Проведение корреляционно-регрессионного анализа

Размещено на http://www.allbest.ru/

ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФАКУЛЬТЕТ «ЭКОНОМИКА И УПРАВЛЕНИЕ»

КАФЕДРА «ЭКОНОМИКА И ФИНАНСЫ»

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине:

«Общая теория статистики»

Выполнил студент: Бегчина В. А.

Группа 16ЭЭ2

Направление подготовки: 38.03.01 Экономика

Руководитель:

Деркаченко В. Н.

Пенза, 2017



Введение

С незапамятных времен человечество осуществляло учет многих сопутствующих его жизнедеятельности явлений и предметов и связанные с ним вычисления.

Люди получали разносторонние, хотя и различающиеся полнотой на различных этапах общественного развития. Данные, учитывавшиеся повседневно в процессе принятия хозяйственных решений, а в обобщенном виде и на государственном уровне при определении русла экономической и социальной политики и характера внешнеполитической деятельности.

Руководствуясь соображениями зависимости благосостояния нации от величины создаваемого полезного продукта, интересов стратегической безопасности государств и т. д., издавна отчетливо осознавалась и реализовывалась в форме различных учетных акций.

С учетом достижений экономической науки стал возможен расчет показателей, обобщенно характеризующих результаты воспроизводственного процесса на уровне общества.

Всю перечисленную информацию в постоянно возрастающих объемах предоставляет обществу статистика, являющаяся необходимо принадлежностью государственного аппарата.

Статистика - отрасль знаний, в которой излагаются общие вопросы сбора, измерения и анализа массовых статистических (количественных или качественных) данных. Статистика разрабатывает специальную методологию исследования и обработки материалов: массовые статистические наблюдения, метод группировок, средних величин, индексов, балансовый метод, метод графических изображений и другие методы анализа статистических данных.

В данной курсовой работе рассмотрено значение статистических таблиц в экономике, так как статистические таблицы позволяют решать многие задачи при изучении изменения явлений во времени, структуры явлений и их взаимосвязей.

Основными задачами статистики являются:

1. сбор, обработка, анализ и хранение информации;

2. доведение обработанной информации до органов управления всех уровней;

3. ознакомление широкой общественности и населения с динамикой и дислокацией социально-экономических явлений в стране путем издания статистических сборников, справочников, обзоров, публикаций в печатных и электронных СМИ;

4. международное сопоставление уровня социально-экономического развития разных стран.

Таким образом, статистика играет важную роль в жизни общества. Проблема статистического анализа является актуальной, общественно значимой, так как статистика имеет прямую связь с экономической теорией и другими науками. Основными функциями статистики являются: аналитическая, учетная, распределительная, стимулирующая, контрольная, функция сравнения, оценочная и функция прогнозная.

Данная курсовая работа состоит из трех частей - средние величины и показатели вариации, корреляционный анализ, регрессионный анализ. В каждой из этих частей будет подробно рассмотрена теория, необходимые расчеты, и сделан грамотный, обоснованный вывод.

Целью написания работы является расчет средних величин, показателей вариации, а также проведение корреляционно-регрессионного анализа. Основными задачами исследования в работе являются:

1. Теоретическое обоснование сущности, общих понятий и методов расчета средних величин;

2. Исследование системы показателей и информационной базы корреляционно-регрессионного анализа;

3. Выполнение расчетов.



1. Средние величины и показатели вариации

Средняя величина - это обобщающая характеристика варьирующего признака единиц качественно однородной совокупности.

Средние величины используются в планировании, анализе выполнения планов, расчетах экономической эффективности общественного производства и т.д. Сравнивая изменение средних уровней во времени, статистика тем самым характеризует важнейшие закономерности развития явлений.

Существует 2 класса средних величин: степенные и структурные.

К структурным средним относятся мода и медиана, но наиболее часто применяются степенные средние различных видов.

Степенные средние могут быть простыми и взвешенными.

Простая средняя величина рассчитывается при наличии двух и более несгруппированных статистических величин, расположенных в произвольном порядке по следующей общей формуле:

вариация стьюдент детерминация регрессия

Взвешенная средняя величина рассчитывается по сгруппированным статистическим величинам с использованием следующей общей формулы:

где X - значения отдельных статистических величин или середин группировочных интервалов;

m - показатель степени

Вариация - это различие значений величин X у отдельных единиц статистической совокупности. Для изучения силы вариации рассчитывают следующие показатели вариации: размах вариации, среднее линейное отклонение, линейный коэффициент вариации, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, квадратический коэффициент вариации.

Задание 1.1

По статистическим данным необходимо определить среднее значение, моду, медиану, дисперсию, среднеквадратическое отклонение, коэффициент вариации. Каждое значение было увеличено на номер классного журнала (2). Дисперсия до одного знака после запятой; среднеквадратическое - до двух; коэффициент вариации - до одного в процентах.

Дано (х):	5;	7;	4;	9;	5;	7;	10;	5;	12;

Определим среднее значение:

Моду: - наиболее часто встречающееся значение ряда.

Медиана - то значение, которое делит ряд на две равные части.

Для ее расчета расположим ряд в порядке возрастания:

5,	7,	4,	9,	5,	7,	10,	5,	12.

Количество элементов 9, нечетное количество, медианой будет являться число 5, так как оно занимает центральное положение среди совокупности упорядоченных по возрастанию чисел.

Вычислим дисперсию: Дисперсия - это средний квадрат отклонений значений X от среднего арифметического значения.

=10,1

Вычислим среднеквадратическое отклонение:

И коэффициент вариации составит:

Задание 1.2

По данным статистики в отчетном периоде по сравнению с базисным доход от реализации продукции предприятия увеличился на 23%, стоимость основных фондов увеличилась на 12%. Определить изменение фондоотдачи.

Фондоотдача - это финансовый коэффициент, характеризующий эффективность использования основных средств организации. Фондоотдача показывает, сколько выручки приходится на единицу стоимости основных средств.

, соответственно изменение фондоотдачи:

= 9,82%

Таким образом, фондоотдача увеличилась на 9,82%

Задание 1.3

Объем оборота (У) и число работников (m) приведены в таблице 1. Необходимо определить среднее значение, моду и медиану.



Таблица 1 - Исходные данные

У	80-100	100-120	120-140	140-160	160-180	180-200
m	6	17	25	28	14	10

Определим среднее значение моду и медиану. Промежуточные вычисления приведены в таблице 1.1

Таблица 1.1 - промежуточные вычисления.

У	80-100	100-120	120-140	140-160	160-180	180-200
m	6	17	25	28	14	10
У?	90	110	130	150	170	190
m*У?	540	1870	3250	4200	2380	1900
У?/2	45	55	65	75	85	95
Накопл. частота	6	23	48	76	90	100

Общее число работников составляет человек

Среднее значение x?=

Далее определим моду и медиану, для этого необходимо определить медианный интервал. Медианным интервалом будет являться интервал 140-160, так как накопленная частота на этом промежутке превысит значение . (76>50). Вычислим моду:

Вычислим медиану:

Задание 1.4

По данным таблицы требуется определить среднюю внутригрупповую, межгрупповую и общую дисперсии, а также коэффициент детерминации. В таблице: Х-объем оборота предприятий, млн. руб., m_г - число государственных предприятий; m_ч - частных; m_о - общее число (таблица 2). Каждое значение Хi было увеличено на номер классного журнала (2).

Таблица 2 - Исходные данные по объему оборота предприятий

Хi	mгi	mчi	moi
3,0-3,2		3	3
3,2-3,4		4	4
3,4-3,6		17	17
3,6-3,8	11	15	26
3,8-4,0	13	6	19
4,0-4,2	18	5	23
4,2-4,4	6		6
4,4-4,6	2		2
	50	50	100

Для удобства расчета составим таблицу 2.1, в которой будут отражены промежуточные вычисления по нахождению общей дисперсии.

Таблица 2.1 - Расчет общей дисперсии

Число предприятий	Расчет дисперсии
Хi (млн. руб)	mгi	mчi	moi	Хср.i	Хср.i*moi	(Хср.i-X?o)^2	(Хср.i-X?o)І*moi
3,0-3,2		3	3	3,1	9,3	0,509796	1,529388
3,2-3,4		4	4	3,3	13,2	0,264196	1,056784
3,4-3,6		17	17	3,5	59,5	0,098596	1,676132
3,6-3,8	11	15	26	3,7	96,2	0,012996	0,337896
3,8-4,0	13	6	19	3,9	74,1	0,007396	0,140524
4,0-4,2	18	5	23	4,1	94,3	0,081796	1,881308
4,2-4,4	6		6	4,3	25,8	0,236196	1,417176
4,4-4,6	2		2	4,5	9	0,470596	0,941192
У	50	50	100		381,4		8,9804



Общее среднее: млн. руб.

Общая дисперсия: у²_о= млн.руб. (89804 руб.)

Далее рассчитаем дисперсию по группам: для государственных и частных предприятий.

Таблица 2.2 - расчет дисперсии (гос. предприятия)

Хi (млн. руб)	mгi	Хср.i	Хср.i*mгi	(Хср.i-X?г)І	(Хср.i-X?г)І*mгi
3,6-3,8	11	3,7	40,7	0,09	0,99
3,8-4,0	13	3,9	50,7	0,01	0,13
4,0-4,2	18	4,1	73,8	0,01	0,18
4,2-4,4	6	4,3	25,8	0,09	0,54
4,4-4,6	2	4,5	9	0,25	0,5
У	50		200		2,34

Среднее значение : млн. руб.

Дисперсия: у²_г= млн.руб. (46800 руб.)

Таблица 2.3 - расчет дисперсии (частные предприятия)

Хi (млн. руб)	mчi	Хср.i	Хср.i*mчi	(Хср.i-X?ч)І	(Хср.i-X?ч)І*mчi
3,0-3,2	3	3,1	9,3	0,529984	1,589952
3,2-3,4	4	3,3	13,2	0,278784	1,115136
3,4-3,6	17	3,5	59,5	0,107584	1,828928
3,6-3,8	15	3,7	55,5	0,016384	0,24576
3,8-4,0	6	3,9	23,4	0,005184	0,031104
4,0-4,2	5	4,1	30,5	0,073984	0,36992
У	50		191,4		5,1808

Среднее значение : млн. руб.

Дисперсия: у²_ч= млн.руб. (103616 руб.)

Средняя внутригрупповая дисперсия:

у?_в=

Общая дисперсия равна сумме межгрупповой и среднегрупповой дисперсий, следовательно межгрупповая дисперсия будет равна:

уІ_мг= уІ_о - у?_в= 89804 - 75208 = 14596 руб.

Вычислим коэффициент детерминации:

Таким образом, 16,25% различий в объеме товарооборота предприятий обусловлены формой собственности, а 83,75% - влиянием других факторов.

Задание 1.5

Необходимо определить среднюю внутригрупповую, межгрупповую и общую дисперсии совокупности, состоящей из трех групп (таблица 3).

Таблица 3 - Исходные данные

1 - группа

Хi	1	2	8
mi	30	15	5

2 - группа

Хi	1	6
mi	10	15

3 - группа

Хi	3	8
mi	20	5

Для удобства расчета общей дисперсии составим таблицу 3.1, в которой будут представлены вычисления.

Таблица 3.1 - вычисление общей дисперсии.

Xi	mi	Расчет дисперсии
	1	2	3	moi	Х*moi	(Х-Х?o)І	(Х-Х?o)І*moi
1	30	10		40	40	4	160
2	15			15	30	1	15
3			20	20	60	0	0
6		15		15	90	9	135
8	5		5	10	80	25	250
Сумма	100	300		560

Среднее общее значение : х?_о=

Общая дисперсия:

Далее определим дисперсию для каждой группы в отдельности:

Таблица 3.2 - вычисление дисперсии для 1 группы.

Xi	m1i	X*m1i	(Х-Х?1)І	(Х-Х?1)І*m1i
1	30	30	1	30
2	15	30	0	0
8	5	40	36	180

Среднее значение : X?₁=

Дисперсия: уІ₁=

Таблица 3.2 - вычисление дисперсии для 2 группы.

Xi	m2i	X*m2i	(Х-Х?2)І	(Х-Х?2)І*m2i
1	10	10	9	90
6	15	90	4	60

Среднее значение : X?₂=

Дисперсия: уІ₂=

Таблица 3.3 - вычисление дисперсии для 3 группы.

Xi	m3i	X*m3i	(Х-Х?3)І	(Х-Х?3)І*m3i
3	20	60	1	20
8	5	40	16	80

Среднее значение : X?₃=

Дисперсия: уІ₃=

Вычислим среднюю внутригрупповую дисперсию: у?І_в=

И межгрупповую: уІ_мг=уІ_о-у?І_в= 5,6 - 4,73 = 0,87



2. Корреляционный анализ

Корреляционный анализ занимается степенью связи между двумя случайными величинами Х и Y.

Корреляционный анализ экспериментальных данных для двух случайных величин заключает в себе следующие основные приемы:

1. Вычисление выборочных коэффициентов корреляции.

2.Составлениекорреляционнойтаблицы.

3. Проверка статистической гипотезы значимости связи.

Корреляционная зависимость между случайными величинами Х и Y называется линейной корреляцией, если обе функции регрессии f(x) и ц(x) являются линейными. В этом случае обе линии регрессии являются прямыми; они называется прямыми регрессии.

Основные свойства выборочного коэффициента линейной корреляции:

1. Коэффициент корреляции двух величин, не связанных линейной корреляционной зависимостью, равен нулю.

2. Коэффициент корреляции двух величин, связанных линейной корреляционной зависимостью, равен 1 в случае возрастающей зависимости и -1вслучаеубывающейзависимости.

3. Абсолютная величина коэффициента корреляции двух величин, связанных линейной корреляционной зависимостью, удовлетворяет неравенству 0<|r|<1. При этом коэффициент корреляции положителен, если корреляционная зависимость возрастающая, и отрицателен, если корреляционная зависимость убывающая.

4. Чем ближе |r| к 1, тем теснее прямолинейная корреляция между величинами Y, X.

По своему характеру корреляционная связь может быть прямой и обратной, а по силе - сильной, средней, слабой. Кроме того, связь может отсутствовать или быть полной.



Задание 2.1

Определить коэффициент корреляции между У и Х.

Х: 3,5; 4,6; 5,8; 4,2; 5,2;

УХ:28,35; 43,24; 65,54; 28,98; 50,44.

Оценить значимость коэффициента корреляции при уровне 0,05. Расчеты и ответы до двух знаков. Вначале определить У, а затем У и Х увеличить на свой номер классного журнала (2). Результаты:

1) коэффициент корреляции;

2) расчетное и табличное значения критерия Стьюдента и вывод.

Решение:

Определим У, увеличим Х и У на номер журнала.

Таблица 4.1 - результаты вычислений.

У	10,1	11,4	13,3	8,9	11,7
Х	5,5	6,6	7,8	6,2	7,2
ХУ	55,55	75,24	1037,4	55,18	84,24
(Хi-Х?)І	1,3456	0,0036	1,2996	0,2116	0,2916
(Уi-У?)І	0,9604	0,1024	4,9284	4,7524	0,3844

Вычислим средние значения:

- для Х : X?=

- для У: У?=

- для ХУ:

Определим дисперсии.

уІ_Х =

уІ_У=

Вычислим коэффициент корреляции:

r_xy =

Определим расчетное значение критерия Стьюдента. Для его вычисления необходим показатель степени свободы. В данной задаче: f= 5-2 =3.

Расчетное значение критерия Стьюдента:

Табличное значение критерия Стьюдента:

Таким образом, табличное значение критерия Стьюдента больше расчетного значения критерия Стьюдента, значит, нулевая гипотеза подтверждается, а следовательно коэффициент корреляции не значим.

Задание 2.2

Определить коэффициент корреляции между количеством деталей (у) и стоимостью их изготовления (х). Оценить его значимость.

Исходные данные:

х 18 22 13 20 15 14

у 17 20 11 18 14 10

Это нулевой вариант. Каждое значение х и у было увеличено на свой номер классного журнала (2).

Аналогично предыдущему заданию, рассчитаем коэффициент корреляции и расчетное значение критерия Стьюдента, а так же его значимость. Результаты промежуточных вычислений приведены в таблице 4.2

Таблица 4.2 - результаты промежуточных вычислений.

							Сумма
Х	20	24	15	22	17	16	114
У	19	22	13	20	16	12	102
ХУ	380	528	195	440	272	192	2007
(Хi-Х?)І	1	25	16	9	4	9	64
(Уi-У?)І	4	25	16	9	1	25	80

Вычислим средние значения:

- для Х : X?=

- для У: У?=

- для ХУ:

Определим дисперсии.

уІ_Х =

уІ_У=

Коэффициент корреляции:

r_xy =

Определим расчетное значение критерия Стьюдента. В данной задаче значение степени свободы: f= 6-2 =4.

Расчетное значение критерия Стьюдента:



Табличное значение критерия Стьюдента: :

Таким образом, табличное значение критерия Стьюдента меньше расчетного значения критерия Стьюдента, значит, нулевая гипотеза отвергается, а, следовательно, коэффициент корреляции значим.

Задание 2.3

В результате тестирования 7 студентов они получили баллы по теории вероятностей и статистики по сто балльной системе:

Теория вероятностей: 65 90 42 47 84 58 50

Статистика: 51 85 36 63 72 80 40.

Определить коэффициент ранговой корреляции Спирмена и его значимость. Это нулевой вариант. Каждое значение (балл) увеличить на свой номер классного журнала (2). Расчеты и результат до двух знаков.

Результаты:

1.Коэффициент ранговой корреляции.

2.Расчетное и табличное значения критерия Стьюдента при уровне значимости равным 0,05 и выводы.

Решение:

Для вычисления рангового коэффициента корреляции Спирмена ранжируем полученные студентами баллы по двум предметам. Затем определим квадрат разницы рангов по двум дисциплинам для каждого студента. Все эти вычисления представлены в таблице 4.3 (все значения баллов были увеличены на номер классного журнала - 2).



Таблица 4.3 - Расчет коэффициента ранговой корреляции Спирмена.

№ студента	1	2	3	4	5	6	7
Теория вероятностей	67	92	44	49	86	60	52
Статистика	53	87	38	65	74	82	42
Ранг (Rтв)	2	5	1	6	7	4	3
Ранг (Rст)	2	6	5	4	1	7	3
dІ	0	1	-16	4	36	9	0

Значение степени свободы составляет f = 7 - 2 =5

Количество ранжируемых элементов: n = 7

Коэффициент корреляции Спирмена:

Таким образом, коэффициент корреляции Спирмена выявил прямую тесную зависимость. Определим его значимость. Для этого необходимо табличное значение критерия значимости Спирмена со степенью значимости б=0,05, оно равно . Таким образом, расчетное значение критерия корреляции Спирмена меньше критического значения критерия. Значит нулевая гипотеза подтверждается, а значит коэффициент корреляции не значим.

Далее рассчитаем значение коэффициента Стьюдента. Для его расчета необходимы дополнительные расчеты, представленные в таблице 4.4

Таблица 4.4 - Расчет коэффициента корреляции Стьюдента.

№ студента	1	2	3	4	5	6	7	Сумма
Теория вероятностей (x)	67	92	44	49	86	60	52	450
Статистика (y)	53	87	38	65	74	82	42	441
хi-x?	2,71	27,71	-20,29	-15,29	21,71	-4,29	-12,29
yi-y?	-10,00	24,00	-25,00	2,00	11,00	19,00	-21,00
(хi-x?)(yi-y?)	-27,1	665,14	507,25	-30,58	238,81	-81,51	258,09	1530,1
(хi-x?)І	7,3441	767,8441	411,6841	233,7841	471,3241	18,4041	151,0441	2061,43
(yi-yЇ)І	100	576	625	4	121	361	441	2228

Среднее значение баллов по теории вероятности: х? =

Определим корреляционный момент: К_ху =

Вычислим дисперсии:

уІ_х =

уІ_y =

Коэффициент корреляции:

Определим расчетное значение критерия Стьюдента: , соответственно табличное значение критерия

Расчетное значение критерия Стьюдента меньше табличного, поэтому нулевая гипотеза подтверждается, следовательно, коэффициент корреляции не значим.



3. Регрессионный анализ

Регрессионный анализ - это метод установления аналитического выражения стохастической зависимости между исследуемыми признаками. Уравнение регрессии показывает, как в среднем изменяется у при изменении любого из x_i, и имеет вид:

где у - зависимая переменная (она всегда одна);

х_i - независимые переменные (факторы) (их может быть несколько).

Если независимая переменная одна - это простой регрессионный анализ. Если же их несколько (п 2), то такой анализ называется многофакторным.

В ходе регрессионного анализа решаются две основные задачи:

· построение уравнения регрессии, т.е. нахождение вида зависимости между результатным показателем и независимыми факторами x₁, x₂, …, x_n.

· оценка значимости полученного уравнения, т.е. определение того, насколько выбранные факторные признаки объясняют вариацию признака у.

Применяется регрессионный анализ главным образом для планирования, а также для разработки нормативной базы.

В отличие от корреляционного анализа, который только отвечает на вопрос, существует ли связь между анализируемыми признаками, регрессионный анализ дает и ее формализованное выражение. Кроме того, если корреляционный анализ изучает любую взаимосвязь факторов, то регрессионный - одностороннюю зависимость, т.е. связь, показывающую, каким образом изменение факторных признаков влияет на признак результативный.

Регрессионный анализ - один из наиболее разработанных методов математической статистики. Строго говоря, для реализации регрессионного анализа необходимо выполнение ряда специальных требований (в частности, x_l,x₂,...,x_n; y должны быть независимыми, нормально распределенными случайными величинами с постоянными дисперсиями).

Построение уравнения регрессии осуществляется, как правило, методом наименьших квадратов, суть которого состоит в минимизации суммы квадратов отклонений фактических значений результатного признака от его расчетных значений.

Задание 3.1

Требуется построить нелинейную обратную модель связи себестоимости единицы продукции (у) со стоимостью основных фондов (х). Определить характеристики модели.

Каждое значение (у) увеличить на свой номер классного журнала (2).

Исходные данные:

у: 21; 16; 15; 14; 13; 12,5; 11; 11,5; 10; 8

х: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10

Характеристики модели:

1) модель (коэффициенты до 4-х знаков);

2) индекс детерминации (до 2-х знаков);

3) стандартную ошибку (до 4-х знаков);

4) расчетное значения критерия Фишера (до 2-х знаков) и вывод о значимости модели;

5) вывод о значимости коэффициентов модели;

6) доверительные интервалы коэффициентов модели (до 4-х знаков).

Решение:

Для определения обратной модели связи составим таблицу, предварительно увеличив значения у на номер своего классного журнала (2).

Таблица 5 - Обратная модель связи

№	y	x	X	y*X	X^2	y^
1	23	1	1	23	1	23,82669
2	18	2	0,5	9	0,25	17,72667
3	17	3	0,333	5,667	0,11	15,69333
4	16	4	0,25	4	0,0625	14,67666
5	15	5	0,2	3	0,04	14,06665
6	14,5	6	0,167	2,4166667	0,027778	13,65999
7	13	7	0,143	1,857	0,020408	13,36951
8	13,5	8	0,125	1,688	0,015625	13,15165
9	12	9	0,111	1,333	0,012346	12,98221
10	10	10	0,1	1	0,01	12,84665
Итого	152	55	2,929	52,961	1,549768	152
Ср.знач.	15,2	5,5	0,293	5,296	0,154977

;

.

Получим следующее уравнение гиперболической модели:

.

2) Определим индекс детерминации - это доля дисперсии зависимой переменной, объясняемая рассматриваемой моделью зависимости, то есть объясняющими переменными.

Расчеты приведены в таблице 6:



Таблица 6 - Расчет коэффициента детерминации

.

Вариация результата у (себестоимость единицы продукции) на 12,8% объясняется вариацией фактора х (стоимостью основных фондов).

3) Определим стандартную ошибку модели

.

4) Определим F - критерий Фишера

;

для =0,05, , .

Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 статистически значимое, так как .

5) Стандартные ошибки параметров регрессии рассчитываются по формулам:



=0,0034

=0,0229

Уровень надежности 95%

2,306

t-статистики рассчитываются по формулам:

t_a =a/COa,

t_a =14,8422/0,0034=4365,4

t_b=b/COb,

t_b=1,2213/0,0229 =53,33

С вероятностью 0,95 оценим статистическую значимость параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента.

Значение t-статистики для параметра а по модулю больше табличного значения 2,306. Поэтому гипотеза H₀ о равенстве нулю коэффициента a отвергается, a значимо, и его нужно включать в модель.

Выборочное значение t-статистики для коэффициента b по модулю также существенно превышает табличное значение 2,306. Поэтому гипотеза H₀ о равенстве нулю коэффициента b отвергается, b значимо, и его нужно включать в модель.

6) Построение доверительных интервалов. Доверительные интервалы - это границы, в которые с большой вероятностью попадают неизвестные параметры. Построим интервалы, в которые неизвестные параметры будут попадать с вероятностью в 95%

-*?a? +*

14,8343?a?14,85004

С вероятностью 0,95 истинное значение параметра a находится в интервале [14,8343;14,85004]. Любая гипотеза на равенство значению, лежащему внутри интервала, не будет отвергаться, и наоборот - гипотеза о значении, лежащем вне интервала, будет всегда отвергаться.

-*?b? +*

1,2135?b? 1,2291

С вероятностью 0,95 истинное значение параметра b находится в интервале [1,2135; 1,2291]. Любая гипотеза на равенство значению, лежащему внутри интервала, не будет отвергаться, и наоборот - гипотеза о значении, лежащем вне интервала, будет всегда отвергаться.

Задание 3.2

Построить полулогарифмическую модель вида: y=a0+a1lnx по данным:

у 10; 13,4; 15,4; 16,5; 18,6; 19,1

х 1; 2; 3; 4; 5; 6.

Определить характеристики модели.

Каждое значение (у) увеличить на свой номер классного журнала (2).

Характеристики модели: 1) модель (коэффициенты до 2-х знаков);

2) индекс детерминации (до 2-х знаков);

3) стандартную ошибку (до 4-х знаков);

4) расчетное и табличное значения критерия Фишера (до 2-х знаков) и вывод о значимости модели.

Таблица 7 - Исходные данные

y, %	x, тыс.дол.
12 15,4 17,4 18,5 20,6 21,1	1 2 3 4 5 6	0 0,69 1,10 1,39 1,61 1,79	0 0,48 1,21 1,93 2,59 3,20	0 10,63 19,14 25,72 33,17 37,77
105	21	6,58	9,41	113,27

Решение: а) составляем систему уравнений

6a₀+6,58a₁=105

6,58a₀+9,41a₁=126,43

б) решаем систему и составляем модель

a₀₌11,8615

a₁=5,14

y=11,862+5,14 lnx

в) находим среднеквадратическую ошибку (таблица 7.1).



Таблица 7.1 - Расчет среднеквадратической ошибки

R²=1-(0,5047/58,24)=0,99

Вариация результата у (себестоимость единицы продукции) на 99% объясняется вариацией фактора х (стоимостью основных фондов).

3) Определим стандартную ошибку модели

.

4) Определим F - критерий Фишера

;

для =0,05, , .

Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 статистически значимое, так как .

Задание 3.3

Реальные статистические данные о рождаемости в Пензенской области приведены в таблице 8.



Таблица 8 - Динамика коэффициента рождаемости в Пензенской области

Год	2000	2001	2002	2003	2004	2005
Коэффициент рождаемости	7,5	7,5	8,0	8,4	8,6	8,4
Год	2006	2007	2008	2009	2010	2011
Коэффициент рождаемости	8,6	9,7	10,2	10,3	10,2	10,1
Год	2012	2013	2014	2015	2016
Коэффициент рождаемости	10,8	10,6	10,8	10,7	10,2

Построить трендовую линейную регрессионную модель. Определить коэффициент детерминации, стандартную ошибку, значимость модели и ошибку аппроксимации. Спрогнозировать коэффициент рождаемости в 2017г. В электронную таблицу вместо года ставить 1,2,…

Решение:

1) Построим линейную модель У(t) = а₀ + а_it, параметры которой оценим МНК

Промежуточные расчеты представим в приложении.

; .

Линейная модель имеет вид .

2) Определим коэффициент детерминации

Расчеты для коэффициента детерминации представлены в приложении.

3) Определим стандартную ошибку модели по формуле

.

4) Определим F - критерий Фишера

для =0,05, ,

Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 статистически значимое, так как .

5)Определим .

6) Осуществим прогноз на 2017 г.

2017 г.: ;

Задание 3.4

Реальные статистические данные о курсе валют приведены в таблице 8. Построить линейную и нелинейные регрессионные модели вида: у = ао + а1t; lnу = ао + а1t; у = 1/(ао + а1t). Определить коэффициент детерминации, стандартную ошибку, значимость модели и ошибку аппроксимации. В электронную таблицу вместо года записывать 1,2,… По стандартной ошибке выбрать лучшую модель и спрогнозировать цену одного доллара в декабре 2017 года.



Таблица 9 - Курс рубля к доллару

Месяц и год	январь 2017	февраль	март	апрель	май	июнь	июль	август 2017
Цена одного доллара	59,6	58,5	58,0	56,4	57,0	57,9	59,7	59,6

Решение:

Найдем точечные оценки параметров линейной регрессионной модели Y = at + b +

Таблица 9.1 - Оценка параметров линейной модели

t	y	y t	t2		|(yi- )/yi|
1	59,6	59,6	1	58,075	0,02559	2,32563	0,06891
2	58,5	117	4	58,15	0,00598	0,1225	0,03516
3	58	174	9	58,225	0,00388	0,05063	0,01266
4	56,4	225,6	16	58,3	0,03369	3,61	0,00141
5	57	285	25	58,375	0,02412	1,89063	0,00141
6	57,9	347,4	36	58,45	0,0095	0,3025	0,01266
7	59,7	417,9	49	58,525	0,01968	1,38063	0,03516
8	59,6	476,8	64	58,6	0,01678	1	0,06891
36	466,7	2103,3	204	466,7	0,1392	10,6825	0,2363

=58, =0,075.

Уравнение тренда (регрессии) будет иметь вид:

0,075t+58

коэффициент детерминации вычисляется по формуле

0,2363/(0,2363+10,6825)= 0,0216

Построенное уравнение на 2,16% объясняет вариацию результативного признака.

Для проверки статистической надежности результатов регрессионного анализа используется статистика Фишера:

F= (0,2363/1)/( 10,6825/6)= 0,13

к₁ =1, к₂ = 17-1-1=6, на уровне значимости 0,05 табличное значение F_т = 5,99. Для зависимости y от x выполняется неравенство F_т > F, признается статистическая незначимость уравнения регрессии. Уравнение нельзя рекомендовать для практического использования.

Оценим стандартную ошибку регрессии.

=10,6825/6=1,7804- остаточная дисперсия уравнения регрессии.

стандартная ошибка регрессии

Вычислим среднюю относительную ошибку аппроксимации для моделей. Допустимый предел не более 8-10%.

|(y_i- y_i)/y_i|

0,1392/8=1,74% -находится в допустимых пределах.

Построим нелинейную регрессионную модель вида: lnу = а_о + а₁t. Это показательная модель.

Найдем оценки коэффициентов показательной модели



,

Тогда линеаризованная модель имеет вид:

.

0,0013

4,0603

Таблица 9.2 - Оценка коэффициентов показательной модели

t	y	t2		t		|(yi- )/yi|
1	59,6	1	4,0877	4,0877	58,068	0,0257
2	58,5	4	4,069	8,1381	58,144	0,0061
3	58	9	4,0604	12,181	58,219	0,0038
4	56,4	16	4,0325	16,13	58,295	0,0336
5	57	25	4,0431	20,215	58,371	0,0241
6	57,9	36	4,0587	24,352	58,447	0,0094
7	59,7	49	4,0893	28,625	58,523	0,0197
8	59,6	64	4,0877	32,701	58,599	0,0168
36	466,7	204	32,5284	146,431	466,7	0,1392

0,1392/8=1,74%

Проверка статистической значимости показательной модели также проводится по линеаризованной модели.



Таблица 9.3 - Проверка статистической значимости показательной модели

№	t
1	1	4,0877	4,061588	1,99E-05	0,00068
2	2	4,069	4,062861	1,02E-05	3,8E-05
3	3	4,0604	4,064134	3,67E-06	1,4E-05
4	4	4,0325	4,065407	4,13E-07	0,00108
5	5	4,0431	4,06668	3,97E-07	0,00056
6	6	4,0587	4,067953	3,62E-06	8,6E-05
7	7	4,0893	4,069226	1,01E-05	0,0004
8	8	4,0877	4,070499	1,98E-05	0,0003
Сумма	36	32,5284	32,5284	0,000068	0,0032

коэффициент детерминации :

0,000068/(0,000068+0,0032)= 0,0211

Построенное уравнение на 2,11% объясняет вариацию результативного признака.

(0,000068/1)/( 0,0032/6) =0,13

к₁ =1, к₂ = 17-1-1=6, на уровне значимости 0,05 табличное значение F_т = 5,99. Для зависимости y от x выполняется неравенство F_т > F, признается статистическая незначимость уравнения регрессии. Уравнение нельзя рекомендовать для практического использования.

Оценим стандартную ошибку регрессии.

=0,0032/6=0,00053- остаточная дисперсия уравнения регрессии.

стандартная ошибка регрессии

Найдем оценки коэффициентов обратной (гиперболической) модели

.

Введем новую переменную . Тогда гиперболическая модель приводится к линейной:

.

1,2563

57,9107

Гиперболическое уравнение регрессии имеет вид:

y = 1,2563/ t + 57,9107.

Таблица 9.4 - Оценка коэффициентов гиперболической модели

t	y			yi		|(yi- )/yi|
1	59,6	1	1	59,6	59,167	0,0073	0,1875	0,6881
2	58,5	0,5	0,25	29,25	58,5389	0,0007	0,0015	0,0405
3	58	0,33333	0,1111	19,33333	58,3295	0,0057	0,1085	6E-05
4	56,4	0,25	0,0625	14,1	58,2248	0,0324	3,3298	0,0127
5	57	0,2	0,04	11,4	58,162	0,0204	1,3502	0,0308
6	57,9	0,16667	0,0278	9,65	58,1201	0,0038	0,0484	0,0473
7	59,7	0,14286	0,0204	8,528571	58,0902	0,027	2,5915	0,0612
8	59,6	0,125	0,0156	7,45	58,0677	0,0257	2,3478	0,0728
36	466,7	2,71786	1,5274	159,3119	466,7	0,1228	9,9653	0,9534

индекс детерминации вычисляется по формуле

0,9534/(0,9534+9,9653) =0,087

Построенное уравнение на 8,7% объясняет вариацию результативного признака.

Для проверки статистической надежности результатов регрессионного анализа используется статистика Фишера:

F= (0,9534/1)/( 9,9653/6) = 0,57

к₁ =1, к₂ = 17-1-1=6, на уровне значимости 0,05 табличное значение F_т = 5,99. Для зависимости y от x выполняется неравенство F_т > F, признается статистическая незначимость уравнения регрессии. Уравнение нельзя рекомендовать для практического использования.

Оценим стандартную ошибку регрессии.

=9,9653/6=1,6609- остаточная дисперсия уравнения регрессии.

стандартная ошибка регрессии.

У показательной модели наименьшая стандартная ошибка. Значит, показательная модель наилучшая.

Спрогнозируем цену одного доллара в декабре 2017 года. Если в августе 2017 г. t=8, то в декабре t=12.

Задание 3.5

По статистическим данным таблицы 3.3 определить средние величины, структурные средние и показатели вариации. Построить линейную модель связи показателя со временем и оценить ее качество. Номер страны соответствует номеру студента по классному журналу (2)

Таблица 3.3 - КУРСЫ ИНОСТРАННЫХ ВАЛЮТ ПО ОТНОШЕНИЮ К РОССИЙСКОМУРУБЛЮ¹⁾ (на конец года; рублей за единицу иностранной валюты)

Страна	Наименование валюты	2010	2011	2012	2013	2014	2015
1. Австралия	австралийский доллар	31,01	32,72	31,55	28,96	45,91	53,12
2.Австрия	евро	40,33	41,67	40,23	44,97	68,34	79,70
3.Азербайджан	азербайджанский манат	38,11	40,98	38,74	41,78	71,84	46,74
4.Армения	армянский драм	84,132)	83,742)	75,372)	80,712)	12,103)	15,053)
5.Беларусь	белорусский рубль	10,162)	38,564)	35,344)	34,314)	38,804)	38,954)
6.Бельгия	евро	40,33	41,67	40,23	44,97	68,34	79,70
7.Германия	евро	40,33	41,67	40,23	44,97	68,34	79,70
8.Дания	датская крона	54,105)	56,065)	53,955)	60,315)	92,025)	10,68
9.Испания	евро	40,33	41,67	40,23	44,97	68,34	79,70
10.Италия	евро	40,33	41,67	40,23	44,97	68,34	79,70
11.Казахстан3)	тенге	20,68	21,69	20,21	21,31	30,83	21,52
12.Канада	канадский доллар	30,49	31,57	30,54	30,55	48,40	52,57
13.Киргизия3)	сом	64,84	69,56	64,08	66,34	95,52	94,84
14. Нидерланды	евро	40,33	41,67	40,23	44,97	68,34	79,70
15.Норвегия5)	норвежская крона	51,61	53,64	54,53	53,21	75,79	83,38
16.Республика Молдова5)	молдавский лей	25,07	27,52	25,10	25,08	36,03	37,06
17. Соединенное Королевство (Великобритания)	фунт стерлингов	47,26	49,63	48,96	53,96	87,42	107,98
18.США	доллар США	30,48	32,20	30,37	32,73	56,26	72,88
19. Таджикистан	сомони	69,225)	67,665)	63,735)	69,095)	10,76	10,99
20.Туркмения	новый туркменский манат	10,70	11,29	10,65	11,48	19,74	21,44
21.Турция	турецкая лира	19,60	16,83	16,97	15,30	24,27	25,08
22.Узбекистан2)	узбекский сум	18,58	17,94	15,30	14,63	23,22	26,45
23.Украина5)	гривна	38,28	40,05	37,59	39,72	35,56	30,46
24.Финляндия	евро	40,33	41,67	40,23	44,97	68,34	79,70
25.Франция	евро	40,33	41,67	40,23	44,97	68,34	79,70
26.Швеция5)	шведская крона	44,81	46,61	46,69	50,15	72,02	87,26
27.Япония3)	иена	37,38	41,50	35,15	31,06	47,06	60,51

¹⁾ По данным Банка России.

²⁾ За 1000 единиц национальной валюты.

³⁾ За 100 единиц национальной валюты.

⁴⁾ За 10 000 единиц национальной валюты.

⁵⁾ За 10 единиц национальной валюты.

Решение

Страна	Наименование валюты	2010	2011	2012	2013	2014	2015
2.Австрия	евро	40,33	41,67	40,23	44,97	68,34	79,70

Среднее значение (средний уровень ряда) определим по формуле средней арифметической простой:

=(40,33+41,67+40,23+44,97+68,34+79,70)/6=52,54

Структурные средние - это мода и медиана. Мода - это наиболее часто встречающийся признак в данной совокупности. В данном распределении нет моды, так как все значения встречаются по одному разу.

Медиана находится посередине ранжированного ряда. Запишем данные в порядке возрастания и определим число, которое находится посередине. Поскольку у нас четное число уровней, то мода равна полусумме чисел, стоящих посередине.

40,23 40,33 41,67 44,97 68,34 79,70

Ме=(41,67+ 44,97)/2=43,32

Для несгруппированных данных дисперсия рассчитывается по формуле:

=((40,33-52,54)²+(41,67-52,54)²+(40,23-52,54)²+

+(44,27-52,54)²+(68,34 -52,54)²+(49,70-52,54)²)/6=115,2

среднеквадратическое отклонение

Индивидуальные значения отклоняются от среднего значения в среднем на ± 10,7.

Коэффициент вариации:

Коэффициент вариации менее 33%, значит, группа однородная, средняя величина надежна и типична для данных единиц совокупности.

Найдем точечные оценки параметров линейной регрессионной модели Y = at + b +

Таблица 10 - Оценка параметров линейной модели

t	y	yt	t2
1	40,33	40,33	1	32,426	62,477	404,573
2	41,67	83,34	4	40,471	1,437	145,66
3	40,23	120,69	9	48,517	68,678	16,185
4	44,97	179,88	16	56,563	134,394	16,185
5	68,34	341,7	25	64,608	13,923	145,636
6	79,70	478,2	36	72,654	49,642	404,573
21	315,24	207,35667	91	315,24	330,551	1132,812

=231,7 = -51,199

Уравнение тренда (регрессии) будет иметь вид:



= -51,99t+231,7

Определим коэффициент детерминации

Для проверки статистической надежности результатов регрессионного анализа используется статистика Фишера:

;

к₁ =1, к₂ = 6-1-1=4, на уровне значимости 0,05 табличное значение F_т = 7,71. Для зависимости y от t выполняется неравенство F_т < F, признается статистическая значимость уравнения регрессии. Уравнение можно рекомендовать для практического использования.

Задание 3.6

По статистическим данным Росстата (таблица 3.4) выполнить комплексный статистический анализ инвестиций в основной капитал.



Таблица 3.4 - Инвестиции в основной капитал, млн. руб.

Номер студента	Регионы	2012	2013	2014
	Приволжский федеральный округ	2012877	2301298	2355973
1; 15	Республика Башкортостан	233683	266396	285520
2; 16	Республика Маpий Эл	31656	46178	48354
3; 17	Республика Моpдовия	49825	53714	55292
4; 18	Республика Татарстан	470751	525730	542781
5; 19	Удмуртская Республика	64221	82678	89836
6; 20	Чувашская Республика	65255	60122	56446
7; 21	Пермский край	162241	219494	185649
8; 22	Киpовская область	50545	58655	56294
9; 23	Нижегородская область	257454	280884	286619
10; 24	Оренбургская область	151250	152877	150208
11; 25	Пензенская область	72343	82164	83690
12;26	Самарская область	213022	269737	300311
13; 27	Саратовская область	117646	125834	132804
14; 28	Ульяновская область	72985	76835	82168

Этапы:

- графическое представление информации и ее анализ;

- определение средних величин и показателей вариации;

- определение коэффициента корреляции между инвестициями и выбранным автором фактором по данным Росстата; оценка значимости коэффициента корреляции;

- определение показателей динамики инвестиций и их анализ;

- построение регрессионной модели связи инвестиций со временем (годами) и ее статистический анализ.

Решение

Регионы	2012	2013	2014
Республика Марий Эл	31656	46178	4835

Представим графически динамику показателя.

Рисунок 1. Динамика инвестиций в основной капитал по Пермскому краю за 2012-2014 гг.

По графику видно, что тенденция показателя положительная.

Среднее значение (средний уровень ряда) определим по формуле средней арифметической простой:

= (31625+46178+48354)/3=42052 млн. руб.

Структурные средние - это мода и медиана. Мода - это наиболее часто встречающийся признак в данной совокупности. В данном ряду нет моды, так как все значения встречаются по одному разу.

Медиана находится посередине ранжированного ряда. Запишем данные в порядке возрастания и определим число, которое находится посередине. 31625 46178 48354

Ме=46178 млн. руб.

Для несгруппированных данных дисперсия рассчитывается по формуле:

=((31625-42052)²+(46178-42052)²+

+(48354-42052)²)/3=55153803

среднеквадратическое отклонение 7426,6

Индивидуальные значения отклоняются от среднего значения в среднем на ± 7426,6

Коэффициент вариации

Коэффициент вариации менее 33%, значит, группа однородная, средняя величина надежна и типична для данных единиц совокупности.

Определим коэффициент корреляции между инвестициями и выбранным фактором по данным Росстата - индексами промышленного производства по республике Башкортостан.



Таблица 11 - Инвестиции в основной капитал и индексы промышленного производства по республике Марий Эл

Год	Инвестиции в основной капитал, млн. руб.	Индексы промышленного производства (в процентах к предыдущему году)
2012	31656	110,0
2013	46178	100,3
2014	48354	113,4

Таблица 12- Расчетные значения для определения коэффициента корреляции

Год	х	y	х2	xy	y2
2012	31656	110,0	1002102336	3482160	12100
2013	46178	100,3	2132407684	4631653,4	10060,09
2014	48354	113,4	2338109316	5483343,6	12859,56
Сумма	126188	323,7	5472619336	13597157	35019,65

Коэффициент корреляции:

=-5,13

Имеется средняя отрицательная линейная связь между y и x: с ростом х снижается у.

Проверка существенности отличия коэффициента парной корреляции от нуля (его значимости) проводится по схеме:

если ,

то гипотеза о существенном отличии коэффициента парной корреляции от нуля принимается, в противном случае - отвергается.

- квантиль распределения Стьюдента, - требуемый уровень значимости, (n-2) - число степеней свободы.

уровень значимости 0,05%

В нашей задаче 3-2=1, t_табл= 12,71.

Для получаем расчетное значение:

Коэффициент корреляции несущественно отличается от нуля, его можно считать незначимым.

Определим цепные и базисные показатели ряда динамики инвестиций в основной капитал.

Абсолютный прирост цепной:

Абсолютный прирост базисный:

где - уровень i-го периода; - уровень предшествующего периода; - уровень базисного периода.

Темп роста цепной:

Темп роста базисный:

Темп прироста цепной:

, или

Темп прироста базисный:

, или

Абсолютное содержание 1% прироста:

, или

Результаты расчетов представим в таблице.

Таблица 13 - Вычисление показателей динамики

Год	Инвестиции в основной капитал, млн. руб.	, (млн. руб.)	, (млн. руб.)	,%	,%	,%	,%	А, млн. руб./%
2012	31656	-	-	-	-	-	-	-
2013	46178	14522	14522	145,9	145,9	45,9	45,9	316,56
2014	48354	2176	16698	104,7	152,7	4,71	52,7	461,78

Все показатели динамики положительные. С каждым годом идет прирост инвестиций.

Средний абсолютный прирост

23408/2=8349млн. руб.

Инвестиции в основной капитал ежегодно растет на 8349 млн. руб. в среднем.

Средний темп роста

Средний темп прироста

152,7%-100%=52,7%

Инвестиции в основной капитал ежегодно в среднем за год растет на 52,7%.

Найдем точечные оценки параметров линейной регрессионной модели Y = at + b +

Таблица 14 - Оценка параметров линейной модели

t	y	y t	t2
1	31656	31656	1
2	46178	92356	4
3	48354	145062	9
6	126188	269074	14



=25365 =8349

Уравнение тренда (регрессии) будет иметь вид:

8349t+25365



Заключение

Статистика на протяжении сотен лет своего существования всегда выступала как необходимый и эффективный инструмент государственного управления и одновременно как наука, исследующая количественную сторону массовых явлений.

В данной работе была выполнена цель, и были выполнены все задачи. В первой части были выведены основные термины, такие, как средние величины, вариация, мода, медиана, дисперсия, по которым решены задачи на данную тему и сделаны выводы. Во второй части был теоретически рассмотрен корреляционный анализ, выведены основные понятия и формулы, представлена таблица связи параметров, затем проведены расчёты по представленным задачам, был найден коэффициент корреляции, расчетное и табличное значение критерия Стьюдента. В третьей части был рассмотрен регрессионный анализ, более подробно рассмотрены этапы решения задачи на тему регрессионного анализа. Все расчеты, проводимые в данной работе, были рассчитаны в программе «Excel».



Список использованных источников

1. Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики: Учебник. - М.: Финансы и статистика, 2014 - 136 с.

2. Ефимова М. Р., Петрова Е.В., Румянцев В.Н. Общая теория статистики. Изд-во «Юрайт».2012 - 234 с.

3. Калинина, В.Н. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для бакалавров / В.Н. Калинина. - М.: Юрайт, 2013. - 472 c.

4. Кочетков, Е.С. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник / Е.С. Кочетков, С.О. Смерчинская, В.В. Соколов. - М.: Форум, НИЦ ИНФРА-М, 2013. - 240 c.

5. Краснов, М.Л. Вся высшая математика. Т. 5. Теория вероятностей. Математическая статистика. Теория игр: Учебник / М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко [и др.]. - М.: ЛКИ, 2013. - 296 c.

6. Неганова Л.М. Статистика: Учебное пособие: Изд-во «Юрайт-Издат». 2013 - 322 с.

7. Спирина А. А., Башина О. Э. - М.: Финансы и статистика, 2014 - 45 с.

8. Сайт Росстата http://www.gks.ru, сайт Пензастата http://pnz.gks.ru

Размещено на Allbest.ru