Современные экономико-математические методы принятия инвестиционных решений

Первым понятие реального опциона ввёл Стюарт Майерс в 1977 году. После в 1984 году Карл Кестер определяет, что возможность инвестировать капитал в материальные и нематериальные активы, такие как земля, оборудование, бренды в некоторый момент времени в будущем представляет опцион на покупку или опцион роста по аналогии с финансовым инструментом. [33, 36]

Опцион на выбор момента времени даёт право менеджерам принять решение относительно дополнительных инвестиций в будущем. Как было отмечено выше, для фармацевтической компании может быть более выгодным производить таблетки в качестве спортивной добавки, а проект по выпуску инъекций законсервировать на некоторый срок. «Этот опцион оказывается наиболее ценным в тех проектах, где фирма имеет эксклюзивное право инвестировать в проект, и становится менее ценным - при уменьшении барьеров на вход». [10]

Опцион на выход из инвестиционного проекта или на временное приостановление деятельности - это право отказаться от продолжения участия в проекте или право ликвидировать компанию/актив, чтобы иметь возможность в будущем восстановить бизнес при изменившихся рыночных условиях. В сущности, такой опцион на продажу (put-option) является страховкой от ухудшения экономической конъюнктуры. [23, 27]

Опцион на расширение бизнеса - возможность дополнительного использования избыточных производственных мощностей. Здесь всё соответствует законам рыночного спроса и предложения: при увеличении спроса на продукцию есть смысл привлечения дополнительных инвестиционных ресурсов, позволяющих компании увеличить объемы продаж. Также верна и обратная закономерность по сокращению производственных мощностей при неблагоприятной рыночной конъюнктуре. Например, нефтеперерабатывающему предприятию есть смысл сократить объемы добычи ресурса при появлении на рынке значительного количества сланцевой нефти, которое влечет за собой снижение общего уровня цен на нефть. Также данный опцион можно использовать, если рынок характеризуется цикличностью или сезонностью. [9]

Также существует опцион на изменение ассортимента или на переход к использованию других технологий. При использования такого опциона предполагается прекращение инвестирования в одни активы с заменой их на другие. С течением времени и развитием научно-технического прогресса компания может использовать более дешевое сырье, например. Также опцион на изменение характерен для сферы информационных технологий, где компании соревнуются по использованию более совершенных методов для выпуска телефонов или иной техники, завоевывая большую долю рынка. [5]

Между финансовыми и реальными опционами можно провести аналогию. Так при оценке реальных опционов сохраняются предпосылки, релевантные и для рыночных опционов. В табл. 2. представлены переменные для оценки стоимости рыночного и реального опциона.



Таблица 2. Сравнение параметров для рыночного и реального опционов

Рыночный опцион	Переменная	Реальный опцион
Цена исполнения	K	Стоимость инвестиций для реализации проекта
Цена базового актива (курс акций)	S	Настоящая стоимость денежных потоков, сгенерированных при реализации инвестиционного проекта
Период времени до истечения срока	t	Период, на который может быть отложено исполнение опциона
Волатильность	у	Среднеквадратическое отклонение денежных потоков инвестиционного проекта
Безрисковая процентная ставка	r	Безрисковая ставка процента

Источник: Branch M. Real options in practice

Рыночные опционы используются для разнообразных базовых активов, таких как акции, индексы (stock indexes), государственные облигации, валюта, драгоценные металлы, фьючерсы и т.д. В то время как реальные опционы связаны с инвестиционными решениями и транзакциями в бизнесе.

Несмотря на то, что по сути своей рыночные и реальные опционы похожи, их реализация предполагает ряд различий. Во-первых, при исполнении рыночного опциона инвестор принимает решения, когда все переменные заданы и нет неопределенности. Для реального опциона неопределенность не может быть полностью нивелирована. Во-вторых, время исполнения финансового опциона определено, а точный момент времени для инвестиционного решения в реальном бизнесе не всегда можно определить заранее, сроки могут меняться в зависимости от условий, складывающихся на рынке и внутри самой компании.

Кроме того, цена рыночного опциона складывается на финансовом рынке, в то время как стоимость базового актива может меняться с течением времени. Аргумент относительно отсутствия арбитража сложно применить при оценке реального опциона, так как стоимость реального актива невозможно оценивать на постоянной основе. Реальные активы ликвидны только в некоторых границах, в связи с чем существует проблема асимметрии информации на рынке. Напротив, для финансового опциона предполагается централизованный рынок, где каждый участник обладает полнотой информации. Отсюда возможность и необходимость арбитража. На финансовом рынке каждый участник может приобрести ценную бумагу или реализовать ее по одинаковой цене. Реальный опцион -- это инструмент, который обладает субъективной ценностью для конкретной организации, которая его использует.

Для рыночного опциона обязательно должна быть фиксированная дата исполнения платежа. В реальном секторе экономики инвестиционные проекты реализуются с большим количеством задействованных ресурсов и людей, в связи с чем может появиться временной лаг между моментом времени исполнения опциона и реальной датой строительства нового комплекса или внедрения усовершенствованной технологии. [1]

Два основных подхода для оценки стоимости реальных опционов это биномиальный метод и модель Блэка-Шоулза. Отмечается, что из-за концептуальных различий между рыночным и реальным опционом использование формулы Блэка-Шоулза не всегда целесообразно и может быть рискованно. Аргументация заключается в том, что предпосылки необходимы для модели Блэка-Шоулза не свойственны реальным опционам. [27] Среди предпосылок можно выделить следующие:

Волатильность проекта не является постоянной на протяжении какого-то периода, а также существует сложность при оценке волатильности базового актива.

Отсутствие определенной даты исполнения опциона.

Стоимость базового актива и цена исполнения меняются стохастически вне зависимости от действий других участников финансового рынка.

Доходность не имеет нормального распределения. (Доходы по европейскому опциону на покупку возникают или нет в конце периода, а для реального бизнеса дохода возникают каждый рассматриваемый период).

При этом расчеты по модели Блэка-Шоулза достаточно просты на ЭВМ, так как исходных параметров не так много. «Если планируется непрерывное изменение доходов на достаточно длительном периоде времени, можно использовать формулу Блэка-Шоулза для оценки стоимости рискового капитала». [8]

Более целесообразным считается использование однопериодной или многопериодной биномиальной модели для оценки стоимости реального опциона. Метод предложил У. Шарп, а более сложная многопериодная модель при учете дискретного изменения цены базового актива описывается формулой Кокса-Росса-Рубинштейна. Более подробное описание моделей представлено далее.

2.2 Использование формулы Блэка-Шоулза для оценки стоимости опционов

Ф. Блэк и М. Шоулз в 1973 году предложили модель для оценки стоимости опциона на покупку европейского типа в следующем виде [26]:

(1.7)

. (1.8)

Обозначения в формулах описываются следующим образом:

C(t) - стоимость опциона на покупку;

S - текущая цена базового актива;

r - ставка безрисковой доходости;

X - цена исполнения опциона на покупку;

у - риск базового актива в форме стандартного отклонения;

t - время до исполнения опциона на покупку;

F(z) - функция стандартного нормального распределения.

Так как можно установить паритет между опционом на покупку и опционом на продажу, то можно определить и формулу для оценки стоимости последнего. Существуют также коэффициенты эластичности по каждому параметру, которые показывают изменение стоимости опциона при изменении соответствующего фактора. Например, «чем больше период исполнения опциона, тем больше его стоимость». [8]

При этом для рыночного и реального опциона здесь есть разница. Карл Кестер характеризует инвестиции в развитие бизнеса, которые можно реализовать в будущем периоде и создать новые возможности для извлечения прибыли, как опцион роста. По своей сути он сформулировал понятие реальных опционов. При этом они разделяются на опционы, находящие в собственности и коллективные (proprietary and shared). Для первых характерно наличие эксклюзивного патента, например. Тогда положительная корреляция стоимости опциона и периода его исполнения сохраняется. Реализация опциона второго типа предполагает высокий уровень конкуренции на рынке. Несвоевременное использование встроенного реального опциона может привести к убыткам, так как существует угроза встречных инвестиций со стороны конкурентов. В данном случае связь между стоимостью опциона и сроком его исполнения более сложная и неочевидная. [27, 33]

Оценка стоимости реального опциона с помощью формулы Блэка-Шоулза связана с рядом трудностей, таких как интерпретация текущей цены базового актива и цены исполнения опциона, а также интерпретация полученных результатов. Цена исполнения опциона может рассматриваться как сумма необходимых для инвестиционного проекта расходов, а цена базового актива как чистая настоящая стоимость будущих доходов при реализации инвестиции. Определение волатильности тоже представляет собой определенную трудность в связи с возможной уникальностью инвестиционного проекта. Таким образом, с одной стороны количество параметров уменьшается и расчеты упрощаются, с другой стороны, прогнозные оценки требуют грамотной экспертизы и содержательного обоснования.

2.3 Биномиальная модель для оценки рыночного опциона

Биномиальная модель для оценки ценообразования акции на финансовом рынке была разработана Дж. Коксом, Р. Россом, М. Рубинштейном в 1979 году. Основной предпосылкой является отождествление рынка ценных бумаг с идеальным рынком, на котором отсутствуют арбитражные возможности. Любая финансовая система эволюционирует таким образом, чтобы избежать возможности арбитража, то есть нельзя получить безрисковый доход, который был бы больше дохода на банковском счету. [22]

Суть биномиальной модели сводится к построению дерева решений для оценки стоимости самого опциона и для оценки стоимости базового актива. Выделяется несколько подпериодов, в каждый из которых цена актива может повышаться или понижаться с определенной вероятностью. Вероятность по формуле связана с волатильностью доходности акции. Учитывается предпосылка о риск-нейтральности инвесторов. Отсюда следует, что в каждом подпериоде можно оценить стоимость базового актива и стоимость опциона с учетом того, что при негативном сценарии стоимость опциона оборачивается в ноль, так как его исполнение невыгодно. По аналогии с деревом решений и с учетом опционной теории и разных ставок дисконтирования можно рассчитать стоимость опциона на текущий момент времени.

Использование биномиальной модели для оценки стоимости опциона предполагает ряд предпосылок. Во-первых, период разбивается на несколько подпериодов. Во-вторых, ситуация аппроксимируется и задаются лишь два возможных исхода цены базового актива - повышение и понижение курса акций. В-третьих, оценка доходов в подпериод не зависит от предыдущего значения. В-четвертых, важной предпосылкой является наличие эквивалентного портфеля на финансовом рынке, состоящего из рисковых и безрисковых ценных бумаг. Доходы по данному эквивалентному портфелю равны доходам, которые может принести опцион.

Рассмотрим, как определяется равновесная рыночная цена опциона на основе однопериодной биномиальной модели.

Необходимо задать следующие исходные данные:

Текущая цена базового рискового актива ;

Темп роста цены акции при благоприятном развитии рынка - ;

Темп роста цены опциона при неблагоприятном развитии рынка - ;

Безрисковая ставка процента ;

t - период, t;

Предпосылка про отсутствие арбитража с математической точки зрения записывается следующим образом:

(1.9)

где левая часть уравнения характеризует математическое ожидание стоимости акции, а правая часть характеризует доход, получаемый от акции в конце периода.

Математическое ожидание можно записать следующим образом:

(1.10)

где p - риск-нейтральная вероятность, которая не обладает экономическим содержанием, но реализуется в условиях введенной предпосылки и необходима для расчетов.

Отсюда можно определить формулу для вероятности, нейтральной к риску:



(1.11)

Для анализа доходности инвестору важно оценить значения акции за несколько n подпериодов, тогда формула, представленная выше, преобразуется следующим образом:

(1.12)

В соответствии с теорией вероятности если рассматривать n независимых испытаний, в которых успехом считать повышение цены акции () k раз, а неудачей понижение цены акции () n-k раз, тогда стоимость акции на конец периода будет определяться по формуле:

(1.13)

Тогда по формуле Бернулли вероятность, что цена акции на конец периода примет соответствующее значение равна:

(1.14)

«Отметим, что данная модель описывает поведение цены акции на идеальном рынке, а на реальном рынке существуют арбитражные возможности, связанные, прежде всего, с различным профессионализмом участников рынка, и их разной степенью информированности.»[22] Поэтому на реальном рынке ситуация выглядит иным образом, и капитал перетекает к более квалифицированным владельцам ценных бумаг.

Пусть рациональная стоимость опциона эта стоимость в условиях отсутствия арбитража, а X - цена исполнения опциона. Опцион на покупку будет реализован инвестором только в случае превышения текущей рыночной цены акции над ценой , зафиксированной в контракте (. В противном случае опцион не будет приведен к исполнению. Тогда доход от реализации опциона на покупку описывается по формуле:

(1.15)

Следующим шагом необходимо дисконтировать ожидаемый доход от исполнения опциона (сумма дохода за каждый подпериод, умноженного на соответствующую вероятность) на текущий момент по безрисковой ставке процента:

(1.16)

Бинарное дерево для оценки стоимости базового актива для трёх подпериодов представлено на рис. 4. С помощью биномиальной модели можно вернуться от стоимости опциона на конечный момент времени к текущему моменту , дисконтируя денежные потоки по безрисковой ставке процента с учетом того, что если цена базового актива, умноженная на темп роста, будет меньше стоимости исполнения опциона, то инвестиция не реализуется, а цена опциона равна нулю.



Рис. 4. Бинарное дерево из трех временных подпериодов

Преимуществом биномиального метода для оценки стоимости опциона является его относительная простота по ряду причин. Во-первых, с точки зрения математики модель не предполагает трудоемких и сложных расчетов. Во-вторых, метод не предполагает оценки волатильности, вместо этого учитывается распределение вероятности. В-третьих, дискретный, а не непрерывный подход больше соответствует действительности, так как решения инвесторами принимаются в конкретные моменты времени на основе полученной информации. При увеличении числа подпериодов стоимость опциона стремится к стоимости опциона, рассчитанной по модели Блэка-Шоулза, которая является непрерывной.

Несмотря на то, что мы дисконтируем денежные потоки, порождаемые событиями в будущем, и приводим их стоимость на сегодня, не стоит отождествлять биномиальный метод и метод оценки инвестиционного решения с помощью дерева решений, так как первый включает в себе особенности опционной теории. Одно из отличий заключается в разных подходах к оценке ставки дисконтирования. «Для опционов не существует единственной постоянной ставки дисконтирования, ибо риск опциона непрерывно меняется с течением времени и с изменением цены активов, лежащих в основе опциона.» [5] В то время как для оценки обычного инвестиционного проекта можно рассматривать одну и ту же ставку дисконтирования с точки зрения альтернативной стоимости.

2.4 Практическое применение моделей для оценки стоимости опциона

Проведем анализ по определению стоимости некоторого бизнеса, если срок его реализации составляет 4 года. Будем использовать биномиальную модель по оценке реальных опционов. Проект характеризуется следующими параметрами:

Срок полезного действия проекта T = 3 года;

Базовая условная прибыль без учета условно-постоянных расходов S = 450 млн. у.е.;

Условно-постоянные расходы у.е.;

Темп роста a при благоприятном сценарии будущего развития;

Темп роста b при неблагоприятном сценарии будущего развития;

Безрисковая ставка процента r = 14%;

Темп инфляции ;

Необходимо учесть, что условно-постоянные расходы меняются каждый год в соответствии с темпом инфляции. Необходимые расчеты представлены в табл. 3.

Таблица 3. Условно-постоянные расходы по проекту, у.е.

Параметр:	Год:
	0-й	1-й	2-й	3-й
	1,3	1,4	1,5	-
	0,7	0,8	0,9	-
Инфляция (	-	0,1	0,11	0,12
M	300	330	366,3	410,27



Определим прибыль в первом году при наступлении благоприятного и неблагоприятного сценария.

Для второго года поток рисковой прибыли определяется следующим образом (при наступлении благоприятного сценария в первом году и благоприятного сценария во втором году коэффициент при S будет равен , при наступлении благоприятного сценария в первом и неблагоприятного во втором соответственно коэффициент и т.д.):

Аналогичные расчеты проведены, чтобы получить значение прибыли для всех годов в соответствии с разными вариациями наступлениях благоприятного или неблагоприятного сценария, и представлены в табл. 4. и на графике (рис. 5). В каждом году есть два варианта - развитие с коэффициентом или .

Таблица 4. Распределение рисковой прибыли каждого года, у.е.

Значение прибыли	Год:
	0-й	1-й	2-й	3-й
	-	-	-	-
	-	-	-	818,24
	-	-	452,7	-
	-	-	-	326,84
	-	255	-	-
	-	-	-	291,74
	-	-	101,7	-
	-	-	-	10,94
	450	-	-	-
	-	-	-	251,24
	-	-	74,7	-
	-	-	-	-13,36
	-	-15	-	-
	-	-	-	-32,27
	-	-	-114,3	-
	-	-	-	-183,46

Рис. 5. Расчетные значения прибыли за каждый год

Так как на третий год в трех вариантах значений прибыли из восьми получились отрицательные значения, то данный проект можно считать рискованным, а значит менеджеру необходимо использовать инструменты по управлению рисками, чтобы их сократить. Например, с помощью использования реальных опционов или провести диверсификацию бизнеса. Используя однопериодную биномиальную модель, проведем расчеты для определения настоящей стоимости инвестиционного проекта. Будем интерпретировать распределение прибыли каждого года как распределение дохода по многопериодному опциону со сроком исполнения один, два или три года соответственно. Чтобы использовать формулу для определения стоимости опциона необходимо найти значения величин q и 1-q. В табл. 5 представлены рассчитанные значения с учетом темпов роста и инфляции для каждого года.



Таблица 5. Значения параметров для каждого года

Параметр	Год:
	1-й	2-й	3-й
q	0,666667	0,516667	0,366667
1-q	0,333333	0,483333	0,633333

Рассчитаем настоящую стоимость прибыли первого периода:

Таблица 6. Определение стоимости распределения прибыли первого года, у.е.

Год:
0-й	1-й
-	255
144,7368	-
-	-15

Аналогично рассчитаем значения стоимости для второго и третьего года. Результаты показаны в таблицах 6, 7, 8.

Таблица 7. Определение стоимости распределения прибыли второго года, у.е.

Год:
0-й	1-й	2-й
		452,7
	248,2895
		101,7
140,928
		74,7
	-14,6053
		-114,3



Таблица 8. Определение стоимости распределения прибыли третьего года, у.е.

Год:
0-й	1-й	2-й	3-й
			818,244
		444,757895
			326,844
	243,933518
			291,744
		99,9157895
			10,944
138,4556
			251,244
		73,3894737
			-13,356
	-14,34903047
			-32,256
		-112,29474
			-183,456

На основании полученных результатов можно определить окончательную оценку всего распределения прибыли за каждый год для данного инвестиционного проекта, как сумму полученных оценок стоимости распределения рисковой прибыли за каждый год:

.

Можно сделать вывод, что максимальная инвестиция в данный рисковый проект не должна превышать рассчитанную величину, то есть не должна превышать 424,12 у.е. Так как расходы в нулевой период составляют 300 у.е., то данная инвестиция является релевантной.

Теперь рассмотрим применение формулы Блэка-Шоулза, с помощью которой можно определить цену рыночного опциона на покупку базового актива, которые не предусматривает промежуточных выплат. То есть при условии непрерывного изменения цены финансового инструмента. Формулу также можно применять для оценки стоимости реальных опционов, когда цена базового актива меняется непрерывно. Проведем оценку будущей рисковой инвестиции по формуле Блэка-Шоулза и сравним с полученным результатом при использовании многопериодной биномиальной модели.

Исходные данные для проекта:

Срок полезного использования проекта T = 3 года;

Базовая условная прибыль без учета условно-постоянных расходов S = 450 млн. у.е.;

Условно-постоянные расходы у.е.;

Безрисковая ставка процента r = 14%;

Темп инфляции ;

Риск изменения цены инвестиции - 20%.

Таблица 9. Условно-постоянные расходы по проекту

Параметр:	Год:
	0-й	1-й	2-й	3-й
Инфляция (	-	0,1	0,11	0,12
M	300	330	366,3	410,27

Воспользуемся формулой для оценки стоимости опциона на покупку:

Значение параметра z определяется по следующей формуле:



В табл. 10 представлены расчеты необходимых показателей для 3-х лет.

Таблица 10. Исходные данные и расчетные показатели

t	S	M	z	F(z)	r	у		F(z)	C(t)
1	450	330	2,35	0,990633	14%	20%	2,150774642	2,150774642	163,4142
2		399,3	1,86	0,968484			1,57612303	1,57612303	151,9067
3		439,23	1,65	0,950791			1,306157492	1,306157492	167,2447
Итого:		482,57

Таким образом, общая настоящая стоимость инвестиционного проекта, рассчитанная по формуле Блэка-Шоулза, равна 482,57 у.е. Используя многопериодную биномиальную модель для расчета стоимости опциона на покупку, получили 424,12 у.е. для стоимости проекта. Полученные значения немного различаются, но в целом близки друг к другу. В биноминальной модели предполагается, что будущие значения неопределенных факторов (например, цены акции, стоимости опциона) это дискретный и случайный процесс. Определяются только два значения, но не их вариация. Данный недостаток нивелируются при использовании модели Блэка-Шоулза, однако в данной модели достаточно много допущений, упрощающих реальные экономические условия, поэтому модель только аппроксимирует значение стоимости опциона.

2.5 Сравнение подходов для определения цены рыночного опциона

Оценка стоимости рыночного опциона с помощью дисконтируемых денежных потоков не подходит в силу специфики ценообразования данного финансового инструмента. Можно оценить прогнозные значения для денежных потоков. «А вот определить конкретное значение альтернативных издержек попросту невозможно, поскольку риск опциона меняется при каждом колебании цены акций, и мы знаем, что цена будет колебаться случайным образом на протяжении всей жизни опциона.» [5]

Как было отмечено выше, основная сложность при использовании формулы Блэка-Шоулза для оценки стоимости реального опциона заключается в определении волатильности доходности по проекту, так как аналогов просто может не существовать ввиду инновационной составляющей инвестиции.

В литературе отмечается, что среднеквадратическое отклонение можно рассчитать тремя методами [2]:

Оценка среднеквадратического отклонения инвестиционного проекта, схожего по своим характеристикам с рассматриваемым проектом;

Оценка среднеквадратического отклонения факторов, которые в сильной степени влияют на формируемые денежные потоки и задают неопределенность будущего развития (например, таким фактором могут быть цены на запатентованные лекарства);

Оценка среднеквадратического отклонения акций компании, которая относится к подобной области бизнеса.

Кроме того, если неопределенность проекта связана с неопределенностью в будущих ценах или объемах продаж по активу, реально торгуемому на рынке или биржевому, тогда применение данной модели оправдано и удобно с точки зрения простоты необходимых расчетов. [24] Если проект в большей степени связан с рыночными рисками, тогда использование формулы Блэка-Шоулза имеет смысл. Если же инвестиция больше подвержена частным или диверсифицируемым рискам, то применение данной модели нецелесообразно.

Модель Блэка-Шоулза-Мертона была разработана для оценки европейского опциона на покупку, реализуемого в конце заранее определенного срока, и по базовому активу которого не выплачиваются дивиденды. Разработка модели была прорывом в экономической науке для того времени, но её не презентовали как универсальную методику для оценки более сложных деривативов или реальных опционов. [30]

В ряде случаев инвестиционный проект может быть потенциально доступен нескольким компаниям как, например, строительство завода, при этом для каждой отдельной компании ценность может быть разной. В таком случае имеет смысл оценивать проект также по формуле Блэка-Шоулза, но с экспертной оценкой вводных данных. С другой стороны, чем больше субъективной информации, тем больше риска отдать предпочтение проекту менее рентабельному, но по тем или иным причинам привлекательному для менеджера.

Тимоти А. Лерман в своей статье описывает, как компания может оценивать различные опционы в рамках своей бизнес стратегии. Рассматривается координатная плоскость, где одна координатная прямая характеризует волатильность по базовому активу, а вторая отражает чистую настоящую стоимость по активу, но не по опциону (value-to-cost ratio). В зависимости от комбинации значений вся плоскость разделяется на 6 участков, которые описываются следующим образом:

Инвестировать деньги в данный актив прямо сейчас;

Отказаться от инвестиции;

Скорее всего, лучше инвестировать сейчас;

Возможно, лучше инвестировать позже;

Скорее всего, лучше инвестировать позже;

Возможно, лучше отказаться от инвестиции.

Третья и четвертая альтернативы требуют не только оценку внутренних показателей по проекту, но и оценку рынка в целом - перспективы роста, возможные действия конкурентов и т.д. Пятая альтернатива предполагает, что на данный момент значение NPV отрицательно, однако с учетом опциона оценка может измениться. Кроме того, модель может использоваться для динамического анализа и учета взаимозависимости между несколькими опционами в рамках одной стратегии. С помощью построения модели для оценки опционов можно оценить не только сложные активы, но и сравнивать множество потенциальных возможностей, тогда финансовая составляющая в рамках стратегии играет более «творческую» и значимую роль. [32]

Альтернативой может выступать оценка инвестиционного актива при отказе от использования рыночных активов. [24] В таком случае рассчитывается чистая настоящая стоимость проекта без включения опциона. Данный подход является универсальным, так как не зависит от характеристик базового актива (является ли он торгуемым на рынке или нет), но при этом требует тщательности при оценке инвестиционных вложений. Однако оценка проекта может не соответствовать прогнозам, ведь инновационный продукт может качественно изменить рынок в будущем, увеличить динамику объемов продаж непредсказуемо.

Биномиальная модель предполагает более индивидуализированный подход при оценке реальных опционов, чем формула Блэка-Шоулза. Применение модели требует больше ресурсов и времени, но она позволяет оценить инвестиционный проект таким образом, чтобы наиболее точно оценить его стоимость. [30]

Подводя итог можно отметить, что для инвестора включение реального опциона в проект может обладать высокой ценностью, так как позволит проанализировать точки роста бизнеса или, напротив, возможности по нивелированию убытков, а также позволит построить более гибкую стратегию компании. Реальный опцион -- это не только способ застраховать решения по инвестиционному проекту от рисков, но и возможность использовать условия неопределенности, значительно усилив потенциал компании. Комплексный анализ реальных опционов показывает, что не только риски могут быть сокращены, но и увеличение прибыли возможно при стратегически грамотных действиях.

На основе сравнения основных методов по оценке стоимости опциона можно сделать вывод, что компании скорее заинтересованы в том, чтобы оценивать инвестиционные проекты с встроенными возможностями - реальными опционами - по биномиальной модели, нежели чем по формуле Блэка-Шоулза, так как хоть последняя и более удобна, и проста в расчетах, но не отражает уникальности характеристик инновационного проекта. Кроме того, менеджерам необходимо видоизменить свою систему планирования и бюджетирования таким образом, чтобы анализировать меняющиеся рыночные условия, давать переоценку опционам в зависимости от обстоятельств и принимать решения в определенные по модели моменты времени.



Глава 3. Практическое применение методов для принятия инвестиционных решений

3.1 Цель и содержание проекта

Представим практическое применение методов, описанных в первой главе и сделаем выводы относительно инвестиционного проекта в реальном секторе экономике.

Будет рассматриваться открытие ресторана «Киберфуд» на срок 10 лет. Проведем расчеты относительно прибыли, получаемой по одному конечному продукту - комплексному обеду.

Альтернативой данного проекта является вклад денежных средств на сберегательный счет в банк. Кроме того, будем полагать, что для создания данного бизнеса у инвестора имеются собственные средства, а также необходимы заемные средства, в связи с чем рассмотрим некоторые схемы получения кредита и выплаты процентов.

Сначала будут описаны денежные потоки, описаны их компоненты. Далее проведен расчет основных финансовых показателей и обоснование выплат по кредиту. На следующем этапе применяются основные экономико-математические модели для долгосрочного инвестиционного проекта. Сделаем выводы относительно полученных результатов, используя графическую визуализацию, и предложим рекомендации для данного проекта, анализируя специфику реального бизнеса в целом и ресторанную отрасль в частности.

3.2 Обоснование денежных потоков инвестиционного проекта

Для реализации проекта - открытия ресторана - требуется 400000 у.е. Средства пойдут на приобретение оборудования для кухни и зала для гостей, на необходимую мебель и другие предметы интерьера. Кроме того, включаются затраты на первую партию продуктов.

Основные затраты представлены в табл. 11. Затраты на заработную плату для следующих работников ресторана:

Администратор - 1800 у.е. (2200 у.е. после 3-х лет работы ресторана);

Шеф-повар - 1500 у.е. (2000 у.е. после 3-х лет работы ресторана);

Повар (2 человека) - по 800 у.е. (по 1000 у.е. после 3-х лет работы ресторана);

Бармен (2 человека) - по 600 у.е. (по 750 у.е. после 3-х лет работы ресторана);

Официант (4 человека) - по 200 у.е. (по 300 у.е. после 3-х лет работы ресторана);

Охранник (3 человека) - по 400 у.е. (по 500 у.е. после 3-х лет работы ресторана);

Уборщицы и мойщицы посуды (6 человек) - по 150 у.е. (по 200 у.е. после 3-х лет работы ресторана).

Затраты на коммунальные услуги растут, начиная со 2 года по 5% прироста после каждого следующего года. Прочие расходы могут включать в себя заработную плату для бухгалтера, который периодически составляет финансовую отчетность.

Таблица 11.Постоянные расходы по инвестиционному проекту (у.е.)

Год	Затраты на з/п	Затраты на комм. услуги	Расходы на рекламу	Прочие расходы	Расходы на ремонт	Итого
1	108 000	2 000	3 000	10 000	-	123 000
2	108 000	2 100	3 000	10 000	-	123 100
3	108 000	2 205	3 000	10 000	5 000	128 205
4	139 200	2 315	3 000	10 000	5 000	159 515
5	139 200	2 431	3 000	10 000	5 000	159 631
6	139 200	2 553	3 000	10 000	5 000	159 753
7	139 200	2 680	3 000	10 000	5 000	159 880
8	139 200	2 814	3 000	10 000	5 000	160 014
9	139 200	2 955	3 000	10 000	5 000	160 155
10	139 200	3 103	3 000	10 000	5 000	160 303
Итого	1 298 400	25 156	30 000	100 000	40 000	1 493 556

Переменные затраты включают в себя затраты на продукты, необходимые для приготовления комплексного обеда, и меняются ежегодно в связи с инфляцией. Переменные затраты для разных периодов представлены в таблице 12.

Таблица 12. Переменные расходы по проекту

Год	Цена продуктов для одного обеда (у.е.)
1	7
2	9
3	10
4	10
5	11
6	12
7	13
8	14
9	14
10	15

Будем полагать, что цена обеда в первый год составляет 19 у.е., а далее его стоимость увеличивается на 8% в год. Предположим, что объемы продаж в первый год равны 17500 обедов. Данное число получается из предпосылки о пятидесяти посетителях в период ланча и 350 рабочих дней ресторана в год. Далее объемы продаж возрастают вследствие увеличения потока покупателей из-за большей узнаваемости ресторана и проводимых рекламных кампаний. В табл. 13. Показаны изменения цены обеда и объемов продаж по годам, а также общий доход с продаж, как произведение цены и количества товарных единиц.

Таблица 13. Цены и объемы продаж для комплексных обедов

Год	Цена обеда (у.е.)	Объем продаж за год (кол-во обедов)	Общий доход за год (у.е.)
1	19	17 500	332 500
2	21	18 025	369 873
3	22	18 566	411 452
4	24	19 123	457 700
5	26	19 696	509 128
6	28	20 287	566 357
7	30	20 896	630 027
8	33	21 523	700 846
9	35	22 168	779 597
10	38	22 834	867 260

Зададим то, что ставка налога на прибыль сохранится на уровне 20% в течение десяти лет.

Общие инвестиционные расходы по проекту составляют 400000 у.е. Предположим, что имеется собственный капитал в размере 300000 у.е., следовательно, необходимо взять кредит в банке на сумму 100000 у.е. Рассмотрим условную ставку по кредиту - 15%. Однако если взять статистику по средневзвешенным процентным ставкам по кредитам, предоставленным кредитными организациями физическим лицам в целом по Российской Федерации на 2017 год по кредиту свыше трех лет и найти среднее по месяцам с января по сентябрь, то получается 14,69%. То есть наше предположение соответствует реальной ситуации. [13]

Рассмотрим некоторые схемы для возврата кредита:

Схема с равномерными платежами;

Схема потребительского кредита;

Общая схема;

Схема с равномерными выплатами (аннуитетная схема) предполагает равные суммарные выплаты по кредиту в каждый период. Из таблицы 4. видно, что первые пять лет большая доля выплат идёт на покрытие процентов, а с 7-го года тенденция меняется и в большей степени покрывается тело кредита. Для последовательного нахождения процентов необходимо умножить оставшийся долг на ставку по кредиту.

Схема потребительского кредита (дифференцированный способ) предполагает выплаты по телу кредита равными долями. Сумма долга делится на количество периодов, по которым производится погашение, а суммарные выплаты уменьшаются к концу срока по кредиту.

При использовании общей схемы формируются выплаты по годам в размере, близком к соответствующим выплатам по потребительскому кредиту. Первая компонента подбирается относительно значения настоящей стоимости суммарных выплат кредита.

Схема по погашению кредита выбирается индивидуально и основывается на предпочтениях инвестора. В общем случае можно сказать, что дифференцированный способ выбирается, если кредит предполагается на большой срок и у инвестора есть возможность погасить изначально высокие выплаты, снизив нагрузку в будущем. Выгода появляется в связи с меньшими суммарными выплатами за период по сравнению с аннуитетной схемой. Расчеты для всех трёх схем представлены в таблице 14, 15, 16.

Таблица 14. Схема с равномерными выплатами (у.е.)

Год	Оставшийся долг	Погашенный долг	Проценты	Суммарные выплаты
1	100000	4925	15000	19925
2	95075	5664	14261	19925
3	89411	6514	13412	19925
4	82897	7491	12435	19925
5	75407	8614	11311	19925
6	66792	9906	10019	19925
7	56886	11392	8533	19925
8	45494	13101	6824	19925
9	32393	15066	4859	19925
10	17326	17326	2599	19925
Итого	-	100000	99252	199252

Таблица 15. Схема потребительского кредита (у.е.)

Год	Оставшийся долг	Погашенный долг	Проценты	Суммарные выплаты
1	100000	10000	15000	25000
2	90000	10000	13500	23500
3	80000	10000	12000	22000
4	70000	10000	10500	20500
5	60000	10000	9000	19000
6	50000	10000	7500	17500
7	40000	10000	6000	16000
8	30000	10000	4500	14500
9	20000	10000	3000	13000
10	10000	10000	1500	11500
Итого	-	100000	82500	182500

Таблица 16. Общая схема (у.е.)

Год	Оставшийся долг	Погашенный долг	Проценты	Суммарные выплаты
1	100000	11506	15000	26506
2	88494	9726	13274	23000
3	78769	10185	11815	22000
4	68584	8712	10288	19000
5	59871	9519	8981	18500
6	50352	9447	7553	17000
7	40905	10364	6136	16500
8	30541	10919	4581	15500
9	19622	10057	2943	13000
10	9565	9565	1435	11000
Итого	-	100000	82006	182006
PV	15%	-	-	100000

Из приведенных выше таблиц видно, что использование общей схемы является наиболее релевантным, так как предполагает экономию в размере около 495 у.е. по сравнению с потребительским кредитом. Как было отмечено выше, данная выгода появляется вследствие более высоких выплат в течение первых нескольких лет.

3.3 Формирование денежных потоков инвестиционного проекта

Выше представлены все необходимые компоненты для расчета денежного потока. Мы рассматриваем денежный поток с учетом ограниченности собственного капитала у инвестора и с учетом выплат по кредиту. Выбрана общая схема по критерию минимизации суммарных выплат за весь период. В табл. 17 представлены денежные потоки по данному проекту.

Таблица 17. Денежный поток по инвестиционному проекту

Год	Цена продукта	Объем продаж	Переменные затраты	Постоянные затраты	Денежный поток	Выплаты по кредиту	Итого
0	-	-	-	-	-400000,00	100000,00	-300000,00
1	19	17500	7	123000	87000	-26505,55	60494,45
2	21	18025	9	123100	93200	-23000,00	70200,00
3	22	18566	10	128205	94587	-22000,00	72587,00
4	24	19123	10	159515	108207	-19000,00	89207,00
5	26	19696	11	159631	135809	-18500,00	117309,00
6	28	20287	12	159753	164839	-17000,00	147839,00
7	30	20896	13	159880	195352	-16500,00	178852,00
8	33	21523	14	160014	248923	-15500,00	233423,00
9	35	22168	14	160155	305373	-13000,00	292373,00
10	38	22834	15	160303	364879	-11000,00	353879,00

3.4 Анализ финансовых результатов инвестиционного проекта

Для того чтобы применить описанные выше модели по оценке устойчивости инвестиционного проекта и его риска необходимо рассчитать чистую настоящую стоимость (NPV) и внутреннюю процентную ставку (IRR). Чистую настоящую стоимость рассчитаем при разных значениях ставок расчетного процента и затем для анализа чувствительности выберем максимальную, но не превышающую ставку внутреннего процента. В противном случае проект изначально считается невыгодным. Внутренняя норма доходности - это процентная ставка при условии, что NPV=0. В таблице 18. представлены соответствующие значения.

Таблица 18. Расчет NPV и IRR

Банковский процент	NPV
10%	545870,95
14%	375842,04
18%	249691,29
22%	154533,34
26%	81622,92
30%	24927,67
34%	-19777,49
38%	-55494,83
IRR	32%

Одним из критериев того, что проект стоит исполнить, является положительное значение NPV. На примере показано, что в большинстве случаев данное условие выполняется, и чистая настоящая стоимость по инвестиционному проекту становится отрицательной при достаточно больших значениях банковского процента.

3.5 Однофакторный анализ чувствительности чистой настоящей стоимости инвестиционного проекта

Для оценки устойчивости проекта проведем сначала однофакторный анализ чувствительности и проинтерпретируем полученные результаты. Примем максимально возможную ставку расчётного процента, равную 30%, что меньше внутренней нормы доходности.

Для базового значения цены выберем цену для 5-го года, равную 26 у.е. Так как все остальные факторы считаются фиксированными, то проведем расчеты NPV, который будет меняться соответственно только для пятого периода. В табл. 19. представлены значения новых цен и соответствующие значения чистой настоящей стоимости. Результаты однофакторного анализа также продемонстрированы на рис. 6., где указана зависимость между ценой и NPV.



Таблица 19. Вариация значений NPV в зависимости от изменения цены обеда (у.е.)

Процент изменения цены	Новая цена	NPV
-50%	13	-44033,51
-40%	15,6	-30241,27
-30%	18,2	-16449,04
-20%	20,8	-2656,80
-10%	23,4	11135,43
0%	26	24927,67
10%	28,6	38719,90
20%	31,2	52512,13
30%	33,8	66304,37
40%	36,4	80096,60
50%	39	93888,84

Рис. 6. Зависимость NPV от цены обеда (у.е.)

Отрицательное значение NPV получается при цене за обед 20,8 у.е., что на 20% ниже заявленной. Важно отметить, что мы выбрали достаточно высокую ставку расчетного процента, что является маловероятным. Можно утверждать, что в этом смысле проект является устойчивым по отношению к цене, но мы рассмотрели только один год.

Проведем двухфакторный анализ чувствительности, то есть посмотрим, как цена и переменные издержки влияют на значение чистой настоящей стоимости. Изменение цены происходит относительно 5-го года, а переменных издержек относительно 6-го. Оставим без изменений ставку по банковскому проценту - 30%. В табл. 20. представлены значения NPV при влиянии двух переменных.

Таблица 20. Значения NPV в зависимости от переменных издержек и цены обеда (у.е.)

	Издержки	-50%	-40%	-30%	-20%	-10%	0%	10%	20%	30%	40%	50%
Цена		6,0	7,2	8,4	9,6	10,8	12,0	13,2	14,4	15,6	16,8	18,0
-50%	13	-18816	-23859	-28903	-33946	-38990	-44034	-49077	-54121	-59164	-64208	-69251
-40%	15,6	-5023	-10067	-15111	-20154	-25198	-30241	-35285	-40328	-45372	-50416	-55459
-30%	18,2	8769	3725	-1318	-6362	-11405	-16449	-21493	-26536	-31580	-36623	-41667
-20%	20,8	22561	17518	12474	7430	2387	-2657	-7700	-12744	-17788	-22831	-27875
-10%	23,4	36353	31310	26266	21223	16179	11135	6092	1048	-3995	-9039	-14082
0%	26	50146	45102	40058	35015	29971	24928	19884	14841	9797	4753	-290
10%	28,6	63938	58894	53851	48807	43763	38720	33676	28633	23589	18546	13502
20%	31,2	77730	72686	67643	62599	57556	52512	47469	42425	37381	32338	27294
30%	33,8	91522	86479	81435	76392	71348	66304	61261	56217	51174	46130	41086
40%	36,4	105315	100271	95227	90184	85140	80097	75053	70009	64966	59922	54879
50%	39	119107	114063	109020	103976	98932	93889	88845	83802	78758	73715	68671

Рис. 7. Зависимость NPV от одновременного влияния переменных издержек и цены обеда (у.е.)

Анализ результатов позволяет сделать вывод, что проект не является высоко рискованным и он достаточно устойчив к изменению переменных издержек и цены комплексного обеда. Так, например, если цена обеда будет неизменной, то только при росте затрат в 1,5 раза проект становится невыгодным. При этом повысив цену обеда всего лишь на 10% получится избежать расходов по инвестиционному проекту. Кроме того, если появится необходимость снизить цену обеда на 10%, например, для привлечения клиентов, или цена снизилась из-за влияния внешних факторов, то за чет экономии удельно-переменных затрат на единицу продукции можно компенсировать негативный эффект. Если возможно пересмотреть стоимость продуктов с поставщиками и снизить издержки на 10%, то это компенсирует снижение цены за обед и на 20%.

На рис. 7. проиллюстрирована зависимость чистой настоящей стоимости от цены и переменных издержек на продукцию как часть плоскость, потому что NPV находится в линейной зависимости от выделенных факторов. Об устойчивости проекта к изменению переменных можно судить по наклону графика: чем ниже нулевого значения NPV находится плоскость, тем более чувствителен проект к изменениям. В данном случае инвестиционный проект можно охарактеризовать как достаточно устойчивый к изменению перечисленных факторов. В реальности более вероятно увеличение цены, чем ее снижение. Но даже если она снизится для проведения какой-то акции или иных целей, это можно компенсировать.

3.6 Метод Монте-Карло

Проиллюстрируем использование метода Монте-Карло на нашем примере. Рассмотрим распределение значений NPV в зависимости от имитируемых случайных распределений таких факторов, как цена за комплексный обед в 5-ом году и величина переменных издержек в 6-ом году. Для данных факторов зададим нормальное распределение, а в качестве параметров для среднего значения выберем их прогнозные величины на соответствующие года, а стандартное отклонение для цены равное 5 у.е. и 4 у.е. для переменных издержек. После выполненного алгоритма получаем распределение NPV для 100 итераций. Целью метода Монте-Карло является определение значимости влияния факторов на значение чистой настоящей стоимости. В табл. 21. Представлены расчеты для одного из циклов.

Таблица 21. Имитация распределения случайных величин для 10-го цикла

Номер итерации	Цена 5-го периода, у.е.	Условно-переменные расходы 6-го периода, у.е.
	Среднее значение - 26 у.е.	Среднее значение - 12 у.е.
	Стандартное отклонение - 5	Стандартное отклонение - 4
1	44,34	10,69
2	25,52	13,93
3	29,94	9,29
4	22,99	12,26
5	21,48	15,99
6	26,98	15,53
7	29,71	12,92
8	23,69	10,69
9	37,58	12,88
10	24,61	3,71
…	…	…
90	27,19	14,51
91	20,61	13,95
92	27,67	15,05
93	30,05	11,15
94	31,58	3,94
95	19,58	10,94
96	19,89	17,36
97	21,47	10,25
98	25,68	6,20
99	19,87	13,49
100	18,37	12,76

При использовании метода Монте-Карло мы оцениваем одновременное влияние двух переменных на чистую настоящую стоимость, следовательно, важно доказать отсутствие корреляционной связи между переменными. Для этого можно рассчитать коэффициент парной корреляции и построить статистику для проверки соответствующей гипотезы. Однако в реальности цена продукции, например, явно влияет на спрос на товар. Поэтому при наличии корреляционной зависимости между переменными ее можно учесть при генерации случайных чисел.

В данном случае воспользуемся функцией «КОРРЕЛ», чтобы рассчитать коэффициент парной корреляции, значение которого равно -0,0561, что близко к нулю. Проверим гипотезу, построив статистику вида:

,



где n - объем выборки (n=100). Сопоставим со статистикой имеющей распределение Стъюдента с степенями свободы и доверительный интервал .

0,5562,

Критическое значение коэффициента Стъюдента с 98 степенями свободы и доверительным интервалом, равным 0,95, соответствует 1,984. Так как 0,5562<1,984, то можно принять нулевую гипотезу с вероятностью ошибки первого рода, равной 0,05.

Проведем расчет денежных потоков в рамках одного имитационного цикла (на примере 10-го цикла). Как было оказано выше, значения денежных потоков с фиксированными переменными остаются неизменными для всех итераций, а для 5-го и 6-го периодов существует вариация значений. На основании полученных результатов проведем расчет чистой настоящей стоимости с помощью функции «ЧПС». Была использована ставка расчетного процента наиболее близкая к норме внутренней доходности, равная 30%. В табл. 22 представлены полученные данные.

Таблица 22. Варианты денежного потока рассматриваемого проекта в рамках 10-го цикла, у.е.

№	Цена 5 периода	Усл-пер расх. 6 периода	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	NPV
	26	12	-300000	60494	70200	72587	89207	117309	147839	178852	233423	292373	353879	24928
1	44	11	-300000	60494	70200	72587	89207	478558	174472	178852	233423	292373	353879	127740
2	26	14	-300000	60494	70200	72587	89207	107859	108632	178852	233423	292373	353879	14260
3	30	9	-300000	60494	70200	72587	89207	194925	202898	178852	233423	292373	353879	57239
4	23	12	-300000	60494	70200	72587	89207	58055	142512	178852	233423	292373	353879	7865
5	21	16	-300000	60494	70200	72587	89207	28246	66909	178852	233423	292373	353879	-15826
6	27	16	-300000	60494	70200	72587	89207	136662	76126	178852	233423	292373	353879	15283
7	30	13	-300000	60494	70200	72587	89207	190312	129193	178852	233423	292373	353879	40727
8	24	11	-300000	60494	70200	72587	89207	71775	174354	178852	233423	292373	353879	18157

С помощью полученных значений определим основные характеристики, которые отражают, как влияют факторы риска на чистую настоящую стоимость, и позволяют провести сравнительный анализ. В табл. 23 указаны характеристики распределения NPV для 10-го имитационного цикла.

Таблица 23. Основные характеристики распределения NPV для 10-го цикла

Показатель	Значение
Ожидаемое значение NPV	24718,5
Стандартное отклонение NPV	35326,6
Коэффициент вариации	1,4292
Вероятность отрицательного значения NPV	0,27
Наибольшее значение NPV	127740,21
Наименьшее значение NPV	-72713,96

Чтобы оценить распределение чистой настоящей стоимости построим частотную диаграмму для соответствующих значений. Определим количество необходимых интервалов с помощью формулы Стерджесса:

Длина интервала d определяется по формуле:

На основании полученных величин построим частотную диаграмму значений чистой настоящей стоимости для 10-го цикла имитационных расчетов. Гистограмма позволяет более наглядно оценить результаты. Видно, что большая часть значений NPV находится в положительной области, а конкретные значения попадания NPV в каждую группу зависят от заданного распределения для факторов, то есть нормального распределения. Поэтому распределение NPV имеет схожий тренд к нормальному распределению, если делать вывод по гистограмме на рис. 8.

Рис. 8. Гистограмма NPV при нормальном распределении цены обеда в 5-ом году и условно-переменных затрат в 6-ом году

Большинство значений NPV находится в положительной области, что подтверждает и значение коэффициента вариации. При этом конкретные значения частот попадания в каждый интервал зависят от заданного распределения, которое является нормальным для цены и условно-переменных расходов.

Анализ устойчивости характеристик NPV при изменении выбранных факторов проводился при расчете ожидаемого значения NPV, стандартного отклонения, коэффициента вариации, максимального и минимального значения из 100 возможных, а также вероятности получения отрицательного значения. Перечисленные характеристики представлены в табл. 24, расчеты проведены в 10 циклах. То есть в каждом цикле была проведена генерация случайных величин для цены и переменных издержек, а затем рассчитаны статистические показатели.

Таблица 24. Основные характеристики распределения NPV, выполненных для 10-ти циклов имитационных вычислений, у.е.

Показатель	Цикл имитационных вычислений
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Ожидаемое значение NPV	26362,8	22030,2	24269,9	29579,7	24630,1	22609,0	26456,4	28754,3	21742,6	24718,5
Стандартное отклонение NPV	17385,5	31953,6	12741,3	28981,3	17275,8	28569,5	17046,7	25507,2	31353,0	35326,6
Коэффициент вариации	0,6595	1,4504	0,5250	0,9798	0,7014	1,2636	0,6443	0,8871	1,4420	1,4292
Вероятность отрицательного значения NPV	0,09	0,26	0,03	0,14	0,08	0,21	0,08	0,14	0,26	0,27
Максимальное значение NPV	81722,5	81683,9	50743,7	111596,2	70434,3	79088,2	64032,1	89113,1	96477,9	127740,2
Минимальное значение NPV	-10352,9	-64027,5	-7386,5	-49143,9	-15202,7	-49872,4	-11688,4	-32837,4	-48791,5	-72714

На основе полученных результатов можно сделать следующие выводы. Во-первых, ожидаемое значение NPV во всех 10-ти циклах это положительная величина. Во-вторых, в 4-ти из 10 циклов стандартное отклонение больше ожидаемого значения NPV, что подтверждает и коэффициент вариации. Таким образом, есть возможность получить отрицательное значение, но вероятность в каждом цикле разная. В-четвертых, наибольшее и наименьшее значение по NPV определяют интервал колебания чистой настоящей стоимости. Следовательно, стандартное отклонение NPV характеризует только часть интервала колебаний NPV вследствие имитационных расчетов.

Устойчивость характеристик NPV можно оценить двумя способами - формальными критериями проверки гипотез или с помощью графиков. Рассмотрим тренд для вероятности появления отрицательного значения NPV среди всех 100 значений и для ожидаемого значения NPV. График, приведенный на рис. 9. позволяет сделать вывод о том, что разброс вероятностей достаточно высок. Максимальное и минимальное значение по вероятности отклоняется от среднего значения по выборке, равного 0,16 примерно на 75% в обе стороны. То есть полученные оценки для вероятности сильно зависят от числа циклов и объема выборки. Данный параметр не устойчив. С другой стороны, на рис. 10 интервал колебаний ожидаемого значения NPV узок и находится полностью в положительной области. Здесь отклонения от среднего по выборке 25115,4 в обе стороны составляют примерно 15%. Данная характеристика устойчива.



Рис. 9. Вероятность отрицательного значения NPV по циклам имитации

Рис. 10. Ожидаемое значение NPV по циклам имитации