Эконометрика: определение, предмет, основные измерения

Если остаточная дисперсия оказывается примерно одинаковой для нескольких функций, то на практике предпочтение отдается более простым видам функций, т. к. они в большей степени поддаются интерпретации и требуют меньшего объема наблюдений. Результаты многих исследований подтверждают, что число наблюдений должно в 6 -- 7 раз превышать число рассчитываемых параметров при переменной х. Это означает, что искать линейную регрессию, имея менее 7 наблюдений, вообще не имеет смысла. Если вид функции усложняется, то требуется увеличение объема наблюдений, т. к. каждый параметр при х должен рассчитываться хотя бы по 7 наблюдениям. Значит, если мы выбираем параболу второй степени

то требуется объем информации уже не менее 14 наблюдений. Учитывая, что эконометрические модели часто строятся по данным рядов динамики, ограниченным по протяженности (10, 20, 30 лет), при выборе спецификации модели предпочтительна модель с меньшим числом параметров при х.

2.2 Линейная регрессия и корреляция

Линейная регрессия находит широкое применение в эконометрике благодаря четкой экономической интерпретации ее параметров. Линейная регрессия сводится к нахождению уравнения вида

y_расч. = а + bх или у = а + bх + е . (2.3)

Уравнение вида y_расч. = а + bх позволяет по заданным значениям фактора х определять теоретические значения результативного признака, подставляя в уравнение фактические значения х. На графике теоретические значения представляют линию регрессии (рис. 2.2).

Построение линейной регрессии сводится к оценке ее параметров -- а и b, которые могут быть найдены разными методами. Можно обратиться к полю корреляции и, выбрав на графике две точки, провести через них прямую линию (см. рис. 2.2). Далее по графику можно определить значения параметров. Параметр а определим как точку пересечения линии регрессии с осью оу, а параметр b оценим, исходя из угла наклона линии регрессии, как dy/dx, где dy -- приращение результата у, a dx -- приращение фактора х.

Классический подход к оцениванию параметров линейной регрессии основан на методе наименьших квадратов (МНК).

МНК позволяет получить такие оценки параметров а и b, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака (у) от расчетных (теоретических) у_х минимальна:

Иными словами, из всего множества линий линия регрессии на графике выбирается так, чтобы сумма квадратов расстояний по вертикали между точками и этой линией была бы минимальной (рис. 2.3):

Чтобы найти минимум функции, надо вычислить частные производные по каждому из параметров a и b и приравнять их к нулю. Проведем преобразования:

Преобразуя формулу (2.5), получим следующую систему нормальных уравнений для оценки параметров а и b:

Решая систему нормальных уравнений (2.6) либо методом последовательного исключения переменных, либо методом определителей, найдем искомые параметр а и b. Можно воспользоваться следующими готовыми формулами:

Уравнение регрессии всегда дополняется показателем тесноты связи. В случае линейной регрессии вычисляют линейный коэффициент корреляции

r_xy = bу_x/ у_y (2.9)

Для оценки качества подбора линейной функции рассчитывается квадрат линейного коэффициента корреляции r²_xy , называемый коэффициентом детерминации

Он объясняет долю дисперсии результативного признака y, объясняемую регрессией. Соответственно величина (1 -- г²) характеризует долю дисперсии у, вызванную влиянием остальных не учтенных в модели факторов.

Например, r² = 0,982. Следовательно, уравнением регрессии объясняется 98,2% дисперсии результативного признака, а на долю прочих факторов приходится лишь 1,8% ее дисперсии (т.е. остаточная дисперсия). Величина коэффициента детерминации служит одним из критериев оценки качества линейной модели. Чем больше доля объясненной вариации, тем соответственно меньше роль прочих факторов, и, следовательно, линейная модель лучше аппроксимирует исходные данные и ею можно воспользоваться для прогноза значений результативного признака.

2.3 Оценка существенности параметров линейной регрессии и корреляции

После того как найдено уравнение линейной регрессии, проводится оценка значимости как уравнения в целом, так и отдельных его параметров.

Оценка значимости уравнения регрессии в целом дается с помощью F -критерия Фишера. При этом выдвигается нулевая гипотеза, что коэффициент регрессии равен нулю, т. е. b = 0, и, следовательно, фактор х не оказывает влияния на результат у.

Непосредственному расчету F-критерия предшествует анализ дисперсии. Центральное место в нем занимает разложение общей суммы квадратов отклонений переменной у от среднего значения у на две части -- «объясненную» и «необъясненную»:

2.5 Нелинейная регрессия

Если между экономическими явлениями существуют нелинейные соотношения, то они выражаются с помощью соответствующих нелинейных функций: например, равносторонней гиперболы у = а+ - +е, параболы второй степени у -- а + b - х + х

+ с - х²+ е и др. (см. п. 2.1).

Различают два класса нелинейных регрессий:

* регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам;

* регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам. Примером нелинейной регрессии по включаемым в нее объясняющим переменным могут служить следующие функции:

равносторонняя гипербола ~ y = a-i -+е.

К нелинейным регрессиям по оцениваемым параметрам относятся функции:

степенная -- у -- а * х⁶ - е;

показательная --у = а-Ь^х-в;

экспоненциальная -- у = е^{а + Ьх} - е.

Нелинейная регрессия по включенным переменным не таит каких-либо сложностей в оценке ее параметров. Она определяется, как и в линейной регрессии, методом наименьших квадратов (МНК), ибо эти функции линейны по параметрам. Так, в параболе второй степени

у -- а₀ + О * х + а₂ - х² + г,

заменяя переменные х =х _{, х² ~х_г, получим двухфакторное уравнение линейной регрессии:

y = a_o + a_l-x_l+a₂-x₂ + e,

Размещено на Allbest.ru