Этот коэффициент может изменяться от -1 до +1. Его математическое ожидание для случайного ряда равно нулю, а дисперсия

9.2.5 Сравнительный анализ критериев

Имеются и другие критерии, представляющие значительный теоретический интерес, но на практике они требуются редко.

Критерий для обнаружения линейного тренда требуется не часто, но когда он необходим, наилучшим критерием будет либо линейная регрессия, либо коэффициент . Последний имеет преимущество, которое заключается в том, что он не требует машинных вычислений и легко обновляется. Можно показать, что критерий, основанный на знаках разностей, как критерий на тренд, имеет в асимптотике нулевую относительную эффективность в сравнении с критериями на основе коэффициента регрессии или .

Если предполагается, что тренда нет, то подсчет поворотных точек как критерий проверки гипотезы о случайности при альтернативной гипотезе о наличии систематических колебаний прост для применения и эффективен на практике. Но если поворотные точки появляются гроздьями, то более подходит фазовый критерий.

Фостером и Стьюартом рассмотрено распределение рекордных значений в ряде. Рекордное значение -- это значение, которое больше (или меньше), чем все предыдущие записанные значения. Как критерий гипотезы о тренде он менее эффективен, чем критерии на основе регрессионного коэффициента или . Главный недостаток, безусловно, состоит в том, что если в действительности нет сильного тренда, то с течением времени рекордные значения имеют тенденцию становиться редкими.

В начале отмечалось, что критерий для проверки гипотезы о случайности может потребоваться для анализа остатков, полученных вычитанием из ряда систематических элементов. К сожалению, сам процесс вычитания обычно порождает корреляцию в получаемых остатках, даже если исходные значения случайны. Именно поэтому довольно опасно применять рассмотренные критерии для анализа остатков без исследования искажений, вносимых процессом вычитания.

Ряд случайных колебаний дискретен по своей сути, но некоторые ряды непрерывного типа (острие лезвия бритвы под микроскопом, звуковая дорожка движущейся пластинки) имеют весьма несистематический вид. Если изучать физические явления вплоть до уровня атомов, они, конечно, дискретные. Но остается вопрос, возможны ли математически непрерывные случайные ряды. По нашему мнению, ответ должен быть отрицательным. Тем не менее, можно рассматривать ряд, в котором интервал наблюдения велик и охватывает большое число точек, в которых проявляется случайный эффект. Для некоторых целей такие ряды, подобные острию бритвы, можно рассматривать как непрерывные, но в математических доказательствах необходима осторожность. Осуществить предельный переход к континууму, как это делается в математике при построении арифметического континуума исходя из множества дискретных точек, не представляется возможным. Другими словами, не представляется возможным построить формально теорию непрерывного случайного ряда аналогично тому, как в математике строится теория вещественных чисел.

Все рассмотренные критерии, не зависят от вида распределения, за исключением стандартного критерия на основе регрессионного коэффициента, когда для определения линейного тренда строится регрессия переменной на время. Большинство рядов, встречающихся на практике, столь явно неслучайны, что тщательное обсуждение критериев случайности едва ли окупится. Однако в теории стационарных процессов часто точные результаты, связанные с распределениями, могут быть получены только для случайных рядов, и эти результаты используются в качестве полезной проверки неслучайных рядов по приближенным формулам.

9.3 Практические способы анализа ошибки

Тема 10. Прогнозирование на основе регрессионных моделей

10.1 Понятие регрессии

Колебания в динамическом ряду часто не строго периодические, но зависят от колебаний другого признака (напр.: стоимость продаж от объёма продаж). Тогда эффективно строить зависимость ряда не от безликого (монотонного) времени, а от этого объясняющего ряда (фактора).

Регрессия - функция одной переменной (изучаемого динамического ряда) от другой(их), называемой(ых) фактором(ами) регрессии.

Регрессия - зависимость среднего значения ряда от значений факторов.

Порядок построения регрессии:

- отбор факторов

- выбор [функции] регрессии

- расчет параметров регрессии

- (прогнозирование)

(Выдержка из - Методы анализа и прогнозирование рынка товаров народного потребления, - Л.: ЛФЭИ, - 1991г.)

Регрессионные модели

Экстраполяционные модели являются частный случаем регрессионных моделей, в которых вместо факторов, обуславливающих изменение признака, взят фактор времени.

В зависимости от количества учитываемых в модели факторов регрессионные модели делятся на однофакторные и многофакторные.

Пря построения многофакторных регрессионных моделей и расчете их параметров методом наименьших квадратов следует учитывать следующие требования:

1. Включаемые в модель факторы должны быть независимыми друг друга.

2. Независимые переменные представляют собой неслучайный набор чисел, их средние значения и дисперсия конечны.

3. Случайные ошибки имеют нулевую среднюю и конечную дисперсию

4. Между независимыми переменными отсутствует корреляция и автокорреляция

5. Случайная ошибка не коррелирована с независимыми переменными

6. Случайная ошибка подчинена нормальному закону распределения.

Примерам многофакторной модели опроса мажет служить следующая модель:

R=A0+A1*S+A2*C+A3*W,

Где R - сумма расходов на приобретение товаров группы в расчете на душу населения;

S - среднедушевой денежный доход;

C - цены на товары, усредненные по группе;

W - потребление товаров из внерыночных источников;

А0…А3 - параметра модели.

Отыскание параметров модели методом наименьших квадратов предполагает предварительную проверку автокоррелируемость введённых в модель факторов (S, C, W). При всей привлекательности многофакторных моделей, их реализация достаточно трудоемка и требует особой тщательности в отборе факторов и формирования исходной информационной базы. В связи с этим, широкое распространение получили однофакторные модели.

К качестве примера подробно рассмотрим пример изучения спроса в зависимости от цен.

В простейшем случае линейной связи между спросом Y и ценой X, модель регрессии имеет вид:

Y=A0+A1*X+A2*t, где

Y - спрос;

Х - цена товара;

t - время.

А0…А2 - параметра модели.

Фактор времени вводится в модель для устранения автокорреляции из динамического ряда.

Одним из существенных моментов при построении модели спроса в зависимости от цены является выбор показателя динамики цены (задание фактора Х.). В практике анализа спроса ценовой фактор учитывается, как правило, в виде базисного индекса цены товара, при этом берутся так называемые индексы цен товарного предложения или просто индексы розничных цен. На практике существуют отличия вызванные изменением ассортиментной. структуры производимой продукции, её качества. Для учёта этих отличий, динамику цен можно представить в виде динамики индекса средней цены реализации товара J:

J=Vф / Vc, где:

J - индекс средней цены реализации

Vф - объём продаж в фактических ценах,

Vc - объём продаж в сопоставимых ценах.

Содержательный анализ характера влияния на спрос динамики цены проводится на основе рассчитанных значений параметров уравнения регрессии.

Для случая линейной связи Y=A0+A1*X+A2*t имеем:

- если А1<0, то это означает, что цена существенно влияет на размеры реализованного спроса,

- если А1>0, то характерна ситуация изменения структуры опроса, его переключения на более дорогие и, соответственно, более качественные товары.

В случае криволинейной зависимости спроса от цены, аналогичный анализ можно провести путем замены криволинейной функции на кусочно-линейную. В атом случае значение параметра А1 можно определять для любой точки, находящейся на кривой, проведя касательную линию к искомой точке.

10.2 Отбор факторов для регрессии

Различают содержательный и формальный отбор. С содержательной точки зрения в перечень факторов включаются причины изучаемого явления (напр., причиной выпуска продукции является наличие работников). Однако причина может быть представлена различными видами рядов (напр., наличие работников м.б. описано средней численностью, фондом зарплаты, средним стажем, фондом рабочего времени) и различными формами представления (абсолютные, относительные, приростные значения). Кроме того, влияние причины может запаздывать во времени (напр., увеличение основных фондов сейчас, вызовет прирост производства позднее), что приводит к рассмотрению сдвинутых (на период запаздывания) рядов-факторов.. Т.о., одна причина даёт множество рядов-факторов.

С формальной точки зрения, лучшими факторами являются те, что больше похожи по своим колебаниям на изучаемый ряд, т.е. наиболее коррелирующие с ним. Т.о., из всех рядов-факторов в уравнение регрессии целесообразно включать факторы с наибольшими (по модулю) коэффициентами корреляции [с изучаемым рядом].

Отбор факторов можно начать и с формального способа - оценить корреляцию с изучаемым рядом всех доступных исследователю рядов. Высокая корреляция служит сигналом того, что соответствующее явление может быть ранее неизвестной причиной изучаемого явления.

Регрессия - это математическая функция от ряда содержательных переменных, каждая из которых зависит от времени, и времени:

Если содержательные переменные убрать, получим зависимость только от времени, т.е. тренд. Тренд - регрессия ко времени.

Фактор времени [самого по себе] представляет совокупное влияние всех прочих причин, не нашедших отражение в модели. Если уравнения регрессий с и без фактора времени существенно расходятся - в перечне факторов пропущены существенные (поиск которых - задача содержательного исследования).

10.3 Вид функции регрессии

Формально, регрессионное уравнение может быть произвольного вида. Практически используется только линейная регрессия:,

где а, b - параметры регрессии. b показывает точку пересечения линией регрессии оси ординат (оси Y), поэтому иногда называется Y-пересечением.

К линейной регрессии могут быть сведены различные функции, например:

- суммарные - формированием соответствующих рядов факторов

Например, функция

сводится к линейной заменой

.

- степенные - логарифмированием сводится к суммарной (далее см. выше). Подробнее см. Производственная

-

10.4 Расчет параметров регрессии

Расчет параметров производится по методу наименьших квадратов, аналогично тренду.

MS Excel оценивает параметры только линейной регрессии (Сервис->Анализ данных->Регрессия).

При заполнении окна окно запроса необходимо учитывать, что массив рядов-факторов на листе должен быть сплошным. (см. Рисунок 1_18- жирная рамка)

Рисунок 1_18 содержит пример расчёта линейной регрессии суммы уплаченных налогов к прибыли, зарплате и номеру периода. Представлена отредактированная таблица вывода результатов.

Рисунок 1_18 Расчет параметров регрессии

Уравнение регрессии имеет вид («Коэффициенты»):

При этом надо учитывать, что полученные коэффициенты - вероятностные оценки. Степень точности их можно оценить двояко. С одной стороны, с вероятностью 95% можно утверждать, что значение коэффициента лежит в границах от («Нижние 95%») и до («Верхние 95%»). Например, вряд ли можно доверять значению свободного члена b - то ли -7, то ли +20. С другой стороны, можно оценить вероятность того, что «истинное» значение параметра = 0 («Р-Значение»). Чем меньше эта вероятность (<0.33), тем больше значимость полученного коэффициента. В рассмотренном примере влияние зарплаты незначимо (Р=0,699>0,33), а влияние свободного члена под сомнением (Р=0,2950.33).

Незначимые факторы необходимо исключить из модели и перерассчитать параметры [новой] регрессии.

10.5 Прогнозирования на основе регрессионных моделей

Аналогично прогнозированию по тренду. Однако, для прогноза необходимо знать прогнозные значения рядов-факторов. Это несколько затрудняет экстраполяцию, но несущественно для интерполяции, где регрессия даёт лучший (чем тренд) результат.

Для экстраполяции на N периодов можно построить регрессию к факторам, сдвинутым на N периодов. (Напр., искать зависимость выпуска продукции о закупки сырья не в том же месяце, а 3 месяца назад. Тогда уже известная закупка сырья в последнем месяце даст прогноз выпуска через 3 месяца.).

Тема 11. Производственные функции

Специфически экономической регрессией является идея о производственной функции.

11.1 Общая характеристика производственной функции

Производственная функция - зависимость результата работы [системы] от потребляемых ею ресурсов. В данном - широком - смысле, производственная функция может иметь произвольный математический вид. В узком смысле, производственная функция должна обладать следующими свойствами экономических систем:

1. Отсутствие любого из ресурсов Xi приводит к остановке производства

При увеличении потребления к.-л. одного ресурса производство растёт - производная по ресурсу >0

2. При дальнейшем увеличении потребления к.-л. одного ресурса производство растёт замедляющимися темпами - вторая производная по ресурсу <0

Таким условиям удовлетворяет только степенная функция:

К основным характеристикам производственных функций относят:

1. Величина отдачи на масштаб. Показывает как изменится производство при увеличении потребления всех ресурсов в несколько раз. Различают:

постоянную		отдачу на масштаб
растущую
падающую

2. Эластичность замещения ресурсов - скорость изменения предельной нормы замещения ресурсов.

Изокванта [производственной функции] - геометрическое место точек (кривая) на плоскости [двух] факторов, где значение функции постоянно: . Если факторов два - K,L - изокванта есть функция K(L), при этом величина предельной нормы замещения

.

Предельная норма замещения показывает количество высвобождаемого ресурса (К), при использовании дополнительной единицы другого ресурса (L) и сохранении объёма производства.

По определению, Эластичность замещения ресурсов

,

т.е. на сколько [%] должно изменится соотношение K/L с ростом L, чтобы предельная норма замещения изменилась на 1%.

Эластичность выпуска по ресурсам

11.2 Функция Кобба-Дугласа. Общая характеристика

Впервые производственную функцию степенного вида предложили использовать в виде: , где:

	Объем используемого ресурса I
	Объем используемого ресурса i при «единичном производстве»
	Объем «единичного производства»
	Увеличение объема «единичного производства» при увеличении потребления ресурса I

Если в качестве ресурсов выступают только два фактора - капитал К и труд L, говорят о функции Кобба-Дугласа: . Данная функция отличается простотой расчёта основных характеристик и интерпретации параметров.

1. Величина отдачи на масштаб определяется суммой степеней. Если >=<1 имеет место растущая/постоянная/падающая отдача на масштаб.

2. Изокванта асимптотически приближается к осям. Предельная норма замещения . Эластичность замещения ресурсов

3. Эластичность выпуска по ресурсам

К недостаткам функции можно отнести предположения о полной взаимозаменяемости ресурсов, постоянстве структуры капитала с ростом выпуска, постоянстве эффективности производства.

11.3 Функция Кобба-Дугласа. Расчет параметров

11.4 Прочие виды производственных функций

Модель производственной функции. Определение параметров модели. Расчет важнейших показателей деятельности на основе производственной функции. Прогнозирование на основе производственной функции.

Вопросы на 5

1. Постройте систему уравнений МНК для линейной регрессии двух переменных.

Раздел 2. Оптимизационные методы прогнозирования

Предполагается, что рассматриваемые методы по большей части уже известны из ранее изученных курсов. Рассматриваются вопросы точности получаемых прогнозов и интерпретации результатов.

Тема 12. Математическое программирование

Линейное программирование (планирование) - см. курс «Планирование».

12.1 Типовые постановки задачи линейного программирования в экономике

Выдержка из - Калихман И.Л. Сборник задач по математическому программированию. - М.:Высшая школа. - 1975г.

12.1.1 Определение оптимального ассортимента

Постановка задачи. Имеется р видов ресурсов в количествах b1, … bi, … bn, которые могут быть использованы при производстве q видов изделий. Задана матрица А = || аij ||, где аij, характеризует нормы расхода i-го ресурса на единицу j-го изделия (j = 1, 2,.... q).

Эффективность выпуска единицы j-го изделия характеризуется показателем Сj, удовлетворяющим условию «линейности». Определить план выпуска изделий (оптимальный ассортимент), при котором суммарный показатель эффективности принимает наибольшее значение.

Решение. Обозначив количество единиц j-x изделий, выпускаемых предприятием, через Хj >=0, получим математическую модель задачи:

Замечание. Кроме указанных ограничений по ресурсам, в условие задачи, а следовательно, и в ее математическую модель могут вводиться дополнительные ограничения на планируемый выпуск продукции (ограничения по ассортименту, условия комплектности и т. д.).

Пример задачи. Предприятие располагает ресурсами сырья, рабочей силой и оборудованием, необходимыми для производства любого из четырех видов производимых товаров. Затраты ресурсов на изготовление единицы данного вида товара, прибыль, получаемая предприятием, а также запасы ресурсов указаны в следующей таблице:

Вид товара Вид ресурса	1	2	3	4	Объем ресурсов
Сырье, кг	3	5	2	4	60
Рабочая сила, ч	22	14	18	30	400
Оборудование, станко-ч	10	14	8	16	128
Прибыль на единицу товара, руб.	30	25	56	48

Определить оптимальный ассортимент, максимизирующий товарную продукцию, приняв условие, что продукции №1 должно производится не более 5шт, №2 - не менее 8шт, а №3 и №4 - в отношении 1:2.

12.1.2 Задачи о «смесях»

Постановка задачи. Имеется р компонентов (i == 1, 2,..., р), при сочетании которых в различных пропорциях образуются различные смеси. Заданы р чисел Сi характеризующих цену, вес, калорийность и т.д. единицы i-го компонента. Требуется определить состав смеси (т. е. числа X1, …,Xi, … Xp), для которой суммарная характеристика (цена, вес и т. д.) окажется наилучшей.

При этом предполагается, что в состав каждого компонента входят q веществ. Для каждого вещества задано число Bj, указывающее минимально необходимое содержание j-го вещества в смеси. Через Aij обозначено количество j-го вещества (j = 1, 2,..., q), которое входит в состав единицы i-го компонента.

Решенне. Предполагается, что количество вещества в смеси равно сумме количеств вещества в каждой из компонент смеси, т. е. если смесь состоит из X1 единиц 1-го компонента, X2 единиц 2-го компонента и т. д., то количество вещества j в смеси равно

.

Из условия обязательного минимального содержания каждого из веществ в смеси получим систему неравенств:

Кроме того, очевидно, что

Наконец, суммарная характеристика смеси выразится равенством

.

Замечания.1. Кроме ограничений, по содержанию отдельных веществ в смеси, в задаче могут фигурировать ограничения по имеющимся запасам отдельных компонентов или по предельным нормам их включения в смеси. Могут задаваться также пропорции, в которых некоторые из компонентов должны входить в состав смеси.

2. Если известны условия изготовления компонентов с учетом имеющихся для этой цели ресурсов, то возникает более сложная объединенная задача составления оптимальной смеси, для которой будут с наибольшим эффектом использованы ресурсы в производстве компонентов. Так, например, при составлении рациона кормления можно определить оптимальную структуру посевов, обеспечивающих кормление имеющегося поголовья скота наилучшим образом.

Ресурсами в данном случае служат участки земли, на которых выращиваются различные компоненты, включаемые в рацион.

Пример задачи. Нефтеперерабатывающий завод получает 4 полуфабриката: 400 тыс. л алкилата, 250 тыс. л крекинг-бензина, 350 тыс. л бензина прямой перегонки и 100 тыс. л. изопенттона. В результате смешивания этих четырех компонентов в разных пропорциях образуются три сорта авиационног бензина: бензин А-- 2:3:5:2, бензин В -- 3: 1: 2: 1 и бензин С -- 2: 2: 1: 3.

Стоимость 1 тыс. л указанных сортов бензина характеризуется числами: 120 руб., 100 руб. и 150 руб.

Определить план смешения компонентов, при котором будет достигнута максимальная стоимость всей продукции. (Вариант: Определить оптимальный план смешения из условия максимального использования компонентов.)

12.1.3 Задачи о «раскрое»

Постановка задачи. На раскрой (распил, обработку) поступает s различных материалов. Требуется изготовить из них q различных изделий в количестве, пропорциональном числам B1, B2, …, Bk, …,Bq.

Каждая единица j-го материала (j == 1,2,..., s) может быть раскроена р различными способами, причем использование i-ro способа (i == 1,..., р) дает единиц k-x изделий.

Найти план распила, обеспечивающий максимальное число комплектов, если материалов j-го вида поступает Dj единиц.

Решение. Обозначим через Xij количество единиц j-го материала, раскраиваемых по i-му способу (всего таких переменных будет p*s). Переменные Xij, очевидно, должны удовлетворять ограничениям:

где K -- число комплектов изготавливаемых изделий.

Задача заключается в максимизации Z == K при вышеуказанных условиях.

В частном случае, когда на обработку поступает материал только одного образца (т. е. s = 1), в количестве D ед., модель принимает более простой вид:



Пример задачи. Для изготовления брусьев трех размеров: 0,6м, 1,5м и 2,5м в соотношении 2: 1: 3 на распил поступают бревна длиной в 3 м. Определить план распила, обеспечивающий максимальное число комплектов.

Решение. Прежде всего, определим всевозможные способы распила бревен, указав, сколько соответствующих брусьев при этом получается.

Способы распила (i)	Получаемые брусья	Количества бревен, распиленных по i-му способу
	0,6	1,5	2,5
1	5	--	--	X1
2	2	1	--	X2
3	--	2	--	X3
4	--	--	1	X4
Комплект	2	1	3

Теперь составляем математическую модель, приняв, что всего поступает на распил D бревен: максимизировать число комплектов Z=K при условиях, что все бревна должны быть распилены (X1+X2+X3+X4=D) и что число брусьев каждого размера должно удовлетворять условию комплектности:

5Х1+2Х2=2К; Х2+2Х3=1К; Х4=3К.

Из последнего равенства, определив К=1/3Х4, и исключив К из остальных выражений, придем окончательно к следующей задаче:

После решения ее получим оптимальное решение задачи Х={4/39, 5/39, 0, 10/13} н Z=10/39.

Таким образом, 10,2% (4/39) общего числа поступающих бревен следует распиливать по 1-му способу, 12,8% -- по 2-му способу и 77% -- 4-му способу; 3-й способ распила применять не следует. При этом будет произведено 10/39 комплекта на каждые D брёвен.

12.1.4 Общая планово-производственная задача. Выбор интенсивностей использования различных технологических способов производства

Многие из ранее приведенных задач, а также ряд других планово-производственных задач укладываются в следующую общую задачу линейного программирования.

Постановка задачи. Некоторый производственный процесс может вестись в p различных технологических режимах (способах организации производства, способах обработки, раскроя и т. д.). В рассматриваемом процессе участвуют q производственных факторов (изделий, ресурсов и т. д.). Пусть Aij означает объём производства j-то фактора (j = 1, 2,..., q), при применении i-ro технологического режима (i = 1, 2,.... p) с единичной интенсивностью. При этом если Aij > 0, то i-й фактор производится (например, изделия, продукты и т. д.), а если Aij < 0, то соответствующий фактор расходуется (например, ресурсы, сырье и т. д.).

Обозначим через Bj > 0 потребность в j-м факторе, если он производится, и через Bj < 0 -- ресурсы j-ro фактора, если он расходуется. Таким образом, с помощью введения чисел Aij и Bj со знаками «+» или «-» устанавливается как бы формальное равноправие между ресурсами и потребностями.

Обозначим, наконец, через Ci оценку результата применения i-ro технологического режима единичной интенсивности. Определить производственный план, заданный величинами интенсивностей всех технологических способов, суммарная оценка которого будет наилучшей.

Решение. Обозначим через Xi интенсивность, с которой применяется i-й технологический режим. Тогда переменные должны. удовлетворять следующим двум видам ограничений:

В случае, когда j-й фактор есть производимый продукт, ограничение представляет собой ограничение по потребностям. Если же фактор есть расходуемый вид ресурсов, то мы имеем ограничение по ресурсам.

Суммарная оценка всего производственного процесса может быть получена с помощью формулы , запись которой предполагает, что оценки каждого технологического способа пропорциональны интенсивности его применения, а при использовании нескольких способов суммируются. Нетрудно видеть, что некоторые из ранее рассмотренных задач являются частными случаями данной, если соответственно истолковать такие понятия, как «факторы производства» и «технологические способы» в конкретных терминах данной задачи. В то же время указанная задача может непосредственно фигурировать как задача нахождения оптимального сочетания интенсивностей различных технологических режимов (способов производства).

Пример задачи. Нефтеперерабатывающий завод располагает 10 ед. нефти сорта А и 15 ед. сорта В. При переработке нефти получаются бензин и мазут. При этом известны следующие три способа переработки:

Способы переработки	Результат
	Мазут	Бензин
1А+2В	2	3
2А+1В	5	1
2А+2В	2	1
Цена за единицу	2	10

Найти наиболее выгодный план переработки, дающий максимум товарной продукции.

12.1.5 Распределение ресурсов во времени. Оптимальное регулирование запасов

Постановка задачи. Планируется производство однородного продукта для удовлетворения потребностей, меняющихся во времени. Весь годичный период разбит на N периодов. Потребности на продукт в i-м периоде составляют Bi. Известны также затраты на выпуск дополнительной единицы продукта (А руб.) и на хранение той же единицы в течение одного периода (С руб.). Составить оптимальный график производства по периодам, минимизирующий суммарные затраты.

Решение. Обозначим через Xi>0 выпуск продукции за i-й период, а через Ui запасы, которые образуются в конце i-ro периода, за счет превышения накопленного выпуска продукции, начиная с 1-го периода до данного, над накопленным расходом.

Пусть к началу планируемого периода выпуск продукции составляет Х0 единиц.

Средний размер запасов, хранящихся в течение i-го периода, составит

1/2 (Ui-1 + Ui).

Поэтому расходы на хранение за весь плановый период будут составлять:

.

Введём две новые неотрицательные переменные Yi и Zi из соотношений

.

При этом, в оптимальном графике производства можно Yi трактовать как величину, на которую произошло расширение производства в i-м периоде, а Zi -- соответственно как свертывание производства. Исходя из этого, суммарные дополнительные затраты на расширение производства запишутся и виде:

Таким образом, приходим окончательно к следующей модели линейного программирования:



Пример задачи. Планируется поквартальный выпуск продукции для удовлетворения переменного спроса В={50, 30, 40, 20}.Составить оптимальный график работы предприятия, если затраты на дополнительный выпуск 1 ед. продукции составляют 30 руб., а затраты на хранение той же единицы в запасах в течение одного периода -- 3 руб. При этом задан первоначальный запас U0 = 5..

Решение. Согласно рассмотренной выше общей модели, обозначим соответственно выпуски продукции в I, II, III и IV кварталах через X1,Х2,Х3,Х4, запасы продукции через Ui, объем роста производстве в i-м квартале через Yi; и объем свертывания через Zi.

Тогда постановка приобретёт следующий конкретный вид:

Решение этой задачи дает следующий результат:X1=45, X2=35, X3=35, X4=35, U2=5, U4=15, Z2=10, остальные переменные = 0. Z=45руб.Раздел 3. Прочие методы прогнозирования

Тема 13. Экспертиза

(Выдержка из - МУ для выполнения лабораторных и самостоятельных работ студентов по курсу «Методы социально-экономического прогнозирования», -Л.: ЛФЭИ, 1991.)

Экспертные методы прогнозирования, основанные на использовании экспертов в качестве основных источников информации относительно перспектив развития объекта, применяются чрезвычайно широко. Используются как индивидуальные экспертные оценки (аналитические записки, анкетирование, интервью), так и коллективные оценки (метод "Дельфи", "Мозговой атаки", комиссий и т.п.).

Помимо использования экспертных методов для прогнозирования в "чистом виде", они являются непременной составной частью в комплексных системам прогнозирования.

Рассмотрим два примера прогнозирования на основе экспертных методов:

- прогнозирование на основе групповой оценки экспертов;

- применение метода "Дельфи" в прогнозировании научных исследований.

-

15.1 Прогнозирование на основе групповой экспертной оценки

Порядок проведения экспертизы

- предварительный этап

- формирование рабочей группы

- формирование экспертной группы ( в том числе панелей экспертов)

- подготовка и проведение опроса экспертов

- обработка и анализ результатов опроса экспертов.

Предварительный этап

На данном этапе определяются:

а) конкретные задачи (вопросы, по которым должна проводится экспертиза);

б) состав лиц, входящих в рабочую группу по подготовке и проведению экспертизы;

в) программа проведения экспертизы, в которой определяются задачи рабочей группы, место и время проведения экспертизы, техника опроса экспертов, способ обработки и анализа результатов опросе, форма их представления.

Конкретные задачи, для выяснения которых необходимо использовать метода экспертных оценок, следует определить, исходя из информационных возможностей: экспертиза применяется в случаях, когда отсутствует достоверная и полная информация для изучения вопроса другими методами, например, статистическими или экономико-математическими. Экспертные оценки целесообразно проводить в сочетаний или параллельно с другими методами.

Круг исследуемых вопросов не. должен быть слишком широким. Чрезмерное расширение перечня вопросов затруднит как работу экспертов, так и рабочей группы при обработке результатов опроса. Кроме того, могут неоправданно затянуться сроки проведения экспертизы.

Формирование рабочей группы

Рабочая группа - это группа специалистов, осуществляющих организаторскую работу по проведению экспертизы. В рабочую группу должны входить главным.образом работники специальных подразделений по изучению спроса. Члены рабочей группы должны быть не только компетентными в вопросах, по которым проводится экспертиза, но и обладать специальными знаниями по обработке и анализу информации о спросе. Количество членов рабочей группы зависит от задач экспертизы, сроков и способа ее проведения, а также величины экспертной группы. Оно не должно быть меньше 3-х человек.

В задачи рабочей группы по организации проведения экспертизы входит:

- создание экспертных групп

- определение состава предварительной информации для экспертов и ее получение

- подготовка инструментария (анкет, таблиц, графиков и т.п.) для опроса экспертов

- определение способа опроса (индивидуальный / групповой, устный / письменный)

- организация и проведение опроса

- обработка и анализ результатов опроса экспертов

- составление отчета о проведенной экспертизе.

Формирование экспертной группы

Рабочая группа осуществляет подбор экспертов, включающий выявление наиболее опытных и квалифицированных специалистов, по роду своей деятельности хорошо знающих вопросы развития спроса.

В целях повышения эффективности экспертных оценок целесообразно создавать органы постоянно действующей экспертизы - панель экспертов.

Отбор специалистов для включения в панель экспертов осуществляется на основе выборочного метода. Число кандидатов в эксперты должно превышать намеченное количество членов экспертной группы. Этот резерв необходим для обеспечении конкурсного отбора специалистов в состав экспертной группы, т.е. отсева лиц, получивших низкие оценки и создание резерва для замены экспертов в случае выбытия.

Определение квалификации экспертов

Качество экспертных оценок во многом определяется квалификацией экспертов. При отборе экспертов используются метода оценки квалификации экспертов. Чаще всего - это метода "самооценки" или "взаимооценки", основанные на заполнении экспертами соответствующих анкет, позволяющих выявить их квалификацию, и последующей их обработке. Пример анкеты самооценки - Таблица 4_1. В анкету рекомендуются включать показатели, характеризующие знакомство кандидата с:

- литературой по специальности

- фирменными каталогами и проспектами

- данными о зарубежном опыте

- статистическими данными

- инновациями

- результатами опросов и маркетинговых исследования

Члены рабочих групп устанавливают весомость каждого показателя, включённого в анкету самооценки. Также весомость показателей может определяться на основе мнений экспертов.

Рабочими группами устанавливаются также возможные оценки степени знакомства кандидатов в эксперты с вопросами, включенными в анкету самооценки. Например, устанавливается влияние стажа работы экспертов на степень их знакомства с проблемой и соответствующие коэффициенты (напр):

5 лет - низкая 2,0

6-10 лет - средняя 7,5

свыше 10 лет - высокая 10

Таблица 4_1 Анкета самооценки

Эксперт ______________________ (фамилия, имя, отчество) стаж работы по проблеме_____ лет
№	Показатели, характеризующие знакомство с проблемой	Весомость показателя (Wi )	Оценка степени знакомства или участия (отметить знаком Х)
			Высокая Х1 =10	Средняя Х2 =7,5	Низкая Х2 =2	Отсутствует Х3 =0
1	Знакомство с требованиями покупателей	0,25	Х
2	Участие в подобных исследованиях	0,12	Х
3	Знакомство со статистикой данного вопроса	0,18		Х
4	Знакомство с нормативной литературой	0,10			Х
N	<И т.п.>	0,35

"Самооценка" вычисляется по формуле:

,

К=0,25*10+0,12*10+0,18*7,5+0,10*2+… и т.п.

Из кандидатов в эксперты, получивших наиболее высокие значений самооценок, необходимое количество экспертов включают в панель. Из кандидатов, получивших более низкие оценки, образуют резерв.

Помимо самооценок для определения квалификации экспертов широко применяется метод взаимооценки.

Определение количества экспертов

Существует связь между достоверностью экспертной оценки и количеством экспертов. Вообще говоря, с ростом численности экспертной группы достоверность получаемых оценок растет. Однако, начиная с некоторого момента, добавление новых экспертов в группу практически не оказывает влияния на групповую оценку. Следовательно, необходимо установить границы численности для экспертных груш. Для этого используются специальные способы расчета, позволяющие устанавливать численность групп из предположения, что добавление к группе каждого нового эксперта меняет групповую оценку на 5-10%.

Подготовка и проведение опроса экспертов

Проведению экспертизы должна предшествовать следующая работа:

- подготовка предварительной информации для экспертов

- подготовка необходимого инструментария для проведения экспертизы, (анкет, форм аналитических таблиц и др.)

- варианты решения проблемы

Ответы экспертов сводятся, группируются, анализируются и используются для разработки анкет.

Выбор способа проведения опроса обусловлен характером оцениваемой информации, возможностью ее получения и интерпретаций, а также лимитом времени на проведение экспертизы, удаленностью места нахождения экспертов от места расположения рабочей группы, возможностью собрать экспертов вместе. Опрос может быть осуществлен путем очного или заочного анкетирования.

Обработка и анализ результатов опроса экспертов

Заполненные экспертами анкеты, подвергаются логической проверке, сводке и подсчету подученных ответов.

В зависимости от характера задач, решаемых в процессе экспертизы, получаются оценки двух типов:

- количественные значения прогнозируемых процессов и явлений, например, количественные оценки степени удовлетворения опроса на изделия определенных групп товаров

- ранги или балльные оценки, определяющие последовательность развития али соотношения элементов структуры прогнозируемых процессов и явлений, например, ранги влияния нескольких факторов на потребность населения в определенных товарах.

Соответственно с этими типами оценок производится их согласование и анализ.

Для определения степени согласованности и получения групповой количественной экспертной оценки исчисляются простая и взвешенная средние и коэффициенты вариации V:

	m - число экспертов - оценка эксперта i - коэффициент самооценки эксперта - СКО

Если V<33%, мнения экспертов считается согласованными и полученная величина принимается за окончательную групповую оценку.

Если V>33%, мнения экспертов считаются недостаточно согласованными к экспертизу проводят повторно. Перед вторым туром экспертизы рекомендуется сообщить экспертам следующие показатели: среднюю оценку, крайние оценки и среднюю среди оценок за исключением крайних.

Пример. Рассмотрим расчет экспертной оценки предполагаемого уровня удовлетворения спроса на конкретный вид обуви (туфли летние женские открытые). На основе опроса 31 эксперта получены следующие данные:

Следовательно, хотя формально оценки согласованны (V=0.28<0.33), эксперты, считающие себя более компетентными, считают удовлетворённость спроса существенно меньшей, чем все эксперты (53,3<<70.2). Необходимо конкретизировать понятие «удовлетворение спроса» и повторить экспертизу.

15.2 Применение метода "Дельфи" для прогнозирования

Пример применения метода "Дельфи" для прогнозирования развития науки и техники. Рассматриваются перспективы развития науки и техники на ближайшие 50 лет. Выбрано 200 экспертов. Опрос производится в 4 тура с промежутком в один месяц.

1 тур. Экспертам высылается вопросник с просьбой перечислять основные изобретения и научные открытие, которые они считают необходимыми и осуществимыми в течение ближайших 50 лет, в той области науки и техники, к которой они имеют непосредственное отношение. Так как эксперты компетентны в избранной области научно-технического прогресса (например, энергетике), то в анкете они обосновывают потребность в называемых ими открытиях и изобретениях. После сбора анкет проводится их обработка, при которой одинаковые события должны быть объединены, второстепенные (с точки зрения организаторов опроса) исключены, а окончательный перечень становится второй анкетой.

II тyр. Эксперты получают анкету с перечнем событий и оценивают даты их реализации. Их также просят привести соображения, почему указанные прогнозируемые события не должны произойти раньше или позже указанной даты. После сбора результатов 2-го тура организаторы подготавливают статистическую сводку мнений экспертов, включающую дополнительные доводы и аргументы "за" и "против" указанных сроков реализаций событий.

Результатом всей процедуры должен быть прогноз, содержащий точку зрения, с которой могло бы согласиться большинство экспертов в группе.

Для оценки степени согласованности используются статистические характеристики результатов опроса группы экспертов. В классическом методе "Дельфи" на каждом этапе прогнозируемое значение срока наступления события представляется в ведя медианы и двух квартилей. Медиана (Ме) представляет собой число (срок реализации события), оценки которой одной половиной группы экспертов больше этой величины, а другой - меньше. Квартилем называется такое значение срока наступления события, который указан экспертом под номером, равным 1/4 (нижний квартиль) или 3/4 (верхний квартиль) числового ряда распределения временных оценок по возрастанию.

Т.о., каждый ответ внутри группы экспертов учитывается при построении Me, а величина разброса ответов характеризуется величиной интервала между квартилями.

Рассмотрим пример расчета данных характеристик для 2 тура опроса при прогнозе срока создания промышленной термоядерной энергетической установки.

Рисунок 4_1 Оценка согласованности экспертов.

При нечетном числе экспертов N=2K+1 медианное значение принимают оценка, данная (K+1)-м экспертом. При четном N=2K Ме равна среднему из значений оценок двух центральных экспертов, т.е. Ме=1/2 (T_к. + T_к+1), где T_к.- ответ эксперта К. В нашем примере (игнорируя мнение «Никогда») медианное значение имеет срок, названный экспертом вод номером (191-1)/2+1=96 от начала ряда. Предполагая, что ответы 52 экспертов в интервале 20-25лет распределены равномерно, получаем ответ эксперта 81: 20+(25-20)/52*(96-73)= 22,2.

Квартили рассчитываются аналогично:

Нижний

Q1=T_к.K=1/4*191=47,75, т.е. в интервале 15-20 лет (28<47.75<73). Q1=T_47,75.=15+(20-15)/45*(47,75-28)=17,2

Верхний

Q3=T_к.K=3/4*191=143,25, т.е. интервал 25-30 лет (125<143,25<146). Q3=

T_143,25.=25+(30-25)/21*(143,25-125)=29,3

Т.о., 50% экспертов за то, что термояд изобретут через 17,2 - 29,3 года, что можно признать достаточно согласованным.

III тур. Эксперты получают статистические данные и сводку аргументов по 2-му туру, чтобы сформировать новые оценки предполагаемой даты наступления данного события. Если прежняя оценка эксперта не попала в интервал между квартилями, то он должен изменить её или подтвердить эту оценку обоснованием.

После 3-го тура организаторы вновь проводят статистическую обработку анкет, вычисляют новые значения Q1, Ме, Q2, и объединяют их в новом вопроснике вместе о аргументами.

IV тур. Эксперты получают анкеты последнего этапа опроса, вновь корректируют сроки наступления указанных событий и, по желанию организаторов, аргументирует свою оценку,

В качестве дополнительной оценки "достоверности" прогноза по методу "Дельфи" могут быть использованы ответы экспертов типа «Никогда».

Тема 14. Самореализующиеся прогнозы

Самореализующийся прогноз - социально-экономическое явление, состоящее в наличии социального механизма, приводящего к [не] реализации любого прогноза [высказанного в определённых условиях].

Пример - показ моды, как её прогноз.

В основе механизма лежит столкновение интересов, которое можно описать в терминах т.н. «теории игр» матрицей выигрыша.

Особенно силён этот механизм в биржевой торговле.

Рисунок 4_2 показывает модель поведения брокера фьючерсных контрактов. Задача брокера - заключить сейчас контракт по цене, которая сложится в будущем, т.е. угадать фьючерсный курс (цену). Потери брокера прямопропорциональны размеру неугадывания. Рассмотрим выигрыш (=проигрыш) брокера для диапазона цен 50-100.

Пусть текущее ожидание будущей цены - $70. Брокер, заключив контракт по этой цене, имеет минимальный проигрыш - 0. Вообще говоря, ему абсолютно все равно, по какой цене правильно заключить контракт (50 или 90, или любой прочей). Точно такое же положение у всех брокеров. Если появится прогноз повышения курсов, у брокера появляется стремление следовать этому прогнозу. Таким образом, прогноз осуществляется. Аналогично для прогноза спада.

Рисунок 4_2 Механизм самореализации прогнозов.

Возможность возникновения данного эффекта необходимо учитывать при организации прогнозирования.