Вспомогательную задачу оптимального управления построим на примере оптимального потребления в однопродуктовой макроэкономической модели.

Пусть управляемая система представляет экономику страны или региона, моделируемую с помощью однопродуктовой модели валового выпуска продукции, т.е. процесс экономического роста задается уравнением

, (4.8)

где k - фондовооруженность труда;

s - доля произведенного конечного продукта, идущая на накопление;

м - коэффициент выбытия основных производственных фондов (капитала);

n - темп роста трудовых ресурсов;

a - коэффициент материальных затрат;

f(k) - производственная функция в зависимости от фондоворуженности при единичных затратах труда.

Доля произведенного продукта, идущая на потребление, равна 1- s, то величина с потребления на единицу рабочей силы может быть выражена так:

c = (1 - s)(1 - a)f(k).

С учетом данного соотношения

1- s = c/(1- a)f(k),

s = 1- c/(1- a)f(k),

перепишем уравнение (4.8) так:

. (4.9)

Выражение (4.9) и будем рассматривать как уравнение управляемого процесса. Управлением в данном случае является потребление с ? 0, ибо оно влияет на значение функционала качества управления и в уравнение процесса входит только само по себе, без производной. Чтобы сформулировать задачу оптимального управления, введем упомянутый функционал.

. (4.10)

Здесь g(c) - некоторая зависящая от величины с функция, называемая в теории потребления функцией полезности. Эта функция дает оценку «полезности», т.е. эффективности потребления различных его значениях.

Будем считать, что наряду с состоянием системы в начальный момент времени t₀ = 0 задано и ее конечное состояние при t = T:

k(0) = k₀ , k(T) = k₁ . (4.11)

Задача оптимального управления состоит в том, что требуется отыскать такое потребление c(t), чтобы при выполнении ограничений (4.9) и (4.11) функционал (4.10) достигал максимального значения.

Условие максимума примет вид:

, (4.12)

где ш - сопряженная переменная, определяемая уравнением

, (4.13)

= f₀, ш₀ = 1, = f₁.

Проанализировав функцию Гамильтона мы видим, что в ней от с зависит лишь часть слагаемых:

, (4.14)

.

Приравнивая нулю производную , получим

,

. (4.15)

Уравнение (4.15) может быть использовано для того, чтобы выразить сопряженную переменную через управление с.

Найдем из формулы (4.15) значение ш и продифференцируем по t:

,

. (4.16)

Подставим из формул (4.15) и (4.16) значения ш(t) и в формулу (4.13), получим:

, ,

,

. (4.17)

Таким образом, принцип максимума в данной задаче позволяет для оптимального процесса (k(t),c(t)) получить систему дифференциальных уравнений (4.13) и (4.17). Для этой системы необходимо решить краевую задачу с условиями (4.11). При этом удовлетворительным следует считать такое решение, при котором k(t) и c(t) неотрицательны.

5 Особенности Программной реализации задачи

5.1 Алгоритм решения задачи

Задача оптимального управления (2.11)

, (5.1)

, (5.2)

k(0) = k₀ , k(T) = k₁, (5.3)

состоит в нахождении такого потребления с(t), чтобы при выполнении ограничений (5.2) и (5.3) функционал (5.1) достигал максимального значения. Для решения данной задачи необходимо сначала построить функцию Гамильтона

, (5.4)

в нем от с зависит только часть слагаемых , откуда из необходимого условия максимума функции по с (максимум действительно имеет место, т.к. ограничений нет и , в точке обращения в нуль выражение (5.4) будет достигать максимального значения) получим

. (5.5)

Находим значение ш из (5.5)

, (5.6)

. (5.7)

Затем подставляем в

,

полученные выше формулы (5.6) и (5.7) получаем

. (5.8)

Следовательно, теперь мы можем решить систему дифференциальных уравнений (5.2) и (5.8), учитывая условия (5.3). При этом удовлетворительным следует считать такое решение, при котором k(t) и c(t) неотрицательны.

5.2 Mathematica 4 как система символьной математики

Большинство математических систем, используемых при работе с компьютерами, предназначены для выполнения численных расчетов. Их результат всегда конкретен: это либо цифра, либо поток цифр, предоставленных в виде таблиц, матриц или точек графика. Как правило, при операциях с вещественными числами происходит их округление, обусловленное принципиальным ограничением разрядной сетки компьютера. Реализация большинства численных методов, например решения нелинейных дифференциальных уравнений, также базируется на заведомо приближенных численных методах. Часто из-за накопления погрешностей эти методы приводят к неточному или неверному решению. Долгое время ограниченные возможности ПК не позволяли реализовать на них серьезные системы символьной математики. Лишь к началу 90-х годов ситуация заметно улучшилась. Аппаратные возможности ПК резко возросли, и за рубежом были развернуты серьезные работы по созданию систем компьютерной алгебры - так называемых систем символьной математики. Наибольшую известность получили три класса систем символьной математики: созданная на базе языка искусственного интеллекта MuLisp, малая система Derive, одна из самых мощных и поныне привлекательных систем Maple V, и система Mathematica. Mathematica 4 - одна из самых крупных систем символьной математики. Пакет обладает обширными графическими возможностями, представлением документов в форме Notebook, сочетающей программы и команды с данными, представленными в формульном, текстовом, табличном и графическом виде.

Система обеспечивает динамическую связь между ячейками документов в стиле электронных таблиц при решении многих символьных задач, что принципиально и выгодно отличает ее от других систем. С точки зрения языка программирования система Mathematica 4 относится к интерпретирующим системам, т.е. последовательно анализирует (интерпретирует) каждое выражение и тут же исполняет его. Работа с системой проходит в диалоговом режиме. Система содержит достаточных набор управляющих структур для создания условных выражений, ветвлений в программах, циклов и т.п. Для выполнения поставленной задачи, после анализа возможностей различных сред программирования и математических пакетов был выбран пакет Mathematica 4, т.к. данный пакет, с точки зрения автора, является наиболее оптимальным для проведения теоретического и численного анализа, и, в частности, для решения задач гидродинамики.

5.3 Описание программы

Программа выполнена с использованием возможностей пакета Mathematica 4.1, позволяющих создавать программные продукты в форме электронных документов. При открытии программы перед пользователем появляется окно, в котором представлено меню возможностей программы. В данной программе сначала вводятся значения некоторых параметров, которые используются в дальнейших расчетах. Затем решается система дифференциальных уравнений с заданными условиями. При получении управлений k(t) и c(t) стоятся графики зависимости этих управлений от времени.

6 Результаты вычислительного эксперимента

Анализ возможных приложений