Теорія ймовірностей, імовірнісні процеси та математична статистика

Размещено на http://www.allbest.ru/

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ

УКРАЇНИ

ЧЕРКАСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

імені БОГДАНА ХМЕЛЬНИЦЬКОГО

КУРС ЛЕКЦІЙ

Теорія ймовірностей, імовірнісні процеси та математична статистика

для бакалаврів денної форми навчання напрямів підготовки:

050101 «Комп'ютерні науки» ,

040303 «Системний аналіз»

050103 «Програмна інженерія»

галузей знань:

0501 «Інформатика та обчислювальна техніка»,

0403 «Системні науки та кібернетика»

Черкаси-2012

ББК 22.171

УДК 519.2

Теорія ймовірностей. Курс лекцій з дисципліни для студентів напряму 7.0804 “Комп'ютерні науки” / Косенюк Г.В. - Черкаси: ЧНУ ім. Б. Хмельницького, 2012. - 00 с.

Укладач - Косенюк Григорій Володимирович, к.т.н., доцент кафедри інформаційних систем та медичних технологій

Рецензент - Мамчич Тетяна Іванівна, кандидат фізико-математичних наук, доцент, завідувач кафедри прикладної математики Волинського державного університету імені Лесі Українки

Затверджено кафедрою інформаційних систем та медичних технологій 29 серпня 2012 року, протокол №1.

© Косенюк Г.В., 2012

© Черкаський національний університет ім. Богдана Хмельницького, 2012

ВСТУП

Предмет теорії ймовірностей. Події (явища), що спостерігаються нами, можна підрозділити на наступні три види: достовірні, неможливі і випадкові.

Достовірною називають подію, що обов'язково відбудеться, якщо буде здійснена визначена сукупність умов S. Наприклад, якщо в судині міститься вода при нормальному атмосферному тиску і температурі 20°, то подія "вода в судині знаходиться в рідкому стані" є достовірною. У цьому прикладі задані атмосферний тиск і температура води складають сукупність умов S.

Неможливою називають подію, що завідомо не відбудеться, якщо буде здійснена сукупність умов S. Наприклад, подія "вода в судині знаходиться у твердому стані" завідомо не відбудеться, якщо буде здійснена сукупність умов попереднього прикладу.

Випадковою називають подію, яка при здійсненні сукупності умов S може або відбутися, або не відбутися. Наприклад, якщо кинута монета, то вона може упасти так, що зверху буде або герб, або напис. Тому подія "при киданні монети випав герб" - випадкова. Кожна випадкова подія, зокрема випадання "герба", є наслідок дії дуже багатьох випадкових чинників (у нашому прикладі: сила, з якою кинута монета, форма монети і багато інших). Неможливо врахувати вплив на результат усіх цих причин, оскільки число їхній дуже велике і закони їхньої дії невідомі. Тому теорія ймовірностей не ставить перед собою задачу пророчити, відбудеться одинична чи подія ні, - вона просто не в силах це зробити.

Теорія ймовірностей виникла в середині XVII у. в зв'язку із задачами розрахунку шансів виграшу гравців в азартних іграх. Пристрасний гравець в кістки француз де Мере, прагнучи розбагатіти, придумував нові правила гри. Він пропонував кидати кістку чотири рази підряд і тримав парі, що при цьому хоча б один раз випаде шістка (6 очок). Для більшої упевненості у виграші де Мере звернувся до свого знайомого, французького математика Паскаля, з проханням розрахувати ймовірність виграшу в цій грі. Паскаль розрахував, що у де Мере було більше шансів виграти, чим програти.

По-іншому обстоїть справа, якщо розглядаються випадкові події, що можуть багаторазово спостерігатися при здійсненні тих самих умов S, тобто якщо мова йде про масові однорідні випадкові події. Виявляється, що досить велике число однорідних випадкових подій незалежно від їхньої конкретної природи підкоряється визначеним закономірностям, а саме ймовірнісним закономірностям. Установленням цих закономірностей і займається теорія ймовірностей. Отже, предметом теорії ймовірностей є вивчення імовірнісних закономірностей масових однорідних випадкових подій.

Знання закономірностей, яким підкоряються масові випадкові події, дозволяє передбачати, як ці події будуть протікати. Наприклад, хоча, як було вже сказане, не можна наперед визначити результат одного кидання монети, але можна передбачити, причому з невеликою погрішністю, число появ "герба", якщо монета буде кинуте досить велике число раз. При цьому передбачається, звичайно, що монету кидають у тих самих умовах.

В XVII-XVIII ст. теорія ймовірностей розвивалася повільно, оскільки область її застосування, зважаючи на низький рівень природознавства, обмежувалася невеликим колом питань (страхування, азартні ігри, демографія). З XIX ст. і до теперішнього часу, у зв'язку із запитами практики, теорія ймовірностей безперервно і швидко розвивається, її методи усе ширше і ширше проникають у різні області науки і техніки, сприяючи їхньому прогресу.

Методи теорії ймовірностей широко застосовуються в різних галузях природознавства і техніки: у теорії надійності, теорії масового обслуговування, у теоретичній фізиці, геодезії, астрономії, теорії стрільби, теорії помилок спостережень, теорії автоматичного керування, загальній теорії зв'язку і у багатьох інших теоретичних і прикладних науках. Теорія ймовірностей служить також для обґрунтування математичної і прикладної статистики, що у свою чергу використовується при плануванні й організації виробництва, при аналізі технологічних процесів, попереджувальному і кінцевому контролі якості продукції і для багатьох інших цілей.

Теорія ймовірностей є розділом математики, який вивчає закономірності випадкових масових подій стійкої частості.

Коротка історична довідка. Перші роботи, у яких зароджувалися основні поняття теорії ймовірностей, являли собою спроби створення теорії азартних ігор (Кардано, Гюйгенс, Паскаль, Ферма й інші в XVІ-XVІІ ст.).

Наступний етап розвитку теорії ймовірностей зв'язаний з ім'ям Якоба Бернуллі (1654-1705). Доведена ним теорема, що одержала згодом назву "Закону великих чисел", була першим теоретичним обґрунтуванням накопичених раніше фактів.

Подальшими успіхами теорія ймовірностей зобов'язана Муавру, Лапласові, Гауссу, Пуассонові та ін.

Новий, найбільш плідний період зв'язаний з іменами П.Л. Чебишева (1821-1894) і його учнів, О.О. Маркова (1856-1922) і О.М. Ляпунова (1857-1918). У цей період теорія ймовірностей стає стрункою математичною наукою. Її наступний розвиток зобов'язаний у першу чергу радянським математикам (С.М. Бернштейн, В.І. Романовский, О.М. Колмогоров, О.Я. Хінчин, Б.В. Гнеденко, М.В. Смирнов і ін.).

ймовірність комбінаторика стійкість випадковий

РОЗДІЛ 1. ВИПАДКОВІ ПОДІЇ

ТЕМА 1. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ

1.1. Випробування і події

Подію називають випадковою, якщо при здійсненні визначеної сукупності умов S вона може або відбутися, або не відбутися. Надалі замість того, щоб говорити "сукупність умов S здійснена", будемо говорити коротко: "зроблено випробування". Таким чином, подія буде розглядатися як результат випробування.

Приклад 1. Стрілець стріляє по мішені, розділеній на чотири області. Постріл - це випробування. Влучення у визначену область мішені - подія.

Приклад 2. В урні знаходяться кольорові кулі. З урни навмання беруть одну кулю. Виймання кулі з урни є випробування. Поява кулі визначеного кольору - подія.

1.2. Види випадкових подій

Події називають несумісними, якщо поява однієї з них виключає появу інших подій у тому самому випробуванні.

Приклад 1. Із ящика з деталями навмання вийнята деталь. Поява стандартної деталі виключає появу нестандартної деталі. Події "з'явилася стандартна деталь" і "з'явилася нестандартна деталь" - несумісні.

Приклад 2. Кинуто монету. Поява "герба" виключає поява надпису. Події "з'явився герб" і "з'явився надпис" - несумісні.

Кілька подій утворять повну групу, якщо в результаті випробування з'явиться хоча б одна з них. Іншими словами, поява хоча б однієї з подій повної групи є достовірна подія. Зокрема, якщо події, що утворюють повну групу, попарно несумісні, то в результаті випробування з'явиться одна і тільки одна із цих подій. Цей окремий випадок представляє для нас найбільший інтерес, оскільки використовується далі.

Приклад 3. Придбано два квитки грошово-речової лотереї. Обов'язково відбудеться одна і тільки одна з наступних подій: "виграш випав на перший квиток і не випав на другий", "виграш не випав на перший квиток і випав на другий", "виграш випав на обидва квитки", "на обидва квитки виграш не випав". Ці події утворять повну групу попарно несумісних подій.

Приклад 4. Стрілець зробив постріл по цілі. Обов'язково відбудеться одна з наступних двох подій: влучення, промах. Ці дві несумісних події утворять повну групу.

Події називають рівноможливими, якщо є підстави вважати, що жодна з них не є більш можливою, ніж інша.

Приклад 5. Поява "герба" і поява надпису при киданні монети - рівноможливі події. Дійсно, передбачається, що монета виготовлена з однорідного матеріалу, має правильну циліндричну форму і наявність карбування не чинить впливу на випадання тієї чи іншої сторони монети.

Приклад 6. Поява того чи іншого числа очок на кинутій гральній кістці - рівноможливі події. Дійсно, передбачається, що гральна кіста виготовлена з однорідного матеріалу, має форму правильного багатогранника і наявність очок не робить впливу на випадання будь-якої грані.



1.2 Операції над подіями

При розробці апарату і методики дослідження випадкових подій в теорії ймовірностей дуже важливим є поняття суми і добутку подій.

Сумою, або об'єднанням, декількох подій називається подія, що полягає в настанні хоча б однієї з цих подій.

Сума S подій А, В, С,..., N позначається так:

S = А +В + С+ ... +N

Наприклад, якщо подія А є влучення в ціль при першому пострілі, подія В - при другому, то подія С = А + В є влучення в ціль взагалі, байдуже, при якому пострілі - першому, другому або при обох разом.

Добутком, або перетином, декількох подій називається подія, що полягає в сумісній появі всіх цих подій.

Добуток S подій А, В, С..., N позначається

5 = АВС...N

Наприклад, якщо подія А є влучення в ціль при першому пострілі, подія В - при другому, то подія С = АВ полягає в тому, що в ціль влучили при обох пострілах.

Поняття суми і добутку подій мають наочну геометричну інтерпретацію. Хай подія А полягає в, попаданні точки в область А, подія В - в попаданні в область В, тоді подія А + В полягає в попаданні точки в область, заштриховану на рис. 1, і подія АВ - в попаданні точки в область, заштриховану на рис. 2.

1.3 Класичне визначення ймовірності

Ймовірність - одне з основних понять теорії ймовірностей. Існує кілька визначень цього поняття. Приведемо визначення, що називають класичним. Далі вкажемо слабкі сторони цього визначення і приведемо інші визначення, що дозволяють перебороти недоліки класичного визначення.

Розглянемо приклад. Нехай в урні міститься 6 однакових, ретельно перемішаних куль, причому 2 з них - червоні, 3 - сині і 1 - біла. Очевидно, можливість вийняти навмання з урни кольорову (тобто червону чи синю) кулю більша, ніж можливість витягти білу кулю. Чи можна охарактеризувати цю можливість числом? Виявляється, можна. Це число і називають ймовірністю події (появи кольорової кулі).

Таким чином, ймовірність є число, що характеризує ступінь можливості появи події.

Поставимо перед собою завдання дати кількісну оцінку можливості того, що узята навмання куля кольорова. Появу кольорової кулі будемо розглядати як подію А. Кожний з можливих результатів випробування (випробування полягає у діставанні кулі з урни) назвемо елементарним результатом (елементарною подією). Елементарні події позначимо через і т.д. У нашому прикладі можливі наступні 6 елементарних результатів: - з'явилася біла куля; - з'явилася червона куля; - з'явилася синя куля. Легко бачити, що ці результати утворять повну групу попарно несумісних подій (обов'язково з'явиться тільки одна куля) і вони рівноможливі (кулю виймають навмання, кулі однакові і ретельно перемішані).

Ті елементарні результати, у яких подія, що нас цікавить, настає, назвемо такими, що сприяють цій події. У нашому прикладі сприяють події А (появі кольорової кулі) наступні 5 результатів: .

Таким чином, подія А спостерігається, якщо в випробуванні настає один, байдуже який, з елементарних результатів, що сприяють А; у нашому прикладі А спостерігається, якщо наступить або або або або . У цьому розумінні подія А підрозділяється на кілька елементарних подій ( ); елементарна ж подія не підрозділяється на інші події. У цьому полягає розходження між подією А і елементарною подією (елементарним результатом). Відношення числа сприятливих події А елементарних результатів до їх загального числа називають ймовірністю події А і позначають через Р (А). У розглянутому прикладі усього елементарних результатів 6; з них 5 сприяють події А. Отже ймовірність того, що взята куля виявиться кольоровою, дорівнює Р (А) = 5/6. Це число і дає ту кількісну оцінку ступеня можливості появи кольорової кулі, що ми хотіли знайти. Дамо тепер визначення ймовірності. Ймовірністю події А називають відношення числа сприятливих цій події результатів до загального числа всіх рівноможливих несумісних елементарних результатів, що утворюють повну групу. Отже, ймовірність події А визначається формулою

де m - число елементарних результатів, що сприяють події А; n - число всіх можливих елементарних результатів випробування.

Тут передбачається, що елементарні результати несумісні, рівноможливі й утворюють повну групу. З визначення ймовірності випливають наступні її властивості:

Властивість 1. Ймовірність достовірної події дорівнює одиниці.

Дійсно, якщо подія достовірна, то кожен елементарний результат випробування сприяє події. У цьому випадку m=n, отже,

Властивість 2. Ймовірність неможливої події дорівнює нулю.

Дійсно, якщо подія неможлива, то жоден з елементарних результатів іспиту не сприяє події. У цьому випадку m = 0, отже,

Властивість 3. Ймовірність випадкової події є позитивне число, укладене між нулем і одиницею.

Дійсно, випадковій події сприяє лише частина з загального числа елементарних результатів випробування. У цьому випадку , отже виходить, що , отже,

Отже, ймовірність будь-якої події задовольняє подвійній нерівності

Далі будуть приведені теореми, що дозволяють за заданими ймовірностями одних подій знаходити ймовірності інших подій.

Зауваження. Сучасні строгі курси теорії ймовірностей побудовані на теоретико-множинній основі. Обмежимося викладенням мовою теорії множин тих понять, що розглянуті вище.

Нехай у результаті іспиту настає одна і тільки одна з подій ... Події називають елементарними подіями (елементарними результатами). Уже звідси випливає, що елементарні події попарно несумісні. Безліч усіх елементарних подій які можуть з'явитися у випробуванні, називають простором елементарних подій , а самі елементарні події - точками простору .

Подію А ототожнюють з підмножиною (простору ), елементи якого є елементарні результати, що сприяють події А; подія В є підмножина , елементами якої є результати, що сприяють В, і т.д. Таким чином, множина усіх подій, що можуть наступити у випробуванні, є безліч усіх підмножин . Саме настає при будь-якому результаті випробування, тому - достовірна подія; порожня підмножина простору - неможлива подія (вона не настає ні при якому результаті випробування).

Відмітимо, що елементарні події виділяються з числа всіх подій тим, що кожна з них містить тільки один елемент .

Кожному елементарному результату ставлять у відповідність позитивне число - ймовірність цього результату, причому

.

За визначенням, ймовірність події дорівнює сумі ймовірностей елементарних результатів, що сприяють події . Звідси легко отримати, що ймовірність достовірної події дорівнює одиниці, неможливої - нулю, довільної - знаходиться між нулем та одиницею.

Розглянемо важливий частковий випадок, коли всі результати рівноможливі. Число результатів дорівнює , сума ймовірностей всіх результатів дорівнює одиниці, значить ймовірність кожного результату дорівнює . Нехай події сприяє результатів. Ймовірність події дорівнює сумі ймовірностей результатів, що сприяють :

P(A)=1/n+1/n+…1/n.

З огляду на те, що число складових дорівнює , маємо

P(A)=m/n.

Отримано класичне визначення ймовірності.

Побудова логічно повноцінної теорії ймовірностей ґрунтується на аксіоматичному визначенні випадкової події і її ймовірності. У системі аксіом, запропонованій О.М. Колмогоровим, невизначуваними поняттями є елементарна подія і ймовірність. Приведемо аксіоми, що визначають ймовірність:

1. Кожній події А поставлено у відповідність невід'ємне дійсне число Р(А). Це число називається ймовірністю події А.

2. Ймовірність достовірної події дорівнює одиниці:

P () =1.

3. Ймовірність настання хоча б однієї із попарно несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій.

Виходячи з цих аксіом, властивості ймовірностей і залежності між ними виводять в якості теорем.

1.4 Відносна частота. Стійкість відносної частоти

Відносна частота поряд з ймовірністю належить до основних понять теорії ймовірностей.

Відносною частотою події називають відношення числа випробувань, у яких подія з'явилася, до загального числа фактично зроблених випробувань. Таким чином, відносна частота події А визначається формулою

,

де m - число появ події, n - загальне число випробувань.

Зіставляючи визначення ймовірності і відносної частоти, робимо наступний висновок: визначення ймовірності не вимагає, щоб випробування проводилися в дійсності; визначення ж відносної частоти передбачає, що випробування були проведені фактично.

Іншими словами, ймовірність обчислюють до випробування, а відносну частоту - після випробування.

Приклад 1. Відділ технічного контролю знайшов 3 нестандартні деталі в партії з 80 випадково відібраних деталей. Відносна частота появи нестандартних деталей

.

Приклад 2. По цілі зробили 24 постріли, причому було зареєстровано 19 влучень. Відносна частота враження цілі

.

Тривалі спостереження показали, що якщо в однакових умовах проводять досліди, у кожному з яких число випробувань досить велике, то відносна частота виявляє властивість стійкості. Ця властивість полягає в тому, що в різних дослідах відносна частота змінюється мало (тим менше, чим більше зроблено випробувань), коливаючись біля деякого постійного числа. Виявилося, що це постійне число є ймовірність появи події.

Таким чином, якщо дослідним шляхом встановлена відносна частота, то отримане число можна прийняти за наближене значення ймовірності.

Докладніше і точніше зв'язок між відносною частотою й ймовірністю буде викладено далі. Тепер же проілюструємо властивість стійкості на прикладі.

Приклад 3. Багаторазово проводилися досліди з кидання монети, у якої підраховували число появ "герба". Результати декількох дослідів приведені в таблиці.

Число кидань монети	Число появ герба	Відносна частота
4 040	2 048	0,5069
12 000	6 019	0,5016
24 000	12 012	0,5005

Тут відносні частоти незначно відхиляються від числа 0,5, причому тим менше, чим більше число випробувань. Наприклад, при 4040 випробуваннях відхилення дорівнює 0,0069, а при 24000 лише 0,0005. Прийнявши до уваги, що ймовірність появи "герба" при киданні монети дорівнює 0,5, ми знову переконуємося, що відносна частота коливається відносно ймовірності.

1.5 Обмеженість класичного визначення ймовірності. Статистична ймовірність

Класичне визначення ймовірності припускає, що число елементарних результатів випробування кінцеве. На практиці ж дуже часто зустрічаються випробування, число можливих результатів яких нескінченно. У таких випадках класичне визначення незастосовне. Уже ця обставина вказує на обмеженість класичного визначення ймовірності. Відзначений недолік може бути переборений, зокрема, введенням геометричних ймовірностей і, звичайно, використанням аксіоматичної ймовірності.

Найбільш слабка сторона класичного визначення полягає в тому, що дуже часто неможливо представити результат випробування у виді сукупності елементарних подій. Ще важче вказати підстави, що дозволяють вважати елементарні події рівноможливими. Звичайно про рівноможливість елементарних результатів випробування говорять з точки зору симетрії. Так, наприклад, припускають, що гральна кістка має форму правильного багатогранника (куба) і виготовлена з однорідного матеріалу. Однак задачі, у яких можна виходити з міркувань симетрії, на практиці зустрічаються дуже рідко. З цієї причини поряд із класичним визначенням ймовірності використовують і інші визначення, зокрема статистичне визначення: в якості статистичної ймовірності події приймають відносну частоту чи число, близьке до неї. Наприклад, якщо в результаті досить великого числа випробувань виявилося, що відносна частота дуже близька до числа 0,4, то це число можна прийняти за статистичну ймовірність події.

Легко перевірити, що властивості ймовірності, що витікають з класичного визначення, зберігаються і при статистичному визначенні ймовірності. Дійсно, якщо подія достовірна, то і відносна частота

,

тобто статистична ймовірність достовірної події (так само як я у випадку класичного визначення) дорівнює одиниці.

Якщо подія неможлива, то і, отже, відносна частота

,

тобто статистична ймовірність неможливої події дорівнює нулю.

Для будь-якої події і, отже, відносна частота

,

тобто статистична ймовірність будь-якої події знаходиться між нулем і одиницею.

Для існування статистичної ймовірності події А потрібно:

а) можливість, хоча б принципово, проводити необмежене число випробувань, у кожному з яких подія А настає чи не настає;

б) стійкість відносних частот появи події А в різних серіях достатньо великого числа випробувань.

Недоліком статистичного визначення є неоднозначність статистичної ймовірності; так, у наведеному прикладі за ймовірність події можна прийняти не тільки 0,4, але і 0,39; 0,41 і т. д.

1.6 Геометричні ймовірності

Щоб перебороти недолік класичного визначення ймовірності, який полягає в тому, що воно незастосовне до випробувань з нескінченним числом результатів, вводять геометричні ймовірності - ймовірності попадання точки в область (відрізок, частину площини тощо).

Нехай відрізок складає частину відрізка . На відрізок L навмання поставлена точка. Це означає виконання наступних припущень: поставлена точка може виявитися в будь-якій точці відрізка L, ймовірність попадання точки на відрізок пропорційна довжині цього відрізка і не залежить від його розташування щодо відрізка L. У цих припущеннях ймовірність попадання точки на відрізок визначається рівністю

.

Приклад 1. На відрізок ОА довжини L числової осі Ох навмання поставлена точка В(х). Знайти ймовірність того, що менший з відрізків ОВ і ВА має довжину, більшу L/3. Передбачається, що ймовірність попадання точки на відрізок пропорційна довжині відрізка і не залежить від його розташування на числовій осі.

Рішення. Розіб'ємо відрізок ОА точками С і D на 3 рівні частини. Вимога задачі буде виконана, якщо точка В(х) потрапить на відрізок CD довжини 1/3. Шукана ймовірність

.

Нехай плоска фігура g складає частину плоскої фігури G. На фігуру G навмання кинута точка. Це означає виконання наступних припущень: кинута точка може виявитися в будь-якій точці фігури G, ймовірність попадання кинутої точки на фігуру g пропорційна площі цієї фігури і не залежить ні від її розташування відносно G, ні від форми g. У цих припущеннях ймовірність попадання точки у фігуру g визначається рівністю

.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Приклад 2. На площині накреслені два концентричні кола, радіуси яких 5 і 10 см відповідно. Знайти ймовірність того, що точка, кинута навмання у великий круг, потрапить у кільце, утворене побудованими колами. Передбачається, що ймовірність попадання точки в плоску фігуру пропорційна площі цієї фігури і не залежить від її розташування відносно великого круга.

Рішення. Площа кільця (фігури g)

.

Площа великого круга (фігури G)

.

Шукана ймовірність

.

Приклад 3. У сигналізатор надходять сигнали від двох пристроїв, причому надходження кожного із сигналів рівноможливе в будь-який момент проміжку часу тривалістю Т. Моменти надходження сигналів незалежні один від одн ого. Сигналізатор спрацьовує, якщо різниця між моментами надходження сигналів менше t (t<T). Знайти ймовірність того, що сигналізатор спрацює за час Т, якщо кожен з пристроїв пошле по одному сигналу.

Рішення. Позначимо моменти надходження сигналів першого і другого пристроїв відповідно через х і у. У силу умови задачі повинні виконуватися подвійні нерівності: , . Введемо у розгляд прямокутну систему координат хОу. У цій системі подвійним нерівностям задовольняють координати будь-якої точки квадрата ОТAT (рис. 1). Таким чином, цей квадрат можна розглядати як фігуру G, координати точок якої представляють усі можливі значення моментів надходження сигналів.

Сигналізатор спрацьовує, якщо різниця між моментами надходження сигналів менше t, тобто якщо у-х < t при y > х і х-у < t при х> y, чи, що те ж саме,

y<x+t при y>x, (*)

y>x-t при y<x. (**)

Нерівність (*) виконується для тих точок фігури G, що лежать вище прямої у=х і нижче прямої y=x+t; нерівність (**) має місце для точок, розташованих нижче прямої у=х і вище прямої у=х - t.

Як видно з рис. 1, усі точки, координати яких задовольняють нерівностям (*) і (**), належать заштрихованому шестикутнику. Таким чином, цей шестикутник можна розглядати як фігуру g, координати точок якої є сприятливими моментами часу х і у.

Рис. 1 Шукана ймовірність

.

Зауваження 1. Наведені визначення є окремими випадками загального визначення геометричної ймовірності. Якщо позначити міру (довжину, площу, обсяг) області через mes, то ймовірність попадання точки, кинутої навмання (у зазначеному вище змісті) в область g - частина області G, дорівнює

P=mes g/mes G.

Зауваження 2. У випадку класичного визначення ймовірність достовірної (неможливої) події дорівнює одиниці (нулю); справедливі і зворотні твердження (наприклад, якщо ймовірність події дорівнює нулю, то подія неможлива). У випадку геометричного визначення ймовірності зворотні твердження не мають місця. Наприклад, ймовірність попадання кинутої точки в одну визначену точку області G дорівнює нулю, однак ця подія може відбутися, і, отже, не є неможливою.

1.7 Основні формули комбінаторики

Комбінаторика вивчає кількості комбінацій, що підпорядковуються певним умовам, які можна скласти з елементів, байдуже якої природи, заданої кінцевої множини. При безпосередньому обчисленні ймовірностей часто використовують формули комбінаторики. Приведемо найбільш уживані з них.

Перестановками називають комбінації, що складаються із одних і тих самих n різних елементів і відрізняються тільки порядком їхнього розташування. Число усіх можливих перестановок



де .

Відмітимо, що зручно розглядати 0!, вважаючи за визначенням 0!=1.

Приклад 1. Скільки тризначних чисел можна скласти із цифр 1, 2, 3, якщо кожна цифра входить у зображення числа тільки один раз?

Рішення. Шукане число тризначних чисел

.

Розміщеннями називають комбінації, складені з n різних елементів по m елементів, що відрізняються або складом елементів, або їх порядком, Число всіх можливих розміщень

.

Приклад 2. Скільки можна скласти сигналів з 6 прапорців різного кольору, узятих по 2?

Рішення. Шукане число сигналів

.

Сполученнями називають комбінації, складені з n різних елементів по m елементів, що відрізняються хоча б одним елементом. Число сполучень

.

Приклад 3. Скількома способами можна вибрати дві деталі із ящика, що містить 10 деталей?

Рішення. Шукане число способів

.

Число розміщень, перестановок і сполучень зв'язані рівністю

.

Запитання для самоперевірки

1. Що є предметом вивчення в теорії ймовірностей?

2. Дайте коротку класифікацію подій.

3. Дайте класифікацію випадкових подій.

4. Що означає об'єднання (сума) подій?

5. Що означає перетин (добуток подій?

6. Дайте класичне визначення ймовірності.

7. Як обчислити значення ймовірності?

8. Які властивості притаманні ймовірності?

9. Сформулюйте аксіоми Колмогорова.

10. Дайте визначення відносної частоти.

11. У чому полягає обмеженість класичного визначення ймовірності?

12. Дайте статистичне визначення ймовірності.

13. Для чого застосовуються геометричні ймовірності?

14. Наведіть формули для обчислення ймовірності попадання точки на відрізок, на площу, в об'єм.

ТЕМА 2. ЙМОВІРНІСТЬ СУМИ ПОДІЙ

Сумою А+В двох подій А і В називають подію, що полягає в появі події А, чи події В, чи обох цих подій. Наприклад, якщо з гармати зроблені два постріли і А - влучення при першому пострілі, В - влучення при другому пострілі, то А + В - влучення при першому пострілі, чи при другому, чи в обох пострілах.

Зокрема, якщо дві події А і В - несумісні, то А+В - подія, що полягає в появі одної з цих подій, байдуже якої.

Сумою декількох подій називають подію, що полягає в появі хоча б однієї з цих подій. Наприклад, подія А+В+С полягає в появі одної з наступних подій: А, В, С, А і В, А і С, В і С, А і В і С.

2.1 Ймовірність суми несумісних подій

Нехай події А и В - несумісні, причому ймовірності цих подій відомі. Як знайти ймовірність того, що наступить або подія А, або подія В? Відповідь на це питання дає теорема додавання ймовірностей несумісних подій.

Теорема. Ймовірність появи однієї з двох несумісних подій, байдуже якої, дорівнює сумі ймовірностей цих подій:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Доведення. Введемо позначення: n - загальне число можливих елементарних результатів випробування; m1 - число результатів, що сприяють події А; m2 - число результатів, що сприяють події В.

Число елементарних результатів, що сприяють настанню або події А, або події В, дорівнює m1+m2. Отже,

P(A+B)=(m1+m2)/n=m1/n+m2/n.

Прийнявши до уваги, що ml/n = P(A) і m2/n=P(B)остаточно одержимо

Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Наслідок. Ймовірність появи однієї із декількох попарно несумісних подій, байдуже якої, дорівнює сумі ймовірностей цих подій:

Р(А1+А2+...+Аn)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).

Доведення. Розглянемо три події: А, В і С. Так як розглянуті події попарно несумісні, то поява одної з трьох подій, А, В і С, рівносильна настанню однієї з двох подій, А+В і С, тому в силу зазначеної теореми

Р(А+В+С)=P[(A+B)+C]=P(A+B)+P(C)=P(A)+P(B)+P(C).

Приклад 1. В урні знаходиться 30 куль: 10 червоних, 5 синіх і 15 білих. Знайти ймовірність появи кольорової кулі.

Рішення. Поява кольорової кулі означає появу червоної, або синьої кулі.

Ймовірність появи червоної кулі (подія А)

Р(А)=10/30.

Ймовірність появи синьої кулі (подія В)

Р(В)=5/30=1/6.

Події А и В несумісні (поява кулі одного кольору виключає появу кулі іншого кольору), тому теорема додавання застосовна.

Шукана ймовірність

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)=1/3+ 1/6=1/2.

Приклад 2. Стрілець стріляє по мішені, розділеній на 3 області. Ймовірність влучення в першу область дорівнює 0,45, у другу - 0,35. Знайти ймовірність того, що стрілець при одному пострілі влучить або в першу, або в другу область.

Рішення. Події А - «стрілець влучив у першу область» і В «стрілець влучив у другу область» - несумісні (влучення в одну область виключає влучення в іншу), тому теорема додавання застосовна.

Шукана ймовірність

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)=0,45+0,35=0,80.

2.2 Ймовірність суми подій, що утворюють повну групу

Теорема. Сума ймовірностей подій A1, A2,...Аn, що утворюють повну групу, дорівнює одиниці:

Р(А1)+Р(А2)+...+Р(Аn)=1.

Доведення. Так як поява однієї з подій повної групи достовірна, а ймовірність достовірної події дорівнює одиниці, то

Р(А1+А2+...+Аn)=1. (*)

Будь-які дві події повної групи несумісні, тому можна застосувати теорему додавання:

Р(А1+А2+...+Аn)=Р(А1)+Р(А2)+...+Р(Аn). (**)

Порівнюючи (*) і (**), одержимо

Р(А1)+Р(А2)+...+Р(Аn)=1.

Приклад. Консультаційний пункт інституту одержує пакети з контрольними роботами з міст А, В і С. Ймовірність одержання пакета з міста А дорівнює 0,7, з міста В - 0,2. Знайти ймовірність того, що черговий пакет буде отриманий з міста С.

Розв'язок. Події «пакет отриманий з міста А», «пакет отриманий з міста В», «пакет отриманий з міста С» утворюють повну групу, тому сума ймовірностей цих подій дорівнює одиниці:

0,7+0,2+р=1.

Звідси шукана ймовірність

Р=1- 0,9=0,1.

2.3 Сума ймовірностей протилежних подій

Протилежними називають дві єдино можливі події, що утворюють повну групу. Якщо одну з двох протилежних подій позначено через А, то іншу прийнято позначати .

Приклад 1. Влучення і промах при пострілі по цілі ­ протилежні події. Якщо А ­ влучення, то ­ промах.

Приклад 2. Із ящика навмання вийнята деталь. Події «вийнята стандартна деталь» і «вийнята нестандартна деталь» ­ протилежні.

Теорема. Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює одиниці:

Р(А)+Р()=1.

Доведення. Протилежні події утворюють повну групу, а сума ймовірностей подій, що утворюють повну групу, як було показано вище, дорівнює одиниці.

Зауваження 1. Якщо ймовірність однієї з двох протилежних подій позначена через р, то ймовірність іншої події позначають через q. Таким чином, у силу попередньої теореми

р+q=1.

Приклад 3. Ймовірність того, що день буде дощовим, р=0,7. Знайти ймовірність того, що день буде ясним.

Розв'язок. Події «день дощовий» і «день ясний» ­ протилежні, тому шукана ймовірність

q=1-р=1-0,7=0,3.

Зауваження 2. При розв'язанні задач на знаходження ймовірності події А часто зручно спочатку обчислити ймовірність події , а потім знайти шукану ймовірність за формулою

Р(А)=1-Р().

Приклад 4. У ящику знаходиться n деталей, з яких m стандартних. Знайти ймовірність того, що серед k навмання вийнятих деталей хоча б одна стандартна.

Розв'язок. Події «серед вийнятих деталей є хоча б одна стандартна» і «серед витягнутих деталей немає ні одної стандартної» ­ протилежні. Позначимо першу подію через А, а другу ­ через .

Очевидно, що

Р(А)=1-Р().

Знайдемо Р(). Загальне число способів, якими можна витягти k деталей з n деталей, дорівнює . Число нестандартних деталей дорівнює n-m; з цього числа деталей можна способами витягти k нестандартних деталей. Тому ймовірність того, що серед витягнутих k деталей немає ні одної стандартної, дорівнює

Р()=/.

Шукана ймовірність

Р(А)=1-Р()=1-/.

2.4 Ймовірність суми сумісних подій

Раніше була розглянута теорема додавання для несумісних подій. Тут буде доведена теорема додавання для сумісних подій.

Дві події називають сумісними, якщо поява однієї з них не виключає появи іншої в одному і тому ж випробуванні.

Приклад 1. А - поява чотирьох очок при киданні гральної кістки; В - поява парного числа очок. Події А і В - сумісні.

Хай події А і В сумісні, причому відомі ймовірності цих подій і ймовірність їх спільної появи. Як знайти ймовірність події А+В, що полягає в тому, що з'явиться хоча б одна з подій А і В? Відповідь на це питання дає теорема додавання ймовірностей сумісних подій.

Теорема. Ймовірність появи хоча б однієї з двох сумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій без ймовірності їх спільної появи:

.

Доведення. Оскільки події А і В, за умовою, сумісні, то подія А+В настане, якщо настане одна з наступних трьох несумісних подій: , або . По теоремі додавання ймовірностей несумісних подій

. (*)

Подія А відбудеться, якщо настане одна з двох несумісних подій: або . За теоремою додавання ймовірностей несумісних подій маємо

.

Звідси

. (**)

Аналогічно маємо

.

Звідси

. (***)

Підставивши (**) і (***) в (*), остаточно одержимо

. (****)

Зауваження 1. При використанні одержаної формули потрібно мати на увазі, що події А і В можуть бути як незалежними, так і залежними.

Для незалежних подій

;

для залежних подій

.

Зауваження 2. Якщо події А і В несумісні, то їх суміщення є неможлива подія і, отже, . Формула (****) для несумісних подій приймає вигляд

.

Ми знову одержали теорему додавання для несумісних подій. Таким чином, формула (****) справедлива як для сумісних, так і для несумісних подій.

Приклад 2. Ймовірності влучення в ціль при стрільбі першої і другої гармат відповідно рівні: ; . Знайти ймовірність влучення при одному залпі (з обох гармат) хоча б одною з гармат.

Розв'язок. Ймовірність влучення в ціль кожною із гармат не залежить від результату стрільби з іншої гармати, тому подія А (влучення першої гармати) і В (влучення другої гармати) незалежні.

Ймовірність події (обидві гармати дали влучення)

.

Шукана ймовірність

.

Зауваження 3. Оскільки в даному прикладі події А і В незалежні, то можна було скористатися формулою . Дійсно, ймовірності подій, протилежних подіям А і В, тобто ймовірності промахів, такі:

; .

Шукана ймовірність того, що при одному залпі хоча б одна гармата дасть влучення, дорівнює

.

Як і слід було очікувати, отримано той же результат.

2.5 Принцип практичної неможливості малоймовірних подій

При рішенні багатьох практичних задач доводиться мати справа з подіями, ймовірність яких дуже мала, тобто близька до нуля. Чи можна вважати, що малоймовірна подія А в одиничному випробуванні не відбудеться? Такого висновку зробити не можна, тому що не виключено, хоча і мало ймовірно, що подія А відбудеться.

Здавалося б, що появу чи не появу малоймовірної події в одиничному випробуванні передбачити неможливо. Однак тривалий досвід показує, що малоймовірна подія в одиничному випробуванні в переважній більшості випадків не настає. На підставі цього факту приймають такий «принцип практичної неможливості малоймовірних подій»: якщо випадкова подія має дуже малу ймовірність, то практично можна вважати, що в одиничному випробуванні подія не наступить.

Природно, що виникає питання: наскільки малою повинна бути ймовірність події, щоб можна було вважати неможливою її появу в одному випробуванні? На це питання не можна відповісти однозначно. Для задач, різних по суті, відповіді різні. Наприклад, якщо ймовірність того, що парашут при стрибку не розкриється, дорівнює 0,01, то було б неприпустимим застосовувати такі парашути. Якщо ж ймовірність того, що потяг далекого сполучення прибуде з запізненням, дорівнює 0,01, то можна практично бути впевненим, що потяг прибуде вчасно.

Достатньо малу ймовірність, при якій (в конкретній задачі) подію можна вважати практично неможливою, називають рівнем значущості. На практиці зазвичай приймають рівні значущості, що знаходяться між 0,01 і 0,05. Рівень значущості, що дорівнює 0,01, називають однопроцентним; рівень значущості, що дорівнює 0,02, називають двопроцентним, і т.д.

Підкреслимо, що розглянутий тут принцип дозволяє робити передбачення не тільки про події, що мають малу ймовірність, але і про події, ймовірність яких близька до одиниці. Дійсно, якщо подія А має ймовірність, близьку до нуля, то ймовірність протилежної події близька до одиниці. З другої сторони, не поява події А означає появу протилежної події . Таким чином, із принципу неможливості малоймовірних подій витікає наступний важливий для практики наслідок: якщо випадкова подія має ймовірність, дуже близьку до одиниці, то практично можна вважати, що в одиничному випробуванні ця подія наступить. Зрозуміло, що відповідь на питання про те, яку ймовірність вважати близькою до одиниці, залежить від сутності задачі.

Запитання для самоперевірки

1. Дайте визначення суми подій.

2. Як обчислити ймовірність суми несумісних подій?

3. Як обчислити ймовірність суми подій, що утворюють повну групу?

4. Які події належать до сумісних?

5. Як обчислити ймовірність хоча б однієї з декількох сумісних подій?

6. Поясніть принцип практичної неможливості малоймовірних подій.

7. Що називають рівнем значущості?

8. Які рівні значущості приймають на практиці? Як їх називають?

ТЕМА 3. ЙМОВІРНІСТЬ ДОБУТКУ ПОДІЙ

3.1 Добуток подій

Добутком двох подій А і В називають подію АВ, що полягає в спільній появі (суміщенні) цих подій. Наприклад, якщо А - деталь стандартна, В - деталь пофарбована, то АВ - деталь стандартна і пофарбована. Добутком декількох подій називають подію, що полягає в спільній появі всіх цих подій. Наприклад, якщо А, В, С - поява "герба" відповідно в першому, другому і третьому киданнях монети, то ABC - випадання "герба" у всіх трьох випробуваннях.

3.2 Умовна ймовірність

У темі 1 випадкова подія визначена як подія, яка при здійсненні сукупності умов S може чи відбутися не відбутися. Якщо при обчисленні ймовірності події ніяких інших обмежень, крім умов S, не накладається, то таку ймовірність називають безумовною; якщо ж накладаються й інші додаткові умови, то ймовірність події називають умовною. Наприклад, часто обчислюють ймовірність події В при додатковій умові, що відбулася подія А. Відмітимо, що і безумовна ймовірність, строго кажучи, є умовною, оскільки передбачається здійснення умов S.

Умовною ймовірністю РА(В) називають ймовірність події B обчислену в припущенні, що подія А вже наступила.

Приклад. В урні знаходиться 3 білих і 3 чорних кулі. З урни два рази виймають по одній кулі, не повертаючи їх назад. Знайти ймовірність появи білої кулі при другому випробуванні (подія В), якщо при першому випробуванні була витягнута чорна куля (подія А).

Розв'язок. Після першого випробування в урні залишилося 5 куль, з них 3 білих. Шукана умовна ймовірність

.

Цей же результат можна одержати за формулою

.

Дійсно, ймовірність появи білої кулі при першому випробуванні

.

Знайдемо ймовірність Р(АВ) того, що в першому випробуванні з'явиться чорна куля, а в другому - біла. Загальне число результатів - спільної появи двох куль, байдуже якого кольору, дорівнює числу розміщень . З цього числа результатів події A сприяють результатів. Отже,

.

Шукана умовна ймовірність

.

Як бачимо, отримано попередній результат.

Виходячи з класичного визначення ймовірності формулу (*) можна довести. Це обставина і слугує підставою для наступного загального (застосовного не тільки для класичної ймовірності) визначення.

Умовна ймовірність події В за умови, що подія А вже наступила, за визначенням, дорівнює



.

Запишемо загальну формулу для обчислення умовної ймовірності.

В області навмання вибирається точка. Позначимо події:

А - точка попала в область А;

В - точка попала в область В.

Потрібно визначити умовну ймовірність .

Оскільки подія В здійснилася, то після цього всі можливі положення точки скорочуються до множини В. Попасти в множину А точка може тільки тоді, коли знаходиться в заштрихованій області. Отже

Поділимо чисельник і знаменникцього дробу на площу . Одержимо, враховуючи, що

, .

У зв'язку з цим умовна ймовірність події А при умові,що подія В відбулася, визначається як відношення до при , тобто

.

3.3 Теорема множення ймовірностей

Розглянемо дві події: А і В, ймовірності Р(А) і РА(В) яких відомі. Як знайти ймовірність суміщення цих подій, тобто ймовірність того, що з'явиться і подія А і подія В? Відповідь на це питання дає теорема множення.

Теорема. Ймовірність спільної появи двох подій дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовну ймовірність іншої, обчислену в припущенні, що перша подія вже наступила:

.

Доведення. За визначенням умовної ймовірності,

.

Звідси

. (*)

Зауваження. Застосувавши формулу (*) до події ВА, одержимо

,

чи, оскільки подія ВА не відрізняється від події АВ,

. (**)

Порівнюючи формули (*) і (**), робимо висновок про справедливість рівності

. (***)

Наслідок. Ймовірність спільної появи декількох подій дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовні ймовірності всіх інших, причому ймовірність кожної наступної події обчислюється в припущенні, що всі попередні події вже з'явились:

,

де - ймовірність події , обчислена в припущенні, що події наступили. Зокрема, для трьох подій

.

Відмітимо, що порядок, у якому розташовані події, може бути обраний будь-яким, тобто байдуже яку подію вважати першою, другою і т.д.

Приклад 1. У складальника є 3 конусних і 7 еліптичних валиків. Складальник взяв один валик, а потім другий. Знайти ймовірність того, що перший з узятих валиків - конусний, а другий - еліптичний.

Розв'язок. Ймовірність того, що перший валик виявиться конусним (подія А),

.

Ймовірність того, що другий валик виявиться еліптичним (подія В), обчислена в припущенні, що перший валик - конусний, тобто умовна ймовірність

.

За теоремою множення шукана ймовірність

.

Відмітимо, що, зберігши позначення, легко знайдемо: , , , що наочно ілюструє справедливість рівності (***).

Приклад 2. В урні знаходиться5 білих, 4 чорних і 3 синіх кулі. Кожне випробування полягає в тому, що навмання виймають одну кулю, не повертаючи її назад. Знайти ймовірність того, що при першому випробуванні з'явиться біла куля (подія А), при другому - чорна (подія В) і при третьому - синя (подія С).

Розв'язок. Ймовірність появи білої кулі в першому випробуванні

.

Ймовірність появи чорної кулі в другому випробуванні обчислена в припущенні, що в першому випробуванні з'явилась біла куля, тобто умовна ймовірність

.

Ймовірність появи синьої кулі у третьому випробуванні, обчислена в припущенні, що в першому випробуванні з'явилася біла куля, а в другому - чорна, тобто умовна ймовірність

.

Шукана ймовірність

.

3.4 Незалежні події. Теорема множення для незалежних подій

Нехай ймовірність події В не залежить від появи події А.

Подію В називають незалежною від події А, якщо поява події А не змінює ймовірності події В, тобто якщо умовна ймовірність події В дорівнює її безумовній ймовірності:

. (*)

Підставивши (*) у співвідношення () попереднього параграфа, одержимо

.

Звідси

,

тобто умовна ймовірність події А в припущенні, що наступила подія В, дорівнює її безумовній ймовірності. Іншими словами, подія А не залежить від події В.

Отже, якщо подія В не залежить від події А, то і подія А не залежить від події В. Це означає, що властивість незалежності подій взаємна.

Для незалежних подій теорема множення має вид

, (**)

тобто ймовірність спільної появи двох незалежних подій дорівнює добутку ймовірностей цих подій.

Рівність (**) приймають як визначення незалежних подій.

Дві події називають незалежними, якщо ймовірність їхнього суміщення дорівнює добутку ймовірностей цих подій; у протилежному випадку події називають залежними.

На практиці висновок про незалежність подій роблять за змістом задачі. Наприклад, ймовірності поразки цілі кожною із двох гармат не залежать від того, чи вразила ціль інша гармата, тому події "перша гармата вразила ціль" і "друга гармата вразила ціль" незалежні.

Приклад 1. Знайти ймовірність спільного враження цілі двома гарматами, якщо ймовірність поразки цілі першою гарматою (подія А) дорівнює 0,8, а другою (подія В) - 0,7.

Розв'язок. Події А і В незалежні, тому, за теоремою множення, шукана ймовірність

.

Зауваження. 1. Якщо події А і В незалежні, то незалежні також події і , і , і .

Кілька подій називають попарно незалежними, якщо кожні дві з них незалежні. Наприклад, події А, В, С попарно незалежні, якщо незалежні події А і В, А і С, В і С.

Для того щоб узагальнити теорему множення на декілька подій, уведемо поняття незалежності подій у сукупності.

Декілька подій називають незалежними у сукупності (чи просто незалежними), якщо незалежні кожні дві з них і незалежна кожна подія і всі можливі добутки останніх. Наприклад, якщо події , , незалежні в сукупності, то незалежні події і , і , і ; і , і , і . Зі сказаного випливає, що якщо події незалежні в сукупності, то умовна ймовірність появи будь-якої події з них, обчислена у припущенні, що наступили будь-які інші події з числа останніх, дорівнює її безумовній ймовірності.

Підкреслимо, що якщо кілька подій незалежні попарно, то звідси ще не випливає їхня незалежність у сукупності. У цьому розумінні вимога незалежності подій у сукупності сильніша вимоги їхньої попарної незалежності.

Пояснимо сказане на прикладі. Нехай в урні знаходиться 4 кулі, пофарбовані: одна - у червоний колір (А), одна - у синій колір (В), одна - у чорний колір (С) і одна - в усі ці три кольори (ABC). Чому дорівнює ймовірність що витягнута з урни куля має червоний колір?

Так як з чотирьох куль дві мають червоний колір, то Р(А)=2/4=1/2. Міркуючи аналогічно, знайдемо Р(В)=1/2, Р(С)=1/2. Припустимо тепер, що узята куля має синій колір, тобто подія В вже відбулася. Чи зміниться ймовірність того, що витягнута куля має червоний колір, тобто чи зміниться ймовірність події А? Із двох куль, що мають синій колір, одна куля має і червоний колір, тому ймовірність події А, як і раніше дорівнює 1/2. Іншими словами, умовна ймовірність події А, обчислена в припущенні, що наступила подія В, дорівнює її безумовній ймовірності. Отже, події А і В незалежні. Аналогічно прийдемо до висновку, що події А і С, В і С незалежні. Отже події А, В і С попарно незалежні.

Чи незалежні ці події в сукупності? Виявляється, ні. Дійсно, нехай витягнута куля має два кольори, наприклад, синій і чорний. Чому дорівнює ймовірність того, що ця куля має і червоний колір? Лише одна куля пофарбована в усі три кольори, тому взята куля має і червоний колір. Таким чином, припустивши, що події В і С відбулися, дійдемо висновку подія А обов'язково наступить. Отже, ця подія достовірна й ймовірність її дорівнює одиниці. Іншими словами, умовна ймовірність події не дорівнює її безумовній ймовірності . Отже, попарно незалежні події А, В, С не є незалежними в сукупності.

Приведемо тепер наслідок з теореми множення.

Наслідок. Ймовірність спільної появи декількох подій, незалежних у сукупності, дорівнює добутку ймовірностей цих подій:

.

Доведення. Розглянемо три події: А, В і С. Поєднання подій А, В і С рівносильне поєднанню подій АВ і С, тому

.

Оскільки події А, В і С незалежні в сукупності, то незалежні, зокрема, події АВ і С, а також А і В. За теоремою множення для двох незалежних подій маємо:

i .

Отже, остаточно одержимо

.

Зауваження. Якщо події незалежні в сукупності, то і протилежні їм події також незалежні в сукупності.

Приклад 2. Знайти ймовірність спільної появи герба при одному киданні двох монет.

Рішення. Ймовірність появи герба першої монети (подія А)

.

Ймовірність появи герба другої монети (подія В)

.

Події А и В незалежні, тому шукана ймовірність за теоремою множення дорівнює

.

Приклад 3. У кожному з 3 ящиків знаходиться по 10 деталей. У першому ящику 8, у другому 7 і в третьому 9 стандартних деталей. З кожного ящика навмання виймають по одній деталі. Знайти ймовірність того, що всі три вийняті деталі виявляться стандартними.

Розв'язок. Ймовірність того, що з першого ящика вийнята стандартна деталь (подія А),

.

Ймовірність того, що з другого ящика вийнята стандартна деталь (подія В),

Ймовірність того, що з третього ящика вийнята стандартна деталь (подія С),

.

Тому що події А, В і С незалежні в сукупності, то шукана ймовірність (за теоремою множення) дорівнює

.

Наведемо приклад спільного застосування теорем додавання і множення.

Приклад 4. Ймовірності появи кожної з трьох незалежних подій , , відповідно рівні , , . Знайти ймовірність появи тільки одної з цих подій.

Розв'язок. Відмітимо, що, наприклад, поява тільки першої події рівносильна появі події , (з'явилася перша і не з'явилися друга і третя події). Введемо позначення:

- з'явилася тільки подія , тобто ;

- з'явилося тільки подія , тобто ;

- з'явилася тільки подія , тобто .

Таким чином, щоб знайти ймовірність появи тільки однієї з подій , , , будемо шукати ймовірність появи одної, байдуже якої з подій , , .

Так як події , , несумісні, то застосовна теорема додавання

. (*)

Залишається знайти ймовірності кожної з подій , , .

Події незалежні, отже, незалежні події , , , тому до них застосовна теорема множення

.

Аналогічно,

;

.

Підставивши ці ймовірності в (*), знайдемо шукану ймовірність появи тільки однієї з подій :