Статистическая гипотеза. Нулевая и конкурирующая гипотезы. Простая и сложная гипотезы

Размещено на http://www.allbest.ru/

Статистическая гипотеза. Нулевая и конкурирующая гипотезы. Простая и сложная гипотезы

Статистической гипотезой называется гипотеза или предположение о виде неизвестного распределения или о параметрах неизвестного распределения, например: "Генеральная совокупность распределена по нормальному закону.", Дисперсии двух нормальных распределений равны между собой.".

Нулевой (основной) гипотезой называют выдвинутую гипотезу (H0).

Конкурирующей гипотезой называют гипотезу, которая противоречит нулевой гипотезе (H1).

Пример: H0: a = 5 , тогда H1: a № 5

Простой гипотезой называют гипотезу, содержащую только одно предположение.

Сложной гипотезой называют гипотезу, состоящую из конечного или бесконечного числа простых гипотез.

Выдвинутая гипотеза может быть правильной, либо неправильной. Необходима ее проверка. В итоге статистической проверки может быть приняты неправильные решения.

Ошибкой первого рода называют ошибку, возникающую в результате того, что была отвергнута правильная гипотеза.

Ошибка второго рода - принимается неправильная гипотеза.

В зависимости от ситуации та или иная ошибка вызывает серьезные последствия. Для проверки нулевой гипотезы выбирают специальную случайную величину, точное или приближенное значение которой известно.

Статистическим критерием называют случайную величину, которая служит для проверки нулевой гипотезы.

Для проверки гипотезы по данным выборки вычисляют частные значения входящих в критерий величин и, таким образом, получают частное или наблюдаемое значение критерия.

Наблюдаемым значением критерия называют значение критерия, вычисленное по данным выборки.

После выбора определенного критерия множество всех его возможных значений разбивается на два непересекающихся подмножества. Одно из них содержит значения критерия, при которых H0 отвергается, а другое, - при которых H0 принимается.

Критической областью называют совокупность значений критерия, при которых H0 отвергается.

Областью принятия гипотезы называют совокупность значений критерия, при которых H0 принимается.

Основной принцип проверки статистических гипотез звучит так: если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области, то выдвинутая гипотеза отвергается. Если же наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы, то выдвинутая гипотеза принимается.

Критерий - это есть одномерная случайная величина, все возможные значения которой принадлежат некоторому интервалу.

Критическими точками (границами) называют точки, которые отделяют критическую область от области принятия гипотезы.

Различают одностороннюю и двустороннюю критические области.

Правосторонней называют критическую область, которая определяется следующим неравенством:

K > kкр , где kкр > 0 K .

0 kкр

статистический гипотеза критический ошибка

Левосторонней называют критическую область, которая определяется следующим неравенством:

K < kкр , где kкр < 0 K .

kкр 0

Двусторонней называют критическую область, которая определяется неравенствами:

K < k1 , K > k2 , где k2 > k1 K .

k1 k2

Пример 3. По паспортным данным автомобильного двигателя расход топлива на 100 км пробега составляет 10 л. В результате изменения конструкции двигателя ожидается, что расход топлива уменьшится. Для проверки проводятся испытания 25 случайно отобранных автомобилей с модернизированным двигателем, причем выборочное среднее расходов топлива на 100 км пробега по результатам испытаний составило 9,3 л. Предположим, что выборка расходов топлива получена из нормально распределенной генеральной совокупности со средним mm и дисперсией D=4D=4лІ. Используя критерий значимости, проверить гипотезу, утверждающую, что изменение конструкции двигателя не повлияло на расход топлива.

Решение. Проверим гипотезу о среднем mm нормально распределенной генеральной совокупности. Проверку проведем по этапам:

1) проверяемая гипотеза

H0:m=10H0:m=10; альтернативная гипотеза

H1:m<10H1:m<10;

2) уровень значимости

б=0,05б=0,05;

3) в качестве статистики критерия используем статистику математического ожидания -- выборочное среднее;

4) так как выборка получена из нормально распределенной генеральной совокупности, выборочное среднее также имеет нормальное распределение с дисперсией

Dn=425Dn=425.

При условии, что верна гипотеза

H0H0, математическое ожидание этого распределения равно 10. Нормированная статистика

Z=XЇЇЇЇ-104/25----vZ=XЇ-104/25 имеет нормальное распределение;

5) альтернативная гипотеза

H1:m<10H1:m<10

предполагает уменьшение расхода топлива, следовательно, нужно использовать односторонний критерий. Критическая область определяется неравенством

Z<zбZ<zб.

По прил. 5 находим

z0,05=?z0,95=?1,645z0,05=?z0,95=?1,645;

б) выборочное значение нормированной статистики критерия

zv=9,3?104/25????v=?0,70,4=?1,75;zv=9,3?104/25=?0,70,4=?1,75;

7) статистическое решение: так как выборочное значение статистики критерия принадлежит критической области, гипотеза

H0H0

отклоняется: следует считать, что изменение конструкции двигателя привело к уменьшению расхода топлива. Границу

xЇЇЇkxЇk

критической области для исходной статистики XX

критерия можно получить из соотношения

xЇЇЇk-104/25----v=-1,645xЇk-104/25=-1,645, откуда

xЇЇЇk=9,342xЇk=9,342, т. е.

критическая область для статистики XX определяется неравенством X<9,342X<9,342

Ошибки первого и второго рода

Решение, принимаемое на основе критерия значимости, может быть ошибочным. Пусть выборочное значение статистики критерия попадает в критическую область, и гипотеза H0H0, отклоняется в соответствии с критерием. Если, тем не менее, гипотеза H0H0 верна, то принимаемое решение неверно. Ошибка, совершаемая при отклонении правильной гипотезы if о, называется ошибкой первого рода. Вероятность ошибки первого рода равна вероятности попадания статистики критерия в критическую область при условии, что верна гипотеза H0H0, т. е. равна уровню значимости б:б:

б=P{Z Vk/H0}. (11.1)б=P{Z Vk/H0}. (11.1)

Ошибка второго рода происходит тогда, когда гипотеза

H0H0 принимается, но в действительности верна гипотеза H1H1. Вероятность вв ошибки второго рода вычисляется по формуле

в=P{Z V Vk/H1}. (11.2)

Размещено на Allbest.ru