2. .

Множество Парето или множество компромисса X^* обладает следующими свойствами:

ь в этом множестве нет элементов, для которых существуют строго предпочтительные допустимые решения;

ь допустимые решения из множества X^* либо эквивалентны, либо несопоставимы в смысле строгой предпочтительности (рис. 1.2).

Проиллюстрируем прием выделения паретовских решений на примере задачи с двумя критериями: W₁ и W₂,(оба требуется максимизировать). Множество X состоит из конечного числа n возможных решений х₁, х₂, ..., х_n. Каждому решению соответствуют определенные значения показателей W₁, W₂, будем изображать решение точкой на плоскости с координатами W₁, W₂.

Рис. 1.2

Очевидно, из всего множества X эффективными будут только решения x₁, x₃, x₅, x₆, лежащие на правой верхней границе области возможных решений. Для всякого другого решения существует хотя бы одно доминирующее, для которого либо W₁, либо W₂, либо оба больше, чем для данного.

Из множества X^*={x₁, x₃, x₅, x₆} можно выделить два решения: x₁ - наилучшее по критерию W₁, x₆ - наилучшее по критерию W₂.

Аналогично строится множество эффективных решений и в случае, когда показателей не два, а больше (при числе их, большем трех, геометрическая интерпретация теряет наглядность, но суть дела сохраняется). Множество эффективных решений легче обозримо, чем множество X. Что касается окончательного выбора решения, то он по-прежнему остается прерогативой человека, который должен принять «компромиссное решение» (не строго оптимальное, но приемлемое по ряду критериев).

Существует несколько процедур выбора компромиссных решений.

Эвристический метод выбора решений. Предположим, что опытный человек (или, еще лучше, группа опытных людей) многократно выбирает компромиссное решение в многокритериальной задаче исследования операций, решаемой при разных условиях . Набирая статистику по результатам выбора, можно, например, разумным образом подобрать значения «весов» а₁, а₂, ... в формуле (1.6), в общем случае зависящие от условий и самих показателей W₁, W₂, …, и воспользоваться таким обобщенным критерием для выбора решения.

Выделение одного (главного) показателя, например W₁, при этом стремимся обратить его в максимум, а на все остальные W₂, W₃ … накладываем только некоторые ограничения, потребовав, чтобы они были не меньше каких-то заданных ₂, ₃.

Метод последовательных уступок. Предположим, что показатели W₁, W_{2 …} расположены в порядке убывающей важности. Сначала ищется решение, обращающее в максимум первый (важнейший) показатель W₁ = W₁^*. Затем назначается, исходя из практических соображений, с учетом малой точности, с которой нам известны входные данные, некоторая «уступка» W₁, которую мы согласны сделать для того, чтобы максимизировать второй показатель W₂. Наложим на показатель W₁ ограничение: потребуем, чтобы он был не меньше, чем W₁^*- W₁, и при этом ограничении ищем решение, обращающее в максимум W₂. Далее снова назначим «уступку» в W₂, ценой которой можно максимизировать W₃, и т. д. Такой способ построения компромиссного решения хорош тем, что здесь сразу видно, ценой какой «уступки» в одном показателе приобретается выигрыш в другом и какова величина этого выигрыша.

Размещено на Allbest.ru