Возможности использования экономико-математических методов при выборе цены товаров и определении оптимальных запасов сырья для их производства

Размещено на http://www.allbest.ru/

Возможности использования экономико-математических методов при выборе цены товаров и определении оптимальных запасов сырья для их производства

Бредихина Ольга Александровна

Фильчакова Светлана Владимировна

Головин Артем Алексеевич

Аннотация

Деятельность любых экономических субъектов основана на вопросе выбора, обусловленного необходимостью максимизации получаемого результата. Значимость обоснованного экономического выбора определила цель исследования, которая заключается в оценке возможности использования экономико-математических методов при выборе цены товаров и определении оптимальных запасов сырья для их производства. Объектом исследования выступили производственно-экономические отношения, возникающие в процессе планирования хозяйственной деятельности, оптимизации производственных процессов, сокращения затрат и максимизации доходности. Предметом исследования стал экономико-математический инструментарий, способствующий решению экономических оптимизационных задач выбора в производственной сфере. Основу исследования составили труды отечественных и зарубежных учёных в области решения экономических оптимизационных задач с помощью инструментов математического анализа.

В исследовании на примере реальной производственной задачи определены оптимальные планы производства, отвечающие требованиям минимизации запасов и максимизации дохода. Условия задачи определили реальные данные для производства и продажи изделий из бисера: кольца, браслета и ожерелья. Первоначально в работе определён оптимальный план производства с учётом имеющихся ресурсов и рыночных цен на готовую продукцию. Наличие трёх переменных, линейности целевой функции и системы ограничений определили использование симплексного метода линейного программирования. Введённые переменные показали остатки сырья после изготовления оптимального количества украшений. С помощью математического аппарата на примере вычисления оптимального количества выпускаемой продукции нескольких видов, выполненных из однотипного сырья, было определено дефицитное сырье, требующее увеличения закупок для дальнейшей оптимизации производства. Полученные значения не соответствовали реальности производственной сферы, в связи с чем их привели в целочисленные значения. Дальнейший анализ показал, что реализация одной номенклатуры продукции по существующей цене не соответствует критерию эффективности, следовательно, данную цену было предложено увеличить, что в свою очередь способствовало оптимизации запасов и росту доходности всего производства. Отдельно был просчитан сценарий, согласно которому потребуется сократить запасы сырья определённого вида, что позволит максимизировать совокупный доход производства.

Ключевые слова: экономика; математика; линейное программирование; симплексный метод; оптимальное производство; минимальные запасы; максимальный доход; цена продукции

Abstract

цена товар запасы доход

Bredihina Olga Alexandrovna

Filchakova Svetlana Vladimirovna

Golovin Artem Alekseevich

Possibilities of using economic and mathematical methods in choosing the price of goods and determining optimal stocks of raw materials for their production

The activity of any economic entities is based on the issue of choice, conditioned by the need to maximize the result obtained. The importance of reasonable economic choice determined the purpose of the study, which is to assess the possibility of using economic and mathematical methods in choosing the price of goods and determining the optimal stocks of raw materials for their production. The object of the study was production-economic relations arising in the process of planning economic activity, optimization of production processes, cost reduction and maximization of profitability. The subject of the study was the economic and mathematical tools that contribute to the solution of economic optimization problems of choice in the production sphere. The basis of the study were the works of domestic and foreign scientists in the field of solving economic optimization problems with the help of tools of mathematical analysis.

In the study on the example of a real production problem, optimal production plans that meet the requirements of inventory minimization and income maximization are determined. The conditions of the problem defined real data for the production and sale of beaded products: a ring, a bracelet and a necklace. Initially, the paper defines the optimal production plan considering the available resources and market prices for finished products. The presence of three variables, linearity of the target function and the system of constraints determined the use of simplex method of linear programming. The introduced variables showed the residuals of raw materials after the production of the optimal amount of jewelry. Using the mathematical apparatus on the example of calculating the optimal quantity of production of several types of products made from the same type of raw materials, the deficit raw materials were determined, requiring increased purchases for further optimization of production. The obtained values did not correspond to the reality of the production sphere, therefore they were brought to integer values. Further analysis showed that the sale of one range of products at the existing price does not meet the efficiency criterion, therefore, this price was proposed to increase, which in turn contributed to the optimization of inventories and increased profitability of the entire production. A separate scenario was calculated, according to which it would be necessary to reduce the stock of raw materials of a certain type, which would maximize the total income of production.

Keywords: economics; mathematics; linear programming; simplex method; optimal

production; minimum inventory; maximum revenue; product price

Введение

Деятельность любых хозяйствующих субъектов -- это всегда вопрос выбора пути оптимального использования имеющихся ресурсов для максимизации их отдачи. Повышение доходов характерно для предприятий, а удовлетворение потребностей для домохозяйств. Экономическая система, как любая социально-экономическая система, имеет вход и выход. На входе поступают необходимые ресурсы, которые перерабатываются, и на выходе получается конечная продукция, работы или услуги. Экономическая теория: учебник / Под общ. ред. акад. В.И. Видяпина, А.И. Добрынина, Г.П. Журавлевой, Л.С. Тарасевича. -- М.: ИНФРА-М, 2003. -- 714 с. Устойчивость экономических систем в первую очередь определяется бесперебойностью их работы, а также достаточными для воспроизводства полученными результатами. Бесперебойность работы системы достигается за счёт формирования запасов необходимых ресурсов, а достаточные для воспроизводства результаты обуславливаются уровнем окупаемости затрат на эти ресурсы [1].

Решение задачи выбора и оптимизации, является одними из основных в экономике. Классическими экономическими вопросами являются «Что производить?» и «Для кого производить?». Важным является распределение ресурсов, т. е. куда их направить, чтобы получить максимальную отдачу. Традиционное калькулирование при наличии большого числа потребляемых ресурсов и вариаций их использования, сложно и требует значительных затрат труда и времени, в тоже время риск ошибки достаточно высок. Математические методы лишены данных недостатков, но требуют специализированных знаний. Современная экономика опирается на математические методы, как точные и универсальные, что позволяет вести хозяйственную деятельность и управлять экономикой страны на максимально эффективном уровне [2].

Математические модели позволяют находить оптимальные решения при планировании производства, однако кроме знания способов перехода к математическим моделям и алгоритмов решения полученных математических задач, необходимо владеть навыками исследовательской работы, уметь, изменяя данные, отследить возникающие тенденции к росту доходов при дальнейшей реализации товаров, рассмотреть возможность уменьшения остатков сырья [3]. Умение подстраиваться под изменяющиеся условия и правильно устанавливать цены на товары -- одна из главных целей управления хозяйствующими субъектами, а задачами управления будет отыскание оптимального алгоритма действий для достижения наибольшей эффективности производственного процесса, получения максимальной доходности и окупаемости затрат [4].

Таким образом, рассмотренная актуальность исследования определила его цель, которая заключается в оценке возможности использования экономико-математических методов при выборе цены товаров и определении оптимальных запасов сырья для их производства и определении последовательности планирования хозяйственных процессов.

Материал и методы

Материалы исследования сформированы на основе работ отечественных и зарубежных учёных, опубликованных в ведущих рецензируемых изданиях из перечня ВАК и изданий, включаемых в международные базы данных, учебно-методических работ, а также данных, представленных в сети Интернет.

Теоретическая и методическая основа исследования сформирована на основе теоретических положений, методических подходов, концепциях отечественных и зарубежных учёных-экономистов в области применения инструментов экономико-математического моделирования для решения задач оптимизации производственных процессов, формирования запасов и обеспечения роста доходов и необходимой для расширенного воспроизводства нормы прибыли.

Основными методами исследования стали экономико-математический, экономикостатистический, абстрактно-логический и метод системного анализа. Оптимизация производства изделий из бисера проводилась с использованием симплексного метода линейного программирования. Гераськин, М.И. Линейное программирование: учебное пособие / М.И. Гераськин, Л.С. Клентак. -- Самара: Изд- во СГАУ, 2014. -- 104 с.

3 Ярмарка мастеров. Ожерелье с сердечками. Режим доступа URL: https://www.livemaster.by/item/44666580-raboty- dlya-detej-ozherele-s-serdechkami (дата обращения: 05.07.2023).

⁴Gagaru.club. Браслет из бисера с сердечками. Режим доступа URL: https://gagaru.club/34055-braslet-iz-bisera- chernyj.html (дата обращения: 05.07.2023).

⁵ Анастасия Глухова. Кольцо-сердце из бисера. Режим доступа URL:

https://www.youtube.com/watch?v=vrzpzSp0pGQ (дата обращения: 05.07.2023). Наглядная интерпретация исходных и полученных в ходе работы данных была произведена в табличной форме.

Результаты и обсуждение

Определение цены каждого изделия и количества сырья для его изготовления при производстве нескольких видов товаров из однотипного сырья должны обосновываться не только экономическими соображениями, но и сопровождаться точным математическим расчётом [5].

С помощью математического аппарата на примере вычисления оптимального количества выпускаемой продукции нескольких видов, выполненных из однотипного сырья, выясним [6]:

• какое сырьё окажется дефицитным и какое его количество необходимо докупить;

• как правильно устанавливать цены на производимые товары всех заявленных видов;

• как правильно рассчитать количество сырья для оптимального производства товаров, если необходимо полностью использовать определённое сырьё.

Определим реальные данные для производства и продажи изделий из бисера: кольца, браслета и ожерелья. По запросу в сети Интернет можно найти фотографии таких изделий, по которым можно ориентировочно определить виды сырья и его количество. За отправную точку можно взять изделия, изображённые на рисунке 1.

Рисунок 1. Изделия из бисера: кольцо3, браслет\ ожерелье5

Исследование стоимости подобных изделий из бисера позволило определить примерную цену каждого из указанных товаров: кольцо можно приобрести за 220-280 руб., браслет -- за 400-550 руб., а ожерелье -- за 850-990 руб.

Планируя производство, следует выбирать товары, которые должны быть разнообразными, но выполненными по возможности из одинакового сырья, поэтому немного изменим изделия. Пусть все украшения будут выполнены только из белого и красного бисера. Высокая стоимость ожерелья, изображённого на рисунке 1, обусловлена наличием жемчужин, соединяющих «сердца», также видим, что жемчужины имеют большие размеры, чем бисер для кольца или браслета, поэтому вместо 10 жемчужин между «сердцами» будем использовать по 20 штук бисера белого цвета. При этом стоимость ожерелья должна уменьшиться и составить 750-850 руб. Исходные данные по количеству сырья для изготовления украшений и минимально возможные цены их продажи представлены в таблице 1.

Задавая разные количества запасов сырья и цены на товары, можно определить изменения в оптимальном количестве товаров и дохода от их реализации [7].

Имеются следующие запасы сырья: по одной 50 гр. упаковке бисера красного и белого цветов соответственно (в одной 50 гр. упаковке чешского бисера № 10/0 содержится 4 550 шт.), 10 м лески, 7 упаковок с крепёжными кольцами (по 2 шт. в одной упаковке) и 4 упаковки с застёжками (по 5 шт. в одной упаковке). Определим оптимальное количество колец, браслетов и ожерелий для получения максимальной доходности.

Таблица 1

Исходные данные модели (начальное условие)

Составлено авторами

Если предположить, что х1, %2 и х3 (шт.) -- объёмы продаж колец, браслетов и ожерелий соответственно, то математическая модель задачи примет вид:

Пятое условие системы ограничений можно убрать, поскольку его решения автоматически являются также решениями, полученными из четвёртого неравенства системы [8].

Наличие трёх переменных, линейности целевой функции и системы ограничений определяет дальнейший путь решения -- использование симплексного метода линейного программирования.

Систему ограничений следует привести к каноническому виду, для этого в левые части каждого неравенства следует добавить по одной неотрицательной дополнительной переменной со знаком плюс, получив при этом систему

Введённые переменные показывают остатки сырья после изготовления оптимального количества украшений: х4 и х5 -- остатки красного и белого бисера соответственно, Хб -- остатки лески, Х7 -- количество оставшихся крепёжных колец. После нахождения оптимума симплексным методом (табл. 2) можно определить, какое сырьё является дефицитным и требует новой закупки.

Таблица 2

Решение исходной задачи симплексным методом

Составлено авторами

Математический аппарат вычисляет оптимальные значения, однако экономически они могут быть невыполнимы.

Для нахождения целочисленного оптимума нужно определить, сколько сырья остаётся после изготовления 1 кольца и 6 ожерелий и посмотреть, можно ли из этого сырья изготовить ещё какие-либо украшения, или оптимальное решение и будет составлять 1 кольцо и 6 ожерелий.

Получены следующие остатки сырья:

4 550 -- (1 * 12 + 6 * 742) = 86 шт. бисера красного цвета;

4 550 -- (1 * 93 + 6 * 140) = 3 617 шт. бисера белого цвета;

10 -- (1 * 0,6 + 6 * 1,5) = 0,4 м лески;

14 -- (1 * 0 + 6 * 1) = 8 шт. крепёжных колец;

20 -- (1 * 0 + 6 * 1) = 14 шт. застёжек.

Дефицитным ресурсом стало количество лески, которое не позволяет изготовить больше ни одного изделия, поэтому при начальных запасах задача имеет целочисленный оптимум Xj = 1, Х2 = 0, х3 = 6, при этом целевая функция достигнет 4 720 руб. Учитывая дефицитность лески, увеличим её запасы до m м (получим возможность рассчитать нужное число позже), тогда можно увидеть, что останется не так много другого ресурса -- бисера красного цвета, из 86 шт. которого можно изготовить дополнительно 7 колец. Целевая функция при продаже 8 колец и 6 ожерелий станет равной 6 260 руб., а остатки сырья составят:

4 550 -- (8 * 12 + 6 * 742) = 2 шт. бисера красного цвета;

4 550 -- (8 * 93 + 6 * 140) = 2 966 шт. бисера белого цвета;

т -- (8 * 0,6 + 6 * 1,5) = т -- 13,8 м лески;

14 -- (8 ¦ 0 + 6 ¦ 1) = 8 шт. крепёжных колец;

20 -- (8 * 0 + 6 ¦ 1) = 14 шт. застёжек.

Основными экономическими задачами являются максимизация доходности и минимизация остатков сырья [9]. В нашем случае остаётся достаточно много бисера белого цвета. Рациональным решением должна стать закупка ещё лески (увеличим её количество до 20 м) и упаковки красного бисера. Расчёт оптимального решения задачи симплексным методом при изменённом условии приведён в таблице 3.

Таблица 3

Решение задачи симплексным методом при увеличении запаса лески и красного бисера

Составлено авторами

Анализ полученных в оптимальной симплексной таблице данных показал, что ближайшее к оптимальному целочисленное решение составляет 2 кольца и 12 ожерелий, при этом в остатке будут:

9 100 -- (2 * 12 + 12 * 742) = 172 шт. бисера красного цвета;

4 550 -- (2 * 93 + 12 * 140) = 2 684 шт. бисера белого цвета;

20 -- (2 * 0,6 + 12 * 1,5) = 0,8 м лески;

14 -- (2 ¦ 0 + 12 ¦ 1) = 2 шт. крепёжных колец;

20 -- (2 * 0 + 12 ¦ 1) = 8 шт. застёжек.

Как видим, из остатков можно ещё изготовить одно кольцо, поэтому итоговое целочисленное решение составляет 3 кольца и 12 ожерелий из бисера, при этом стоимость этих изделий при продаже будет равна 9 660 руб.

Из оптимальной симплексной таблицы видно, что вновь ожерелье является приоритетным товаром для производства, а браслет изготавливать для продажи не выгодно. Это происходит вследствие того, что стоимость в 400 руб. для браслета не удовлетворяет интересам производителя, поэтому возьмём цену равную 550 руб. (высшую цену, определённую в начале) и посмотрим, появятся ли в новом оптимальном решении браслеты. Решение задачи нахождения оптимума представлено в таблице 4.

Таким образом, поиск оптимума в задаче привёл к следующим итогам:

1. Из одной упаковки бисера белого цвета, одной упаковки бисера красного цвета, 10 м лески, 7 упаковок с крепёжными кольцами и 4 упаковок с застёжками можно изготовить 8 колец и 6 ожерелий для получения максимального дохода. Продавая их по 220 и 750 руб. соответственно, можно получить доход, равный 6 260 руб.

2. Анализ результатов симплексного анализа показал, что леска и красный бисер являются дефицитными ресурсами, докупив которые (10 м лески и одну упаковку красного бисера), можно изготовить 3 кольца и 12 ожерелий, что увеличит доход до 9 660 руб.

3. Проведённые расчёты показали, что браслеты по цене в 400 руб. изготавливать не выгодно, поэтому, подняв цену до 550 руб. при прочих равных ценах и запасах сырья выявлено, что изготовление 2 колец, 2 браслетов и 11 ожерелий приведёт к получению дохода в 9 790 руб.

4. Рассчитано оптимальное количество изделий на продажу и количество сырья для их изготовления при условии максимального использования ресурса «белый бисер». Изготовление 7 колец, 7 браслетов и 22 ожерелий приведёт к увеличению дохода до 24 090 руб., при этом потребуется 4 упаковки красного бисера, одна упаковка белого бисера, 50 м лески и по 30 шт. крепёжных колец и застёжек.

Заключение

Решая экономические задачи, необходимо пользоваться математическим аппаратом, однако специалисту в области экономики требуется не только знать возможности математики и работать по выверенному алгоритму, но и уметь анализировать влияние изменений одного или нескольких факторов на итоговый результат. В данном исследовании на основании данных, полученных в результате поиска оптимума симплексным методом линейного программирования, показаны возможные направления для изменения количества исходных ресурсов и стоимости продукции, приведено подробное математическое обоснование сделанных изменений, рассчитан возможный доход, который можно получить, и показан его рост в результате правильного планирования производства. Использование математических методов позволит добиться высоких результатов в решении экономических задач производства продукции. Математическая подготовка позволяет не только выполнять действия по определённому алгоритму, но и изменяя условия, анализировать полученные результаты.

Теоретической и практической значимостью полученных результатов исследования является алгоритм применения математических методов в решении производственных задач. Показанная в работе последовательность предполагает ряд действий. Первоначально определяется оптимальный объём производства из имеющихся минимальных запасов сырья. На основе проведённых расчётов определяется ограничивающий ресурс, именно тот, который не даёт возможности дальше использовать оставшиеся ресурсы. Следующим этапом корректируются производственные запасы и подбираются такие пропорции, которые позволяют максимизировать объём производства и минимизировать запасы. Параллельно вносятся изменения в ассортимент и ценовую политику, подбирается оптимальное сочетание ассортимента и цены реализации на каждую позицию. На примере производства изделий из бисера было показано, что простая оптимизация запасов ресурсов не является главной целью управления производством, с целью максимизации доходов необходима совместная корректировка размера имеющихся ресурсов, ассортимента, цены реализации и объёмов производства. В таком случае, даже если некоторые элементы запасов не будут минимальными, а некоторые придётся приобретать в большем объёме, доходность всего производства может быть выше, чем при простой минимизации запасов. В результате чего процесс планирования производства происходит не от минимальных запасов, а от конечной цели всей деятельности -- максимизации доходов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Богомолова, А.В. К вопросу об управляемости социально-экономических систем, функционирующих в режимах с обострением / А.В. Богомолова. -- DOI 10.34670/AR.2021.80.47.031 // Экономика: вчера, сегодня, завтра. -- 2021. -- Т. 11, № 10-1. -- С. 270-278. -- URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=48010103 (дата обращения: 10.07.2023).

2. Козлитина, О.М. Целесообразность формирования оптимальных объемов производственных запасов / О.М. Козлитина. -- DOI 10.18411/trnio-04-2022-118 // Тенденции развития науки и образования. -- 2022. -- № 84-3. -- С. 91-94. -- URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=48562449 (дата обращения: 13.07.2023).

3. Сбродова, О.Д. Применение метода линейного программирования в оптимизации производства хлебобулочных изделий / О .Д. Сбродова // Human Progress. -- 2018. -- Т. 4, № 3. -- С. 3. -- URL: http s://el ibrary. ru/item.asp?id=35326046 (дата обращения: 05.07.2023).

4. Бредихина, О.А. Использование математических способов и методов при решении задач в области экономики / О.А. Бредихина, С.В. Фильчакова, А.А. Головин // Вестник евразийской науки. -- 2019. -- Т. 11, № 5. -- С. 45. -- URL: https://esj.today/PDF/56ECVN519.pdf (дата обращения: 17.07.2023).

5. Куляшова, Н.М. Применение математической теории в экономической практике / Н.М. Куляшова, И.А. Карпюк. -- DOI: 10.15507/VMU.024.201403.185 // Вестник Мордовского университета. -- 2014. -- № 4. -- С. 185-191. -- URL:

https://elibrary.ru/item.asp?id=22751893 (дата обращения: 19.07.2023).

6. Баркалая, О.Г. Об исследовании конкуренции в задачах оптимального распределения ресурсов / О.Г. Баркалая. -- DOI 10.35854/1998-1627-2022-4-359¬368 // Экономика и управление. -- 2022. -- Т. 28, № 4. -- С. 359-368. -- URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=48359529 (дата обращения: 06.07.2023).

7. Белоусова, Е.П. Оптимальное управление дискретным распределением запасов /

Е.П. Белоусова. -- DOI 10.22394/1997-4469-2022-58-3-147-153 // Регион:

системы, экономика, управление. -- 2022. -- № 3(58). -- С. 147-153. -- URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=49592816 (дата обращения: 07.07.2023).

8. Чекменев, В.А. Определение оптимальных объемов ресурсов производства с ограничением в виде производственной функции / В.А. Чекменев, В.В. Медведева // В мире научных открытий. -- 2010. -- № 4-11(10). -- С. 37-39. -- URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=15508039 (дата обращения: 10.07.2023).

9. Бредихина, О.А. Экономико-математические методы и инструменты в решении задачи оптимизации / О.А. Бредихина, А.А. Головин, А.О. Спицына. -- DOI 10.17513/fr.43086 // Фундаментальные исследования. -- 2021. -- № 9. -- С. 5-11. -- URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=46640859 (дата обращения: 07.07.2023).

10. Sager, S. Optimization as an analysis tool for human complex problem solving. Siam journal on optimization / S. Sager, C.M. Barth, H. Diedam, M. Engelhart, J. Funke. -- DOI 10.1137/11082018X // Siam journal on optimization. -- 2011. -- № 21(3), -- С. 936-959. -- URL: https://www.researchgate.net/publication/220133082 Optimization as an Analysis Tool for Human Complex Problem Solving (дата обращения: 05.07.2023).

Размещено на Allbest.ru