Вычисление статистических показателей

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Кафедра математических и естественно-научных дисциплин

Расчетно-аналитическое задание

по дисциплине Статистика

Выполнена Мартыновым Максимом Александровичем

Преподаватель Богочаров Михаил Алексеевич

Москва - 2020 г.



Задания для выполнения рейтинговой работы

1. Скопировать данные своего варианта.

2. Ранжировать ряд данных сортировкой по значениям от минимального к максимальному.

3. Рассчитать количество интервалов по формуле Стерджеса, округлив вверх до целых единиц.

4. Рассчитать величину интервала h, округлить до десятков.

5. Рассчитать границы интервалов:

6. Подсчитать количество единиц совокупности, принадлежащих каждому из интервалов.

7. Построить интервальный вариационный ряд в виде таблицы

8. Построить гистограмму распределения для интервалов и полигон распределения для вариант, кумуляту.

9. Вычислить среднее арифметическое, моду, медиану, квартили, децили.

10. Вычислить показатели вариации: R, dср, s², s, Vr, Vd, V. Вычислить асимметрию и эксцесс.

11. Сделать вывод об однородности вариационного ряда, о симметричности и остро- или плоско-вершинности распределения.

Решение

1. Скопируем данные варианта №6Ранжированный ряд - это перечень отдельных единиц совокупности в порядке возрастания изучаемого признака.

Ранжируем ряд распределения.

Результат ранжирования представлен в табл. 2.



Таблица 2

Ранжированный ряд распределения

47	78	114	136	156	202
50	81	121	142	156	213
56	89	121	144	164	237
59	93	122	145	169	241
60	94	125	145	172
65	94	126	145	174
68	105	129	146	178
70	111	130	150	184
77	112	132	154	198
78	112	133	154	201

2. Интервал - количественное значение, определяющее одну единицу (группу) от другой, т.е. он очерчивает количественные границы групп.

Определяем количество интервалов по формуле Стерджесса:

,

где N - число групп;

n - число единиц совокупности.

3. Рассчитаем величину интервала:

Для группировки с равными интервалами величина интервала определяется по формуле:

где i - величина отдельного интервала;

x_max и x_min - наибольшее и наименьшее значения признака в исследуемой совокупности;

n - число групп.

4. Рассчитать границы интервалов.

Расширим границы интервалов снизу до 45. В результате получим следующие интервалы:

45 - 73;

73 - 101;

101 - 129;

129 - 157;

157 - 185;

185 - 213;

213 - 241.

5. Рассчитаем количество единиц совокупности, принадлежащих каждому из интервалов. При попадании значения на границу интервала будем относить его к предыдущему интервалу; если на границу интервала попадает четное количество, то разделяем значения пополам между соседними интервалами. В результате получаем следующий интервальный ряд распределения, представленный в таб. 3.

6. В таблице сразу рассчитаем значения вариант (середины интервалов) для построения полигона и накопленную частоту для построения кумуляты.

Таблица 3

Интервальный ряд распределения

Интервал	Варианта (середина интервала), xi	Частота, ni	Накопленная частота, Si
45 - 73	59,5	8	8
73 - 101	87,5	8	16
101 - 129	115,5	11	27
129 - 157	143,5	15	42
157 - 185	171,5	6	48
185 - 213	199,5	4	52
213 - 241	227,5	2	54
Сумма	-	54	-

ранжирование интервал гистограмма

7. Строим гистограмму распределения для интервалов, полигон распределения для вариант и кумуляту распределения на основе данных, представленных в табл. 3.

Для изображения интервального ряда графически используют гистограмму распределения. Интервальный вариационный ряд изображается в виде прямоугольников, построенных на оси X, где ширина этих прямоугольников равна интервалу, а высота пропорциональна соответствующей частоте.

Рисунок 1- Гистограмма распределения

Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты х_i, а на оси ординат -- соответствующие им частоты n_i и соединяют точки.

Рисунок 2 - Полигон распределения

Распределение признака в вариационном ряду по накопленным частотам изображается с помощью кумуляты.

Кумулята или кумулятивная кривая в отличие от полигона строится по накопленным частотам. При этом на оси абсцисс помещают значения признака, а на оси ординат -- накопленные частоты.

Рисунок 3 - Кумулята распределения

8. Для вычисления средних показателей и показателей вариации составим расчетную таблицу.



Таблица 4

Варианта,	Частота,
59,5	8	476	36911,451	-2507244,5	170306904,7	543,407
87,5	8	700	12752,636	-509160,8	20328717,2	319,407
115,5	11	1270,5	1564,505	-18658,2	222515,9	131,185
143,5	15	2152,5	3875,638	62297,3	1001371,3	241,111
171,5	6	1029	11655,144	513689,7	22640397,1	264,444
199,5	4	798	20778,689	1497604,7	107938475,1	288,296
227,5	2	455	20029,641	2004447,7	200593251,4	200,148
Сумма	54	6881	107567,704	1042976	523031632,6	1988

Средняя арифметическая взвешенная (выборочная средняя) вычисляется по формуле:

,

где x_i - индивидуальные значения признака или варианты,

n_i - частота вариант.

=

Мода -- это значение признака, которое наиболее часто встречается в исследуемой совокупности. В дискретных рядах распределения мода определяется как вариант с наибольшей частотой.

В интервальных вариационных рядах распределения мода рассчитывается по следующей формуле:

где x_o - нижняя граница модального интервала;

i - величина модального интервала;

- частота модального интервала;

- частота интервала, предшествующего модальному;

- частота интервала, следующего за модальным.

М_o = 129 + 28

Медианой (Me), или серединным вариантом, в статистике называют значение варьирующего признака, который находится в середине ряда значений, расположенных в порядке возрастания или убывания.

Для дискретного ранжированного ряда (т. е. построенного в порядке возрастания или убывания индивидуальных величин) с нечетным числом членов медианой является варианта, расположенная в центре ряда.

Для интервальных вариационных рядов медиана рассчитывается по формуле:

где х_Ме - нижняя граница медианного интервала;

i - величина медианного интервала;

- сумма частот ряда;

S_Ме-1 - сумма накопленных частот ряда, предшествующих медианному интервалу;

n_Ме -- частота медианного интервала.

Для симметричных распределений характерно совпадение (или близость) значений средней арифметической, моды и медианы.

Если , то ряд будет иметь левостороннюю асимметрию (вытянутость), а если , то правостороннюю асимметрию.

В умеренно асимметричных рядах соотношение между указанными показателями выражается следующим образом:

Аналогично медиане рассчитываются показатели, именуемые квартилями.

Квартили - это значения признака в ранжированном ряду распределения, выбранные таким образом, что 25% единиц совокупности будут меньше по величине Q1, 25% будут заключены между Q₁ и Q₂, 25% - между Q₂ и Q₃. Остальные 25% превосходят Q₃.

Для интервального ряда:

Значение квартиля Q₁ находится в интервале 73-101, соответствующего частоте nQ₁ = 54 / 4 = 13,5

Q₂ совпадает с медианой,

Q₂ = 129

Децилем называется структурная переменная, делящая распределение на 10 равных частей по числу единиц в совокупности. Децилей 9, а децильных групп 10. Децили определяются по формулам, аналогичным формуле для расчета медианы и квартилей.

9. Вариация - колеблемость, многообразие, изменяемость величины признака у отдельных единиц совокупности.

Показатели вариации так же, как и средние величины, являются обобщающими характеристиками вариационного ряда. Но, если средние характеризуют ряд распределения с точки зрения величины признака, то показатели вариации характеризуют ряд с точки зрения соотношения отдельных значений ряда относительно друг друга. Два ряда распределения могут иметь различные средние значения, но одинаковую вариацию признака или одинаковое значение средней, но различную вариацию.

Чем больше вариация (разброс), тем дальше в среднем отдельные значения ряда лежат друг от друга (в том числе от среднего значения), тем менее однородна совокупность, тем менее представительна и точна средняя величина. Чем меньше вариация, тем лучше средняя описывает свойства совокупности в целом, что говорит о высокой степени однородности совокупности.

К показателям вариации относятся следующие:

1) Размах вариации -- наиболее простой измеритель вариации и представляет собой разность между наибольшим и наименьшим значениями признака:

R = x_max - x_min,

где x_max - наибольшее значение признака;

х_min - минимальное значение признака.

Величина R показывает, в каких пределах колеблется размер признака, образующего ряд распределения.

2) Среднее линейное отклонение - средняя арифметическая из абсолютных значений отклонений отдельных вариантов (x_i) от их средней

3)

4) Дисперсия представляет собой средний квадрат отклонений значений признака от средней величины.



5) Наиболее удобным и широко распространенным на практике показателем вариации является среднее квадратическое отклонение, которое определяется как квадратный корень из дисперсии и имеет ту же размеренность, что и изучаемый признак.

Среднее квадратическое отклонение характеризует среднее отклонение фактических значений признака в статистической совокупности от их среднего значения.

Чтобы оценить масштабы вариации используют относительные показатели вариации, которые измеряют изменчивость значений признака в относительном выражении по сравнению со средним уровнем, что во многих случаях является более предпочтительным. Относительные показатели вариации, как правило, рассчитывают в процентах.

6) Коэффициент осцилляции - процентное отношение размаха вариации к средней:

7) Линейный коэффициент вариации измеряют через соотношение среднего линейного отклонения и средней:

8) Коэффициент вариации измеряют квадратического отклонения и средней:

По величине коэффициента вариации можно, в частности, судить о степени однородности признаков совокупности. Чем больше его величина, тем больше разброс значений признаков вокруг средней, тем менее однородна совокупность по своему составу и тем менее представительна средняя.

Под однородными данными понимается некоторый уровень их рассеяния, при котором рассчитываемые статистические показатели (средняя, дисперсия и др.) будут давать надежную и качественную характеристику анализируемой совокупности.

В статистике принято считать, что, если значение коэффициента вариации менее 33%, то совокупность данных является однородной, если более 33%, то - неоднородной. В нашем случае коэффициент вариации более 33%, следовательно, рассматриваемая совокупность значений признака является неоднородной.

9) Коэффициент асимметрии - числовая характеризующая степени несимметричности распределения данной случайной величины.

10)

В симметричном распределении величина A_s равна нулю. Если A_s>0, то асимметрия правосторонняя, если A_s<0 - левосторонняя.

11) Коэффициент эксцесса - числовая характеризующая степени остроты пика распределения случайной величины.



Выводы

Выборочная средняя равна 127,4, мода распределения равна 137,6, а медиана 129.

Так как , то имеет место левосторонняя асимметрия. Данный вывод подтверждается и коэффициентом асимметрии, который меньше 0.

В нашем примере довольно высокая степень вариации признака. Чем больше коэффициент вариации, тем менее однородна совокупность, а средняя менее типична как характеристика варьирующего признака.

Коэффициент асимметрии выше 0, это говорит о том, что распределение характеризуется положительной асимметрией.

Коэффициент эксцесса ниже 0, что характеризует плосковершинное распределение.

Среднее квадратичное отклонение равно 45, коэффициент вариации выше 33%, что говорит о неоднородности рассматриваемой совокупности.



Список использованной литературы

1. Балдин, К. В. Общая теория статистики / Балдин К.В., Рукосуев А.В., - 2-е изд. - Москва:Дашков и К, 2017. - 312 с.: ISBN 978-5-394-01872-5. - Текст: электронный. - URL: https://new.znanium.com/catalog/product/415208

2. Бурова, О. А. Статистика: Сборник задач: Учебное пособие / Бурова О.А., - 2-е изд., (эл.) - Москва:МИСИ-МГСУ, 2017. - 127 с.: ISBN 978-5-7264-1648-9. - Текст: электронный. - URL: https://new.znanium.com/catalog/product/971683

3. Громыко, Г. Л. Теория статистики: практикум / Г.Л. Громыко. -- 5-е изд., испр. и доп. -- Москва: ИНФРА-М, 2019. -- 238 с. -- (Высшее образование: Бакалавриат). - ISBN 978-5-16-105312-6. - Текст: электронный. - URL: https://new.znanium.com/catalog/product/988359

4. Ендронова, В. Н. Общая теория статистики: учебник. -- 2-е изд., перераб. и доп. -- Москва: Магистр, 2020. -- 608 с. - ISBN 978-5-16-102083-8. - Текст: электронный. - URL: https://new.znanium.com/catalog/product/1068817

5. Канцедал, С. А. Основы статистики: учебное пособие / С. А. Канцедал. -- М.: ИД «ФОРУМ»: ИНФРА-М, 2019. -- 192 с.: ил. -- (Профессиональное образование). - ISBN. - Текст: электронный. - URL: https://new.znanium.com/catalog/product/1003853

6. Непомнящая, Н. В. Статистика: общая теория статистики, экономическая статистика. Практикум/НепомнящаяН.В., ГригорьеваЕ.Г. - Краснояр.: СФУ, 2015. - 376 с.: ISBN 978-5-7638-3185-6. - Текст: электронный. - URL: https://new.znanium.com/catalog/product/549841

7. Сергеева, И. И. Статистика: учебник / И.И. Сергеева, Т.А. Чекулина, С.А. Тимофеева. -- 2-е изд., испр. и доп. -- Москва: ИД «ФОРУМ»: ИНФРА-М, 2020. -- 304 с. -- (Среднее профессиональное образование). - ISBN 978-5-16-107685-9. - Текст: электронный. - URL: https://new.znanium.com/catalog/product/1080186

8. Статистика в примерах и задачах: Уч.пос./В.И.Бережной, О.Б.Бигдай, О.В.Бережная, Киселева О.А. - Москва: НИЦ ИНФРА-М, 2016. - 288 с. (Высшее образование: Бакалавриат) ISBN 978-5-16-010785-1. - Текст: электронный. - URL: https://new.znanium.com/catalog/product/502176

9. Теория статистики: учебник / под ред. проф. Г.Л. Громыко. -- 4-е изд., перераб. и доп. -- Москва: ИНФРА-М, 2019. -- 465 с. -- (Высшее образование: Бакалавриат). -- www.dx.doi.org/10.12737/textbook_5d0734d6e23853.79720708. - ISBN 978-5-16-107412-1. - Текст: электронный. - URL: https://new.znanium.com/catalog/product/1010682

10. Яковлев, В. Б. Практикум по общей теории статистики: Учебное пособие/ЯковлевВ.Б., ЯковлеваО.А. - Москва: НИЦ ИНФРА-М, 2016. - 382 с. (Высшее образование) ISBN 978-5-16-011272-5. - Текст: электронный. - URL: https://new.znanium.com/catalog/product/518803

Размещено на Allbest.ru