Моделирование ожиданий агентов на фондовом рынке: прогнозирование времени схождения стоимости ценных бумаг к справедливой стоимости

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

«ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ»

Факультет экономических наук

ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА

Моделирование ожиданий агентов на фондовом рынке: прогнозирование времени схождения стоимости ценных бумаг к справедливой стоимости по направлению подготовки Экономика

образовательная программа «Экономика»

Выполнил:

Студент группы БЭК 165

Евсин Игорь Русланович

Ф.И.О.

Руководитель:

Старший преподаватель,

Тимофеев Дмитрий Вячеславович

степень, звание, должность Ф.И.О.



Содержание

Введение

Анализ литературы

Фундаментальные и технические аналитики

Рациональные и шумовые инвесторы

Глубокие исследования против эвристики

Методология

Теоретическая модель

Описание данных

Метод оценки

Оценка

Результаты

Оценка параметров

Проверка моделей на значимость

Построение прогноза

Заключение

Список литературы

Приложения



Введение

Предсказание динамики фондового рынка является святым Граалем для инвесторов по всему миру. На протяжении многих десятилетий человечеством были разработаны многочисленные модели их поведения, которые могут быть отнесены к одному из двух блоков - фундаментальному или техническому анализу. Основная идея технического анализа заключается в том, что данные об исторической динамике цен активов могут быть использованы для предсказания их поведения в будущем. Фундаментальный анализ, в свою очередь, опирается на понятие справедливой стоимости. Справедливая стоимость понимается как цена, которая была бы получена при продаже актива или уплачена при передаче обязательства, в сделке между рациональными участниками, которые имеют полное представление об объекте сделки, а также не связаны какими-либо обязательствами в отношении сделки. Сторонники данной концепции видят инвестиционную привлекательность в активах, чья текущая рыночная стоимость ниже справедливой.

Привлекательность той или иной концепции инвестирования оставалась и остается вопросом дискуссионным, однако нельзя отрицать того, что есть масса сторонников как фундаментального, так и технического анализа. Следует отметить, что существует работа, которая не только обострила дискуссию о выборе между этими методами, но и заставила финансистов перевести споры в плоскость новой предложенной концепции. Речь идет о работе Фамы (Fama, Efficient Capital Markets: A Review of Theory and Empirical Work, 1970), которая обозначила так называемую гипотезу эффективного рынка. Фама полагал, что если на совершенном рыке действует рациональный репрезентативный агент, то котировки полностью отражают всю доступную информацию, а значит, активы оценены справедливо. Таким образом, колебания цен активов должны представлять собой случайное блуждание, что означает, что движение цен принципиально непредсказуемо. Сразу после публикации работы началась эмпирическая проверка выводов Фамы, в результате которой были получены некоторые стилизованные факты (завышенная волатильность, большие объемы торгов, толстые хвосты распределения доходностей и т.д. (Bollerslev, Engle, & Nelson, 1986)), которые шли вразрез с гипотезой эффективного рынка. Впоследствии Фама сам признавал, что поскольку гипотеза эффективного рынка определена только в рамках определенной теории ценообразования, то ее тестирование в общем случае крайне затруднено, если не невозможно (Fama, Efficient Capital Markets: II, 1991).

Следует отметить, что настоящая работа не призвана подтвердить или опровергнуть гипотезу эффективного рынка. Тестирование гипотезы эффективного рынка призвано определить, совпадают ли текущие рыночные котировки и справедливые цены, причем последние определяются в рамках той или иной теории ценообразования. Однако всегда необходимо помнить, что рынок в конце концов сводится к людям. Если у инвесторов есть стойкое ощущение, что актив недооценен, то естественной реакцией рынка будет рост спроса, что приведет к тому, что цена актива придет к уровню, который средний участник рынка считает справедливой. Проблема в том, что этот субъективный уровень справедливой цены может не совпадать со справедливой стоимостью, рассчитанной в рамках теории ценообразовании. Говоря кратко, есть три сущности: текущая рыночная цена, справедливая цена, рассчитанная с помощью определенной теории ценообразования и субъективная справедливая цена. Соответствие между первой и второй определяет, соблюдается ли гипотеза эффективного рынка. Но что можно сказать о равенстве первой и третьей, а также второй и третьей ценами? Альтернативное направление в финансовой науке - поведенческие финансы - способно дать ответы на эти вопросы.

Поведенческие финансы объясняют поведение инвесторов на рынке с использованием некоторых концепций психологии и социологии. Фундаментом данной науки является предположение о том, что инвесторы на рынке могут систематически допускать ошибки, а также при определенных условиях не максимизировать свое благосостояние. Инструменты поведенческих финансов позволяют объяснить, например, повторяющиеся финансовые кризисы. Проблема дисциплины на ее ранних этапах заключалась в том, что исследования носили скорее качественный, а не количественный характер. Это достаточно сильно ограничивало исследователей фондовых рынков в проверке гипотез, а также в проверке значимости результатов моделей. Вследствие этого появилась потребность в разработке новой дисциплины - количественных поведенческих финансов.

Количественные поведенческие финансы являются сравнительно молодой областью финансовой науки, которая ставит целью получение количественных оценок когнитивных искажений в поведении инвесторов и их влияния на финансовый рынок в целом. Исследования в области количественных поведенческих финансов включают использование достаточно широкого круга моделей, которые можно условно разделить на два типа. Первый включает в себя модели с большим количеством гомогенных агентов, использующих порой достаточно сложные трейдинговые стратегии. Данные модели зачастую не имеют явного аналитического вывода и в значительной степени полагаются на использование компьютерных методов. Второй класс представляет собой довольно простые схемы взаимоотношений малого числа гетерогенных инвесторов. В таких моделях зачастую возможен аналитический вывод параметров равновесия.

Количественные поведенческие финансы, как мы покажем далее, способны дать объяснение несоответствию между ценами активами и субъективными справедливыми ценами. Эмпирически на российском фондовом рынке наблюдаются явления, которые при первом же рассмотрении заставляют усомниться в равенстве этих цен. В Приложении 1 представлена динамика котировок и консенсус прогноза обыкновенных акций Детского Мира (DSKY), причем показан как медианный уровень, так и оптимистичный с пессимистичным. При этом котировки DSKY на протяжении 2018 г. и практически всего 2019 г. находились ниже уровня 100 руб. за акцию (этот рубеж был преодолен только 27 декабря 2019 г.), то есть даже пессимистичный таргет на протяжении двух лет находился выше текущей цены акции.

Как мы можем видеть, процесс подстройки может занимать достаточно продолжительное время - вплоть до нескольких лет. И тут нас может ждать проблема: задача портфельных инвесторов заключается в поиске недооцененных компаний на рынке. Если построенные инвестиционной компанией финансовые модели указывают на то, что компания недооценена, то возникает вопрос: а как скоро произойдет подстройка рыночной цены акции под справедливую. Как говорил Джон Мейнард Кейнс: «Рынки могут оставаться иррациональными дольше, чем вы сохраняете свою платежеспособность». Если цена акции окажется достаточно жесткой, то время подстройки может оказаться настолько велико, что выигрыш от инвестиций в недооцененную компанию может стать совершенно незначительным. В этой связи будет весьма полезен инструмент, позволяющий количественно измерить меру стремления акции к ее фундаментальной стоимости. Таким образом, данная работа имеет прямой прикладной характер.

В качестве объекта исследования в рамках данной работы будет выступать фондовый рынок РФ

Цели исследования:

Оцененные параметры выбранной теоретической модели, способной описать несоответствие рыночных цен их справедливым уровням

Оценка времени схождения цены акции к справедливой стоимости

Задачи работы:

Рассмотрение существующей литературной базы

Выбор наилучшей теоретической модели из существующих

Сбор данных

Выбор метода оценки параметров модели

Оценка модели, интерпретация результатов

В рамках работы будут использоваться как теоретические (анализ существующих моделей ценообразования), так и эмпирические (оценка параметров выбранной модели) методы.

Информационная база исследования включает в себя собранные автором данные о динамике котировок выбранных акций российских эмитентов, консенсус-прогноза Thomson Reuters по данным акциям, а также прочую информацию, прямо или косвенно относящуюся к объекту исследования. Источником данных, если не указано иное, является Thomson Reuters Eikon.

Предполагается, что результаты оценки покажут, что на российском рынке ожидаемое время схождения составит более 1 года, что должно заставить фундаментальных аналитиков пересмотреть подход к инвестированию исключительно на определении справедливой стоимости активов для инвестирования.

Перейдем к анализу литературы, чтобы выбрать теоретическую модель для нашего исследования.

Анализ литературы

Вкратце охарактеризуем модели, описывающие взаимодействие большого числа гомогенных агентов.

Примером подобной модели является модель Кирмана (Kirman, Epidemics of opinion and speculative bubbles in financial matkets, 1991). Экономика в данной модели состоит из N агентов, каждый из которых способен формировать мнение о цене актива в следующем периоде: оптимистичное или пессимистичное. В каждом периоде K из этих N случайно взаимодействуют, и мнение каждого агента способно поменяться на мнение контрагента с некоторой вероятностью, при этом агент способен поменять свое мнение независимо от других. Случайный процесс изменения мнения касательно актива представляет собой Марковскую цепь. В зависимости от параметров модели, распределение равновесной цены на рынке может быть как бимодальным или унимодальным, так и равномерным.

Построение моделей взаимодействия гомогенных агентов может также строиться на основе социального взаимодействия, то есть моделей, в которых полезность отдельного агента зависит от благосостояния агентов, принадлежащих к тому же классу, что и рассматриваемый агент. Примером подобной модели может послужить модель Брока и Дорлафа (Brock & Durlauf, 2001).

Теперь рассмотрим второй класс моделей, о которых мы говорили выше, а именно модели с малым числом гетерогенных агентов.



Фундаментальные и технические аналитики

Модель Зимана (Zeeman, 1974) оперирует с тремя эндогенными переменными - J, F и C. J представляет собой прирост стоимости актива (в непрерывном случае J = dI/dt, где I - цена актива в момент t). C - доля рынка, занятая техническими аналитиками, F - избыточный спрос со стороны фундаменталистов. Общий спрос в модели Зимана представляет собой некоторую функцию F(J), соответственно избыточный спрос на бумагу со стороны технических аналитиков = F(J) - F. Автор выдвигает 7 предпосылок модели, предполагая при этом, что J реагирует на изменение C и F быстрее, чем C и F реагируют на изменение J. Говоря в рамках дифференциальных уравнений, J - это переменная состояния, а C и F - управляющие переменные. Зиман показал, что из предпосылок выводится, что простейший случай такой системы - это модель катастрофы "переломного момента" с медленным потоком обратной связи. Результаты данной модели могут быть проинтерпретированы следующим образом: представим, что на рынке наблюдается повышательный тренд, что приводит к тому, что C повышается (предполагается, что технические аналитики следуют за трендом). Цена может повыситься настолько, что перестанет совпадать с представлением о справедливой цене, что приведет к увеличению продаж ценной бумаги со стороны фундаменталистов. Происходит стремительное падение цены, подхваченное техническими аналитиками, пока цена не упадет настолько, что фундаментальные аналитики ринутся покупать бумаги в связи с их недооценкой. В равновесии цена актива и рыночные доли инвесторов оказываются постоянными. Модель Зимана была способна объяснить излишнюю волатильность на финансовых рынках (Guastello, 2013). Тем не менее, несмотря на ее популярность в ранних семидесятых, в дальнейшем она была раскритикована за излишнюю простоту. Впоследствии были получены модификации модели Зимана, в том числе ее стохастическая версия (Rheinlaender & Steinkamp, 2004).

Одной из наиболее современных моделей, эксплуатирующих идею разделения рынка на фундаменталистов и технических аналитиков, является модель Вестерхоффа. Вестерхофф (Franke & Westerhoff, Structural stochastic volatility in asset pricing dynamics: Estimation and model contest, 2012) рассматривает более сложную модель по сравнению с моделью Зимана. Все параметры в модели заданы в логарифмах. Чистый спрос на ценную бумагу со стороны фундаментальных аналитиков пропорционален отклонению фундаментальной стоимости (заданной экзогенно) от текущих котировок. Чистый спрос со стороны технических аналитиков пропорционален разнице между текущей рыночной стоимостью ценной бумаги и стоимостью ценной бумаги в предыдущем периоде. Обе функции спроса характеризуются случайными составляющими. Котировки ценной бумаги в текущем периоде зависят от котировок в прошлом периоде, а также линейно зависят от величины спроса со стороны фундаменталистов и технических аналитиков, поправленных на доли каждого из типа инвесторов на рынке. Доли инвесторов на рынке меняются в соответствии с некоторыми психологическими установками инвесторов. Прежде всего, интенсивность переходов может зависеть от того, сколько инвесторов уже придерживается данной стратегии. Также она зависит от прибыльности стратегии в прошлом, предрассудков агентов касательно той или иной стратегии, а также удаленности цены от справедливого уровня (поскольку в данном случае технический анализ как следование тренду становится более рискованным). В зависимости от того, как моделируется интенсивность переходов, в модели могут быть те или иные параметры заданы экзогенно. Большая часть работы Вестерхоффа посвящена оценке параметров моделей при том или ином ее построении. Оценка параметров осуществлялась методом симулированных моментов.

Рациональные и шумовые инвесторы

Иная концепция представлена в статье (Andrei, и др., 1990). В экономике с двумя активами (рисковым и безрисковым) действуют два типа агентов - рациональные и шумовые инвесторы. Шумовые верят, что в силу некоторых обстоятельств (технический анализ, неверная интерпретация информации и т.д.) они обладают более полной информацией о рынке. Рациональные инвесторы понимают искажения в поведении шумовых инвесторов и стремятся выиграть от этого. Дальнейшее развитие модели привело к рассмотрению ситуации, когда доля рациональных инвесторов меняется в зависимости от прошлой доходности обоих типов инвесторов. В данной модели существует равновесие, в котором шумовые инвесторы получают большую доходность, чем рациональные. В результате того, что доля данных инвесторов увеличивается, если их стратегия оказывается выигрышнее, чем стратегия рациональных игроков, то шумовые инвесторы могут находиться на рынке довольно продолжительное время, что не согласуется с идеей о том, что нерациональные инвесторы не выживают на рынке в долгосрочной перспективе.

Глубокие исследования против эвристики

Следующий класс моделей рассматривает экономику, в которой существует два типа агентов. Первый состоит из агентов, использующих крайне базовые техники инвестирования (например, экстраполирование, адаптивные ожидания, следование тренду и т.д.). Второй представлен агентами, которые тратят большое количество времени и ресурсов для более сложных стратегий (фундаментальный анализ, оценка справедливой стоимости и т.д.)

Одним из примеров данной модели является работа Конлиска (Conlisk, 1980). Оба типа агентов стремятся минимизировать функцию потерь, которая зависит от состояния экономики в целом и от непосредственной стратегии агента. Поиск оптимальной стратегии требует дополнительных затрат. Профессиональные агенты несут данные потери для выбора оптимальной стратегии. Непрофессиональные агенты экономят на стоимости исследований, обходясь базовыми техниками. Если в экономике относительные потери непрофессионалов систематически не превышают дополнительные издержки на профессиональную аналитику, то непрофессиональные игроки остаются на рынке и в долгосрочной перспективе.

Работа Эванса и Рами (Evans & Ramey, 1992) показывает, что если рациональные ожидания дороги в обслуживании, то возможно несколько равновесий. В модели, где агент выбирает, нести ли ему в каждом периоде фиксированные затраты на продвинутые исследования рынка, если начальная точка отсчета достаточно близка к равновесию рациональных ожиданий, то агент практически не будет прибегать к продвинутой аналитике. Если начальное состояние системы далеко от равновесия рациональных ожиданий, то агент будет активно прибегать к профессиональному анализу рынка.



Методология

Теоретическая модель

В качестве теоретической модели была выбрана модель Вестерхоффа (Franke & Westerhoff, Structural stochastic volatility in asset pricing dynamics: Estimation and model contest, 2012). Выбор модели связан с тем, что, во-первых, модель Вестерхоффа объясняет многие стилизованные факты о финансовых рынках (финансовые пузыри и кризисы, толстые хвосты распределения доходностей, избыточная волатильность, кластеризация волатильности). Во-вторых, модель показывает хорошие показатели подгонки под данные (Kukacka & Barunik, 2017). В-третьих, в отличие от моделей GARCH, модель имеет структурную основу, а также имеет микроэкономическое обоснование.

Остановимся поподробнее на устройстве данной модели. Как уже было сказано ранее, модель задана в логарифмах (соответственно все дальнейшие рассчитываемые доходности также будут логарифмическими), а функции чистого спроса со стороны сторонников фундаментального и технического анализа заданы соответственно:

)

Здесь обозначает справедливую цену актива в момент t, - его котировки в момент t, и не зависят от времени. Одной из ключевых особенностей модели Вестерхоффа является присвоение случайной составляющей каждой из функций спроса, а не только их сумме. Это позволяет разделить влияние экзогенных факторов на каждую из категорий инвесторов, что разумно, поскольку можно ожидать, что набор этих факторов различен.

Цена на рынке в момент t определяется следующим образом:

,

и - рыночные доли фундаментальных и технических аналитиков на рынке в момент t-1.

Рыночная доля фундаменталов:

Доля технических аналитиков:

Переменная представляет собой показатель привлекательности фундаментального анализа по сравнению с техническим и может зависеть от нескольких искажений в поведении инвесторов. Показатель является мерой инертности инвесторов: чем выше бета, тем быстрее инвесторы на рынке подстраивают свои инвестиционные стратегии под свои представления об их предпочтительности. Иными словами, - мера рациональности инвесторов в экономике.

Для дальнейшего развития модели необходимо построить две вспомогательные переменные:

Здесь представляет собой выигрыш, который получили инвесторы в момент t от инвестиций, сделанных два периода назад. В свою очередь, - это некий кумулятивный показатель прибыльности стратегии за все время ее реализации. Определив данные вспомогательные переменные, теперь мы можем сначала качественно, а затем и количественно описать когнитивные искажения инвесторов в модели.

Во-первых, инвесторы могут предпочитать ту стратегию, которая показывала лучшие результаты в прошлом. В таком случае переменная будет выглядеть следующим образом:

Далее инвесторы могут иметь предубеждения против той или иной стратегии инвестирования. В таком случае это будет выражаться в виде:

Также участники рынка могут быть подвержены тому, что Дж. М. Кейнс называл «животным инстинктом». Эффект толпы может оказывать влияние на инвестиционные решения трейдеров, что может быть выражено как:

И наконец последнее искажение поведения инвесторов состоит в том, что по мере того как котировки удаляются от справедливой цены, технический анализ, с точки зрения инвесторов, может казаться рискованнее. Поскольку в модели технический анализ представлен как следование тренду, то удаленность рыночных котировок от справедливых уровней должно снизить привлекательность технического анализа:

Обозначим вышеперечисленные факторы как W (Wealth), P (Predisposition), H (Herding) и M (Misalignment) соответственно. Вестерхофф в своей модели рассматривал следующие комбинации данных факторов:

Далее в вычислительной части мы также будем использовать данные комбинации.

Описание данных

Перейдем к описанию данных. Их источником, как было сказано ранее, является Thomson Reuters Eikon. Область поиска - компании, чьи акции котируются на Московской бирже на дату выгрузки данных (2 апреля 2020 г.) Далее к исходным данным была применена фильтрация: из рассмотрения были исключены компании, которые на дату выгрузки имели рыночную капитализацию менее 200 миллиардов рублей; те, чье аналитическое покрытие составляло менее 9 аналитиков, а также те, у которых длина доступных данных составляла менее 1000 торговых дней.

Наличие большого массива данных необходимо, поскольку метод оценивания параметров (в данной работе им является метод симулированных моментов) в структурной модели показывает слабую эффективность на малых выборках. Кроме того, одним из рассчитываемых моментов в модели является оценка Хилла (оценка тяжести хвостов распределения), которая также неудовлетворительно работает на малом объеме данных.

Значительное аналитическое покрытие должно демонстрировать интерес инвестиционных компаний к данной акции, что должно усиливать реакцию рынка на обновления справедливых стоимостей акции. Кроме того, оно призвано предотвратить ситуацию, в которых отказ от аналитического покрытия того или иного брокера мог бы привести к значительному смещению консенсус-прогноза. По этой причине в расчетах также был выбран медианный консенсус прогноз, а не средний (данная дескриптивная статистика более восприимчива к выбросам).

Высокая капитализация должна демонстрировать высокую ликвидность, а значит, и большую восприимчивость к изменению информационного фона вокруг компании.

По итогу фильтрации данных в выборке осталось 4 компании: ПАО «Газпром» (тикер на Московской бирже - GAZP), ПАО «Сбербанк России» (SBER), ПАО «Алроса» (ALRS) и ПАО «Ростелеком» (RTKM)

Таблица 1. Источник: Thomson Reuters Eikon

Тикер	Рыночная капитализация, млрд руб	Средний дневной объем торгов за 12 месяцев, тыс.	Число аналитиков	52 недельное скользящее среднее, максимум, руб.	52 недельное скользящее среднее, минимум, руб.
GAZP	4 205,0	36 191	9	272,7	149,9
SBER	4 150,7	34 973	13	270,8	172,2
ALRS	435,4	12 414	14	96,7	51,0
RTKM	245,4	1 641	10	92,0	62,2

К сожалению, в связи с малым размером, недостаточной ликвидностью российского фондового рынка и, как следствие, слабым аналитическим покрытием его компаний, в финальной выборке оказалось всего четыре акции. В этой связи представляется, что та модель прогноза, которая будет получена в данной работе, применима в наибольшей степени к более развитым западным рынкам, которые обеспечены большей аналитической поддержкой и имеют в себе более солидный запас ликвидности.

В качестве справедливой цены в модели будет выступать медианное значение 12-месячного таргета. Возникают вопросы о том, насколько правильно будет брать за субъективную оценку акции всем рынком некоторый средний показатель, определяемый отдельными брокерами, а также как эта оценка брокеров должна соотноситься с общепризнанными теориями ценообразования. Есть несколько аргументов в поддержку использования данного показателя.

Во-первых, трейдеры в значительной степени ориентируются на рекомендации своих аналитических отделов, поэтому движение институционального капитала должно быть подвержено изменению оценок справедливых стоимостей активов.

Во-вторых, рекомендации аналитических отделов являются одним из важнейших факторов при принятии решения о покупке ценных бумаг со стороны физических лиц. Непрофессиональные участники рынка могут полагаться на оценки справедливых цен от крупных инвестиционных домов, поэтому влияние данных рекомендаций распространяется на капитал не только отдельной инвестиционной компании, но и на капитал ее клиентов.

В-третьих, при передаче средств в доверительное управление инвестиционные решения также принимаются на основании оценок справедливых цен, поэтому можно утверждать, что и пассивный капитал в ПИФах и пенсионных фондах подвержен влиянию изменения оценок брокеров.

Конечно, можно сказать, что на рынке существуют агенты, не обращающие внимание на рекомендации инвестиционных домов и принимающие решения на основании иных источников информации или собственного анализа. Однако в данным случае возникает вопрос о количестве таких агентов. Поскольку оценить его не представляется возможным, а экономический смысл взаимосвязи между рыночным спросом на ценную бумагу и оценками справедливых цен от инвестиционных компаний понятен, то можно говорить о справедливости данной взаимосвязи.

Говоря о связи полученных оценок с теориями ценообразования, можно сказать следующее: в данной работе нас это интересовать не должно. Поскольку дальнейший анализ будет направлен на изучение взаимосвязи между справедливыми уровнями цен и реакции рынка на них, то сам процесс формирования этих оценок остается за кадром. Более того, аналитические отделы, как правило, не предоставляют финансовые модели в открытое пользование, поэтому агенты на финансовом рынке не имеют возможности проверить их качество (в частности, то, как были рассчитаны ставки дисконтирования денежных потоков). Это приводит к тому, что единственная связь между брокером и клиентами заключается в том, доверяет ли клиент рекомендациям своих брокеров, а именно этой связи в конечном итоге мы и стремимся дать количественную оценку.

Также может возникнуть вопрос о том, насколько корректно брать в качестве текущей справедливой цены 12-месячный консенсус аналитиков, поскольку он все же описывает предполагаемую цену через год, а не на текущий момент. Высокий апсайд по бумаге может быть вполне вызван не только фундаментальной недооценкой актива на рынке, но и высокой ставкой дисконтирования, которая может разумно отпугивать рискофобных инвесторов от рыночного инструмента. Тем не менее эти размышления не препятствуют использованию 12-месячного консенсус-прогноза, так как можно просто несколько переформулировать исходную модель: будем считать, что спрос фундаментальных аналитиков определяется отклонением не от текущей справедливой стоимости актива, а от ее 12-месячного прогнозного уровня. Поскольку модель рассматривает рынок только одной бумаги и не подразумевает рассмотрения перехода трейдеров между активами на рынке, то такое видоизменение смысла модели Вестерхоффа приведет лишь к тому, что коэффициент приобретет несколько иной смысл и будет также учитывать в себе степень риска, связанного с возможным недополучением денежных потоков от актива в перспективе одного года.

Стоит также отметить, что в оригинальной работе Вестерхоффа в качестве справедливой цены выступала экзогенно заданная константа. Однако это представляется нереалистичным предположением, когда речь идет о подстройке рыночной цены под справедливый уровень. Все дело в том, что автор оригинальной статьи ставил целью скорее подтвердить, что существуют такие измеряемые параметры в поведении инвесторов, которые могут обосновать стилизованные факты, а не стремился построить прогноз. Однако при постановке задачи в том виде, в котором она была дана во введении, фиксирование таргета налагает чрезвычайно жесткие ограничения на поведение участников фондового рынка. Кроме того, данная работа носит прикладной характер, что подразумевает, что для построения прогноза будут использоваться актуальные рыночные данные. Оценки брокеров же меняются сравнительно регулярно.

Данные, которые будут использованы при моделировании фондового рынка РФ, включают в себя временные ряды, содержащие информацию о медианном консенсус-прогнозе цены вышеназванных акций и их котировках (цены закрытия) за последние 1000 торговых дней, начиная с 2 апреля 2020 г.

В качестве котировок были выбраны именно цены закрытия, поскольку предполагается, что на изменение таргета цены реагируют мгновенно. Поэтому в модели имеет смысл учитывать те цены, которые полностью поглотили информацию за день.

Длина данных составила 1000 торговых дней. Вопрос об их оптимальном размере не так тривиален, как может показаться на первый взгляд. Как мы уже замечали ранее, для некоторых выбранных моментов, а также процесса оценки в целом желательно иметь значительного размера выборку. Однако в процессе поиска оптимальных параметров возникают очевидные технические проблемы, главная из которых - время оценки параметров. Как показал анализ, время выполнения кода (который будет описан далее) линейно зависит от произведения длины данных, числа симуляций модели и максимального числа итераций выбранного метода оптимизации. Соответственно при росте выборки в k раз, время выполнения оптимизации также вырастает в k раз. Учитывая то, что процесс оптимизации требует значительных вычислительных ресурсов, размер выборки оказывает значительное влияние на время компиляции кода. Поэтому несмотря на то, что по многим акциям были доступны и более длинные данные, 1000 торговых дней были выбраны как оптимальный размер исходного массива.

Формат данных - дневные. Несмотря на то что подобный датафрейм нехарактерен для большинства финансовых расчетов, в данном случае он оправдан. Здесь мы пользуемся предположением о том, что любые изменения справедливой цены должны мгновенно включаться в котировки, а изменения в котировках обусловлены либо справедливой ценой, либо прошлыми значениями цен, которые также мгновенно учитываются. Совокупное влияние прочих факторов в модели заключено в случайной составляющей в функциях спроса со стороны фундаментальных и технических аналитиков.

Модификация модели Вестерхоффа могла бы включать в себя также использование объемов торгов. Это достаточно полезная информация, так как она характеризует интенсивность взаимоотношений между агентами в экономике. Однако в текущей ее версии информацию об объемах торгов затруднительно имплементировать в модель, поскольку модель предоставляет информацию именно о чистом спросе, на основании которого нельзя вывести выражение для общего числа сделок за период. Поэтому в дальнейших расчетах данные о дневных объемах торгов использоваться не будут.



Метод оценки

Теперь перейдем к описанию метода оценки параметров. Вестерхофф в своей работе в качестве основного метода оценки использовал метод симулированных моментов (МСМ), поскольку, как отмечает автор, МСМ является одним из самых подходящих методов оценки структурных моделей подобного рода.

МСМ идеологически очень похож на обобщенный метод моментов (ОММ). При оценивании параметров методом МСМ модель симулируется S раз (принимая в качестве вектора параметров, по которым впоследствии будет минимизироваться функция потерь, некоторый начальный вектор). Затем на основании симулированных результатов модели считаются их моменты (моменты понимаются в традиционном для математической статистики смысле), причем выбор рассчитываемых моментов может быть весьма разнообразным и зависит, в первую очередь, от постановки задачи. При этом должно соблюдаться условие о том, чтобы число моментов было не меньше, чем число оцениваемых параметров. После того как по симулированным моделью S раз результатам будут рассчитаны S векторов моментов, эти векторы усредняются для того, чтобы получить оценку моментов для симулированной выборки:

После этого рассчитывается вектор моментов для выборки. Дальнейшая работа направляется на минимизацию некоторого относительного расстояния между вектором симулированных моментов и вектором эмпирических моментов (то есть минимизируется именно процентное отклонение симулированных моментов от эмпирических):

Обычно в качестве подобного расстояния используется обычная евклидова метрика с использованием некоторой взвешивающей матрицы.

В качестве взвешивающей матрицы обычно берется обратная ковариационная матрица отклонений моментов. Причем оценка данной матрицы производится итерационно. На первом шаге в качестве такой матрицы берется единичная квадратная матрица размером k * k, где k - число моментов. Затем минимизируется расстояние между моментами и получаются некоторые их оценки.

Используя данные оценки из первой итерации можно рассчитать новую взвешивающую матрицу по формуле:

После этого процесс повторяется до достижения требуемого уровня точности. При этом одновременно обновляется оценка как самих параметров, так и их ковариационной матрицы. В дальнейшем анализе мы будем использовать двухшаговую оценку матрицы.

В рамках нашей модели будут использоваться следующие моменты:

Коэффициент автокорреляции доходностей 1-го порядка

Среднее значение абсолютных доходностей

Оценка Хилла тяжести хвостов распределения

Оценка автокорреляции 1-го, 5-го, 10-го, 25-го, 50-го и 100-го порядка абсолютных доходностей

Выбор на этих моментах остановился по причине того, что мы хотим, чтобы наша модель корректно описывала стилизованные факты о поведении акций из выборки.

Во-первых, необходимо, чтобы коэффициент автокорреляции первого порядка на симулированной выборке был близок к таковому у эмпирической, поскольку, согласно стилизованным фактам, данный коэффициент должен быть близок к 0. Это должно ограничить технических аналитиков в нашей модели от чрезмерного влияния на рынке.

Во-вторых, показатели отклонения доходностей должны быть схожи на обеих выборках, чтобы учесть существующую на рынках излишнюю по сравнению с гипотезой эффективного рынка волатильность (очевидно, что если бы гипотеза эффективного рынка соблюдалась, то в модели котировки всегда находились бы на уровне справедливой цены, и их волатильности совпадали).

В-третьих, мы должны учитывать тяжелые хвосты распределения доходностей активов. Одним из параметров, измеряющих тяжесть хвостов, является так называемая оценка Хилла. Оценка Хилла рассчитывается по формуле:

Данный параметр весьма требователен к размеру выборки и сходится к истинному параметру асимптотически.

Наконец, мы хотим, чтобы наша модель учитывала кластеризацию волатильности на рынке (ситуацию, при которой периоды высокой волатильности на рынке сменяют периоды с низкой и наоборот), причем в модели мы подразумеваем, что эффект памяти наблюдается на протяжении 100 торговых дней.

После выбора моментов можно подходить к непосредственной оценке параметров.

Оценка

В качестве метода оптимизации был использован метод дифференциальной эволюции. В связи с тем что получаемая целевая функция J не дифференцируема (поскольку имеет в своей основе случайные компоненты), то привычные методы, использующие градиент функции потерь, не применимы по отношению к заданной модели поведения агентов на фондовом рынке.

Дифференциальная эволюции же относится к стохастическим алгоритмам оптимизации, которая использует при этом некоторые элементы генетических алгоритмов. Данный алгоритм, в отличие от, например, ньютоновских и квазиньютоновских методов, не требует информации о градиенте оптимизируемой функции. Кроме того, одним из явных преимуществ данного алгоритма является то, что в случае его схождения он находит глобальный, а не локальный минимум целевой функции на заданной области.

Среди основных недостатков метода дифференциальной эволюции можно отметить два. Первый заключается в том, что алгоритм требователен к вычислительным ресурсам - как показывает практика, время его работы на гладких функциях значительно превышает время работы более традиционных алгоритмов. Это ограничивает возможности по поиску минимума целевой функции. Поэтому при отсутствии доступа к большим вычислительным мощностям приходится ограничивать число итераций алгоритма.

Второй недостаток состоит в том, что для поиска глобального максимума функции приходится ограничивать область оптимизации. Таким образом, найденное решение становится глобальным максимумом лишь на определенном участке пространства. Впрочем, данный недостаток весьма относителен. При понимании области возможных решений удается найти практически гарантированное глобальное решение.

При определении области оптимизации будем ориентироваться на результаты, полученные в работе Вестерхоффа, а также общие соображения о возможном знаке того или иного коэффициента. Определим область возможных решений следующим многомерным параллелепипедом:

Таблица 2. Источник: расчеты автора

[0; 6]	[0; 6]	[0; 6]	[0; 3000]	[-4; 4]	[0; 6]	[0; 60]	[0; 4]	[0; 6]

Следует также отметить, что основными параметрами процесса оценки являются число симуляций модели для последующего усреднения ее результатов, а также максимальное число итераций метода оптимизации. Как мы уже выяснили ранее, и тот, и другой параметр прямым образом влияют на время оценки модели. Число симуляций было принято равным 10, а максимальное число итераций - 50.

Результаты

Оценка параметров

Результаты оценки параметров приведены ниже. Необходимо также сказать, что в целях нормализации показателей мы установим показатель (что выражается лишь в масштабировании показателей , ,
, ), а также (влияет на масштабирование показателя ). J-статистика, приведенная для справки, представляет собой значение целевой функции в точке найденного оптимума.

Таблица 3. Источник: расчеты автора

GAZP										J-статистика
W	2,46	1,61	0,70	2280	-	-	-	0,43	2,21	0,50
WP	1,43	0,63	0,93	2443	-1,41	-	-	0,63	2,24	0,71
WHP	1,47	0,23	0,30	1750	-0,59	0,79	-	0,93	0,16	0,21
HPM	1,53	0,96	-	-	-0,89	0,98	11,72	0,72	1,97	0,17
SBER										J-статистика
W	1,05	1,84	2,30	2664	-	-	-	1,16	1,06	0,83
WP	1,44	1,41	1,93	1820	-1,41	-	-	0,72	2,14	5,87
WHP	2,93	0,61	2,71	1825	1,35	0,76	-	1,67	2,49	0,01
HPM	2,01	1,39	-	-	1,77	1,14	3,93	1,23	2,23	2,09
ALRS										J-статистика
W	1,38	2,28	2,50	1934	-	-	-	1,02	1,04	0,26
WP	1,61	1,76	1,72	2032	-1,80	-	-	0,86	0,38	0,10
WHP	2,00	1,78	2,73	1951	0,70	2,07	-	1,27	2,83	0,83
HPM	1,91	1,71	-	-	-1,11	2,63	4,06	0,39	0,63	3,74
RTKM										J-статистика
W	2,55	0,24	0,88	2021	-	-	-	1,71	0,59	3,74
WP	2,13	1,70	0,65	2539	1,79	-	-	1,97	0,57	0,19
WHP	1,04	0,27	2,14	2543	0,04	1,49	-	1,38	2,11	0,66
HPM	2,23	1,81	-	-	-0,10	0,91	19,36	1,35	1,48	3,37

Пример программного кода по оценке параметров SBER приведен в Приложении 2.

Можно увидеть, что в зависимости от набора предпосылок касательно когнитивных искажений агентов, показатель принимает как положительное, так и отрицательное значение. Иными словами, при различных спецификациях модели агенты на рынке имеют предубеждения либо против технического анализа ( > 0), либо против фундаментального (< 0).

При этом, прочие параметры также значительно отличаются друг от друга в различных формах моделей в рамках одной акции. Например, для ПАО «Газпром» оценка в случае набора WP в 14 раз больше, чем в случае WHP. Оценка в случае W в 7 раз выше, чем в случае WHP. В этой связи мы можем сказать, что оценки параметров сильно зависят от спецификации модели. Именно поэтому при дальнейшем прогнозировании необходимо определить наилучшую модель с точки зрения подгонки под реальные данные.

Однако, прежде чем приступать к непосредственной проверке моделей на значимость, приведем визуальное сравнение симулированных и эмпирических доходностей, а также продемонстрируем сгенерированные моделью рыночные доли фундаментальных аналитиков. К примеру, покажем симулированные доходности для акций SBER с использованием модели WHP, а также расчетную долю фундаментальных аналитиков в структуре торгов.

Несмотря на то что визуальный анализ графиков доходностей затруднителен, все же можно сделать несколько замечаний касательно их формы. Во-первых, модель слабо описывает резкое, неожиданное изменение в доходностях ценной бумаги. Мы видим, что ни падение в конце 2018 года, ни повышенную волатильность в первой половине 2020 года модель не учитывает. В то же время можно наблюдать, что общее поведение доходностей ценной бумаги модель описывает. Однако для более конкретных выводов необходимо использовать четкие статистические критерии, которые могли бы подтвердить или опровергнуть соответствие данных модели.

Проверка моделей на значимость

В связи с тем, что нам неизвестен закон распределения коэффициентов модели, мы не можем использовать проверку гипотезы о незначимости коэффициентов модели (точнее, мы знаем, что данные оценки асимптотически нормальные, однако исследования показывают, что на практике нормальное распределение - это крайне неудовлетворительная оценка распределения параметров (Hansen, 1982)) . Вместо этого мы можем использовать значение J-статистики для того, чтобы проверить, насколько хорошо удалось подобрать симулированные моменты. Однако для данной операции необходимо понимать распределение J-статистики, что также может быть затруднительно. Вместо этого можно применить процедуру бутстрапинга, чтобы оценить закон распределения J-статистики исходя из симулированной выборки моментов.

Для генерации значений моментов будем использовать процедуру блочного бутстрапинга. Для ее проведения необходимо разделить исходный временной ряд на упорядоченные неперекрывающиеся подвыборки фиксированного размера. Будем использовать подвыборки из 142 элементов. Таким образом, при длине исходных данных в 1000 наблюдений мы получим 7 подвыборок (для этого сократим исходную выборку до 994 элементов). Затем будем комбинировать данные семь подвыборок, меняя их местами, осуществляя таким образом перестановку без повторений случайным образом. Таким образом мы сможем получить максимум 7! = 5040 уникальных векторов, на основании которых можно будет рассчитать интересующие нас моменты. Затем, применяя формулу J-статистики для данных сгенерированных моментов, мы можем получить максимум 5040 уникальных значений J-статистики. При этом относительное расстояние моментов сгенерированных блочным бутстрапингом моментов будет считаться от эмпирических моментов изначальной выборки. Принимая во внимание ограниченный размер уникальных векторов, сгенерируем 5000 векторов моментов и на их основании построим распределение J-статистики для четырех акций из выборки.

Отдельно также необходимо остановиться на взвешивающей матрице при расчете статистики. В качестве нее используется обратная ковариационная матрица сгенерированных блочным бутстрапингом моментов (B - число сгенерированных моментов):

Может возникнуть вопрос о том, насколько правомерно использование подобной процедуры: почему J-статистика моментов измененной выборки должна описывать закон распределения J-статистики исходной выборки. Было показано, что для моделей временных рядов, в которых могут наблюдаться долгосрочные зависимости в переменных, процедура обычного бутстрапинга неприменима и отдается предпочтение процедуре блочного бутстрапинга (Hall, 1996), однако вопрос о численности блоков в выборке остается дискуссионным. Вестерхофф в своей работе использовал вполне понятную длину - 250 торговых дней, соответствующую продолжительности одного календарного года. В связи с тем что длина наших данных составляет 1000 торговых дней, то использование подобного временного горизонта не представляется разумным - в таком случае мы будем иметь дело лишь с 4 блоками и, как следствие, с 4! = 24 возможными векторами моментов. С другой стороны, поскольку оценка производится по моментам, которые используют достаточно удаленные лаги - вплоть до сотого, то представляется разумным использовать длину блока, значительно превышающую 100 наблюдений. Именно поэтому выбор остановился на 7 блоках по 142 наблюдения в каждом.

Ниже приведены 90%, 95% и 99% квантили распределения J-статистик по сгенерированной выборке моментов. Пример программного кода по оценке распределения J-статистики для акций RTKM приведен в Приложении 3. Соответствующие гистограммы распределения для каждой акции находятся в Приложении 4.

Таблица 4. Источник: расчеты автора

Тикер	90% квантиль	95% квантиль	99% квантиль
GAZP	0,02058	0,02635	0,03807
SBER	0,23687	0,29570	0,38933
ALRS	0,12573	0,14231	0,17508
RTKM	1,92462	2,35163	3,33873

Также приложим рассчитанные показатели p-value (основная гипотеза H0: J-статистика равна 0, альтернативная гипотеза H1: J-статистика больше 0) всех типов моделей для нашей выборки акций:

Таблица 5. Источник: расчеты автора

	GAZP	SBER	ALRS	RTKM
W	0,000	0,000	0,000	0,003
WP	0,000	0,000	0,244	0,805
WHP	0,000	0,956	0,000	0,503
HPM	0,000	0,000	0,000	0,007

Как мы видим, большинство моделей отвергается при любом разумном уровне значимости. Котировки ПАО «Газпром» и вовсе не подходят ни под одну теоретическую модель, поэтому в дальнейшем прогнозировании мы не будем использовать данную ценную бумагу.

При выборе между моделями для целей дальнейшего прогноза котировок будем использовать ту, у которой наблюдается наибольший показатель p-value. Таким образом, далее будем пользоваться моделью WHP для SBER, WP для ALRS и RTKM.

Построение прогноза

Для оценки времени схождения будем использовать следующую процедуру: выберем параметры лучшей оцененной модели для каждой отдельной бумаги и будем симулировать модель, фиксируя при этом момент, когда симулированные котировки достигнут уровня справедливой цены. Справедливая цена при этом будет пониматься как 12-месячный консенсус-прогноз, определенный на 2 апреля 2020 г. Для каждой акции прогоним модель по 5000 раз, чтобы получить выборку оценок времени схождения, и затем на основании данной выборки определим некоторые дескриптивные статистики получившегося распределения, а также 90%-ый, 95%-ый и 99%-ый доверительный интервал.

Результаты оценки можно видеть ниже (элементы таблицы представляют собой число торговых дней). Пример кода по оценке времени схождения для SBER приведен в Приложении 5. Гистограммы соответствующих сгенерированных оценок см. в Приложении 6.



Таблица 6. Источник: расчеты автора

Тикер	Мода	Медиана	90% дов. интервал	95% дов. интервал	99% дов. интервал
SBER	68	89	[50; 175]	[46; 198]	[38; 258]
ALRS	127	151	[83; 306]	[75; 352]	[62; 502]
RTKM	75	120	[26; 390]	[20; 480]	[12; 700]

Первое, на что стоит обратить внимание, - это доверительные интервалы: как мы можем видеть, они довольно широки. Таким образом, выбранная модель для, например, ПАО «Алроса» говорит о том, что с вероятностью 95% котировки акции сойдутся к справедливым уровням на протяжении следующих 75-352 торговых дней, или 0,3 - 1,4 календарных лет. Следовательно, на 5% уровне значимости гипотеза о том, что через 12 месяцев текущие котировки сравняются с 12-месячным консенсус-прогнозом инвестиционных компаний, не отвергается. То же самое можно утверждать и об акциях ПАО «Ростелеком». В случае же акций ПАО «Сбербанк» можно говорить о том, что при 5% уровне значимости акции сойдутся к своему 12-месячному таргету в течение 46-198 торговых дней или 0,2 - 0,8 календарных лет, то есть даже быстрее, чем через 12 календарных месяцев.

Ввиду того что информация о том, через какое время цена акции сойдется к справедливым уровням, наиболее полезна в портфельном инвестировании, то представляется целесообразным ввести некую метрику, которая бы описывала инертность котировок акции к значению таргет цены. Представляется разумным в качестве такой метрики взять некоторую квантиль полученного распределения. Данный показатель будет обладать схожей логикой с таким индикатором, как Value at Risk, показывая период, который с заданной вероятностью не превысит ожидаемое время схождения актива к своей справедливой стоимости. Например, если снова обратиться к нашей выборке ценных бумаг, то мы можем утверждать, что исходя из модели WHP (которая была выбрана наилучшей среди альтернатив на основании p-value по сгенерированной методом блочного бутстрапинга выборке) с вероятностью 5% время схождения котировок SBER к справедливому уровню не превысит 175 торговых дней.

Теперь проверим гипотезу о том, что для акций российского рынка в среднем время схождения составляет более 1 года. Снова придется сделать замечание, что тестирование данной гипотезы на полученной выборке не совсем корректно, поскольку в финальной выборке осталось всего три акции, по информации о которым нельзя делать выводы о рынке в совокупности. Однако можно ожидать, что в дальнейшем, по мере развития российского фондового рынка и привлечения к нему интересов большого числа брокеров (в том числе международных), его аналитическое покрытие усилится, и модели, приведенные в настоящей работе, будут применимы к большему числу инструментов.

Поскольку сгенерированная выборка содержит 5000 элементов, то можно говорить о том, что размер выборки достаточен для того, чтобы Центральная Предельная Теорема выполнялась, что позволит нам использовать t-статистику в дальнейших расчетах.

Рассчитаем p-value для всех наших акций. Основная гипотеза H0: среднее время схождения равно 250 торговым дням (календарному году), H1: среднее время схождения превышает 250 торговых дней. Тестовая t-статистика случае всех акций будет иметь распределение Стьюдента с количеством степеней свободы 4999. Полученные p-value приведены ниже.

Таблица 7. Источник: расчеты автора

	SBER	ALRS	RTKM
p-value	0,9998	0,8409	0,7906

Как мы можем видеть, альтернативная гипотеза отвергается на любом разумном уровне значимости. Можно сделать вывод, что время схождения всех вышеприведенных акций не превышает календарный год, следовательно предположение, которое мы высказывали ранее, не подтверждается эмпирическими данными.



Заключение

Существующая литературная база в области количественных поведенческих финансов предоставляет богатый теоретический материал для объяснения проблемы систематического несоответствия рыночных котировок справедливым ценам на активы. Как было показано в данной работе, существующие модели в этой области могут иметь не только объяснительную, но и прогнозную функцию. В частности, отдельные модели количественных поведенческих финансов способны предоставить инструментарий для оценки времени схождения котировок к справедливым ценам активов, что и являлось целью представленной работы. Для выполнения данной задачи в качестве теоретической модели была выбрана модель Вестерхоффа (Franke & Westerhoff, Structural stochastic volatility in asset pricing dynamics: Estimation and model contest, 2012) в связи с ее объяснительной способностью, микроэкономическим обоснованием, а также хорошей подгонкой под данные. Методом оценки был выбран метод симулированных моментов. Полученные оценки для ряда акций впоследствии были протестированы на значимость с использованием метода блочного бутстрапинга. После подстановки в оцененную модель исторических котировок, а также динамики консенсус-прогноза справедливой стоимости были проведены симуляции, которые показали, что для выбранных акций время схождения составляет порядка одного года, что означает, что фондовый рынок РФ действительно вовремя достигает своих 12-месячных таргетов. Также были протестированы гипотезы о том, что время схождения на российском рынке составляет более 1 года. Эти предположения были отвергнуты данными при любом разумном уровне значимости. Таким образом, гипотезы, высказанные в начале исследования, не подтвердились.