Разработка методов исследования и оптимизация стратегии развития экономической системы региона

, . (18)

Приводятся примеры применения принципа максимума для определения параметров неподвижной точки в случае различных производственных функций, типичных для макроэкономических систем. Определяются стационарные точки и их явные выражения записываются через исходные данные модели.

В разделе 4 приводится содержательная постановка модели экономической динамики с двумя производственными факторами - трудом и капиталом, построенная на основе классической РКК-модели, которая редуцируется к одномерной модели. Для одномерной модели с использованием принципа оптимальности Беллмана доказана теорема (Теорема 2, о синтезе управления), в рамках которой определена стратегия оптимального управления как функция состояния макроэкономической системы. Показано наличие устойчивого стационарного режима, в которое система приходит за конечное время. Получено полное аналитическое решение задачи.

В пятом разделе главы 1 изучаются модели экономической динамики для случая линейно-однородной производственной функции.

В работе рассматриваются выпуклые модели; в частности, производственная функция в которых есть неотрицательная функция, монотонно возрастающая по каждой координате вектора (при этом ) ивыпуклая вверх на всем ортанте . Класс таких функций обозначим .

Важным частным случаем производственной функции является положительно-однородная функция с показателем однородности . Условие однородности означает выполнение соотношения

, . (19)

Существенно различными являются ситуации, отвечающие случаям и (в этом случае называется линейно-однородной).

В случае траектории оказываются ограниченными (такую модель назовем моделью с ограниченными траекториями, ОТ-модель); в этом случае решение задачи всегда существует, причем оптимальная стратегия имеет неподвижную точку.

Случай линейно-однородной функции является особым; класс линейно-однородных функций обозначим . Здесь траектории неограниченны, и решение существует только при определенных соотношениях между параметрами модели. Дело в том, что в этом случае траектории неограниченно растут и темп роста производства может быть выше, чем дисконтное снижение в критериальном интеграле и в задаче с бесконечным горизонтом функционал становится равным бесконечности, решения не существует.

В случае, когда решение существует, доказывается, что неподвижной точки (в обычном понимании) в фазовом пространстве не существует. Неподвижным (стационарным) состоянием является луч оптимального сбалансированного роста.

Рассматривается задача (16), (17) для двумерного случая. Переменные модели обозначаются содержательными буквами: производственный капитал, человеческий капитал, формирование которого описывается в главе 4. Функция полезности ; здесь и удельные величины факторов производства, поскольку в силу принадлежности можно записать: ; темпы роста численности трудоспособного населения и общей численности населения соответственно (в данной постановке производится разделение населения на две группы: потребляющую и производящую); постоянная, фиксирующая величину отношения трудоспособной части населения в общей численности в начальный момент времени.

Максимизация проводится по стратегиям управления со значениями в симплексе (15) (при ). Оптимальная стратегия управления (8) записывается применительно к данной постановке; в результате анализа стратегии имеют место следующие выводы.

С точки зрения двухфакторной модели неподвижность точки означает движение вдоль луча сбалансированного роста: . При этом темп роста обеих компонент одинаков и в стационарной модели постоянен. Это означает, что неподвижной точке отвечает пропорциональное изменение во времени переменных , .

В то же время анализ решения показывает, что в неподвижной точке удельный человеческий капитал убывает во времени по экспоненте, и, следовательно, также убывает удельный объем производственного капитала (фондовооруженность труда). В результате приходим к выводу, что в рассмотренной модели оба фактора производства в удельном измерении стремятся во времени к нулю, что, вообще говоря, является негативным. Тем не менее, в абсолютных единицах, производство может расти, поэтому отмеченное обстоятельство не является катастрофичным: все зависит от соотношения темпов роста производства и темпов роста населения.

Более существенным недостатком описанной модели является то обстоятельство, что в стационарном режиме инвестируется только один из производственных факторов, а в другой ничего не вкладывается. Для исправления этого недостатка есть смысл изменить постановку задачи так, чтобы устранить отмеченное явление. Это удается сделать в модели с фиксированной долей потребления. В этой модели получена формула для нахождения луча сбалансированного роста, обобщение которой на многомерную модель формулируется в виде теоремы.

Теорема 3. В стационарной многофакторной модели (16), (17) с производственной функцией луч максимального сбалансированного роста определяется из уравнения

~ .

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

(20)

Здесь знак “~” - знак пропорциональности векторов; ; ; вектор коэффициентов .

Вторая глава посвящена негомогенным моделям экономической динамики, в которых реальная прогнозная информация явным образом привязана к календарному времени. Решение стационарной модели может быть принято как нулевое приближение (если прогнозные кривые меняются достаточно плавно). Это особенно важно, когда в стационарной модели удается выявить структуру оптимального управления и перенести затем эту структуру на негомогенные модели.

В негомогенном случае стационарной точке сбалансированного роста отвечает квазистационарная траектория, на которую выходят оптимальные траектории системы. Существование такой траектории нельзя гарантировать в общей негомогенной модели, однако практика показывает, что в области значений реальных параметров такая траектория во многих случаях существует. Эта идея приводит к двухэтапному подходу построения оптимального управления для негомогенной модели. На первом этапе рассматривается гомогенный вариант модели в стационарной постановке и на основе принципа оптимальности Беллмана строится синтез оптимального управления. На втором этапе структура полученной оптимальной стратегии стационарной модели переносится на негомогенную модель. Для проверки корректности такого переноса применяется принцип максимума Понтрягина. Если принцип максимума для перенесенной стратегии выполняется, то она действительно является оптимальной.

В главе 1 стационарная модель была сформулирована как модель с бесконечным горизонтом. В негомогенной модели корректную постановку такой задачи дать трудно. Эта трудность преодолевается с помощью принципа наращивания горизонта, когда сначала рассматривается постановка задачи с конечным горизонтом , а затем осуществляется переход к пределу при , если такой переход возможен.

В данной главе эта идея в полном объеме реализуется на модели двух факторов (капитала и труда ), сводящейся к одномерной:

, (21)

, , (22)

где отношение численности работников к численности всего населения (экзогенно заданная функция); норма накопления удельного капитала ; удельная линейно-однородная производственная функция Кобба-Дугласа;

при краевых условиях:

, , (23)

, . (24)

Из содержательных экономических соображений можно ожидать, что если экзогенные функции времени достаточно гладкие, то при больших оптимальное управление будет иметь такую же структуру, как и в стационарной модели. Отличие состоит в том, что теперь стационарное состояние будет не неподвижной точкой, а гладко меняющейся функцией времени; иначе говоря, это будет квазистационарная кривая (квазимагистраль) .

В стационарном решении неподвижная точка является одновременно точкой переключения управления (Теорема 2). Определим по аналогии квазистационарную кривую как такую функцию времени , на которой также поддерживается режим переключения управления.

Каждое состояние также будем называть квазистационарным. Если система находится в таком состоянии в некоторый момент времени, то для удержания ее в дальнейшем на кривой необходимо применять такое управление , чтобы выполнялось соотношение (22) при ; это условие определяет квазистационарное управление формулой

, . (25)

Опираясь на квазистационарную кривую, уточним постановку задачи (21) -(24) в том смысле, что для заданного горизонта планирования в качестве правого краевого условия в (23) возьмем

. (26)

Условие (26) эквивалентно условию . В такой постановке при определенных допущениях на функцию доказана Теорема 4 (о синтез управления в модели с конечным горизонтом), согласно которой для любого при всех достаточно больших в задаче оптимального управления (21)-(24), (26) имеет место следующее:

1) Оптимальное правило управления

, (27)

2) оптимальная фазовая траектория выходит на квазистационарную кривую за конечное время и далее остается на ней до конца планового периода .

При этом, если существует постоянная такая, что при всех выполняется неравенство и квазистационарная кривая равномерно локализована, т.е. существуют постоянные и такие, что , то справедлива теорема 5 (о синтезе управления в модели с бесконечным горизонтом), где выполняются условия 1) и 2) предыдущей теоремы, при этом показывается, что максимальное значение функционала (21) при конечно.

Во втором разделе главы 2 рассматривается многофакторная модель ЭД (16), (17), сформулированная здесь в негомогенной содержательной постановке при следующих допущениях.

Д1. Производственная функция определена на пространстве и принадлежит классу .

Д2. Различается трудоспособное население , задействованное в создании ВРП, и все население региона , на которое распространяется потребление в экономической системе.

Д3. Среди производственных факторов (ресурсов) выделяется фактор объем трудовых ресурсов (в общем случае функция считается экзогенно заданной). Остальные факторы , будем называть материальными ресурсами или факторами производства, они являются фазовыми переменными модели. Фазовое пространство есть . Множество индексов фазовых переменных обозначим . Множество индексов факторов обозначим .

Д4. Произведенный продукт распределяется на часть согласно вектору управления , где доля направляется на потребление, а остальные доли на инвестиции в развитие факторов производства. При этом задается нижняя граница потребления , которая обеспечивает гарантированный уровень душевого потребления.

Множество допустимых управлений имеет вид:

. (28)

Д5. Эффективность инвестиций в развитие факторов производства характеризуется показателями , , .

Д6. Выбытие факторов производства происходит согласно вектору коэффициентов амортизации , , .

Кроме перечисленных допущений предполагается, что показатель однородности производственной функции меньше единицы.

Для упрощения изложения, делается замена управляемых переменных: , где ; новые переменные управления, интерпретируемые как доли дополнительного (по отношению к минимальным долям) инвестирования. Тогда множество допустимых управлений перейдет в стандартный симплекс:

. (29)

Поставим задачу оптимального управления в следующей форме: максимизировать на множестве допустимых управлений (28), (29) интегральное сверхнормативное дисконтированное удельное душевое потребление:

. (30)

Траектория поведения экономической системы в пространстве факторов определяется эволюционными уравнениями:

, , (31)

где , с краевыми условиями:

; . (32)

Также как и в одномерном случае, предполагается, что в модели существует траектория , называемая квазимагистралью (особая траектория, определяемая до начала расчета), такая, что двигаясь в оптимальном режиме система выходит (при достаточно большом горизонте планирования ) за конечное время на квазимагистраль и далее движется по ней до конца планового периода. Иначе говоря, предполагается, что существует траектория , являющаяся аттрактором всех оптимальных траекторий.

Из принципа максимума Понтрягина находится оптимальное управление

, (33)

где скалярное произведение векторов и :

(34)

и эволюционные уравнения для двойственных переменных:

, , (35)

где .

Найдем квазимагистраль. Из (33) следует, что не минимальные значения управляемых переменных могут быть только на множестве тех индексов, на которых величина максимальна, т.е. на множестве индексов

, где (36)

или

. (37)

Согласно определению, на квазимагистрали необходимо потребовать

, (38)

откуда следует, что на квазимагистрали выполняются равенства

, . (39)

Функция выпукла и дифференцируема на , что, согласно теории сопряженных по Фенхелю функций, позволяет по значению градиента восстанавливать единственное значение аргумента , где - сопряженная по фазовым аргументам функция к функции .

Таким образом, формула (39) позволяет определить искомую квазимагистраль . Поддерживающее ее управление или находится из соотношений (31) при :

, , ; , .(40)

Изложим процедуру построения оптимального управления, выводящего траекторию развития системы на квазимагистраль; соответствующий период назовем переходным, а горизонтом планирования будем считать длину переходного периода (т.е. - момент выхода на квазимагистраль).

В оптимальном режиме политика инвестирования нацелена на выравнивание весов всех производственных фондов (это следует из (33)). При такой политике носитель постепенно расширяется, присоединяя к себе новые факторы. Фактор, вошедший в носитель в какой-то момент времени (т.е. ставший конкурирующим), уже никогда его не покидает.

Построение оптимального управления в переходном периоде состоит в том, чтобы упорядочить факторы, т.е. определить, в каком порядке они будут включаться в носитель. Значимые веса факторов, включаемых в носитель, одинаковы и являются максимальными. По мере расширения носителя веса конкурирующих факторов снижаются, т.е. функция убывает, а веса свободных фондов подравниваются к значению . Выход траектории на квазимагистраль происходит тогда, когда веса всех факторов выровняются (все они войдут в состав носителя), это произойдет в момент . То есть на всех этапах, кроме последнего, когда будет достигнуто равенство . После этого носитель включает все факторы () и дальше идет движение по квазимагистрали.

Для того, чтобы веса факторов выравнивались с течением времени, необходимо, чтобы веса свободных факторов росли быстрее (или, что равносильно, убывали медленнее), чем веса конкурирующих. Это есть условие опережающего роста весов свободных факторов. В работе показано, что оно может быть обеспечено условием

, (41)

где индексы факторов - конкурирующего и свободного .

Из (41) следует, что в каждый момент времени имеет место равенство

(42)

и, следовательно, на носителе значения всех индексов одинаковы.

Таким образом, правило включения факторов в носитель определяется формулой (42). Для завершения описания процедуры решения задачи необходимо построить оптимальное управление (т.е. распределение инвестиций) в каждом временном интервале, в котором множество остается постоянным. Это даст возможность провести в каждом таком интервале интегрирование эволюционных уравнений (31).

Надо заметить, что разработанный алгоритм не требует знания самих весов значимости факторов , и они в описанной схеме не вычисляются. В принципе, их можно вычислить как решение задачи Коши для уравнений (33) в обратном времени с правым краевым условием , где момент уже определен.

В третьем разделе, следуя двухэтапному подходу, структура оптимального управления гомогенной стационарной модели с линейно-однородной производственной функцией с фиксированной долей потребления, построенная в главе 1, перенесена на соответствующую негомогенную модель. Доказана Теорема 6 являющаяся распространением теоремы 3 на негомогенный случай, согласно которой в негомогенной многофакторной модели (30)-(32) с производственной функцией направление максимального сбалансированного роста является функцией времени и определяется из уравнения

. (43)

Третья глава посвящена разработке математической модели анализа и прогноза демографических характеристик. Дается вывод уравнения динамики возрастного состава на основе подхода, используемого в механике гетерогенных сред. Приводится аналитическое и численное решение задачи. Статистически определяется аналитический вид функций распределения рождений и силы смертности населения. Дается анализ погрешности вычисления и прогнозирования демографических характеристик, связанной как с погрешностью конечно-разностной аппроксимации, так и со статистической погрешностью определения функций распределения рождений, силы смертности населения и входных демографических данных. Представлен ретроспективный анализ и прогноз демографических показателей.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Дано обобщение РКК-модели для многофакторной многомерной задачи оптимального управления на случай, когда потребляющая и производящая части населения учитываются отдельно.

2. В общей стационарной модели экономической динамики с ограниченными траекториями (ОТ-модель) сформулирован принцип максимума для неподвижной точки оптимальной стратегии и на его основе получено уравнение для ее нахождения (Теорема 1).

3. Для стационарной монопродуктовой многофакторной ОТ-модели уравнение для неподвижной точки доведено до конечной формы, выражающей эту точку через исходные параметры модели.

4. Дано полное описание оптимального решения для классической РКК-модели (Теорема 2).

5. Описана структура оптимального управления в стационарной двухфакторной модели с линейно-однородной производственной функцией в двух постановках: с управляемой и фиксированной долями потребления.

6. Получена конечная формула (Теорема 3) для луча сбалансированного роста в многофакторной модели с линейно-однородной производственной функцией и фиксированной долей потребления (неподвижной точки в такой модели не существует).

7. Предложен двухэтапный подход к анализу негомогенных моделей и построению в таких моделях оптимального управления: на первом этапе анализируется стационарное приближение, на втором этапе оно обобщается на негомогенный случай. В этих рамках получено распространение Теоремы 2 на негомогенную модель (Теоремы 4, 5).

8. В многофакторной модели с ограниченными траекториями описана структура оптимального управления, центральным звеном которой является квазистационарная кривая. Предложен алгоритм построения оптимального управления в переходном периоде, основанный на идее выравнивания уровней (весов) значимости факторов (индексный метод). Таким образом, проблему построения оптимального управления, связанную с интегрированием уравнений для двойственных переменных, удалось свести к интегрированию фазовых уравнений, для которых известны начальные условия. Этот подход позволяет построить оптимальную траекторию на основе принципа максимума, не решая полную систему сопряженных уравнений, точнее, без привлечения двойственных переменных, что является существенным упрощением, так как для двойственных переменных краевые условия отсутствуют.

9. В многофакторной модели с линейно-однородной производственной функцией (в которой оптимальные траектории растут неограниченно) получены уравнения для определения направления максимального сбалансированного роста (квазистационарная кривая) (Теорема 6), являющегося аналогом луча сбалансированного роста в стационарной модели (Теорема 3).

10. Сформулирована краевая задача демографической динамики на основе подхода к выводу уравнений сохранения, развитого в механике гетерогенных сред. Выведены соотношения для расчета основных демографических характеристик. Замыкание уравнений осуществлено с помощью статистических моделей функций распределения рождений и силы смертности. Представлено аналитическое и численное решение уравнения. Исследована сходимость численного решения. Проведен анализ вычислительной погрешности, погрешности аппроксимации, а также статистических погрешностей граничных условий и функций распределения рождений и силы смертности на погрешность прогнозирования локальных и интегральных демографических характеристик. Показано, что разработанная математическая модель с погрешностью не более 3% может быть использована при прогнозировании демографических характеристик на период до 20 лет.

11. Впервые сформулирована экономико-математическая модель потенциала трудовых ресурсов и стоимостных характеристик демографических потерь. Для оценки отдачи вложений в человеческий капитала и определения необходимой величины этих вложений рассмотрены такие характеристики, как потенциал работника и экономическая стоимость жизни. Подробно рассмотрены два аспекта проблемы, обусловленной преждевременной потерей демографического элемента: упущенная выгода для экономической системы региона в целом, и потерянная ценность для отдельной семьи в частности. Исследования, проведенные в работе, в частности, показали:

o полный экономический потенциал среднестатистического демографического элемента почти на 40% превышает расходы на его собственное содержание.

o при выбытии демографических элементов в возрасте лет упущенная выгода для экономики УР в 2-3 раза выше потерянной ценности для отдельной семьи, однако, с увеличением возраста демографического элемента уже при лет потерянная ценность становится выше упущенной выгоды.

o суммарная упущенная выгода от преждевременных демографических потерь в УР составляют % ее ВРП.

12. Впервые сформулирована экономико-математическая модель динамики человеческого капитала. Предложена методика построения функции распределения человеческого капитала региона по времени. Отметим, что результаты анализа данной проблемы имеют существенное прикладное значение, позволяя определять экономически оправданный объем инвестиций, направляемых на повышение уровня общественного здоровья и качества жизни населения.

13. На основе построенных моделей факторов производства предложена математическая модель региональной экономической системы. Решена задача идентификации неизвестных параметров модели с использованием гибридного генетического алгоритма с вещественным кодированием и метода Хука-Дживса.

14. На основе построенной математической модели региональной экономической системы сформулирована и решена задача оптимального управления распределением капиталовложений с учетом реального демографического прогноза. Построен синтез управления и исследованы параметры устойчивости задачи. Построены алгоритмы оптимального управления динамикой региональной экономической системы для различных сценариев развития. Рассмотрены варианты оптимального управления в условиях научно-технического и социально-образовательного и прогресса; а также управление макроэкономической системой с учетом процесса внешнего инвестирования.

15. Разработана информационно-аналитическая система, позволяющая проводить совместный анализ всего комплекса локальных и интегральных демографических характеристик и макроэкономических параметров региона, а также проводить параметрические и имитационные исследования различных вариантов развития экономики.

16. Проведенный параметрический анализ задачи показал, что стратегия оптимального экономического роста не всегда сопряжена с увеличением ВРП. Совместное или противоположное изменение функции выигрыша и удельного значения объема производства (валового регионального продукта) зависит от соотношения начальных значений макропараметров и значений макропараметров на оптимальной траектории развития экономической системы.