Общая теория статистики

Размещено на http://www.allbest.ru/

ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФАКУЛЬТЕТ «ЭКОНОМИКА И УПРАВЛЕНИЕ»

КАФЕДРА «ЭКОНОМИКА И ФИНАНСЫ»

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине:

«Общая теория статистики»

Автор работы: Курамшина Э.Д.

Специальность 38.03.01 финансы и кредит

Группа 16ЭЭ1

Руководитель работы В.Н. Деркаченко

Пенза 2017



Содержание

Введение

1. Средние величины и показатели вариации

2. Корреляционный анализ

3. Регрессионный анализ

Список использованных источников



Введение

корреляционный регрессивный статистика величина

Обработка статистических данных уже давно применяется ы самых различных видах человеческой деятельности. Вообще говоря, сложно назвать сферу, где бы она не использовалась. Но в экономике она играет огромную роль, в отличии от других. Ведь экономика имеет дело с обработкой и анализом огромных массивов информации о социально-экономических явлениях и процессах.

Цель - ознакомление с применением средних величин, показателей вариации, корреляционного и регрессивного анализа в статистике. В данной работе поставлены следующие задачи: изучить методику оценки средних величин и методы их вычисления, динамики показателей, их изменение под влиянием различных факторов, измерения величины этого влияния. Задача выявления факторов, определяющий уровень и динамику какого-либо процесса чаще всего решается методами корреляционного и регрессионного анализа.



1. Средние величины и показатели вариации

Задача 1.1.

По статистическим данным: 11, 13, 10, 12, 15, 11, 16, 11, 18 определить среднее значение, моду, медиану, дисперсию, среднеквадратическое отклонение, коэффициент вариации. Каждое значение увеличить на свой номер классного журнала. Дисперсия до одного знака после запятой; среднеквадратическое - до двух; коэффициент вариации - до одного в процентах.

Решение:

Статистические данные: 11, 13, 10, 12, 15, 11, 16, 11, 18

Средняя арифметическая вычисляется по формуле .

- значения признака

- объем совокупности

Мода или модальный признак - это значение признака, которое наиболее часто встречается в данной совокупности.

Mo = 11

Медиана - это значение признака, который лежит в середине ранжированного ряда и делит этот ряд на два равных части.

№ Mе = = = 5

Me = 15

Дисперсия - представляет собой средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней.



= = = = 6, 7

Средне квадратическое отклонение - представляет собой корень квадратический из дисперсии.

= = 2, 58

Коэффициент вариации - применяется не только для характеристики и оценки вариации, но и для характеристики однородности совокупности.

V = * 100% = * 100% = 20 %

Таким образом, вычисленная нами средняя арифметическая составило 13. Мода показывает размер признака, свойственный значительной части совокупности, который равен 11. Медиана показывает, что половина значений не больше 15, а другая половина - не меньше 15. Дисперсия составила 6, 7. Средне квадратическое отклонение получилось равно 2, 58. Коэффициент вариации 10 % < 20% < 25 %( 33, 3 %) указывает, что колеблемость умеренная.

Задача 1.2.

По данным статистики в отчетном периоде по сравнению с базисным доход от реализации продукции предприятия увеличился на 29%, стоимость основных фондов увеличилась на 18%. Определить изменение фондоотдачи. Значения дохода и стоимости основных фондов увеличить на свой номер классного журнала.

Индекс дохода от реализации продукции составил:

Индекс стоимости основных фондов составил:

Рассчитаем индекс фондоотдачи по формуле:

Мы видим, что фондоотдача выросла на 9, 3%.

Задача 1.3

Объем оборота (У) и число работников (m) приведены в таблице 1. Определить среднее значение, моду и медиану.

Таблица 1 - Исходные данные

У	80-100	100-120	120-140	140-160	160-180	180-200
m	6	17	25	28	14	10

Решение:

Составим вспомогательную таблицу 2

Таблица 2 - Расчетные данные

y	m	Середина интервала,	Накопленная частота
80 - 100	6	90	6
100 - 120	17	110	23
120 - 140	25	130	48
140 - 160	28	150	76
160 - 180	14	170	90
180 - 200	10	190	100
Итого	100	-	-

Средний оборот одного работника определим по формуле средней арифметической взвешенной:

= = = 141, 4

Мода - это величина, которой соответствует наибольшая частота или часто встречающаяся случайная величина.

Мода в интервальном ряду рассчитывается по формуле:

где - нижняя граница модального интервала;

- частоты соответственно, модального интервала, интервала предшествующего модальному, и интервала, последующего за модальным.

- ширина интервала

Берем интервал (140 - 160), так как на этот интервал приходится наибольшая частота, равная 28.

Таким образом, наиболее вероятный объем оборота каждого работника составляет 143, 53 ден. ед.

Медиана - это значение, которое делит ряд на две равные части.. Медиана (Ме) в интервальном ряду определяется по формуле:

где - нижняя граница медианного интервала;

n - объем выводки;

- накопленная частота интервала, предшествующего медианному;

- собственная частота медианного интервала

Медианным является первый интервал, имеющий накопленную частоту, превышающую половине объема выборки. В заданном распределении - это интервал (140 - 160) с накопленной частотой 76.

Таким образом, объем оборота половины работников не превышает 141, 43 ден. ед., а другой половины - не менее 141, 43 ден. ед.

Задача 1.4.

По данным таблицы определить среднюю внутригрупповую, межгрупповую и общую дисперсии, а также коэффициент детерминации. В таблице: Х-объем оборота предприятий, млн. руб., mг - число государственных предприятий; mч - частных; mо - общее число (таблица 2). Каждое значение Хi увеличить на свой номер классного журнала.

Решение:

Составим расчетную таблицу 3

Таблица 3 - Расчетные данные

Хi	Середина интервала, Хi	mгi	mчi	moi
9, 0-9, 2	9, 1	-	3	3
9, 2-9, 4	9, 3	-	4	4
9, 4-9, 6	9, 5	-	17	17
9, 6-9, 8	9, 7	11	15	26
9, 8-10, 0	9, 9	13	6	19
100-10, 2	10, 1	18	5	23
10, 2-10, 4	10, 3	6	-	6
10, 4-10, 6	10, 5	2	-	2
Итого	-	50	50	100

Рассчитаем среднее значение и среднюю дисперсию для каждой группы.

Государственные предприятия:



=

+ = 0, 0468

Частные предприятия:

= = 0, 0636

Рассчитаем среднюю из внутригрупповых дисперсий:

Рассчитаем общий средний оборот:

Найдем межгрупповую дисперсию:

Общая дисперсия равна:

Правило сложения дисперсий:

Определим коэффициент детерминации:

Коэффициент детерминации показывает, что на 39% вариация оборота предприятия обусловлена формой собственности предприятия.

Задача 1.5.

Определить среднюю внутригрупповую, межгрупповую и общую дисперсии совокупности, состоящей из трех групп (таблица 3).

Таблица 4 - Исходные данные

1 - группа
Хi	1	2	8
mi	30	15	5
2 - группа
Хi	1	6
mi	10	15
3 - группа
Хi	3	8
mi	20	5

Решение:

Найдем среднее значение и дисперсию по каждой группе:

=4, 2

Рассчитаем среднюю из внутригрупповых дисперсий:

Рассчитаем общее среднее и общую дисперсию.

Определим межгрупповую дисперсию:

Общая дисперсия равна:



Правило сложения дисперсий:

2. Корреляционный анализ

Задача 2. 1.

Определить коэффициент корреляции между У и Х.

Х: 3, 5; 4, 6; 5, 8; 4, 2; 5, 2;

УХ:28, 35; 43, 24; 65, 54; 28, 98; 50, 44.

Оценить значимость коэффициента корреляции при уровне 0, 05. Расчеты и ответы до двух знаков. Вначале определить У, а затем У и Х увеличить на свой номер классного журнала. Результаты:

1) коэффициент корреляции;

2) расчетное и табличное значения критерия Стьюдента и вывод.

Решение:

Рассчитаем значения Y, как отношение YX к X:

Таблица 5 - Отношение YX к X

Х:	3, 5	4, 6	5, 8	4, 2	5, 2
УХ:	28, 35	43, 24	65, 54	29, 98	50, 44
У:	8, 1	9, 4	11, 3	7, 1	9, 7

Таблица 6 - Данные с учетом номера по журналу

Х:	11, 5	12, 6	13, 8	12, 2	13, 2
У:	16, 1	17, 4	19, 3	15, 1	17, 7

Таблица 7 - Для расчета коэффициента корреляции

№ п/п
1	11, 5	16, 1	1, 35	1, 04	185, 15
2	12, 6	17, 4	0, 01	0, 08	219, 24
3	13, 8	19, 3	1, 29	4, 75	266, 34
4	12, 2	15, 1	0, 21	4, 08	184, 22
5	13, 2	17, 7	0, 29	0, 34	233, 64
Итого	63, 3	85, 6	3, 15	10, 29	1088, 59

Рассчитаем необходимые показатели:

Рассчитаем коэффициент корреляции по формуле:

Величина коэффициента корреляции указывает на сильную тесноту связи между показателями X и Y, а его положительное значение характеризует зависимость показателей, т.е. при увеличении значения первого объекта, это приводит к увеличению второго объекта.

Определим расчетное значение критерия Стьюдента:



Табличное значение t-критерия для числа степеней свободы и уровня значимости составляет .

Поскольку , то можно сказать о несущественности связи на уровне значимости 0, 05, коэффициент корреляции статистически не значим.

Задача 2.2.

Определить коэффициент корреляции между количеством деталей (у) и стоимостью их изготовления (х). Оценить его значимость.

Исходные данные:

х 18 22 13 20 15 14

у 17 20 11 18 14 10

Это нулевой вариант. Каждое значение х и у увеличить на свой номер классного журнала.

Результаты:

1.Коэффициент корреляции.

2.Расчетное и табличное значения критерия Стьюдента, вывод о значимости. ВСЕ РЕЗУЛЬТАТЫ до 2-х знаков после запятой.

Решение:

Таблица 8 - Для расчета коэффициента корреляции

№ п/п	Стоимость изготовления,	Количество деталей,
1	26	25	676	625	650
2	30	28	900	784	840
3	21	19	441	361	399
4	18	26	784	676	728
5	23	22	529	484	506
6	22	18	484	324	396
Итого	150	138	3814	3254	3519

Рассчитаем показатели, которые нам понадобятся:

Рассчитаем коэффициент корреляции по формуле:

Величина коэффициента корреляции указывает на очень высокую тесноту связи между стоимостью изготовления деталей и их количеством, а его положительное значение характеризует прямую функциональную зависимость величин, т.е. при увеличении значения первого объекта, это приводит к увеличению второго объекта.

Определим расчетное значение критерия Стьюдента:

Табличное значение t-критерия для числа степеней свободы и уровня значимости составляет .

Поскольку , то различия между выборкой и известной величиной признаются статистически значимыми.

Задача 2.3.

В результате тестирования 7 студентов они получили баллы по теории вероятностей и статистики по сто балльной системе:

Теория вероятностей: 65 90 42 47 84 58 50

Статистика: 51 85 36 63 72 80 40.

Определить коэффициент ранговой корреляции Спирмена и его значимость. Это нулевой вариант. Каждое значение (балл) увеличить на свой номер классного журнала. Расчеты и результат до двух знаков.

Результаты:

1.Коэффициент ранговой корреляции.

2.Расчетное и табличное значения критерия Стьюдента при уровне значимости равным 0, 05 и выводы.

Решение:

Коэффициент Спирмена рассчитывается по формуле:

где- разность между i-ми парами рангов;

n- число ранжируемых значений переменной, т.е. сопоставляемых пар рангов. Для расчета составим вспомогательную таблицу

Таблица 9 - Вспомогательная для расчетов

№, п/п	Баллы по ТВ	Баллы по Статистике			)
1	73	59	5	3	2	4
2	98	93	7	7	0	0
3	50	44	1	1	0	0
4	55	71	2	4	-2	4
5	92	80	6	5	1	1
6	66	88	4	6	-2	4
7	58	48	3	2	1	1
?	14



- ранги студентов по количеству набранных баллов по теории вероятностей и статистике соответственно

Величина коэффициента Спирмена указывает на высокую тесноту связи между баллами, набранными по теории вероятностей и по статистике, а его положительное значение характеризует прямую зависимость, т.е. с ростом одного показателя увеличивается и второй.

Значимость коэффициента ранговой корреляции определим с помощью критерия Стьюдента:

Табличное значение t-критерия для числа степеней свободы и уровня значимости составляет .

Поскольку , то коэффициент ранговой корреляции Спирмена статистически значим.

3. Регрессионный анализ

Задача 3.1.

Построить нелинейную обратную модель связи себестоимости единицы продукции (у) со стоимостью основных фондов (х). Определить характеристики модели.

Каждое значение (у) увеличить на свой номер классного журнала.

Исходные данные:

у: 21; 16; 15; 14; 13; 12, 5; 11; 11, 5; 10; 8

х: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10

Характеристики модели: 1) модель (коэффициенты до 4-х знаков);

2) индекс детерминации (до 2-х знаков);

3) стандартную ошибку (до 4-х знаков);

4) расчетное значения критерия Фишера (до 2-х знаков) и вывод о значимости модели;

5) вывод о значимости коэффициентов модели;

6) доверительные интервалы коэффициентов модели (до 4-х знаков).

Решение:

Уравнение обратной модели имеет вид:

Произведем линеаризацию модели путем замены . В результате получим линейное уравнение .

Таблица 10

№	y	x	X	yX
1	29	1	1	29	1, 00	29, 81	0, 66	60, 84
2	24	2	0, 5	12	0, 25	23, 72	0, 08	7, 84
3	23	3	0, 33	7, 59	0, 11	21, 69	1, 72	3, 24
4	22	4	0, 25	5, 5	0, 06	20, 68	1, 74	0, 64
5	21	5	0, 2	4, 2	0, 04	20, 07	0, 86	0, 04
6	20, 5	6	0, 17	3, 48	0, 03	19, 66	0, 7	0, 49
7	19	7	0, 14	2, 66	0, 02	19, 37	0, 14	4, 84
8	19, 5	8	0, 13	2, 53	0, 02	19, 15	0, 12	2, 89
9	18	9	0, 11	1, 98	0, 01	18, 98	0, 96	10, 24
10	16	10	0, 1	1, 6	0, 01	18, 85	8, 12	27, 04
Итого	212	55	2, 93	70, 54	1, 55	211, 98	15, 1	118, 1
Среднее	21, 2	5, 5	0, 293	7, 054	0, 155	21, 198	1, 51	11, 81



Получим следующее уравнение обратной модели:

Найдем индекс детерминации:

Уравнением регрессии объясняется 87 % дисперсии результативного признака, а на долю прочих приходится 13 % ее дисперсии.

Найдем стандартную ошибку в модели:

Найдем F-критерий Фишера:

По таблице Фишера определим критическое значение F-критерия при уровне значимости и числе степеней свободы . .

Мы видим, что значение критерия больше табличного , следовательно, уравнение регрессии признается статистически значимой с вероятностью 0, 95.

Оценку статистической значимости параметров регрессии и корреляции проведем с помощь t - статистики Стьюдента и путем расчета доверительного интервала каждого из параметров.

Табличное значение t-критерия для числа степеней свободы и уровня значимости составляет .

Рассчитаем остаточную дисперсию:

Определим стандартные ошибки:

Тогда:

Фактические значения t - статистики для параметров , превышают табличные:

поэтому параметры и b статистически значимы.

Рассчитаем доверительные интервалы для параметров регрессии a и b. Определим предельную ошибку для каждого показателя:

Доверительные интервалы:

Анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов приводит к выводу о том, что с вероятностью p=1-0, 05=0, 95% параметры и будут находиться в указанных границах. Так как точка ноль лежит внутри доверительного интервала, то интервальная оценка коэффициентастатистически не значима, для коэффициента статистически значима.

Задача 3.2.

Построить полулогарифмическую модель вида: y=+lnx по данным:

у 10; 13, 4; 15, 4; 16, 5; 18, 6; 19, 1

х 1; 2; 3; 4; 5; 6.

Определить характеристики модели.

Каждое значение (у) увеличить на свой номер классного журнала.

Характеристики модели: 1) модель (коэффициенты до 2-х знаков);

2) индекс детерминации (до 2-х знаков);

3) стандартную ошибку (до 4-х знаков);

4) расчетное и табличное значения критерия Фишера (до 2-х знаков) и вывод о значимости модели.

Решение:

Построим уравнение полулогарифмической модели:



Произведем линеаризацию модели путем замены . В результате получим линейное уравнение .

Таблица 11

№	y	x	X	yX
1	18	1	0	0	0	17, 78	0, 04	30, 25
2	21, 4	2	0, 7	14, 98	0, 49	21, 42	0, 0004	4, 41
3	23, 4	3	1, 1	25, 74	1, 21	23, 5	0, 01	0, 01
4	24, 5	4	1, 4	34, 3	1, 96	25, 06	0, 31	1
5	26, 6	5	1, 6	42, 56	2, 56	26, 1	0, 25	9, 61
6	27, 1	6	1, 8	48, 78	3, 24	27, 14	0, 002	12, 96
Итого	141	21	6, 6	166, 36	9, 46	141	0, 61	58, 24
Среднее	23, 5	3, 5	1, 1	27, 73	1, 57	23, 5	0, 1	9, 71

Получим следующее уравнение обратной модели:

Рассчитаем индекс детерминации:

Значение коэффициента детерминации указывает на то, что вариация Y на 99% обусловлена вариацией показателя X и на 1% - влиянием прочих факторов, не учтенных в модели.

Рассчитаем стандартную ошибку по формуле:



Проведем оценку значимости уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера:

По таблице Фишера определим критическое значение F-критерия при уровне значимости и числе степеней свободы . .

Так как наблюдаемое значение критерия больше табличного , то гипотеза о случайной природу оцениваемых характеристик отклоняется и признается их значимость и надежность, с вероятностью 0, 95 уравнение регрессии признается статистически значимым.

Задача 3.3.

Реальные статистические данные о рождаемости в Пензенской области приведены в таблице 12

Таблица 12 - Динамика коэффициента рождаемости в Пензенской области

Год	2000	2001	2002	2003	2004	2005
Коэффициент рождаемости	7, 5	7, 5	8, 0	8, 4	8, 6	8, 4
Год	2006	2007	2008	2009	2010	2011
Коэффициент рождаемости	8, 6	9, 7	10, 2	10, 3	10, 2	10, 1
Год	2012	2013	2014	2015	2016
Коэффициент рождаемости	10, 8	10, 6	10, 8	10, 7	10, 2

Построить трендовую линейную регрессионную модель. Определить коэффициент детерминации, стандартную ошибку, значимость модели и ошибку аппроксимации. Спрогнозировать коэффициент рождаемости в 2017г. В электронную таблицу вместо года ставить 1, 2, …

Решение:

Построим уравнение линейного тренда коэффициента рождаемости, которое имеет вид:

где и найдем из системынормальных уравнений.

Таблица 13 - Данные для расчета линейного уравнения тренда

Год	t	Коэффициент рождаемости,	t2
2000	1	7, 5	1	7, 5	7, 7	0, 04	3, 79	0, 03
2001	2	7, 5	4	15	7, 9	0, 17	3, 79	0, 05
2002	3	8	9	24	8, 1	0, 02	2, 09	0, 02
2003	4	8, 4	16	33, 6	8, 3	0, 00	1, 10	0, 01
2004	5	8, 6	25	43	8, 6	0, 00	0, 72	0, 00
2005	6	8, 4	36	50, 4	8, 8	0, 15	1, 10	0, 05
2006	7	8, 6	49	60, 2	9, 0	0, 16	0, 72	0, 05
2007	8	9, 7	64	77, 6	9, 2	0, 23	0, 06	0, 05
2008	9	10, 2	81	91, 8	9, 4	0, 57	0, 57	0, 07
2009	10	10, 3	100	103	9, 7	0, 41	0, 73	0, 06
2010	11	10, 2	121	112, 2	9, 9	0, 10	0, 57	0, 03
2011	12	10, 1	144	121, 2	10, 1	0, 00	0, 43	0, 00
2012	13	10, 8	169	140, 4	10, 3	0, 23	1, 83	0, 04
2013	14	10, 6	196	148, 4	10, 5	0, 00	1, 33	0, 01
2014	15	10, 8	225	162	10, 8	0, 00	1, 83	0, 00
2015	16	10, 7	256	171, 2	11, 0	0, 08	1, 57	0, 03
2016	17	10, 2	289	173, 4	11, 2	0, 99	0, 57	0, 10
Итого	153	160, 6	1785	1534, 9	160, 5	3, 15	22, 78	0, 59

Отсюда уравнение линейного тренда принимает окончательный вид:

Положительное значение коэффициента при t указывает на то, что имеется тенденцию роста, причем величина роста ежегодно составляет в среднем 0, 219 единиц.

Рассчитаем коэффициент детерминации по формуле:

Таким образом на 86% вариация коэффициента рождаемости обусловлена зависимостью от времени, на 13, 8% - влиянием прочих факторов, не включенных в данную модель.

Стандартную ошибку рассчитаем по формуле:



Коэффициент аппроксимации определили по формуле:

Качество модели определим с помощью средней ошибки аппроксимации:

Допустимый предел значений - не более 10 %, это говорит о том, что уравнение регрессии точно аппроксимирует исходную зависимость.

В среднем, расчетные значения отклоняются от фактических на 3, 5%. Поскольку ошибка меньше 7%, то данное уравнение качественно описывает тенденцию изменения коэффициент рождаемости.

Оценим статистическую значимость уравнения регрессии в целом с помощью F-критерия Фишера. Фактическое значение F-критерия рассчитаем по формуле:

При уровне значимости и степенях свободы табличное значение критерия составляет . Так как , то гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их значимость и надежность и уравнение регрессии признается статистически значимым.

По уравнению тренда найдем прогноз величины коэффициента рождаемости на 2017 год:

Задача 3.4.

Реальные статистические данные о курсе валют приведены в таблице 3.2. Построить линейную и нелинейные регрессионные модели вида: у = ао + а1t; lnу = ао + а1t; у = 1/(ао + а1t). Определить коэффициент детерминации, стандартную ошибку, значимость модели и ошибку аппроксимации. В электронную таблицу вместо года записывать 1, 2, … По стандартной ошибке выбрать лучшую модель и спрогнозировать цену одного доллара в декабре 2017 года.

Таблица 14 - Курс рубля к доллару

Месяц и год	январь 2017	февраль	март	апрель	май	июнь	июль	август 2017
Цена одного доллара	59, 6	58, 5	58, 0	56, 4	57, 0	57, 9	59, 7	59, 6

Решение:

Построим уравнение линейного тренда курса доллара, которое имеет вид:

где и найдем из системынормальных уравнений.

Таблица 15 - Данные для расчета линейного уравнения тренда

месяц	t	Курс доллара, руб.	t2
Январь	1	59, 6	1	59, 6	58, 075	2, 33	1, 59	0, 03
Февраль	2	58, 5	4	117	58, 15	0, 12	0, 03	0, 01
Март	3	58	9	174	58, 225	0, 05	0, 11	0, 00
Апрель	4	56, 4	16	225, 6	58, 3	3, 61	3, 75	0, 03
Май	5	57	25	285	58, 375	1, 89	1, 79	0, 02
Июнь	6	57, 9	36	347, 4	58, 45	0, 30	0, 19	0, 01
Июль	7	59, 7	49	417, 9	58, 525	1, 38	1, 86	0, 02
Август	8	59, 6	64	476, 8	58, 6	1, 00	1, 59	0, 02
Итого	36	466, 7	204	2103, 3	466, 7	10, 68	10, 92	0, 14

Отсюда уравнение линейного тренда принимает окончательный вид:

Положительное значение коэффициента при t указывает на то, что имеется тенденцию роста курса доллара, причем величина прироста ежегодно составляет в среднем 0, 075 руб.

Рассчитаем коэффициент детерминации по формуле:

Таким образом на 2% вариация курса доллара обусловлена зависимостью от времени, на 98% - влиянием прочих факторов, не включенных в данную модель.

Стандартную ошибку рассчитаем по формуле:

Коэффициент аппроксимации определили по формуле:

Качество модели определим с помощью средней ошибки аппроксимации:

Допустимый предел значений - не более 10 %, это говорит о том, что уравнение регрессии точно аппроксимирует исходную зависимость.

В среднем, расчетные значения отклоняются от фактических на 1, 75%. Поскольку ошибка меньше 7%, то данное уравнение качественно описывает тенденцию курса доллара.

Оценим статистическую значимость уравнения регрессии в целом с помощью F-критерия Фишера. Фактическое значение F-критерия рассчитаем по формуле:



При уровне значимости и степенях свободы табличное значение критерия составляет . Так как , то нет основания отклонять нулевую гипотезу.

Построим уравнение нелинейного тренда курса доллара, которое имеет вид:

Введем замену

Таблица 16- Данные для расчета уравнения тренда

месяц	t	Курс доллара, руб.		t2
Январь	1	59, 6	4, 09	1	4, 09	58, 62	0, 97	1, 59	0, 02
Февраль	2	58, 5	4, 07	4	8, 14	59, 26	0, 58	0, 03	0, 01
Март	3	58	4, 06	9	12, 18	59, 92	3, 68	0, 11	0, 03
Апрель	4	56, 4	4, 03	16	16, 13	60, 58	17, 49	3, 75	0, 07
Май	5	57	4, 04	25	20, 22	61, 25	18, 08	1, 79	0, 07
Июнь	6	57, 9	4, 06	36	24, 35	61, 93	16, 24	0, 19	0, 07
Июль	7	59, 7	4, 09	49	28, 63	62, 61	8, 50	1, 86	0, 05
Август	8	59, 6	4, 09	64	32, 70	63, 31	13, 74	1, 59	0, 06
Итого	36	466, 7	32, 53	204	146, 43	487, 48	79, 29	10, 92	0, 39



Отсюда уравнение линейного тренда принимает окончательный вид:

Коэффициент аппроксимации определили по формуле:

Качество модели определим с помощью средней ошибки аппроксимации:

Допустимый предел значений - не более 10 %, это говорит о том, что уравнение регрессии точно аппроксимирует исходную зависимость.

В среднем, расчетные значения отклоняются от фактических на 4, 88%. Поскольку ошибка меньше 7 %, то данное уравнение качественно описывает тенденцию курса доллара.

Построим уравнение нелинейного тренда курса доллара, которое имеет вид:

Введем замену



Таблица 17 - Данные для расчета уравнения тренда

месяц	t	Курс доллара, руб.		X	X2
Январь	1	59, 6	0, 02	1, 00	1, 00	0, 02	59, 21	0, 15	1, 59	0, 01
Февраль	2	58, 5	0, 02	0, 50	0, 25	0, 01	60, 57	4, 28	0, 03	0, 04
Март	3	58	0, 02	0, 33	0, 11	0, 01	62, 00	15, 97	0, 11	0, 07
Апрель	4	56, 4	0, 02	0, 25	0, 06	0, 00	63, 49	50, 30	3, 75	0, 13
Май	5	57	0, 02	0, 20	0, 04	0, 00	65, 06	64, 99	1, 79	0, 14
Июнь	6	57, 9	0, 02	0, 17	0, 03	0, 00	66, 71	77, 64	0, 19	0, 15
Июль	7	59, 7	0, 02	0, 14	0, 02	0, 00	68, 45	76, 50	1, 86	0, 15
Август	8	59, 6	0, 02	0, 13	0, 02	0, 00	70, 27	113, 94	1, 59	0, 18
Итого	36	466, 7	0, 14	2, 72	1, 53	0, 05	515, 76	403, 77	10, 92	0, 86

Отсюда уравнение линейного тренда принимает окончательный вид:

Коэффициент аппроксимации определили по формуле:

Качество модели определим с помощью средней ошибки аппроксимации:

В среднем, расчетные значения отклоняются от фактических на10, 75%. Поскольку ошибка выше10%, то данное уравнение некачественно описывает тенденцию курса доллара.

По величине средней ошибки наиболее качественно описывает зависимость линейная модель, используем ее для построения прогноза курса доллара на декабрь 2017 года:

Курс доллара в декабре 2017 года по прогнозу составит 58, 9 рублей.

Задача 3.5.

По статистическим данным таблицы 3.3 определить средние величины, структурные средние и показатели вариации. Построить линейную модель связи показателя со временем и оценить ее качество. Номер страны соответствует номеру студента по классному журналу.

Таблица 18 - Курсы иностранных валют по отношению к российскому рублю

Страна	Наименование валюты	2010	2011	2012	2013	2014	2015
8.Дания	датская крона	5, 41	5, 606	5, 395	6, 031	9, 202	1, 068

Решение:

Поскольку данные представлены на конец каждого года, то средний курс определим по формуле средней хронологической простой:

- количество лет

Мода или модальный признак - это значение признака, которое наиболее часто встречается в данной совокупности. В данном случае мода отсутствует, поскольку каждое значение встречается всего один раз.

Медиана - это значение признака, который лежит в середине ранжированного ряда и делит этот ряд на два равных части. Медиана в четном ряду равна среднему из серединных значений. Ранжируем ряд данных: 1, 068; 5, 395;5, 41; 5, 606; 6, 031; 9, 202. Медиана равна:

Рассчитаем дисперсию по формуле:

Среднее квадратическое отклонение равно:

Коэффициент вариации рассчитаем по формуле:

Таким образом, среднегодовой курс датской кроны составил 5, 89 руб. со средним квадратическим отклонением 1, 38. Дисперсия составила 1, 92. Медиана показывает, что курс половины лет не превышал 5, 5 руб., а другой половины - не менее 5, 5. Коэффициент вариации 10 % < 23% < 25 %( 33, 3 %) указывает, что колеблемость умеренная.

Построим уравнение линейного тренда коэффициента рождаемости, которое имеет вид:

где и найдем из системынормальных уравнений.

Таблица 19 - Данные для расчета линейного уравнения тренда

Год	t	Курс датского крона, руб.	t2
2010	1	5, 41	1	5, 41	6, 177	0, 59	0, 23	0, 14
2011	2	5, 606	4	11, 212	5, 887	0, 08	0, 08	0, 05
2012	3	5, 395	9	16, 185	5, 597	0, 04	0, 24	0, 04
2013	4	6, 031	16	24, 124	5, 307	0, 52	0, 02	0, 12
2014	5	9, 202	25	46, 01	5, 017	17, 51	10, 97	0, 45
2015	6	1, 068	36	6, 408	4, 727	13, 39	23, 25	3, 43
Итого	21	32, 712	91	109, 349	32, 712	32, 13	34, 79	4, 23

Отсюда уравнение линейного тренда принимает окончательный вид:



Отрицательное значение коэффициента при t указывает на то, что имеется тенденция снижения, причем величина снижения ежегодно составляет в среднем 0, 29 руб.

Коэффициент аппроксимации определили по формуле:

Качество модели определим с помощью средней ошибки аппроксимации:

В среднем, расчетные значения отклоняются от фактических на 70, 5%. Поскольку ошибка выше10%, то данное уравнение качественно описывает тенденцию курса датского крона.

Рассчитаем коэффициент детерминации по формуле:

Таким образом на 92% вариация курса датского крона обусловлена зависимостью от времени, на 8% - влиянием прочих факторов, не включенных в данную модель.

Оценим статистическую значимость уравнения регрессии в целом с помощью F-критерия Фишера. Фактическое значение F-критерия рассчитаем по формуле:



При уровне значимости и степенях свободы табличное значение критерия составляет . Так как , то уравнение регрессии признается статистически значимым.

Задача 3.6.

По статистическим данным Росстата (таблица 20) выполнить комплексный статистический анализ инвестиций в основной капитал.

Таблица 20 - Инвестиции в основной капитал, млн. руб.

Регионы	2012	2013	2014
Киpовская область	50545	58655	56294

Этапы:

- графическое представление информации и ее анализ;

- определение средних величин и показателей вариации;

- определение коэффициента корреляции между инвестициями и выбранным автором фактором по данным Росстата; оценка значимости коэффициента корреляции;

- определение показателей динамики инвестиций и их анализ;

- построение регрессионной модели связи инвестиций со временем (годами) и ее статистический анализ.

Решение:

Изобразим динамику инвестиций в основной капитал по Кировской области в 2012 - 2014 гг. графически.



Рис. 1 - динамика инвестиций в основной капитал за период 2012 - 2014 гг.

Как показывает графическое изображение, величина инвестиций в основной капитал в Кировской области в 2013 году возросла по сравнению в 2012 годом, а в 2014 году не много снизилась, в сравнении с 2013 годом, но по сравнению с 2012 годом она возросла.

Рассчитаем средний объем инвестиций по формуле средней арифметической простой:

- количество лет

Рассчитаем дисперсию по формуле:

Среднее квадратическое отклонение равно:



Коэффициент вариации рассчитаем по формуле:

Среднегодовой объем инвестиций в основной капитал за период 2012 - 2014 гг. по Кировской области составил 55164, 67 млн. руб. со среднеквадратическим отклонением 3405, 83 млн. руб. Коэффициент вариации показывает, что динамика объема инвестиций однородна.

По данным Росстата получим величину валового регионального продукта за период 2012 - 2014 гг. в Кировской области.

Таблица 21 - Валовой региональный продукт, млн.руб.

Регион	2012	2013	2014
Кировская область	208505, 4	224152, 3	254089, 4

Для расчета коэффициента корреляции между величиной ВРП и объемом инвестиций в основной капитал составим таблицу 3.6.

Таблица 22 - Данные для расчета коэффициента корреляции

№ п/п	ВРП,	Объем инвестиций,
1	208505, 4	50545	10538905443
2	224152, 3	58655	13147653156, 5
3	254089, 4	56294	14303708683, 6
Итого	686747, 1	165494	37990267283, 1

Рассчитаем необходимые показатели:



=357661832

Рассчитаем коэффициент корреляции по формуле:

Отрицательное значение коэффициент корреляции указывает на наличие прямой, однонаправленной связи между валовым региональным продуктом и объемом инвестиций в основной капитал, и между ними происходит средняя корреляция.

Определим расчетное значение критерия Стьюдента:

Табличное значение t-критерия для числа степеней свободы и уровня значимости составляет .

Поскольку , то коэффициент корреляции статистически не значим.

Рассчитаем показатели динамики в основной капитал.

Рассчитаем абсолютные приросты:

- цепной абсолютный прирост - разница между показателем анализируемого уровня и уровня предыдущего:



- базисный абсолютный прирост - разница между показателем анализируемого уровня и уровня, принятого за базис (2012г):

=

Темп роста - это показатель интенсивности изменения уровня ряда, который выражается в процентах:

- цепной темп роста - отношение показателя анализируемого уровня к показателю предыдущего уровня:

- базисный темп роста - отношение показателя анализируемого уровня к показателю базисного уровня:

Темп прироста показывает относительную величину прироста и показывает, на сколько процентов сравниваемый уровень больше или меньше уровня, принятого за базу сравнения:

- цепной темп прироста:

- базисный темп прироста:

В сравнении с 2012 годом объем инвестиций в 2013 году возросло на 8110 млн. руб. или на 16, 04% в относительном выражении. В 2014 году по сравнению с 2013 годом мы наблюдаем сокращение объема инвестиций на 2361 млн. руб. или на 4, 03% в относительном выражении.

Построим уравнение линейного тренда объема инвестиций в основной капитал, которое имеет вид:

где и найдем из системы нормальных уравнений.



Таблица 23 - Данные для расчета линейного уравнения тренда

Год	t	Объем инвестиций, млн. руб., y	t2
2012	1	50545	1	50545	52290, 2	8262577, 78	21341350, 9	3, 45
2013	2	58655	4	117310	55164, 7	0, 001	12182403, 5	5, 95
2014	3	56294	9	168882	58039, 2	8262922, 72	1275386, 25	3, 1
Итого	6	165494	14	336737	165494, 1	16525500, 5	34799140, 6	12, 5

Отсюда уравнение линейного тренда принимает окончательный вид:

Положительное значение коэффициента при t указывает на то, что имеется тенденция роста основного капитала, причем величина прироста ежегодно составляет в среднем 2874, 5 млн.руб.

Коэффициент аппроксимации определили по формуле:

Качество модели определим с помощью средней ошибки аппроксимации:



В среднем, расчетные значения отклоняются от фактических на 416%. Поскольку ошибка больше 7%, то данное уравнение качественно описывает тенденцию инвестиций.

Рассчитаем коэффициент детерминации по формуле:

Таким образом на 47% вариация объема инвестиций обусловлена зависимостью от времени, на 53% - влиянием прочих факторов, не включенных в данную модель.



Заключение

Целью данной работы было ознакомиться с данными показателями и узнать, как они применяются.

Для достижения поставленных задач в данной работе были использованы показатели вариации, а также были проведены расчеты, позволяющие утверждать о существовании корреляционной и регрессивной связи между изучаемыми показателями. Рассчитаны структурные средние, такие как мода и медиана. С помощью коэффициента вариации измеряется уровень изменчивости признака.

Поставленные задачи в работе выполнены в полном объеме.



Список использованных источников

1. «Теория статистики» под редакцией Р.А. Шмойловой/ «ФиС», 2012

2. Громыко, Г.Л. Теория статистики: Практикум / Г.Л. Громыко. - М.: НИЦ ИНФРА-М, 2013. - 238 c.

3. Яковлева, А.В. Экономическая статистика: Учебное пособие / А.В. Яковлева. - М.: ИЦ РИОР, 2013. - 95 c.

4. Статистика / Под ред. В.С. Мхитаряна. - М.: Юрайт, 2013. - 592 с.

5. Бычкова, С.Г. Социально-экономическая статистика: Учебник для бакалавров / С.Г. Бычкова. - М.: Юрайт, 2013. - 591 c.

6. Статистика: учебник для вузов / под ред. И. И. Елисеевой. - СПб: Питер, 2012. - 368 с.

7. Мелкумов, Я.С. Социально-экономическая статистика: Учебное пособие / Я.С. Мелкумов. - М.: ИНФРА-М, 2013. - 236 c.

8. Теория статистики / Под ред. В.В. Ковалева. - М.: Юрайт, 2013. - 46

9. Статистика: Учебное пособие / коллектив авторов; под ред. В.Н. Салина, Е.П. Шпаковской. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: КНОРУС, 2014

10. Сайт Росстата http:// www. gks. ru.

Размещено на Allbest.ru