Через брак фінансових ресурсів в державному секторі багатьох країн світу поширюється інвестиційні проекти, що здійснюються на засадах державно-приватного партнерства (ДПП). Наприклад, у розвитку автодорожньої інфраструктури набули поширення концесійні договори та договори життєвого циклу. Реалізація дорожніх проектів ДПП потребує значних незворотних інвестицій та здійснюється протягом багатьох років в умовах ризику і невизначеності.

Традиційний підхід до оцінки таких проектів базується на дисконтуванні грошових потоків (Discount Cash Flow - DCF), що включає чисту теперішню вартість (NPV) та інші форми. Принцип методу NPV полягає дисконтуванні прогнозованих грошових потоків до 0-го року для отримання чистої теперішньої вартості проекту. NPV повинна бути більшою від нуля, щоб виправдати інвестиції. Якщо NPV більше нуля, проект вважається прийнятним для виконання.

Для проектів, яким властиві велика невизначеність часу реалізації, витрат та грошових потоків, таких, наприклад, як оцінювання розвитку нерухомості, використання підходів DCF ускладнене в наступних трьох аспектах: по-перше, виборі фіксованої та відповідної ставки дисконту; по-друге, урахуванні нової інформації та зміни проекту; по-третє, визначення оптимального часу здійснення проекту.

Перспективним напрямом урахування цих аспектів вважається застосування так званих “реальних опціонів”, які дозволяють підвищити ефективність реалізації проекту ДПП за рахунок врахування гнучкості управлінських рішень. Вперше використання реальних опціонів в оцінці нерухомості було запропоноване в роботі [1]. Однак, теорія реальних опціонів, методологія їх оцінювання ще не знайшли належного практичного застосування в обґрунтуванні ефективності проектів ДПП. Проблема, на наш погляд, полягає у новизні і складності методів оцінки вартості реальних опціонів. Ці методи повинні враховувати особливості реальних опціонів, притаманних дорожнім інвестиційним проектам, потребують подальшого розвитку і максимального наближення до практичних потреб.

Аналіз досліджень і публікацій

Опціон дає право його власнику зробити щось. Власник може не скористатись цим правом [3, с.8]. Спираючись на численні визначення, можна визначити реальний опціон як право, але не обов'язок зміни ходу реалізації проекту - право скористатись управлінською гнучкістю. Задачею теорії ціноутворення опціону є визначення ціни опціону, яку власник повинен сплатити за таку гнучкість.

Опціон на купівлю або продаж базового активу характеризується ціною опціону (premium), ціною виконання (strike, exercise), датою виконання (expiration date), виплатами (payoffs), які залежать від вартості базового активу. Є два класи опціонів [2, с.7], опціон "колл" (call-option) і опціон "пут" (put-option). Опціон колл дає власникові право на купівлю активу, якщо ціна активу вище ціни виконання опціону на заздалегідь визначену дату в майбутньому. Опціон пут дає право продати актив за ціною виконання, якщо ціна активу впаде нижче ціни виконання в майбутньому. Якщо опціон може бути виконаний тільки у дату закінчення, то він європейського типу, якщо опціон може бути виконаний також раніше від встановленої дати, то - американського типу. Існують також інші типи опціонів [3, с.574-588].

Умови опціонів вбудовуються в договори, які регулюють права та обов'язки для обох сторін. Умовна вимога (contingent claim) в договорі, або опціон, являє собою вимогу, виплата по якій проводиться тільки за певних умов: якщо вартість базового активу перевершує попередньо встановлену вартість виконання колл-опціону (опціону покупця), або ж вона виявиться менше попередньо встановленої вартості пут-опціону (опціону продавця) [2, с.29]. Звична практика розрахунку NPV може призвести до помилкових результатів у той час, коли проект включає в себе певну гнучкість [3, с.419].

Вартість опціону визначається шістьма змінними, які зв'язані з базовим активом і фінансовими ринками [2, с.119-120]. До них входять: поточна вартість базового активу; дисперсія вартості базового активу; дивіденди, що сплачуються по базовому активу; ціна виконання опціону; дата закінчення дії опціону; безризикова процентна ставка, яка відповідна тривалості життя опціону.

Можна виділити чотири головних види моделей оцінювання реальних опціонів [4]:

формула Блека-Шоулза (1973 р.) на основі рішення диференціального рівняння, в якому використовується модель геометричного броунівського руху (GBM) для отримання неперервне логонормальне розподілення майбутньої вартості активу. Очікуване значення розраховується як середньозважена імовірність позитивної сторони майбутнього розподілення вартості, яка дисконтується за безризиковою ставкою прибутковості, однаковою для доходів і витрат. Рішення здійснюється на основі аргументу реплікації (будь-які два активи, які дають ті ж грошові потоки при тих же обставинах, повинні мати однакову ціну) та базується на жорстких припущеннях щодо ринків (повні, ефективні, безарбітражні);

біноміальна модель Кокса-Росса-Рубінштейна (1979 р.) з дискретними подіями. В ній: для отримання майбутнього розподілення вартості використовується біноміальне дерево. Щоб знайти вартість опціону застосовуються зворотні ітерації, які включають дисконтування за безризиковою ставкою, однаковою для витрат і доходів. Модель також спирається на жорсткі припущення щодо ринків. Для моделювання необхідна вхідна інформація про стандартне відхилення та імовірності підвищення /зниження (up/down) вартості;

метод Датара-Метьюза (2004 р.) на основі імітаційного моделювання, в якому: майбутнє розподілення вартості базується на трьох сценаріях грошових потоків проекту, необхідних для побудови гістограми розподілення вартості методом Монте-Карло, на основі якого розраховується очікуване значення як середньозважене позитивної сторони гістограми розподілення вартості. Ставки дисконтування можуть бути окремими для витрат і доходів, також відсутні жорсткі обмеження про ринки;

метод нечітких виплат (payoff) Коллана (2009 р.) на основі теорії нечітких множин, в якому: будується 3-4 традиційних сценарії грошового потоку і створюється розподілення чистої теперішньої вартості з використанням нечітких чисел, де ставки дисконтування можуть бути окремими для витрат і доходів та відсутні жорсткі обмеження щодо ринків.

В цій статті ми розглянемо метод Датара-Метьюза (далі - DM) [5, 6, 7], який не вимагає жорстких вимог про досконалість ринку, про відсутність арбітражу та використовує заперечення ринкових активів (Market Asset Disclaimer - MAD), що є доречним для оцінки автомобільних доріг, які не торгуються на ринку.

Процес багатоетапного моделювання в DM передбачає побудову трьох сценарів: оптимістичного, найбільш ймовірного і песимістичного, які є прогнозами операційного прибутку. На рис.1а наведений графік з цих трьох сценаріїв, які утворюють конус невизначеності. Річні значення песимістичних, найбільш ймовірних і оптимістичних параметрів складають кути трикутного розподілу діапазону NPV. Вартість запуску проекту також представляється як трикутний розподіл.

Методом Монте-Карло отримуються випадкові реалізації значень з трикутних законів річних розподілів операційних надходжень і витрат на запуск шляхом розрахунку NPV з корекцією на неприйняття ризику та можливого прийняття економічних рішень. У методі DM використовує дві ставки дисконтування: одна для проектних операційних доходів, на які впливає ринковий ризик, друга для відносно безпечних контролюємих інвестицій в проект. Діапазони розподілу операційних надходжень та витрат на запуск дисконтуються до року 0. Результатом є гістограма розподілу чистої прибутку за рік, на основі правого “хвоста" +NPV якого визначається середньозважена вартість опціону (рис.1б):

(1)

де C_RO - вартість реального опціону; R_AP - імовірність, скоригована з урахуванням ризику; M_+NPV - середнє значення позитивних реалізацій NPV (рис.1б). Або

(2)

де C_RO - вартість реального опціону; i - номер сценарію; N - кількість сценаріїв; OPi - операційний прибуток; LC_i - витрати на запуск; д_i = 1, якщо OP_i > LC_i, інакше д_i = 0.

Рис. 1. Схема для визначення ціни опціону

Джерело: [7]. Адаптовано авторами

Проте, в методі DM, як він викладений в роботі [7], модельований грошовий потік наступного року вважається незалежним від попереднього року, отже відсутній механізм зв'язування грошових потоків від одного року до наступного.

Подальший розвиток підхід, подібний методу Датара-Метьюза, отримав в роботах Джеймангла, Лавришина та Бартона [8, 9, 10]. В роботі [10] Джеймангл і Лавришин виділяють три ключових результати своїх досліджень, що враховують стислий погляд менеджерів на вартість проекту, а також неповноту ринку.

По-перше, вони припускають, що оцінка майбутнього грошового потоку у вигляді трьох сценаріїв забезпечується менеджером у формі послідовності {F_k^*: k =1,…,n} ймовірносних розподілень у послідовності {T_k: k =1,…,n} дат платжів, що може розглядатись як вхідні дані моделі, які інкапсулюють менеджерський погляд. Ці вхідні дані можуть бути просто з трикутними, нормальними, логонормальними чи іншими неперервними щільностями розподілу.

По-друге, автори припускають, що існує базовий стохастичний процес, що не торгується, S_t, названому стохастичним драйвером (індикатором ринкового сектору), прийнятий як процес Іто, який буде вести грошовий потік. Однозначно визначається послідовність відображень ц_k R > R між стохастичним драйвером і менеджерською специфікацією розподілень грошового потоку, які відображують трансформований стохастичний драйвер ц_k (S_tk), рівним по розподілу специфікованому менеджером розподілу F_k^*. Таким чином, хоча використовується базовий стохастичний процес, цей процес відображається так, що він точно відповідає колекції призначених менеджером розподілів.

По-третє, автори припускають, що стохастичний драйвер корелює з індексом, який торгується на ринку, який є GBM. Цей ринковий індекс дозволить частково хеджувати реальні опціони, але кореляція може бути нульовою. У такому випадку відсутнє часткове хеджування. Нарешті, враховується послідовність грошових потоків, а також відображення між стохастичним драйвером та розподілом грошових потоків.

Як і багато інших дослідників, автори робіт [8, 9, 10] для прогнозування доходу застосовують моделі на основі диференціальних рівнянь, зокрема в частинних похідних, вживаючи GBM та використовуючи тим чи іншим способом апарат реплікації.

У роботі [11] для платних доріг припускається, що трафік (об'єм дорожнього руху) та, відповідно, дохід змінюються стохастично за GBM. Ця модель передбачає, що дохід ніколи не може бути негативним, а його волатильність постійна в часі:

dR = б•R•dt + у_R•R•dz, (3)

де dR - додаткова зміна доходу протягом короткого періоду часу dt; б - швидкість зростання доходу за короткий проміжок часу dt; у_R - волатильність доходу; dz = еvdt, де е ~ N (0,1) - стандартний процес Вінера ^[1] .

З допомогою процесу Іто ^[2] можна показати, що цей GBM може бути представлений стохастичною еволюцією повернень, як показано у рівнянні (4), який можна дискретно моделювати у річних періодах як функцію значення у попередньому періоді, як показано у рівнянні (5) [11]:

(4)

(5)

Як стверджують автори роботи [11], цей процес можна повністю визначити, враховуючи лише його початкове значення R₀, річний темп зростання та волатильність процесу, які вважаються постійними протягом концесійного періоду, де рівняння (4) являє собою “справжній” процес еволюції доходів проекту. З іншого боку, для того, щоб оцінити гарантії, необхідно використовувати ризик-нейтральну процедуру, коли премія за ризик віднімається від очікуваної віддачі основного активу, замінивши її “справжню" дохідність безризиковою нормою повернення.

Отже, намагання описати прогноз NPV дорожнього інвестиційного проекту ДПП аналітичними методами є вкрай утрудненим.

Формулювання цілей статті. Мета статті полягає в розробці методу, подібному методу Датара-Метьюза, з побудовою зв'язку майбутніх доходів з попередніми.

Виклад основного матеріалу дослідження. Пропонована модель базується на ідеях методу Датара-Метьюза [5, 6, 7] та його удосконаленні Джеймунгалом і Лавришиним [8, 9, 10].

Головним джерелом операційних доходів в проектах платних автомобільних доріг ДПП є плата за проїзд, яка визначається об'ємом дорожнього руху. Проблема прогнозування об'єму дорожнього руху на довгострокову перспективу є фундаментальною. Істотним в теоретичних моделях реальних опціонів прогнозу дорожнього руху є припущення, що варіація дорожнього руху може бути змодельована як стохастичний процес (GBM-гіпотеза) [11, 12]. В статті [12] наводяться результати тестування для перевірки гіпотези GBM для оцінки інтенсивності руху на основі серії даних за 30-річний період спостережень. Головним результатом аналізу є те, що гіпотеза про випадковий процес зміни дорожнього руху за GBM не підтверджується, але й не спростовується. Тому, на думку авторів [12], GBM-гіпотеза може бути застосована до оцінки дорожньої концесії. Проте, припущення щодо логнормального розподілу випадкової величини базового активу, у даному випадку дорожнього руху, який не має достатньої кількості статистичних даних, визиває сумнів.

На нашу думку, для прогнозування дорожнього руху більш доцільно застосовувати багатофакторне прогнозування, яке базується на економіко-статистичному моделюванні залежностей між показниками інтенсивності руху і найбільш значимими факторами, що визначають їх величину. В Україні, нажаль, майже відсутні ретроспективні дані спостережень, на базі яких можна було б перевірити гіпотезу GBM. Отже, на сьогодні більш доцільно скористатись традиційними методами, які звичайно застосовуються в проектуванні доріг.

Тому, на відміну від випадкового процесу GBM, у пропонованій нами моделі застосовується випадковий процес Маркова з кінцевою кількістю k станів E₁,…,E_k та дискретним часом t₁,…,t_n.

Імовірність переходу із стану E_i (у момент t_n) до стану E_j у момент t_n+1 зветься перехідною ймовірністю ланцюга. Ланцюг Маркова задається матрицею переходів P, елементами якої є перехідні імовірності, а також вектором ймовірностей станів системи у початковий момент часу t₁. Якщо всі перехідні імовірності не залежать від часу, тоді ланцюг Маркова називається однорідним. При будь-якому фіксованому i, сума елементів кожного рядка дорівнює одиниці. Загальний елемент p_ij цієї матриці має два індекси: перший визначає номер стану i в даний момент часу t_n, а другий - номер майбутнього стану j, в який перейде система в момент t_n+1.

Сутність пропонованого методу полягає в наступному. Формуються три сценарії прогнозу операційного прибутку: песимістичний, найбільш ймовірний та оптимістичний, подібні наведеним на рис.1а. Для кожного року t створюється трикутне розподілення імовірності операційного прибутку, задане кумулятивною функцією трикутного закону розподілу F (X) з параметрами a - песимістичний, c - найбільш ймовірний та b - оптимістичний (рис.2).

Генерування значень випадкових величин методом Монте-Карло здійснюється шляхом отримання значення U випадкової величини, рівномірно розподіленої в інтервалі (0, 1), а за інтегральною функцією трикутного розподілу з параметрами мінімального значення (a), максимального значення (b) та моди (c), - визначення x* - модельованого значення випадкової величини X;

(7)

(8)

Ланцюг Маркова моделюється таким чином. У першому році здійснення проекту методом Монте-Карло визначається стан з кінцевої множини станів k (у наведеному прикладі задано п'ять станів). На рис. 2 - це третій стан, в який випало рівномірно розподілене в інтервалі [0, 1) випадкове число U. Стрілками показана процедура отримання конкретного шуканого значення операційного прибутку x* для поточної реалізації сценарію по формулам (7) і (8).

[1] Вінеровський процес в теорії випадкових процесів - це стохастичний процес з неперервним часом, що математично виражає випадкові блукання.

[2] Лема Іто використовується в стохастичному аналізі для знаходження диференціалу від функції, аргументом якої є випадковий процес. Назву отримала на честь японського математика Кійоші Іто. Лема є аналогом правила диференціювання складної функції в звичайному математичному аналізі.

Размещено на Allbest.ru