Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

УО «БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра математических методов в экономике

Курсовая работа

по дисциплине: "Эконометрика"

на тему: "Построение модели спроса и предложения на основе системы одновременных уравнений"

В.А. Тереня

Минск 2021

Реферат

Курсовая работа: 25 с., 2 табл., 24 источника

Модель спроса и предложения, система одновременных уравнений, идентифицируемость, структурная форма, приведенная форма

Объект исследования - системы одновременных эконометрических уравнений.

Предмет курсового проекта - «Модель спроса и предложения на основе системы одновременных уравнений»

Цель работы: углубление и расширение теоретических знаний, практических умений по теме «Модель спроса и предложения на основе системы одновременных уравнений» и исследование численных методов решения систем эконометрических уравнений.

Методы исследования: математические, аналитические, классификации и описания.

Исследования и разработки: проанализированы теоретические основы систем одновременных уравнений, а также исследованы численные методы решения систем эконометрических уравнений. Построена модель спроса и предложения с помощью двухшагового метода наименьших квадратов.

Область возможного практического применения: данная модель может быть использована для расчёта значений спроса и предложения по регионам и отраслям и для исследований пространственной экономики в целом. Изложенные основные выводы могут быть полезны органам управления государства для оценки текущих изменений спроса и предложения с целью разработки стратегии социально-экономического развития.

Автор работы подтверждает, что приведенный в ней расчетно-аналитический материал правильно и объективно отражает состояние исследуемого процесса, а все заимствованные теоретические, методологические и методические положения сопровождаются ссылками на литературные источники.

Содержание

эконометрический уравнение двухшаговый

• Введение
• 1. Основные понятия эконометрики
• 1.1 Особенности эконометрического метода
• 1.2 Понятие эконометрических уравнений
• 1.3 Проблема идентификации
• 1.4 Структурная и приведенная формы модели
• 1.4 Применение систем эконометрических уравнений
• 2. Методы оценивания параметров системы одновременных уравнений
• 2.1 Применение двухшагового метода наименьших квадратов для построения модели спроса и предложения
• Заключение
• Список использованных источников

Введение

В области естественных наук важной задачей является исследование взаимосвязи различных величин, то есть поиск ответа на вопрос: как влияет изменение одной величины (или, в общем случае, нескольких) на значение, принимаемые другой. Подбор удачного вида функциональной зависимости - искусство, а определение наилучших (в требуемом смысле) параметров формулы делается стандартными методами

Объектом статистического изучения в социальных науках являются сложные системы. Измерение тесноты связей между переменными, построение изолированных уравнений регрессии недостаточны для описания таких систем и объяснения механизма их функционирования. При использовании отдельных уравнений регрессии, например, для экономических расчетов в большинстве случаев предполагается, что аргументы (факторы) можно изменять независимо друг от друга. Однако это предположение является очень грубым: практически изменение одной переменной, как правило, не может происходить при абсолютной неизменности других. Её изменение повлечет за собой изменения во всей системе взаимосвязанных признаков.

Следовательно, отдельно взятое уравнение множественной регрессии не может характеризовать истинные влияния отдельных признаков на вариацию результирующей переменной. При моделировании часто приходится вводить не одно, а несколько связанных между собой уравнений, т. е. описывать модель системой уравнений. Наличие связи между переменными и, определяемой вторым уравнением, требует корректировки метода наименьших квадратов для оценивания параметров модели и оценивание систем уравнений требует введения новых понятий и разработки новых методов. Именно поэтому в экономических, биометрических социологических исследованиях важное место заняла проблема описания структуры связей между переменными системой так называемых одновременных уравнений или структурных уравнений.

Эконометрические методы применяются для построения крупных эконометрических систем моделей, описывающих экономику той или иной страны и включающих в качестве составных элементов производственную функцию, инвестиционную функцию, а также уравнения, характеризующие движение занятости, доходов, цен и процентных ставок и другие блоки.

В последние десятилетия методы эконометрики сыграли решающую роль в освоении и развитии автоматизации экономических расчетов разного уровня и назначения.

Определенный вклад в развитие системы эконометрических уравнений внесли советские экономисты, в их числе Е.Е. Слуцкий (1880-1948), Л.В. Канторович (1912-86) - лауреат Нобелевской премии по экономике 1975, и др., несмотря на ее замалчивание и трактовку как буржуазной, антимарксистской лженауки. Большая роль в ее реабилитации принадлежала академику B.C. Немчинову (1894-1964): написанная им статья «Эконометрия» (вышла в 1965) открыла для отечеств, экономистов возможности этого направления научной деятельности.

Основными целями данной работы являются: углубление и расширение теоретических знаний, практических умений по теме «Построение модели спроса и предложения на основе системы одновременных уравнений» и исследование численных методов решения систем эконометрических уравнений.

Главная задача состоит в том, чтобы изучить и проанализировать теоретические основы модели спроса и предложения на основе системы одновременных уравнений и впоследствии исследовать его практическое применение, которое будет рассмотрено в последней главе работы.



1. Основные понятия эконометрики

1.1 Особенности эконометрического метода

Эконометрическая модель -- основное понятие эконометрии, экономико-математическая модель, параметры которой оцениваются с помощью методов математической статистики. Она выступает в качестве средства анализа и прогнозирования конкретных экономических процессов как на макро-, так и на микроэкономическом уровне на основе реальной статистической информации.

Наиболее распространены эконометрические модели, представляющие собой системы регрессионных уравнений, в которых отражается зависимость эндогенных величин (искомых) от внешних воздействий (текущих экзогенных величин) в условиях, описываемых параметрами модели, а также лаговыми переменными. Кроме регрессионных (как линейных, так и нелинейных) уравнений, применяются и другие математико-статистические модели.

Эконометрическая модель может быть представлена в двух формах: структурной и приведенной. В наиболее общем виде любую эконометрическую модель, построенную в виде системы линейных уравнений.

Эконометрический метод включает решение следующих проблем:

1. качественный анализ связей экономических переменных - выделение зависимых и независимых переменных;

2. подбор данных;

3. оценка параметров модели;

4. проверка ряда гипотез о свойствах распределения вероятностей для случайной компоненты (гипотезы о средней, дисперсии и ковариации);

5. анализ мультиколлинеарности объясняющих переменных, оценка ее статистической значимости, выявление переменных, ответственных за мультиколлинеарность;

6. введение фиктивных переменных;

7. выявление автокорреляции, лагов;

8. выявление тренда, циклической и случайной компонент;

9. проверка остатков на гетероскедастичность;

10. анализ структуры связей и построение системы одновременных уравнений;

11. проверка условия идентификации;

12. оценивание параметров системы одновременных уравнений (двухшаговый и трехшаговый метод наименьших квадратов, метод максимального правдоподобия);

13. моделирование на основе системы временных рядов: проблемы стационарности и коинтеграции;

14. построение рекурсивных моделей, ARIMA- и VAR- моделей;

15. проблемы идентификации и оценивания параметров.

Эконометрическая модель, как правило, основана на теоретическом предположении о круге взаимосвязанных переменных и характере связи между ними. При всем стремлении к «наилучшему» описанию связей приоритет отдается качественному анализу.

Поэтому в качестве этапов эконометрического исследования можно указать:

1. постановку проблемы;

2. получение данных, анализ их качества;

3. спецификацию модели;

4. оценку параметров;

5. интерпретацию результатов.

Этот список менее подробен, чем предыдущий, и включает те стадии, которые проходит любое исследование, независимо от того, на использование каких данных оно ориентировано: пространственных или временных.

1.2 Понятие эконометрических уравнений

Например, если изучается модель спроса как соотношение цен и количества потребляемых товаров, то одновременно для прогнозирования спроса необходима модель предложения товаров, в которой рассматривается также взаимосвязь между количеством и ценой предлагаемых благ. Это позволяет достичь равновесия между спросом и предложением.

В еще большей степени возрастает потребность в использовании системы взаимосвязанных уравнений, если мы переходим от исследований на микроуровне к макроэкономическим расчетам. Модель национальной экономики включает в себя следующую систему уравнений: функции потребления, инвестиций заработной платы, тождество доходов и т.д. Это связано с тем, что макроэкономические показатели, являясь обобщающими показателями состояния экономики, чаще всего взаимозависимы.

Так, расходы на конечное потребление в экономике зависят от валового национального дохода. Вместе с тем величина валового национального дохода рассматривается как функция инвестиций.

Система уравнений в эконометрических исследованиях может быть построена по-разному.

Возможна система независимых уравнений, когда каждая зависимая переменная y рассматривается как функция одного и того же набора факторов x:

(1.1)



Набор факторов x в каждом уравнении может варьировать. Например, модель вида:

(1.2)

также является системой независимых уравнений с тем лишь отличием, что набор факторов в ней видоизменяется в уравнениях, входящих в систему. Отсутствие того или иного фактора в уравнении системы может быть следствием как экономической нецелесообразности его включения в модель, так и несущественности его воздействия на результативный признак (незначимо значение t-критерия или F - критерия для данного фактора).

Каждое уравнение системы независимых уравнений может рассматриваться самостоятельно. Для нахождения его параметров используется метод наименьших квадратов. По существу, каждое уравнение этой системы является уравнением регрессии. Поскольку никогда нет уверенности, что факторы полностью объясняют зависимые переменные, в уравнениях присутствует свободный член . Так как фактические значения зависимой переменной отличаются от теоретических на величину случайной ошибки, в каждом уравнении присутствует величина случайной ошибки.

В итоге система независимых уравнений при трех зависимых переменных и четырех факторах имеет вид:

(1.3)

Однако если зависимая переменная у одного уравнения выступает в виде фактора х в другом уравнении, то исследователь может строить модель в виде системы рекурсивных уравнений:

(1.4)

В данной системе зависимая переменная у включает в каждое последующее уравнение в качестве факторов все зависимые переменные предшествующих уравнений наряду с набором собственно факторов х. Примером такой системы может служить модель производительности труда и фондоотдачи вида

(1.5)

где - производительность труда;

- фондоотдача;

- фондовооружонность труда;

- энерговооружонность труда;

- квалификация рабочих.

Как и в предыдущей системе, каждое уравнение может рассматриваться самостоятельно, и его параметры определяются методом наименьших квадратов.

Наибольшее распространение в эконометрических исследованиях получила система взаимозависимых уравнений. В ней одни и те же зависимые переменные в одних уравнениях входят в левую часть, а в других уравнениях - в правую часть системы:

(1.6)



Система взаимозависимых уравнений получила название система совместных, одновременных уравнений. Тем самым подчеркивается, что в системе одни и те же переменные у одновременно рассматриваются как зависимые в одних уравнениях и как независимые в других. В эконометрике эта система уравнений называется также структурной формой модели. В отличие от предыдущих систем каждое уравнение системы одновременных уравнений не может рассматриваться самостоятельно, и для нахождения его параметров традиционный МНК неприменим. С этой целью используются специальные приемы оценивания.

Примером системы одновременных уравнений может служить модель динамики цены и заработной платы вида

(1.7)

где - темп изменения месячной заработной платы; - темп изменения цен; - процент безработных; - темп изменения постоянного капитала; - темп изменения цен на импорт сырья.

В рассмотренных классах систем эконометрических уравнений структура матрицы коэффициентов при зависимых переменных различна.

Представим систему эконометрических уравнений в матричном виде:

BY + ГX = E, (1.8)

где В - матрица коэффициентов при зависимых переменных;

Y - вектор зависимых переменных;

Г - матрица параметров при объясняющих переменных;

Х - вектор объясняющих переменных;

Е - вектор ошибок.

Если матрица В диагональная, то рассматриваемая модель является системой независимых уравнений. Так, при трех зависимых и трех объясняющих переменных модель имеет вид:

(1.9)

Если матрица В треугольная (или может быть приведена к такому виду), то модель представляет собой систему рекурсивных уравнений. Так, если модель имеет вид:

(1.10)

Т.е. зависимая переменная первого уравнения участвует как объясняющая переменная во втором уравнении системы, а зависимая переменная второго уравнения рассматривается как объясняющая переменная в третьем уравнении.

Если матрица В не является ни диагональной, ни треугольной, то модель представляет собой систему одновременных уравнений.

1.3 Проблема идентификации

При переходе от приведенной формы модели к структурной исследователь сталкивается с проблемой идентификации. Идентификация -- это единственность соответствия между приведенной и структурной формами модели. [4, c. 255].

С позиции идентифицируемости структурные модели можно подразделить на три вида: а) идентифицируемые, б) неидентифицируемые, в) сверхидентифицируемые.

Модель идентифицируема, если все ее структурные коэффициенты определяются однозначно, единственным образом по коэффициентам приведенной формы модели, т. е. если число параметров структурной модели равно числу параметров приведенной формы модели. В этом случае структурные коэффициенты модели оцениваются через параметры приведенной формы модели.

Модель неидентифицируема, если число приведенных коэффициентов меньше числа структурных коэффициентов, и в результате структурные коэффициенты не могут быть оценены через коэффициенты приведенной формы модели.

Модель сверхидентифицируема, если число приведенных коэффициентов больше числа структурных. В этом случае на основе коэффициентов приведенной формы можно получить два или более значений одного структурного коэффициента. В этой модели число структурных коэффициентов меньше числа коэффициентов приведенной формы. [4, c. 257].

Структурная модель всегда представляет собой систему совместных уравнений, каждое из которых необходимо проверять на идентификацию. Модель считается идентифицируемой, если каждое уравнение системы идентифицируемо. Если хотя бы одно из уравнений системы неидентифицируемо, то и вся модель считается неидентифицируемой. Сверхидентифицируемая модель содержит хотя бы одно сверхидентифицируемое уравнение. [4, c. 258].

Необходимое условие идентификации - выполнение счетного правила:

D + 1 = H - уравнение идентифицируемо;

D + 1 < H - уравнение неидентифицируемо;

D + 1 > H - уравнение сверхидентифицируемо,

где H - число эндогенных (зависимых) переменных в уравнении,

D - число предопределенных (независимых) переменных, отсутствующих в уравнении, но присутствующих в системе.

Достаточное условие идентификации - определитель матрицы, составленной из коэффициентов при переменных, отсутствующих в исследуемом уравнении, не равен нулю, и ранг этой матрицы не менее числа эндогенных переменных системы без единицы.

Для решения идентифицируемого уравнения применяется косвенный метод наименьших квадратов, для решения сверхидентифицированных - двухшаговый МНК. [5, c. 107].

Для оценки параметров структурной модели система должна быть идентифицируема или сверхидентифицируема. [4, c. 260].

1.4 Структурная и приведенная формы модели

Структурная форма модели позволяет увидеть влияние изменений любой экзогенной переменной на значения эндогенной переменной. Целесообразно в качестве экзогенных выбирать такие переменные, которые обладают свойством управления. Меняя из и управляя ими, можно получать целевые значения эндогенных переменных.

Структурная форма модели (1.7) в правой части содержит при эндогенных переменных коэффициенты и при экзогенных - коэффициенты (), которые называются структурными коэффициентами модели. Если в уравнениях модели переменные выражены в отклонениях от среднего уровня, то есть под х подразумевается , а под у соответственно , то в этих уравнениях отсутствует свободный член, то есть , , … Использование МНК для оценивания структурных коэффициентов модели даёт, как правило, смещенные и несостоятельные оценки в силу отмеченного свойства коррелированности случайных остатков с переменными. Поэтому обычно для определения структурных коэффициентов модели структурная форма модели преобразуется в приведенную форму модели.

Приведенная форма модели представляет собой систему, выражающую зависимость эндогенных переменных от экзогенных,

		(1.11)

где - коэффициенты приведенной формы (приведенные коэффициенты) модели; - случайные остатки для приведенной формы.

По своему виду приведенная форма модели имеет вид системы независимых уравнений. Её параметры оцениваются традиционным МНК, можно оценить , а затем - значения эндогенных переменных через экзогенные.

Коэффициенты приведенной формы модели представляют собой, как правило, нелинейные функции коэффициентов структурной модели, выразив коэффициенты приведенной формы модели через коэффициенты структурной модели.

Для структурной модели вида

(1.12)

приведенная форма модели имеет вид

(1.13)

Из первого уравнения (1.12) можно выразить следующим образом (ради упрощения опускаем случайные остатки):

(1.14)

Подставляя во второе уравнение (1.12), имеем

(1.15)

откуда

(1.16)

Поступая аналогично со вторым уравнением системы (1.12), получим

(1.17)

то есть система (1.12) принимает вид

(1.18)

Таким образом, коэффициенты приведенной формы модели будут выражаться через коэффициенты структурной формы следующим образом:

(1.19)

Следует заметить, что приведенная форма модели хотя и позволяет получить значения эндогенной переменной через значения экзогенных переменных, но уступает структурной форме модели, так как, с одной стороны, в ней отсутствуют оценки взаимосвязи между эндогенными переменными, а с другой - экономический смысл коэффициентов трудно поддаётся интерпретации.

1.4 Применение систем эконометрических уравнений

Применение систем эконометрических уравнений представляет собой непростую задачу. Проблемы здесь происходят из-за ошибок спецификации. Основной областью применения эконометрических моделей является построение макроэкономических моделей экономики целой страны. Это, главным образом, мультипликаторные модели кейнсианского типа. Более совершенными по сравнению со статическими моделями являются динамические модели экономики, которые содержат в правой части лаговые переменные и учитывают тенденцию развития (фактор времени). Значительные трудности создает невыполнение условия независимости факторов, которое в корне нарушается в системах одновременных (взаимозависимых) уравнений.

Использование корреляционно-регрессионного анализа в контексте структурного моделирования -- это попытка подойти к выделению и измерению причинных связей переменных. Для этого следует сформулировать гипотезы о структуре влияний и корреляции. Такая система причинных гипотез и соответствующих взаимосвязей изображается графом, вершины которого -- это переменные (причины или следствия), а дуги -- причинные отношения. Верификация гипотез требует установления соответствия между графом и системой уравнений, описывающей этот граф.

Структурные модели эконометрики представляются системой линейных по отношению к наблюдаемым переменным уравнений. Если алгебраическая система соответствует графу без контуров (петель), то она является рекурсивной системой. Такая система позволяет рекуррентно определять значения входящих в нее переменных. В ней в уравнения для признака включаются все переменные, кроме тех, которые расположены выше него по графу. Соответственно формулировка гипотез в структуре рекуррентной модели довольно проста, при условии использования данных динамики. Рекурсивная система уравнений позволяет определить полные и частные коэффициенты влияния факторов. Коэффициенты полного влияния измеряют значение каждой переменной в структуре. Структурные модели позволяют оценить полное и непосредственное влияние переменных, прогнозировать поведение системы, рассчитывать значения эндогенных переменных.

Если нужно всего лишь уточнить характер связей переменных, то используют метод путевого анализа (путевых коэффициентов). В основе его лежит гипотеза об аддитивном характере (аддитивность и линейность) связей между переменными. К сожалению, применение путевого анализа в социально-экономических исследованиях затруднено тем, что не всегда линейная зависимость удовлетворительно выражает все разнообразие причинно-следственных связей в реальных системах. Значимость результатов анализа определяется правильностью построения максимально связного графа и, соответственно, изоморфной математической модели в виде системы уравнений. В то же время важным достоинством путевого анализа является возможность производить декомпозицию корреляций.

В данной главе мы рассмотрели сущность систем эконометрических уравнений, их применение. Таким образом, понятие одновременных эконометрических уравнений и методы их решения были впервые предложены норвежским экономистом Т. Хавельмо, лауреатом Нобелевской премии по экономике.

В зависимости от характера ограничений и статистической структуры переменных эконометрические модели классифицируются на линейные модели с одной, двумя и большим числом переменных.

Применение систем эконометрических уравнений представляет собой непростую задачу. Основной областью применения эконометрических моделей является построение макроэкономических моделей экономики целой страны. Это, главным образом, мультипликаторные модели кейнсианского типа.



2. Методы оценивания параметров системы одновременных уравнений

Структурные коэффициенты модели могут быть оценены разными способами в зависимости от вида системы одновременных уравнений и вида связей между её переменными. Наибольшее распространение в литературе получили следующие методы оценивания коэффициентов структурной модели:

• косвенный метод наименьших квадратов (КМНК);

• метод максимального правдоподобия с полной информацией;

• метод максимального правдоподобия при ограниченной информации;

• метод инструментальных переменных

• двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК);

• трёхшаговый метод наименьших квадратов (ТМНК). [3, c. 204].

Косвенный и двухшаговый МНК подробно описаны в литературе и рассматриваются как традиционные методы оценки коэффициентов структурной модели. [4, c. 264].

Косвенный МНК предназначен для оценивания структурных параметров отдельного уравнения системы и может дать результат только в применении к точно идентифицируемому уравнению. [6, c. 353].

Применение косвенного МНК включает в себя следующие этапы:

• преобразование структурной модели в приведенную форму модели;

• оценивание коэффициентов приведенной формы при помощи обычного МНК;

• трансформация коэффициентов в параметры структурной модели.

Если система сверхидентифицируема, то КМНК не используется, ибо он не дает однозначных оценок для параметров структурной модели. В этом случае могут применяться разные методы оценивания, среди которых двухшаговый метод наименьших квадратов.

Двухшаговый МНК является одним из наиболее «популярных» методов оценки параметров моделей структурной формы. Причем обычно он используется в случае изолированного рассмотрения каждой из моделей системы. [7, c. 330].

Основная идея ДМНК - на основе приведенной формы модели получить для сверхидентифицируемого уравнения теоретические значения эндогенных переменных, содержащихся в правой части уравнения. Далее, подставив их вместо фактических значений, можно применить обычный МНК к структурной форме сверхидентифицируемого уравнения. Метод получил название «двухшаговый МНК», ибо МНК используется дважды: на I шаге при определении приведенной формы модели и нахождении на ее основе оценок теоретических значений эндогенной переменной и на II шаге применительно к структурному сверхидентифицируемому уравнению при определении структурных коэффициентов по данным теоретических (расчетных) значений эндогенных переменных.

Если все уравнения системы сверхидентифицируемые, то для оценки структурных коэффициентов каждого уравнения используется ДМНК. Если в системе есть точно идентифицируемые уравнения, то структурные коэффициенты по ним находятся из системы приведенных уравнений.

Метод максимального правдоподобия с полной информацией рассматривается как наиболее общий метод оценивания, результаты которого при нормальном распределении признаков совпадают с МНК. Вместе с тем при большем числе уравнений системы этот метод приводит к достаточно сложным вычислительным процедурам, поэтому в качестве модификации используется метод максимального правдоподобия при ограниченной информации, разработанный в 1949 г. Т. Андерсоном и Н. Рубиным. [3, c.207].

В отличии от метода максимального правдоподобия в данном методе сняты ограничения на параметры, связанные с функционированием системы в целом. Это делает решение более простым, но трудоёмкость вычислений остаётся достаточно высокой. Несмотря на его значительную популярность, к середине 60-х гг. он был практически вытеснен ДМНК в связи с гораздо большей простотой последнего.

Дальнейшим развитием ДМНК является трёхшаговый МНК, предложенный в 1962г. А. Зельнером и Г. Тейлом. Этот метод оценивания пригоден для всех видов уравнений структурной модели, однако при некоторых ограничениях параметров более эффективным оказывается ДМНК.

Метод инструментальных переменных применяется для точно идентифицируемых систем одновременных уравнений. Предопределенные переменные структурных уравнений коррелируют со случайными остатками, поэтому классические МНК-оценки параметров не обладают нужными свойствами, например, не являются состоятельными. Для получения улучшенных оценок вводятся новые переменные. Для j-го структурного уравнения рассматриваются вектор наблюдений j-ой эндогенной переменной и вектор значений соответствующей компоненты случайных остатков. По причине нарушения некоррелированности регрессоров и случайных остатков в этом уравнении классическая МНК-оценка параметров является несостоятельной. Вектор инструментальных переменных представляет собой случайный вектор с невырожденной ковариационной матрицей, который не коррелирован с вектором случайных остатков и имеет невырожденную ковариационную матрицу с эндогенными и предопределенными переменными, входящими в j-е структурное уравнение. На основе такого вектора посредством метода инструментальных переменных строится состоятельная оценка вектора параметров j-ого структурного уравнения. Точность такой оценки тем выше, чем сильнее вектор инструментальных переменных коррелирует с эндогенными и предопределенными переменными, входящими в j-е структурное уравнение.

2.1 Применение двухшагового метода наименьших квадратов для построения модели спроса и предложения

Рассмотриv простейшую макроэкономическую кейнсианскую модель потребления вида:

(2.1)

где y - валовой национальный доход;

y_-1 - валовой национальный доход предшествующего года;

C - личное потребление;

D - конечный спрос (помимо личного потребления);

и - случайные составляющие;

- неучтенный доход;

- автономное потребление;

- склонность к потребления текущего и предшествующего периода.

Информация за девять лет о приростах всех показателей дана в таблице (2.1).

Таблица 2.1. Данные о личном потреблении и конечном спросе

Год	D			C
1	-6,8	46,7	3,1	7,4
2	22,4	3,2	22,8	30,4
3	-17,3	22,8	7,8	1,3
4	12,0	7,8	21,4	8,7
5	5,9	21,4	17,8	25,8
6	44,7	17,8	37,2	8,6
7	23,1	37,2	35,7	30,0
8	51,2	35,7	46,6	31,4
9	32,3	46,6	56,0	39,1
Сумма	167,5	239,1	248,4	182,7

Примечание - Собственная разработка

Для начала стоит трансформировать систему к приведенному виду. Затем последует проведение индентификации модели и расчёт параметров уравнений структурной модели.

Приведенная форма модели будет иметь вид:

(2.2)

где и - случайные ошибки приведенной формы модели.

Для каждого уравнения приведенной формы модели применим МНК и определим д-коэффициенты. Эти уравнения выступают в роли сглаживающих функций для экспериментальных данных. Для определения коэффициентов строится функционал вида

(2.3)

Необходимым условием минимума функции многих переменных является равенство нулю ее частных производных первого порядка по независимым переменным.

Для того чтобы найти набор коэффициентов , которые доставляют минимум функции S, определяемой формулой (2.3), используем необходимое условие экстремума функции нескольких переменных - равенство нулю частных производных. В результате получим нормальную систему для определения коэффициентов :



(2.4)

Для определения минимума данного функционала можно использовать только необходимое условие минимума, так как существует всего лишь одна точка, в которой все частные производные равны нулю. Также нетрудно проверить, что данный функционал удовлетворяет достаточному условию минимума.

Система (2.4) представляет собой систему линейных алгебраических уравнений порядка m+1 относительно неизвестных . Она называется системой нормальных уравнений. Решения доставляют минимум функционалу (2.3). [11, c. 75].

Для I уравнения приведенной формы система нормальных уравнений составит:

(2.5)

Применительно к рассматриваемому примеру, имеем:

(2.6)

Решив данную систему, получим следующее I уравнение приведенной формы модели:



(2.7)

Аналогично применяем МНК для второго уравнения приведенной формы модели. Система нормальных уравнений составит:

(2.8)

В соответствии с нашим примером имеем:

(2.9)

Откуда второе приведенное уравнение составит:

(2.7)

Таким образом, приведенная форма модели имеет вид:

(2.8)

В данной модели две эндогенные переменные (y и C) и две экзогенные переменные (D и ). Второе уравнение точно идентифицировано, так как содержит две эндогенные переменные и не содержит одну экзогенную переменную из системы. Иными словами, для второго уравнения имеем по счетному правилу идентификации равенство: 2 = 1 + 1.

Первое уравнение сверхидентифицировано. В этом уравнении содержится одна эндогенная переменная у. Переменная С в данном уравнении не рассматривается как эндогенная, так как она участвует в уравнении не самостоятельно, а вместе с переменной D. В данном уравнении отсутствует одна экзогенная переменная, имеющаяся в системе. По счетному правилу идентификации получаем: 1 + 1 = 2: D + 1> H. Это больше, чем число эндогенных переменных в данном уравнении, следовательно, система сверхидентифицирована.

Для определения параметров сверхидентифицированной модели используется ДМНК.

На основе системы приведенных уравнений по точно идентифицированному II уравнению определим теоретические значения эндогенной переменной С. В приведенное уравнение

(2.10)

подставим значения D и , имеющиеся в условии задачи. Получим:

(2.11)

По сверхидентифицированному уравнению структурной формы модели заменяем фактические значения С на теоретические и рассчитываем новую переменную в таблицу (2.2).

Таблица 2.2. Расчетные данные для второго шага ДМНК

Год	D		+D
1	-6,8	15,8	9,0
2	22,4	16,8	39,2
3	-17,3	7,4	-9,9
4	12,0	14,3	26,3
5	5,9	15,0	20,9
6	44,7	27,4	72,1
7	23,1	24,0	47,1
8	51,2	33,2	84,4
9	32,3	29,0	61,3
Сумма	167,5	183,9	350,4

Примечание - Собственная разработка

Далее к сверхидентифицированному уравнению применяется метод наименьших квадратов. Обозначим новую переменную через Z. Решаем уравнение

(2.12)

Система нормальных уравнений составит:

(2.13)

Итак, первое уравнение структурной модели будет таким:

(2.14)

Так как второе уравнение точно идентифицировано, то его коэффициенты определяются по приведенной форме. В связи с этим рассматриваемая система примет вид:

(2.14)



С помощью Двухшагового МНК была построена модель спроса и предложения, на основе наблюдений за промежуток в девять лет за такими показателями как:

y - валовой национальный доход;

y_-1 - валовой национальный доход предшествующего года;

C - личное потребление;

D - конечный спрос (помимо личного потребления);

и - случайные составляющие;

- неучтенный доход;

- автономное потребление;

- склонность к потребления текущего и предшествующего периода.

Так как было подтверждено, что система сверхидентифицируема, то КМНК не был использован, ибо он не дает однозначных оценок для параметров структурной модели. В этом случае могут применяться разные методы оценивания, но Двухшаговый МНК является одним из наиболее «популярных» методов оценки параметров моделей структурной формы. Причем обычно он используется в случае изолированного рассмотрения каждой из моделей системы.



Заключение

В результате проведенной работы были углублены знания в области эконометрики и численных методов, изучены модификации метода наименьших квадратов, в частности, косвенный, двухшаговый и трехшаговый методы наименьших квадратов. Подробно рассмотрен двухшаговый метод наименьших квадратов и приведен пример для этого метода.

Под системой эконометрических уравнений обычно понимается система одновременных, совместных уравнений. Ее применение имеет ряд сложностей, которые связаны с ошибками спецификации модели. В виду большого числа факторов, влияющих на экономические переменные, исследователь, как правило, не уверен в точности предполагаемой модели для описания экономических процессов.

В зависимости от характера ограничений и статистической структуры переменных эконометрические модели классифицируются на линейные модели с одной, двумя и большим числом переменных.

Применение систем эконометрических уравнений представляет собой непростую задачу. Основной областью применения эконометрических моделей является построение макроэкономических моделей экономики целой страны. Это, главным образом, мультипликаторные модели кейнсианского типа.

По типу построения системы эконометрических уравнений могут быть трех видов: системы независимых уравнений, системы рекурсивных уравнений и системы взаимозависимых уравнений. Последние наиболее часто встречаются на практике, и их решению была посвящена данная работа.

В ходе работы рассмотрены основные проблемы в решении систем эконометрических уравнений, такие как проблема идентификации и проблема перехода от структурной формы модели к приведенной форме. Установлено, что системы одновременных уравнений могут быть точно идентифицируемыми, для которых коэффициенты приведенной формы модели могут быть определены однозначно, сверхидентифицируемыми и неидентифицируемыми, коэффициенты структурной модели которых нельзя однозначно оценить.

Для оценки коэффициентов структурной модели точно идентифицируемой системы одновременных уравнений применяется косвенный метод наименьших квадратов, для сверхидентифицируемой - двухшаговый МНК, трехшаговый и другие.



Список использованных источников

1. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики: Учебник для вузов. - М.: ЮНИТИ, 1998. - 1022 с.

2. Доугерти К. Введение в эконометрику / Пер. с англ. - М.: Инфра М, 1997. - 402 с.

3. Комаров Д.М., Орлов А.И. Роль методологических исследований в разработке методоориентированных экспертных систем (на примере оптимизационных и статистических методов). - В сб.: Вопросы применения экспертных систем. - Минск: Центросистем, 1988. С.151-160.

4. Орлов А.И. О современных проблемах внедрения прикладной статистики и других статистических методов. //Заводская лаборатория. 1992. Т.58. №1. с.67-74.

5. Практикум по эконометрике: Учеб. пособие / И.И. Елисеева, С.В. Курышева, Н.М. Гордиенко и др. - М.: Финансы и статистика, 2001. - 192 с.

6. Себер Дж. Линейный регрессионный анализ. - М.: Мир, 1980. - 456 с.

7. Тихомиров Н.П., Дорохина Е.Ю. Эконометрика. - М.: Экзамен, 2003.

8. Эконометрика./Под ред. И.И. Елисеевой, - М.: Финансы и статистика, 2002.

9. Эконометрика: Учебник / Под ред. И.И. Елисеевой. - М.: Финансы и статистика, 2001. - 344 с.

10. Эконометрика под ред. И.И. Елисеевой М.: изд-во «Финансы и кредит», 2002.

11. Эконометрика под ред. И.И. Елисеевой М.: изд-во «Финансы и кредит», 2002.

12. Я.Р. Магнус, П.К. Катышев, А.А. Пересецкий. «Эконометрика начальный курс» М.: изд-во «Дело» 2000.

13. Леонтьев, В.В. Межотраслевая экономика: Пер. с англ. /В.В. Леонтьев.- М.: Экономика, 1997. - 479 с.

14. Баранов, А.О. Построение и использование региональных и межотраслевых моделей для анализа и прогнозирования развития экономики регионов: статья / А.О. Баранов, З.Б. Дондоков, Ю.А. Слепенкова

15. Читая, Г.О. Экономико-математические методы и модели: Учебно-методическое пособие с решениями примеров и задач. - Волгоград. гос. техн. ун-т. - Волгоград, 2003. - 60 с.

16. Доможиров, Д.А. Интеграция подхода «затарыт-выпуск» в анент-ориентированное моделирование: статья / Д.А. Доможиров, Н.М. Ибрагимов, Н.В. Мельникова

17. Моделирование организационного управления в многоуровневых структурах / В.Г. Кучмиев, А.И. Лысенко, В.М. Момот, И.В. Чумаченко. - Х: ХАИ, 2004. - 231с.

18. Юдин, А.Д. Экстремальные модели в экономике. М.: Экономика, 1979. - 288с.

19. Введение в линейное программирование: учеб. пособие для студентов физ.-мат. и эконом. фак-тов / Г.И. Горемыкина, М.А. Ляшко. -- Балашов: Николаев, 2011. -- 132 с.

20. Чернышев, Л.А. Экономико-математические методы и модели: учеб. пособие / Л.А. Чернышев. - Екатеринбург, 2013. - 206 с.

21. Власов, М.П. Моделирование экономических процессов / М.П. Власов, П.Д. Шимко. -- Ростов н/Д: Феникс, 2005. -- 409 с

22. Замятина, О.М. Моделирование систем: Учебное пособие. - Томск: Изд-во ТПУ, 2009. - 204 с.

23. Колемаев, В.А. Математическая экономика: учебник для вузов. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2012. - 399 с.

24. [Электронный ресурс] - Режим доступа: https://economics.studio/ekonometrika/protsess-belogo-shuma.html(дата обращения: 12.05.2021).

Размещено на Allbest.ru