Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача извлечения максимальной прибыли в системах ресурсообмена

Постановка задачи

Аналогия между термодинамическими и экономическими системами была подмечена давно. Более 50 лет назад П. Самуэльсон посвятил ей свою нобелевскую лекцию [3]. В дальнейшем эта аналогия была рассмотрена более подробно в работах [1], [2]. Однако во всех этих исследованиях рассматривались равновесные состояния как экономических, так и термодинамических систем. Между тем, для экономики, как впрочем, и для термодинамики, большой интерес представляют не потенциально достижимые показатели типа КПД Карно или максимального процента на вложенный капитал, а показатели, связанные с предельными интенсивностями полезных потоков, такие как мощность тепловой машины или предельная интенсивность получения прибыли. В термодинамике в последние годы подобные задачи изучает «Термодинамика конечного времени» (ТКВ). В [4] на экономику были перенесены методы ТКВ. В этой работе с позиций ТКВ поставлена и решена задача оптимального процесса закупки (продажи) ресурса посреднической фирмой, получены условия, связывающие цену закупки и объем ресурса в оптимальном процессе.

Состояние экономической системы будем характеризовать:

вектором объема ресурсов , один из этих ресурсов, имеющий объем , называют базисным;

функцией полезности

объемом капитала

Функция монотонно возрастает по каждой из переменных и выпукла вверх. Примером функции полезности может служить функция Кобба-Дугласа

(1)

Чтобы была экстенсивной переменной, она должна быть однородной функцией первого порядка, при этом

.

Условие неубывания приводит к тому, что .

Если система имеет возможность менять количество ресурсов, то при заданной величине , она решает следующую экстремальную задачу [2]:

. (2)

Здесь множители - оценки системой -го ресурса. На решении задачи (2) эти множители связаны друг с другом и функцией соотношениями

, . (3)

Подставляя эти равенства в ограничение задачи (2) и исключая , получим

, . (4)

Ограничение в задаче (2) однородно относительно , поэтому один из этих множителей всегда можно принять равным единице. Удобно сделать это для оценки базового ресурса . Тогда

,

и оценка - го ресурса в подсистеме оказывается связанной с функцией полезности как

, . (5)

Внутренние оценки подсистемы для -го ресурса представляют собой предельные нормы замещения -го ресурса базисным. Если строго выпукла, то с изменением N_i от нуля до бесконечности оценка уменьшается от некоторого максимального значения до нуля.

Величину обозначим, как

Величина [2] характеризует оценку подсистемой вложений капитала (рентабельность вложений). C. Martines введена величина и названа ликвидностью. Таким образом, в равновесии прирост функции полезности

. (6)

Выделим среди экономических систем три типа:

Подсистемы, у которых функция имеет вид (1) или подобный им, и вектор оценок зависит от запасов ресурсов и капитала.

Фирмы, назначающие цены на приобретаемые и продаваемые ресурсы с целью получения максимальной прибыли. Функция для фирмы совпадает с объемом базового ресурса

,

Фирмы в свою очередь делятся на Посреднические, которые только покупают и продают ресурс, и производственные, перерабатывающие одни виды ресурса в другие, затрачивая капитал не только на приобретение ресурса, но и на его переработку.

Рынки, оценки ресурса , для которых не зависят от его объема. Эти объемы столь велики, что продажа или покупка на рынке некоторого количества ресурса никак не влияет на его оценку. Величину для рынка можно принять за единицу, функция в этом случае запишется как

(7)

Функции и в отличие от не являются строго выпуклыми.

Термодинамическими аналогами трех названных типов подсистем является подсистема с конечной емкостью, рабочее тело и резервуар.

Обмен подсистемы с фирмой. Экономическая необратимость

Рассмотрим процесс обмена ресурсом между подсистемой, имеющей запас ресурса и запас капитала и фирмой, устанавливающей цены закупки (продажи) ресурса (Рис. 1).

Рис. 1. Обмен между фирмой и подсистемой

Оценки ресурса и капитала в подсистеме обозначим через и соответственно. Для фирмы в соответствии с (6) оценка ресурса равна нулю, а рентабельность - единице. Если фирма закупает ресурс у подсистемы по цене , и продает его на рынке по цене , то для и имеем

(8)

При этом условие добровольности обмена имеет вид

При закупке ресурса , а значит . Оценка в свою очередь зависит от и . Пусть объем закупленного ресурса равен , а продолжительность процесса задана, максимальный прирост капитала фирмы определяется решением задачи

(9)

при условиях

; ; (10)

. (11)

Так как , можно перейти от времени к , учтя, что

Получим после очевидных преобразований, обозначив

,

задачу в форме

, (12)

, , (13)

. (14)

Если продолжительность процесса не ограничена, условие (14) отсутствует и решение задачи (12), (13) очевидно: стремится к своей верхней грани, когда закупочная цена сколь угодно близка к оценке . При этом

, (15)

причем изменяется в соответствии с условием

, . (16)

В частности, при ,

. (17)

П р и м е р: Пусть функция полезности S (N, N₀) имеет следующий вид:

, , ;

из условия (5) получаем оценку ресурса

.

Подставляя это значение в (15) получим

. (18)

Уравнение (16) примет форму

.

Его решение

, где .

Подставляя это решение в (18) находим предельный доход фирмы при сколь угодно большой продолжительности процесса

,

где - константа, которая определена начальными условиями N₀(0), N(0):

.

Таким образом, получили нижний предел затрат фирмы при неограниченном времени.

Когда продолжительность процесса задана, добавочное ограничение (17) снижает предельный прирост капитала и . Запишем условия оптимальности для задачи (12) - (14) в форме принципа максимума в предположении невырожденности решения :

функция Гамильтона

,

уравнение для сопряженной переменной

. (19)

условие максимума по для выпуклой вверх и дифференцируемой функции :

.

Исключая из (17), (19) и сокращая , получим условие оптимальности закупок

. (20)

экономический закупочный цена прибыль

В докладе рассмотрены оптимальные законы изменения закупочных цен, вытекающие из (20), для конкретного вида функций полезности и зависимости потока ресурса от цены закупки и оценки подсистемы.

Это решение позволяет перейти к задаче ресурсообмена фирмы с произвольным числом подсистем. В этой задаче требуется найти те подсистемы, у которых фирма закупает ресурс (множество «продавцов»), аналогично множество покупателей и для каждого из них найти законы изменения цен покупки и продажи, а также объемы закупаемого ресурса. Задача разбиватся на подзадачи вида (12), (13), связанные условием ненакопления ресурса фирмой

При этом законы изменения закупочных цен определяются условиями оптимальности (20).

Литература

1. Lihnierowicz M. Um modele d'echange economique (Economie et thermodinamique) //Annales de l'Institut Henry Poincare, nouvelle serie. Section B. 1970. Vol.4, No.2, p. 159-200.

2. Розоноэр Л.И. Обмен и распределение ресурсов (обобщенный термодинамический подход) Ш. // Автоматика и телемеханика, 1973, №8, с. 82-103.

3. Самуэльсон П. Принцип максимизации в экономическом анализе. //THESIS, Зима 1993 г., т. 1, вып. 1. с. 184-202.

4. Цирлин А.М. Термодинамика экономических систем. // Труды ИПС РАН. 1994, т. 1, с. 64-78.

Размещено на Allbest.ru