Виды и способы планирования модельных экспериментов

Таким образом, количество реализаций N при статистическом моделировании системы S должно выбираться исходя из двух основных соображений: определения затрат ресурсов на машинный эксперимент с моделью Мм (включая построение модели и ее машинную реализацию) и оценки точности и достоверности результатов эксперимента с моделью системы S (при заданных ограничениях не ресурсы). Очевидно, что требования получения более хороших оценок и сокращения затрат ресурсов являются противоречивыми и при планировании машинных экспериментов на базе статистического моделирования необходимо решить задачу нахождения разумного компромисса между ними. Из-за наличия стохастичности и ограниченности числа реализаций N в общем случае . При этом величина Е называется точностью (абсолютной) оценки: вероятность того, что неравенство

выполняется, называется достоверностью оценки

.

Величина называется относительной точностью оценки, а достоверность оценки соответственно будет иметь вид

Для того чтобы при статистическом моделировании системы S по заданвым Е (или Е0) и Q определить количество реализаций N или, наоборот, при ограниченных ресурсах (известном N) найти необходимые Е и Q, следует детально изучить соотношение.

Сделать это удается не во всех случаях, так как закон распределения вероятностей величины для многих практических случаев исследования систем установить не удается либо в силу ограниченности априорных сведений о системе S, либо из-за сложности вероятностных расчетов. Основным путем преодоления подобных трудностей является выдвижение предположений о характере законов распределения случайной величины Ё, т. е. оценки показателя эффективности системы S.

Рассмотрим взаимосвязь точности и достоверности результатов с количеством реализаций при машинном эксперименте, когда в качестве показателей эффективности Е выступают вероятность р, математическое ожидание а и дисперсия аг. Пусть цель машинного эксперимента с моделью Мм некоторой системы S -- получение оценки р вероятности появления р=Р(А) некоторого события А, определяемого состояниями процесса функционирования исследуемой системы S. В качестве оценки вероятности р в данном случае выступает частость p=m/N, где т -- число положительных исходов.

Тогда соотношение (6.7), связывающее точность и достоверность оценок с количеством реализаций, будет иметь вид

Р {\p-m/N]<E} = Q, Р {p-E<m/N<p+E}=:Q. (6.8)

Для ответа на вопрос о законе распределения величины p=mjN

N представим эту частость в виде

так как количество наступлений события А в данной реализации из N реализаций является случайной величиной ., принимающей значения х1 = 1с вероятностью р и х2=0 с дополнительной вероятностью 1-- р.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины ., будут таковы:

Это соотношение говорит о несмещенности оценки р для вероятности р. С учетом независимости значений величин х, получим

В силу центральной предельной теоремы теории вероятностей [или ее частного случая -- теоремы Лапласа,] частость m/N при достаточно больших N можно рассматривать как случайную величину, описываемую нормальным законом распределения вероятностей с математическим ожиданием р и дисперсией р(\ --p)/N. Поэтому соотношение (6.8) с учетом (4.8) можно переписать так:

Учитывая, что Ф0 (--z) = 1 -- Ф0 (z), получи

тогда

где t9 -- квантиль нормального распределения вероятностей порядка р=(1 + 0 / 2 ; находится из специальных таблиц.

В результате точность оценки р вероятности р можно определить как

т. е. точность оценки вероятностей обратно пропорциональна у/Й.

Из соотношения

необходимых для получения оценки р с точностью е и достоверностью Q. При тактическом планировании машинного эксперимента, когда решается вопрос о выборе количества реализаций N, значение р неизвестно. Поэтому на практике проводят предварительное моделирование для произвольно выбранного значения N0, определяют p0=mlNQ, а затем по (6.9) вычисляют, используя вместо р значение Pq, необходимое количество реализаций N. Такая процедура оценки N может выполняться несколько раз в ходе машинного эксперимента с некоторой системой S.

При отсутствии возможности получения каких-либо априорных сведений о вероятности р использование понятия абсолютной точности теряет смысл. Действительно, можно, например, предварительно задать точность результатов моделирования е = 0,01, а искомая р в результате окажется хотя бы на порядок ниже, т. е. /?<0,001. В таких случаях целесообразно задавать относительную точность результатов моделирования е0. Тогда соотношение примет вид

Соотношение наглядно иллюстрирует специфику статистического моделирования систем, выражающуюся в том, что для оценивания малых вероятностей р с высокой точностью необходимо очень большое число реализаций N. В практических случаях для оценивания вероятностей порядка 10~ целесообразно количество реализаций выбирать равным 10 . Очевидно, что даже для сравнительно простых систем метод статистического моделирования приводит к большим затратам машинного времени.

Другим распространенным случаем в практике машинных экспериментов с моделью Мм является необходимость оценки показателей эффективности Е системы S по результатам определения среднего значения некоторой случайной величины. Пусть случайная величина ., имеет математическое ожидание а и дисперсию с2.

В реализации с номером i она принимает значение х,. В качестве оценки математического ожидания а используется среднее арифметическое

В силу центральной предельной теоремы теории вероятностей при больших значениях N среднее арифметическое х будет иметь распределение, близкое к нормальному с математическим ожиданием а и дисперсией a2/N. Для математического ожидания а точность оценки E=t9a/y/N, а количество реализации

Аналогично, если в качестве показателя эффективности Е системы S выступает дисперсия а2, а в качестве ее оценки используется величина S2, то математическое ожидание и дисперсия соответственно будут

где цА -- центральный момент четвертого порядка случайной величины.

Для дисперсии а2 точность оценки E=t(fl *>J(ji4, -- o*)jN.

Отсюда количество реализаций будет

Для частного случая, когда случайная величина имеет нормальное распределение ц4. = 3а4; получим N --l\2air\г2=2t2^&\.

Таким образом, на основании соотношений (6.9) -- (6.12) можно сделать вывод, что количество реализаций при статистическом моделировании существенно зависит от дисперсии оцениваемой случайной величины. Поэтому выгодно выбирать такие оцениваемые показатели эффективности Е системы S, которые имеют малые дисперсии.

Литература

1. Бусленко Н.П. Моделирование сложных систем. М.: Наука, 1978.

2. Налимов В.В. Теория эксперимента.-М.:Наука,1971.

3. Плескунин В.И. Теоретические основы планирования эксперимента в научных и инженерных исследованиях: Учебное пособие. -Л.:ЛЭТИ,1974.

4. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002.

5. Советов Б.Я., Яковлев С.А. - Моделирование систем. 3-е изд. М., Высш.шк.2001.

Размещено на Allbest.ru