Дж. Хопфилд сделал важный вклад как в теорию, так и в применение систем с обратными связями. Поэтому некоторые из конфигураций известны как сети Хопфилда. Из обзора литературы видно, что исследованием этих и сходных систем занимались многие. Например, в работе [4] изучались общие свойства сетей, аналогичных многим, рассмотренным здесь. Работы, цитируемые в списке литературы в конце главы, не направлены на то, чтобы дать исчерпывающую библиографию по системам с обратными связями. Скорее они являются лишь доступными источниками, которые могут служить для объяснения, расширения и обобщения содержимого этой книги.

9.1 КОНФИГУРАЦИИ СЕТЕЙ С ОБРАТНЫМИ СВЯЗЯМИ

На рис. 6.1 показана сеть с обратными связями, состоящая из двух слоев. Способ представления несколько отличается от использованного в работе Хопфилда и других, но эквивалентен им с функциональной точки зрения, а также хорошо связан с сетями, рассмотренными в предыдущих главах. Нулевой слой, как и на предыдущих рисунках, не выполняет вычислительной функции, а лишь распределяет выходы сети обратно на входы. Каждый нейрон первого слоя вычисляет взвешенную сумму своих входов, давая сигнал NET, который затем с помощью нелинейной функции F преобразуется в сигнал OUT. Эти операции сходны с нейронами других сетей (см. гл. 2).

Бинарные системы

В первой работе Хопфилда [6] функция F была просто пороговой функцией. Выход такого нейрона равен единице, если взвешенная сумма выходов с других нейронов больше порога T_j, в противном случае она равна нулю. Он вычисляется следующим образом:

, (6.1)

OUT, = 1, если NET_j>Т_j,

OUT. = 0, если NET_j<Т_j,

OUT не изменяется, если NET_j = Т_j,

Рис. 6.1. Однослойная сеть с обратными связями. Пунктирные линии обозначают нулевые веса

Состояние сети - это просто множество текущих значений сигналов OUT от всех нейронов. В первоначальной сети Хопфилда состояние каждого нейрона менялось в дискретные случайные моменты времени, в последующей работе состояния нейронов могли меняться одновременно. Так как выходом бинарного нейрона может быть только ноль или единица (промежуточных уровней нет), то текущее состояние сети является двоичным числом, каждый бит которого является сигналом OUT некоторого нейрона.

Функционирование сети легко визуализируется геометрически. На рис. 6.2а показан случай двух нейронов в выходном слое, причем каждой вершине квадрата соответствует одно из четырех состояний системы (00, 01, 10, 11). На рис. 6.2б показана трехнейронная система, представленная кубом (в трехмерном пространстве), имеющим восемь вершин, каждая из которых помечена трехбитовым бинарным числом. В общем случае система с n нейронами имеет 2ⁿ различных состояний и представляется n-мерным гиперкубом.

Рис. 6.2а. Два нейрона порождают систему с четырьмя состояними

Рис. 6.2б. Три нейрона порождают систему с восемью состояниями

Когда подается новый входной вектор, сеть переходит из вершины в вершину, пока не стабилизируется. Устойчивая вершина определяется сетевыми весами, текущими входами и величиной порога. Если входной вектор частично неправилен или неполон, то сеть стабилизируется в вершине, ближайшей к желаемой.

Устойчивость

Как и в других сетях, веса между слоями в этой сети могут рассматриваться в виде матрицы W. В работе [2] показано, что сеть с обратными связями является устойчивой, если ее матрица симметрична и имеет нули на главной диагонали, т. е. если w_ij = w_ji и w_ii = 0 для всех i.

Устойчивость такой сети может быть доказана с помощью элегантного математического метода. Допустим, что найдена функция, которая всегда убывает при изменении состояния сети. В конце концов эта функция должна достичь минимума и прекратить изменение, гарантируя тем самым устойчивость сети. Такая функция, называемая функцией Ляпунова, для рассматриваемых сетей с обратными связями может быть введена следующим образом:

(6.2)

где Е - искусственная энергия сети;

w_ij - вес от выхода нейрона i к входу нейрона j;

OUT_j - выход нейрона j;

I_j - внешний вход нейрона j; Т_j - порог нейрона j.

Изменение энергии Е, вызванное изменением состояния j-нейрона, есть

(6.3)

где дOUT_j - изменение выхода j-го нейрона.

Допустим, что величина NET нейрона j больше порога. Тогда выражение в скобках будет положительным, а из Уравнения (6.1) следует, что выход нейрона j должен измениться в положительную сторону (или остаться без изменения). Это значит, что дOUT. может быть только положительным или нулем и дЕ должно быть отрицательным. Следовательно, энергия сети должна либо уменьшиться, либо остаться без изменения.

Далее, допустим, что величина NET меньше порога. Тогда величина дOUT_j может быть только отрицательной или нулем. Следовательно, опять энергия должна уменьшиться или остаться без изменения.

И окончательно, если величина NET равна порогу, д_j равна нулю и энергия остается без изменения.

Это показывает, что любое изменение состояния нейрона либо уменьшит энергию, либо оставит ее без изменения. Благодаря такому непрерывному стремлению к уменьшению энергия в конце концов должна достигнуть минимума и прекратить изменение. По определению такая сеть является устойчивой.

Симметрия сети является достаточным, но не необходимым условием для устойчивости системы. Имеется много устойчивых систем (например, все сети прямого действия!), которые ему не удовлетворяют. Можно продемонстрировать примеры, в которых незначительное отклонение от симметрии может приводить к непрерывным осцилляциям. Однако приближенной симметрии обычно достаточно для устойчивости систем.

Ассоциативная память

Человеческая память ассоциативна, т. е. некоторое воспоминание может порождать большую связанную с ним область. Например, несколько музыкальных тактов могут вызвать целую гамму чувственных воспоминаний, включая пейзажи, звуки и запахи. Напротив, обычная компьютерная память является локально адресуемой, предъявляется адрес и извлекается информация по этому адресу.

Сеть с обратной связью формирует ассоциативную память. Подобно человеческой памяти по заданной части нужной информации вся информация извлекается из «памяти». Чтобы организовать ассоциативную память с помощью сети с обратными связями, веса должны выбираться так, чтобы образовывать энергетические минимумы в нужных вершинах единичного гиперкуба.

Хопфилд разработал ассоциативную память с непрерывными выходами, изменяющимися в пределах от +1 до -1, соответствующих двоичным значениям 0 и 1, Запоминаемая информация кодируется двоичными векторами и хранится в весах согласно следующей формуле:

(6.4)

где т - число запоминаемых выходных векторов;

d - номер запоминаемого выходного вектора;

OUT_i,j - i-компонента запоминаемого выходного вектора.

Это выражение может стать более ясным, если заметить, что весовой массив W может быть найден вычислением внешнего произведения каждого запоминаемого вектора с самим собой (если требуемый вектор имеет n компонент, то эта операция образует матрицу размером п х п) и суммированием матриц, полученных таким образом. Это может быть записано в виде

, (6.5)

где D_i - i-й запоминаемый вектор-строка.

Как только веса заданы, сеть может быть использована для получения запомненного выходного вектора по данному входному вектору, который может быть частично неправильным или неполным. Для этого выходам сети сначала придают значения этого входного вектора. Затем входной вектор убирается и сети предоставляется возможность «расслабиться», опустившись в ближайший глубокий минимум. Сеть идущая по локальному наклону функции энергии, может быть захвачена локальным минимумом, не достигнув наилучшего в глобальном смысле решения.

Непрерывные системы

В работе [7] рассмотрены модели с непрерывной активационной функцией F, точнее моделирующей биологический нейрон. В общем случае это S-образная или логистическая функция

, (6.6)

где - коэффициент, определяющий крутизну сигмоидальной функции.

Если велико, F приближается к описанной ранее пороговой функции. Небольшие значения дают более пологий наклон.

Как и для бинарных систем, устойчивость гарантируется, если веса симметричны, т. е.

w_ij = w_ji и w_ii = 0

при всех i. Функция энергии, доказывающая устойчивость подобных систем, была сконструирована, но она не рассматривается здесь из-за своего концептуального сходства с дискретным случаем. Интересующиеся читатели могут обратиться к работе [2] для более полного рассмотрения этого важного предмета.

Если велико, непрерывные системы функционируют подобно дискретным бинарным системам, окончательно стабилизируясь со всеми выходами, близкими нулю или единице, т. е. в вершине единичного гиперкуба. С уменьшением устойчивые точки удаляются от вершин, последовательно исчезая по мере приближения к нулю. На рис. 6.3 показаны линии энергетических уровней непрерывной системы с двумя нейронами.

Сети Хопфилда и машина Больцмана

Недостатком сетей Хопфилда является их тенденция стабилизироваться в локальном, а не глобальном минимуме функции энергии. Эта трудность преодолевается в основном с помощью класса сетей, известных под названием машин Больцмана, в которых изменения состояний нейронов обусловлены статистическими, а не детерминированными закономерностями. Существует тесная аналогия между этими методами и отжигом металла, поэтому и сами методы часто называют имитацией отжига.

Термодинамические системы

Металл отжигают, нагревая его до температуры, превышающей точку его плавления, а затем давая ему медленно остыть. При высоких температурах атомы, обладая высокими энергиями и свободой перемещения, случайным образом принимают все возможные конфигурации. При постепенном снижении температуры энергии атомов уменьшаются, и система в целом стремится принять конфигурацию с минимальной энергией. Когда охлаждение завершено, достигается состояние глобального минимума энергии.

Рис. 6.3. Линии энергетических уровнен

При фиксированной температуре распределение энергий системы определяется вероятностным фактором Больцмана

exp(-E/kT),

где Е - энергия системы;

k - постоянная Больцмана;

Т - температура.

Отсюда можно видеть, что имеется конечная вероятность того, что система обладает высокой энергией даже при низких температурах. Сходным образом имеется небольшая, но вычисляемая вероятность, что чайник с водой на огне замерзнет, прежде чем закипеть.

Статистическое распределение энергий позволяет системе выходить из локальных минимумов энергии. В то же время вероятность высокоэнергетических состояний быстро уменьшается со снижением температуры. Следовательно, при низких температурах имеется сильная тенденция занять низкоэнергетическое состояние.

Статистичекие сети Хопфилда

Если правила изменения состояний для бинарной сети Хопфилда заданы статистически, а не детерминированно, как в уравнении (6.1), то возникает система, имитирующая отжиг. Для ее реализации вводится вероятность изменения веса как функция от величины, на которую выход нейрона OUT превышает его порог. Пусть

E_k = NET_k - _k,

где NET_k - выход NET нейрона k;

- порог нейрона k, и

,

(отметьте вероятностную функцию Больцмана в знаменателе),

где Т - искусственная температура.

В стадии функционирования искусственной температуре Т приписывается большое значение, нейроны устанавливаются в начальном состоянии, определяемом входным вектором, и сети предоставляется возможность искать минимум энергии в соответствии с нижеследующей процедурой:

Приписать состоянию каждого нейрона с вероятностью р_k значение единица, а с вероятностью 1-р_k - нуль.

Постепенно уменьшать искусственную температуру и повторять шаг 1, пока не будет достигнуто равновесие.

Обобщенные сети

Принцип машины Больцмана может быть перенесен на сети практически любой конфигурации, хотя устойчивость не гарантируется. Для этого достаточно выбрать одно множество нейронов в качестве входов и другое множество в качестве выходов. Затем придать входному множеству значения входного вектора и предоставить сети возможность релаксировать в соответствии с описанными выше правилами 1 и 2.

Процедура обучения для такой сети, описанная в [5], состоит из следующих шагов:

Вычислить закрепленные вероятности.

а) придать входным и выходным нейронам значения обучающего вектора;

б) предоставить сети возможность искать равновесие;

в) записать выходные значения для всех нейронов;

г) повторить шаги от а до в для всех обучающих векторов;

д) вычислить вероятность , т. е. по всему множеству обучающих векторов вычислить вероятность того, что значения обоих нейронов равны единице.

2. Вычислить незакрепленные вероятности.

а) предоставить сети возможность «свободного движения» без закрепления входов или выходов, начав со случайного состояния;

б) повторить шаг 2а много раз, регистрируя значения всех нейронов;

в) вычислить вероятность , т. е. вероятность того, что значения обоих нейронов равны единице.

3. Скорректировать веса сети следующим образом:

,

где дw_ij - изменение веса w_ij,

з - коэффициент скорости обучения.

9.2 АНАЛОГО-ЦИФРОВОЙ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЬ

В недавних работах [8,10] рассматривалась электрическая схема, основанная на сети с обратной связью, реализующая четырехбитовый аналого-цифровой преобразователь. На рис. 6.4 показана блок-схема этого устройства с усилителями, выполняющими роль искусственных нейронов. Сопротивления, выполняющие роль весов, соединяют выход каждого нейрона с входами всех остальных. Чтобы удовлетворить условию устойчивости, выход нейрона не соединялся сопротивлением с его собственным входом, а веса брались симметричными, т. е. сопротивление от выхода нейрона i к входу нейрона j имело ту же величину, что и сопротивление от выхода нейрона j к входу нейрона i.

Заметим, что усилители имеют прямой и инвертированный выходы. Это позволяет с помощью обычных положительных сопротивлений реализовывать и те случаи, когда веса должны быть отрицательными. На рис. 6.4 показаны все возможные сопротивления, при этом никогда не возникает необходимости присоединять как прямой, так и инвертированный выходы нейрона к входу другого нейрона.

В реальной системе каждый усилитель обладает конечным входным сопротивлением и входной емкостью, что должно учитываться при расчете динамической характеристики. Для устойчивости сети не требуется равенства этих параметров для всех усилителей и их симметричности. Так как эти параметры влияют лишь на время получения решения, а не на само решение, для упрощения анализа они исключены.

Предполагается, что используется пороговая функция (предел сигмоидальной функции при , стремящемся к бесконечности). Далее, все выходы изменяются в начале дискретных интервалов времени, называемых эпохами. В начале каждой эпохи исследуется сумма входов каждого нейрона. Если она больше порога, выход принимает единичное значение, если меньше - нулевое. На протяжении эпохи выходы нейронов не изменяются.

Рис. 6.4. Четырехбитовый аналого-цифровой преобразователь,
использующий сеть Хопфилда

Целью является такой выбор сопротивлений (весов), что непрерывно растущее напряжение X, приложенное к одновходовому терминалу, порождает множесство из четырех выходов, представляющих двоичную запись числа, величина которого приближенно равна входному напряжению (рис. 6.5). Определим сначала функцию энергии следующим образом:

, (6.7)

где X - входное напряжение.

Когда Е минимизировано, то получаются нужные выходы. Первое выражение в скобках минимизируется, когда двоичное число, образованное выходами, наиболее близко (в среднеквадратичном смысле) к аналоговой величине входа X. Второе выражение в скобках обращается в нуль, когда все выходы равны 1 или 0, тем самым накладывая ограничение, что выходы принимают только двоичные значения.

Если уравнение (6.7) перегруппировать и сравнить с уравнением (6.2), то получим следующее выражение для весов:

W_ij = -2^i+j, y_i = 2ⁱ, (6.8)

где w_ij - проводимость (величина, обратная сопротивлению) от выхода нейрона i к входу нейрона j (равная также проводимости от выхода нейрона j к входу нейрона i;

y_i - проводимость от входа Х к входу нейрона i.

Чтобы получить схему с приемлемыми значениями сопротивлений и потребляемой мощности, все веса должны быть промасштабированы.

Рис. 6.5. Идеальная характеристика четырехбитового аналого-цифрового преобразователя

Идеальная выходная характеристика, изображенная на рис. 6.5, будет реализована лишь в том случае, если входы устанавливаются в нуль перед выполением преобразования. Если этого не делать, сеть может попасть в локальный минимум энергии и дать неверный выход.

Задача коммивояжера

Задача коммивояжера является оптимизационной задачей, часто возникающей на практике. Она может быть сформулирована следующим образом: для некоторой группы городов с заданными расстояниями между ними требуется найти кратчайший маршрут с посещением каждого города один раз и с возвращением в исходную точку. Было доказано, что эта задача принадлежит большому множеству задач, называемых «NP-полными» (недетерминистски полиномиальными) [З]. Для NP-полных задач не известно лучшего метода решения, чем полный перебор всех возможных вариантов, и, по мнению большинства математиков, маловероятно, чтобы лучший метод был когда либо найден. Так как такой полный поиск практически неосуществим для большого числа городов, то эвристические методы используются для нахождения приемлемых, хотя и неоптимальных решений.

Описанное в работе [8] решение, основанное на сетях с обратными связями, является типичным в этом отношении. Все же ответ получается так быстро, что в определенных случаях метод может оказаться полезным.

Допустим, что города, которые необходимо посетить, помечены буквами A, B, C и D, а расстояния между парами городов есть d_ab, d_bc и т. д.

Решением является упорядоченное множество из n городов. Задача состоит в отображении его в вычислительную сеть с использованием нейронов в режиме с большой крутизной характеристики ( приближается к бесконечности). Каждый город представлен строкой из n нейронов. Выход одного и только одного нейрона из них равен единице (все остальные равны нулю). Этот равный единице выход нейрона показывает порядковый номер, в котором данный город посещается при обходе. На рис. 6.6 показан случай, когда город C посещается первым, город A - вторым, город D - третьим и город B - четвертым. Для такого представления требуется п² нейронов - число, которое быстро растет с увеличением числа городов. Длина такого маршрута была бы равна d_ca + d_ad + d_db + d_bc. Так как каждый город посещается только один раз и в каждый момент посещается лишь один город, то в каждой строке и в каждом столбце имеется по одной единице. Для задачи с п городами всего имеется п! различных маршрутов обхода. Если п = 60, то имеется 6934155х10⁷⁸ возможных маршрутов. Если принять во внимание, что в нашей галактике (Млечном Пути) имеется лишь 10¹¹ звезд, то станет ясным, что полный перебор всех возможных маршрутов для 1000 городов даже на самом быстром в мире компьютере займет время, сравнимое с геологической эпохой.

Продемонстрируем теперь, как сконструировать сеть для решения этой NP-полной проблемы. Каждый нейрон снабжен двумя индексами, которые соответствуют городу и порядковому номеру его посещения в маршруте. Например, OUT_xj = 1 показывает, что город х был j-ым по порядку городом маршрута.

Функция энергии должна удовлетворять двум требованиям: во-первых, должна быть малой только для тех решений, которые имеют по одной единице в каждой строке и в каждом столбце; во-вторых, должна оказывать предпочтение решениям с короткой длиной маршрута.

Первое требование удовлетворяется введением следующей, состоящей из трех сумм, функции энергии:

, (6.9)

где A, B и C - некоторые константы. Этим достигается выполнение следующих условий:

Первая тройная сумма равна нулю в том и только в том случае, если каждая строка (город) содержит не более одной единицы.

Вторая тройная сумма равна нулю в том и только в том случае, если каждый столбец (порядковый номер посещения) содержит не более одной единицы.

Третья сумма равна нулю в том и только в том случае, если матрица содержит ровно п единиц.

город	Порядок следования
	1	2	3	4
A	0	1	0	0
B	0	0	0	1
C	1	0	0	0
D	0	0	1	0

Рис. 6.6. Маршрут коммивояжера

Второе требование - предпочтение коротким маршрутам - удовлетворяется с помощью добавления следующего члена к функции энергии:

, (6.10)

Заметим, что этот член представляет собой длину любого допустимого маршрута. Для удобства индексы определяются по модулю n, т. е.

OUT_n+j = OUT_j,

a D - некоторая константа.

При достаточно больших значениях A, B и C низкоэнергетические состояния будут представлять допустимые маршруты, а большие значения D гарантируют, что будет найден короткий маршрут.

Теперь зададим значения весов, т. е. установим соответствие между членами в функции энергии и членами общей формы (см. уравнение 6.2)).

Получаем

w_xi,yi =-Aд_xy(1 - д_ij)

(не допускает более одной единицы в строке)

Bд_ij(1 - д_xy) (не допускает более одной единицы в столбце)

С (глобальное ограничение)

Dd_xy(д_j,i+1 + д_j,i-1) (член, отвечающий за длину цикла),

где д_ij = 1, если i = j, в противном случае дij = 0. Кроме того, каждый нейрон имеет смещающий вес х_i, соединенный с +1 и равный Сп.

В работе [8] сообщается об эксперименте, в котором задача коммивояжера была решена для 10 городов. В этом случае возбуждающая функция была равна

OUT = Ѕ [1 + th(NET/U₀)].

Как показали результаты, 16 из 20 прогонов сошлись к допустимому маршруту и около 50% решений оказались кратчайшими маршрутами, как это было установлено с помощью полного перебора. Этот результат станет более впечатляющим, если осознать, что имеется 181440 допустимых маршрутов.

Сообщалось, что сходимость решений, полученных по методу Хопфилда для задачи коммивояжера, в сильной степени зависит от коэффициентов, и не имеется систематического метода определения их значений [11]. В этой работе предложена другая функция энергии с единственным коэффициентом, значение которого легко определяется. В дополнение предложен новый сходящийся алгоритм. Можно ожидать, что новые более совершенные методы будут разрабатываться, так как полностью удовлетворительное решение нашло бы массу применений.

9.3 ОБСУЖДЕНИЕ

Локальные минимумы

Сеть, выполняющая аналого-цифровое преобразование, всегда находит единственное оптимальное решение. Это обусловлено простой природой поверхности энергии в этой задаче. В задаче коммивояжера поверхность энергии сильно изрезана, изобилует склонами, долинами и локальными минимумами и нет гарантии, что будет найдено глобальное оптимальное решение и что полученное решение будет допустимым. При этом воникают серьезные вопросы относительно надежности сети и доверия к ее решениям. Эти недостатки сети смягчаются тем обстоятельством, что нахождение глобальных минимумов для NP-полных задач является очень трудной задачей, которая не может быть решена в приемлемое время никаким другим методом. Другие методы значительно более медленны и дают не лучшие результаты.

Скорость

Способность сети быстро производить вычисления является ее главным достоинством. Она обусловлена высокой степенью распараллеливания вычислительного процесса. Если сеть реализована на аналоговой электронике, то решение редко занимает промежуток времени, больший нескольких постоянных времени сети. Более того, время сходимости слабо зависит от размерности задачи. Это резко контрастирует с более чем экспоненциальным ростом времени решения при использовании обычных подходов. Моделирование с помощью однопроцессорных систем не позволяет использовать преимущества параллельной архитектуры, но современные мультипроцессорные системы типа Connection Machine (65536 процессоров!) весьма многообещающи для решения трудных задач.

Функция энергии

Определение функции энергии сети в зависимости от задачи не является тривиальным. Существующие решения были получены с помощью изобретательности, математического опыта и таланта, которые не разбросаны в изобилии. Для некоторых задач существуют систематические методы нахождения весов сети. Эти методы излагаются в гл. 7.

Емкость сети

Актуальным предметом исследований является максимальное количество запоминаемой информации, которое может храниться в сети Хопфилда. Так как сеть из n двоичных нейронов может иметь 2ⁿ состояний, то исследователи были удивлены, обнаружив, что максимальная емкость памяти оказалась значительно меньшей.

Если бы могло запоминаться большое количество информационных единиц, то сеть не стабилизировалась бы на некоторых из них. Более того, она могла бы помнить то, чему ее не учили, т. е. могла стабилизироваться на решении, не являющемся требуемым вектором. Эти свойства ставили в тупик первых исследователей, которые не имели математических методов для предварительной оценки емкости памяти сети.

Последние исследования пролили свет на эту проблему. Например, предполагалось, что максимальное количество запоминаемой информации, которое может храниться в сети из N нейронов и безошибочно извлекаться, меньше чем cN², где c - положительная константа, большая единицы. Хотя этот предел и достигается в некоторых случаях, в общем случае он оказался слишком оптимистическим. В работе [4] было экспериментально показано, что в общем случае предельное значение емкости ближе к 0,15N. В работе [1] было показано, что число таких состояний не может превышать N, что согласуется с наблюдениями над реальными системами и является наилучшей на сегодняшний день оценкой.

9.4 ВЫВОДЫ

Сети с обратными связями являются перспективным объектом для дальнейших исследований. Их динамическое поведение открывает новые интересные возможности и ставит специфические проблемы. Как отмечается в гл. 9, эти возможности и проблемы сохраняются при реализации нейронных сетей в виде оптических систем.

10. ДВУНАПРАВЛЕННАЯ АССОЦИАТИВНАЯ ПАМЯТЬ

Память человека часто является ассоциативной; один предмет напоминает нам о другом, а этот другой о третьем. Если позволить нашим мыслям, они будут перемещаться от предмета к предмету по цепочке умственных ассоциаций. Кроме того, возможно использование способности к ассоциациям для восстановления забытых образов. Если мы забыли, где оставили свои очки, то пытаемся вспомнить, где видели их , в последний раз, с кем разговаривали и что делали. Посредством этого устанавливается конец цепочки ассоциаций, что позволяет нашей памяти соединять ассоциации для получения требуемого образа.

Ассоциативная память, рассмотренная в гл. 6, является, строго говоря, автоассоциативной, это означает, что образ может быть завершен или исправлен, но не может быть ассоциирован с другим образом. Данный факт является результатом одноуровневой структуры ассоциативной памяти, в которой вектор появляется на выходе тех же нейронов, на которые поступает входной вектор.

Двунаправленная ассоциативная память (ДАП) является гетероассоциативной; входной вектор поступает на один набор нейронов, а соответствующий выходной вектор вырабатывается на другом наборе нейронов. Как и сеть Хопфилда, ДАП способна к обобщению, вырабатывая правильные реакции, несмотря на искаженные входы. Кроме того, могут быть реализованы адаптивные версии ДАП, выделяющие эталонный образ из зашумленных экземпляров. Эти возможности сильно напоминают процесс мышления человека и позволяют искусственным нейронным сетям сделать шаг в направлении моделирования мозга.

В последних публикациях [9,12] представлено несколько форм реализации двунаправленной ассоциативной памяти. Как большинство важных идей, изложенные в этих работах идеи имеют глубокие корни; например, в работе Гроссберга [6] представлены некоторые важные для ДАП концепции. В данной работе ссылки приводятся не с целью разрешения вопроса о приоритете исследовательских работ, а исключительно для освещения их вклада в исследовательскую тематику.

10.1 СТРУКТУРА ДАП

Рис. 7.1. Конфигурация двунаправленной ассоциативной памяти

На рис. 7.1 приведена базовая конфигурация ДАП. Эта конфигурация существенно отличается от используемой в работе [9]. Она выбрана таким образом, чтобы подчеркнуть сходство с сетями Хопфилда и предусмотреть увеличения количества слоев. На рис. 7.1 входной вектор А обрабатывается матрицей весов W сети, в результате чего вырабатывается вектор выходных сигналов нейронов В. Вектор В затем обрабатывается транспонированной матрицей Wt весов сети, которая вырабатывает новые выходные сигналы, представляющие собой новый входной вектор А. Этот процесс повторяется до тех пор, пока сеть не достигнет стабильного состояния, в котором ни вектор А, ни вектор В не изменяются. Заметим, что нейроны в слоях 1 и 2 функционируют, как и в других парадигмах, вычисляя сумму взвешенных входов и вычисляя по ней значение функции активации F. Этот процесс может быть выражен следующим образом:

(7.1)

или в векторной форме:

В = F(AW), (7.2)

где В - вектор выходных сигналов нейронов слоя 2, А - вектор выходных сигналов нейронов слоя 1, W - матрица весов связей между слоями 1 и 2, F - функция активации.

Аналогично

A = F(BWt) (7.3)

где Wt является транспозицией матрицы W.

Как отмечено в гл. 1, Гроссберг показал преимущества использования сигмоидальной (логистической) функции активации

(7.3)

где OUT_i - выход нейрона i, NET_i - взвешенная сумма входных сигналов нейрона i, - константа, определяющая степень кривизны.

В простейших версиях ДАП значение константы выбирается большим, в результате чего функция активации приближается к простой пороговой функции. В дальнейших рассуждениях будем предполагать, что используется пороговая функция активации.

Примем также, что существует память внутри каждого нейрона в слоях 1 и 2 и что выходные сигналы нейронов изменяются одновременно с каждым тактом синхронизации, оставаясь постоянными между этими тактами. Таким образом, поведение нейронов может быть описано следующими правилами:

OUT_i(n+1) = 1, если NET_i(n)>0,

OUT_i(n+l) = 0, если NET_i(n)<0,

OUT_i(n+l) = OUT(n), если NET_i(n) = 0,

где OUT_i(n) представляет собой величину выходного сигнала нейрона i в момент времени п.

Заметим, что как и в описанных ранее сетях слой 0 не производит вычислений и не имеет памяти; он является только средством распределения выходных сигналов слоя 2 к элементам матрицы Wt.

10.2 ВОССТАНОВЛЕНИЕ ЗАПОМНЕННЫХ АССОЦИАЦИЙ

Долговременная память (или ассоциации) реализуется в весовых массивах W и Wt. Каждый образ состоит из двух векторов: вектора A, являющегося выходом слоя 1, и вектора B, ассоциированного образа, являющегося выходом слоя 2. Для восстановления ассоциированного образа вектор A или его часть кратковременно устанавливаются на выходах слоя 1. Затем вектор A удаляется и сеть приводится в стабильное состояние, вырабатывая ассоциированный вектор B на выходе слоя 2. Затем вектор B воздействует через транспонированную матрицу Wt, воспроизводя воздействие исходного входного вектора A на выходе слоя 1. Каждый такой цикл вызывает уточнение выходных векторов слоя 1 и 2 до тех пор, пока не будет достигнута точка стабильности в сети. Эта точка может быть рассмотрена как резонансная, так как вектор передается обратно и вперед между слоями сети, всегда обрабатывая текущие выходные сигналы, но больше не изменяя их. Состояние нейронов представляет собой кратковременную память (КП), так как оно может быстро изменяться при появлении другого входного вектора. Значения коэффициентов весовой матрицы образуют долговременную память и могут изменяться только на более длительном отрезке времени, используя представленные ниже в данном разделе методы.

В работе [9] показано, что сеть функционирует в направлении минимизации функции энергии Ляпунова в основном таким же образом, как и сети Хопфилда в процессе сходимости (см. гл. 6). Таким образом, каждый цикл модифицирует систему в направлении энергетического минимума, расположение которого определяется значениями весов.

Рис. 7.2. Энергетическая поверхность двунаправленной ассоциативной памяти

Этот процесс может быть визуально представлен в форме направленного движения мяча по резиновой ленте, вытянутой над столом, причем каждому запомненному образу соответствует точка, «вдавленная» в направлении поверхности стола. Рис. 7.2 иллюстрирует данную аналогию с одним запомненным образом. Данный процесс формирует минимум гравитационной энергии в каждой точке, соответствующей запомненному образу, с соответствующим искривлением поля притяжения в направлении к данной точке. Свободно движущийся мяч попадает в поле притяжения и в результате будет двигаться в направлении энергетического минимума, где и остановится.

10.3 КОДИРОВАНИЕ АССОЦИАЦИЙ

Обычно сеть обучается распознаванию множества образов. Обучение производится с использованием обучающего набора, состоящего из пар векторов A и B. Процесс обучения реализуется в форме вычислений; это означает, что весовая матрица вычисляется как сумма произведении всех векторных пар обучающего набора. B символьной форме

Предположим, что все запомненные образы представляют собой двоичные векторы. Это ограничение покажется менее строгим, если вспомнить, что все содержимое Библиотеки Конгресса может быть закодировано в один очень длинный двоичный вектор. В работе [11] показана возможность достижения более высокой производительности при использовании биполярных векторов. При этом векторная компонента, большая чем 0, становится +1, а компонента, меньшая или равная 0, становится -1.

Предположим, что требуется обучить сеть с целью запоминания трех пар двоичных векторов, причем векторы A_i имеют размерность такую же, как и векторы В_i. Надо отметить, что это не является необходимым условием для работы алгоритма; ассоциации могут быть сформированы и между векторами различной размерности.

Исходный вектор	Ассоциированный вектор	Бинарная версия
A1 = (1,0,0)	B1 = (0,0,1)	A'1 = (1,-1,-1)	B'1 = (-1,-1,1)
A2 = (0,1,0)	B2 = (0,1,0)	A'1 = (-1,1,-1)	B'1 = (-1,1,-1)
A3 = (0,0,1)	B3 = (1,0,0)	A'1 = (-1,-1,1)	B'1 = (1,-1,-1)

Вычисляем весовую матрицу

W = A'₁t B'₁ + A'₂t B'₂ + A'₃t B'₃

-1	-1	1	+	1	-1	1	+	-1	1	1	=	-1	-1	3
1	1	-1		-1	1	-1		-1	-1	1		-1	3	-1
1	1	-1		1	-1	1		1	-1	-1		3	-1	-1

Далее прикладывая входной вектор А = (1,0,0), вычисляем выходной вектор О

O = A1t W = (1,0,0) x	1	-1	3	=	(-1,-1,3)
	-1	3	-1
	3	-1	-1

Используя пороговое правило

b_i = 1, если o_i > 0,

b_i = 0, если o_i < 0,

b_i = 0, не изменяется, если o_i = 0

вычисляем

B'₁ = (0,0,1),

что является требуемой ассоциацией. Затем, подавая вектор В'₁ через обратную связь на вход первого слоя к Wt получаем



O = B'1 Wt = (0,0,1) x	1	-1	3	=	(3,-1,-1)
	-1	3	-1
	3	-1	-1

что дает значение (1,0,0) после применения пороговой функции, образуя величину вектора A₁.

Этот пример показывает, как входной вектор A с использованием матрицы W производит выходной вектор B. В свою очередь вектор B с использованием матрицы Wt производит вектор A, таким образом в системе формируется устойчивое состояние и резонанс.

ДАП обладает способностью к обобщению. Например, если незавершенный или частично искаженный вектор подается в качестве A, сеть имеет тенденцию к выработке запомненного вектора B, который в свою очередь стремится исправить ошибки в A. Возможно, для этого потребуется несколько проходов, но сеть сходится к воспроизведению ближайшего запомненного образа.

Системы с обратной связью могут иметь тенденцию к колебаниям; это означает, что они могут переходить от состояния к состоянию, никогда не достигая стабильности. В [9] доказано, что все ДАП безусловно стабильны при любых значениях весов сети. Это важное свойство возникает из отношения транспонирования между двумя весовыми матрицами и означает, что любой набор ассоциаций может быть изучен без риска возникновения нестабильности.

Существует взаимосвязь между ДАП и рассмотренными в гл. 6 сетями Хопфилда. Если весовая матрица W является квадратной и симметричной, то W=Wt. В этом случае, если слои 1 и 2 являются одним и тем же набором нейронов, ДАП превращается в автоассоциативную сеть Хопфилда.

10.4 ЕМКОСТЬ ПАМЯТИ

Как и сети Хопфилда, ДАП имеет ограничения на максимальное количество ассоциаций, которые она может точно воспроизвести. Если этот лимит превышен, сеть может выработать неверный выходной сигнал, воспроизводя ассоциации, которым не обучена.

В работе [9] приведены оценки, в соответствии с которыми количество запомненных ассоциаций не может превышать количества нейронов в меньшем слое. При этом предполагается, что емкость памяти максимизирована посредством специального кодирования, при котором количество компонент со значениями +1 равно количеству компонент со значениями -1 в каждом биполярном векторе. Эта оценка оказалась слишком оптимистичной. Работа [13] по оценке емкости сетей Хопфилда может быть легко расширена для ДАП. Можно показать, что если L векторов выбраны случайно и представлены в указанной выше форме, и если L меньше чем n/(2 1og₂ п), где п - количество нейронов в наименьшем слое, тогда все запомненные образы, за исключением «малой части», могут быть восстановлены. Например, если п = 1024, тогда L должно быть меньше 51. Если все образы должны восстанавливаться, L должно быть меньше re/(4 1og₂ п), то есть меньше 25. Эти, скорее озадачивающие, результаты показывают, что большие системы могут запоминать только умеренное количество ассоциаций.

В работе [7] показано, что ДАП может иметь до 2ⁿ стабильных состояний, если пороговое значение Т выбирается для каждого нейрона. Такая конфигурация, которую авторы назвали негомогенной ДАП, является расширением исходной гомогенной ДАП, в которой все пороги были нулевыми. Модифицированная передаточная функция нейрона принимает в этом случае следующий вид:

OUT_i(n+l) = l, если NET_i(n) > T_i,

OUT_i(n+l) = l, если NET_i(n) < T_i,

OUT_i(n+l) = OUT_i(n), если NET_i(n) = T_i,

где OUT_i(t) - выход нейрона i в момент времени t.

Посредством выбора соответствующего порога для каждого нейрона количество стабильных состояний может быть сделано любым в диапазоне от 1 до 2, где п есть количество нейронов в меньшем слое. К сожалению, эти состояния не могут быть выбраны случайно; они определяются жесткой геометрической процедурой. Если пользователь выбирает L состояний случайным образом, причем L меньше (0,68)n²/{[log₂(п)] + 4}², и если каждый вектор имеет 4 + log₂n компонент, равных +1, и остальные, равные -1, то можно сконструировать негомогенную ДАП, имеющую 98% этих векторов в качестве стабильных состояний. Например, если п = 1024, L должно быть меньше 3637, что является существенным улучшением по сравнению с гомогенными ДАП, но это намного меньше 2¹⁰²⁴ возможных состояний.

Ограничение количества единиц во входных векторах представляет серьезную проблему, тем более, что теория, которая позволяет перекодировать произвольный набор векторов в такой «разреженный» набор, отсутствует. Возможно, однако, что еще более серьезной является проблема некорректной сходимости. Суть этой проблемы заключается в том, что сеть может не производить точных ассоциаций вследствие природы поля притяжения; об ее форме известно очень немногое. Это означает, что ДАП не является ассоциатором по отношению к ближайшему соседнему образу. В действительности она может производить ассоциации, имеющие слабое отношение ко входному вектору. Как и в случае гомогенных ДАП, могут встречаться ложные стабильные состояния и немногое известно об их количестве и природе.

Несмотря на эти проблемы, ДАП остается объектом интенсивных исследований. Основная привлекательность ДАП заключается в ее простоте. Кроме того, она может быть реализована в виде СБИС (либо аналоговых, либо цифровых), что делает ее потенциально недорогой. Так как наши знания постоянно растут, ограничения ДАП могут быть сняты. В этом случае как в экспериментальных, так и в практических приложениях ДАП будет являться весьма перспективным и полезным классом искусственных нейронных сетей.

10.5 НЕПРЕРЫВНАЯ ДАП

В предшествующем обсуждении нейроны в слоях 1 и 2 рассматривались как синхронные, каждый нейрон обладает памятью, причем все нейроны изменяют состояния одновременно под воздействием импульса от центральных часов. В асинхронной системе любой нейрон свободен изменять состояние в любое время, когда его вход предписывает это сделать.

Кроме того, при определении функции активации нейрона использовался простой порог, тем самым образуя разрывность передаточной функции нейронов. Как синхронность функционирования, так и разрывность функций, являются биологически неправдоподобными и совсем необязательными; непрерывные асинхронные ДАП отвергают синхронность и разрывность, но функционируют в основном аналогично дискретным версиям. Может показаться, что такие системы должны являться нестабильными. В [9] показано, что непрерывные ДАП являются стабильными (однако для них справедливы ограничения емкости, обсужденные ранее).

В работах [2-5] показано, что сигмоида является оптимальной функцией активации благодаря ее способности усиливать низкоуровневые сигналы, в то же время сжимая динамический диапазон нейронов. Непрерывная ДАП может иметь сигмоидальную функцию с величиной , близкой к единице, образуя тем самым нейроны с плавной и непрерывной реакцией, во многом аналогичной реакции их биологических прототипов.

Непрерывная ДАП может быть реализована в виде аналоговой схемы из резисторов и усилителей. Реализация таких схем в виде СБИС кажется возможной и экономически привлекательной. Еще более обещающей является оптическая реализация, рассматриваемая в гл. 9.

10.6 АДАПТИВНАЯ ДАП

В версиях ДАП, рассматриваемых до сих пор, весовая матрица вычисляется в виде суммы произведений пар векторов. Эти вычисления полезны, поскольку они демонстрируют функции, которые может выполнять ДАП. Однако это определенно не тот способ, посредством которого производится определение весов нейронов мозга.

Адаптивная ДАП изменяет свои веса в процессе функционирования. Это означает, что подача на вход сети обучающего набора входных векторов заставляет ее изменять энергетическое состояние до получения резонанса. Постепенно кратковременная память превращается в долговременную память, настраивая сеть в результате ее функционирования. В процессе обучения векторы подаются на слой А, а ассоциированные векторы на слой В. Один из них или оба вектора могут быть зашумленными версиями эталона; сеть обучается исходным векторам, свободным от шума. В этом случае она извлекает сущность ассоциаций, обучаясь эталонам, хотя «видела» только зашумленные аппроксимации.

Так как доказано, что непрерывная ДАП является стабильной независимо от значения весов, ожидается, что медленное изменение ее весов не должно нарушить этой стабильности. В работе [10] доказано это правило.

Простейший обучающий алгоритм использует правило Хэбба [8], в котором изменение веса пропорционально уровню активации его нейрона-источника и уровню активации нейрона-приемника. Символически это можно представить следующим образом:

дw_ij = з^*(OUT_i OUT_j), (7.5)

где дw_ij - изменение веса связи нейрона i с нейроном j в матрицах W или Wt,

OUT_i - выход нейрона i слоя 1 или 2;

з - положительный нормирующий коэффициент обучения, меньший 1.

10.7 КОНКУРИРУЮЩАЯ ДАП

Во многих конкурирующих нейронных системах наблюдаются некоторые виды конкуренции между нейронами. В нейронах, обрабатывающих сигналы от сетчатки, латеральное торможение приводит к увеличению выхода наиболее высокоактивных нейронов за счет соседних. Такие системы увеличивают контрастность, поднимая уровень активности нейронов, подсоединенных к яркой области сетчатки, в то же время еще более ослабляя выходы нейронов, подсоединенных к темным областям.

В ДАП конкуренция реализуется взаимным соединением нейронов внутри каждого слоя посредством дополнительных связей. Веса этих связей формируют другую весовую матрицу с положительными значениями элементов главной диагонали и отрицательными значениями остальных элементов. Теорема Кохен-Гроссберга [1] показывает, что такая сеть является безусловно стабильной, если весовые матрицы симметричны. На практике сети обычно стабильны даже в случае отсутствия симметрии весовых матриц. Однако неизвестно, какие особенности весовых матриц могут привести к неустойчивости функционирования сети.

10.8 ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Ограниченная емкость памяти ДАП, ложные ответы и некоторая непредсказуемость поведения привели к рассмотрению ее как устаревшей модели искусственных нейронных сетей.

Этот вывод определенно является преждевременным. ДАП имеет много преимуществ: она совместима с аналоговыми схемами и оптическими системами; для нее быстро сходятся как процесс обучения так, и процесс восстановления информации; она имеет простую и интуитивно привлекательную форму функционирования. В связи с быстрым развитием теории могут быть найдены методы, объясняющие поведение ДАП и разрешающие ее проблемы.

11. АДАПТИВНАЯ РЕЗОНАНСНАЯ ТЕОРИЯ

Мозг человека выполняет трудную задачу обработки непрерывного потока сенсорной информации, получаемой из окружающего мира. Из потока тривиальной информации он должен выделить жизненно важную информацию, обработать ее и, возможно, зарегистрировать в долговременной памяти. Понимание процесса человеческой памяти представляет собой серьезную проблему; новые образы запоминаются в такой форме, что ранее запомненные не модифицируются и не забываются. Это создает дилемму: каким образом память остается пластичной, способной к восприятию новых образов, и в то же время сохраняет стабильность, гарантирующую, что образы не уничтожатся и не разрушатся в процессе функционирования?

Традиционные искусственные нейронные сети оказались не в состоянии решить проблему стабильности-пластичности. Очень часто обучение новому образу уничтожает или изменяет результаты предшествующего обучения. В некоторых случаях это не существенно. Если имеется только фиксированный набор обучающих векторов, они могут предъявляться при обучении циклически. В сетях с обратным распространением, например, обучающие векторы подаются на вход сети последовательно до тех пор, пока сеть не обучится всему входному набору. Если, однако, полностью обученная сеть должна запомнить новый обучающий вектор, он может изменить веса настолько, что потребуется полное переобучение сети.

В реальной ситуации сеть будет подвергаться постоянно изменяющимся воздействиям; она может никогда не увидеть один и тот же обучающий вектор дважды. При таких обстоятельствах сеть часто не будет обучаться; она будет непрерывно изменять свои веса, не достигая удовлетворительных результатов.

Более того, в работе [1] приведены примеры сети, в которой только четыре обучающих вектора, предъявляемых циклически, заставляют веса сети изменяться непрерывно, никогда не сходясь. Такая временная нестабильность явилась одним из главных факторов, заставивших Гроссберга и его сотрудников исследовать радикально отличные конфигурации. Адаптивная резонансная теория (APT) является одним из результатов исследования этой проблемы [2,4].

Сети и алгоритмы APT сохраняют пластичность, необходимую для изучения новых образов, в то же время предотвращая изменение ранее запомненных образов. Эта способность стимулировала большой интерес к APT, но многие исследователи нашли теорию трудной для понимания. Математическое описание APT является сложным, но основные идеи и принципы реализации достаточно просты для понимания. Мы сконцентрируемся далее на общем описании APT; математически более подготовленные читатели смогут найти изобилие теории в литературе, список которой приведен в конце главы. Нашей целью является обеспечение достаточно конкретной информацией, чтобы читатель мог понять основные идеи и возможности, а также провести компьютерное моделирование с целью исследования характеристик этого важного вида сетей.