Статистическая обработка экспериментальных данных при сертификации продукции. Оценивание распределений их параметров

Размещено на http: //www. allbest. ru/

Российский Химико-Технологический университет им. Д.И. Менделеева

Кафедра стандартизации и сертификации

Статистическая обработка экспериментальных данных при сертификации продукции. Оценивание распределений их параметров

Выполнила: студентка гр. К-53

Марченко Т.Н. (вариант №8)

Проверил: Браженков Андрей Игоревич

Задание. математический дисперсия интервал вероятность

В ста случаях зарегистрировано время (в сек) обнаружения цели оператором радиолокационной станции с момента её появления в зоне РЛ.

13,5	25,5	53,5	10,5	10	23	17,5	13,5	3	12,5
8	59	1,5	1,5	0	27	42,5	15	19,5	21,5
7,5	29,5	1,5	71,5	35	5	41	35,5	32	33,5
8,5	14,5	21,5	142,5	1,5	8,5	92,5	21	13	1,5
44	11	15,5	3	12,5	0	14,5	85	121	11
15,5	39,5	58,5	0	50,5	27,5	16	19	6,5	8
21	158	0	16	26	51	3,5	31,5	12	34
33,5	14,5	8,5	2	10,5	48	56	45,5	13	4,5
83,5	3,5	29	66	10,5	10	14	0	2,5	13
10	29	32,5	48	9,5	21	49,5	15	39,5	32,5

1. Найти оценки математического ожидания и дисперсии случайной величины Х.

2. Найти доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии, соответствующие заданной доверительной вероятности ((1 - б) = 0,85).

3. Оценить вероятность попадания случайной величины Х в заданный интервал (0,8 ч 1,1)xср .

4. Для этой вероятности найти доверительный интервал, соответствующий заданной доверительной вероятности ((1 - б) = 0,80).

5. Построить гистограмму и эмпирическую функцию распределения случайной величины Х.

6. Найти и построить доверительные области для плотности распределения f (x) и функции распределения F (x), соответствующие заданной доверительной вероятностью ((1 - б) = 0,85) для f(x) и ((1 - б) = 0,90) для F(x)

7. Сгладить гистограмму и эмпирическую функцию распределения подходящим законом распределения.

8. Используя критерий согласия ч2 и критерий Колмогорова, проверить правдоподобие гипотезы о совпадении выбранного закона распределения с истинным законом распределения при заданном уровне значимости ( б = 0,01).

Решение.

Располагаем экспериментальные данные в порядке возрастания:

0	2	8	10,5	13,5	16	23	32,5	42,5	58,5
0	2,5	8	10,5	13,5	16	25,5	32,5	44	59
0	3	8,5	11	14	17,5	26	33,5	45,5	66
0	3	8,5	11	14,5	19	27	33,5	48	71,5
0	3,5	8,5	12	14,5	19,5	27,5	34	48	83,5
1,5	3,5	9,5	12,5	14,5	21	29	35	49,5	85
1,5	4,5	10	12,5	15	21	29	35,5	50,5	92,5
1,5	5	10	13	15	21	29,5	39,5	51	121
1,5	6,5	10	13	15,5	21,5	31,5	39,5	53,5	142,5
1,5	7,5	10,5	13	15,5	21,5	32	41	56	158

1. Находим точечные оценки математического ожидания и дисперсии, учитывая, что n = 100, по формулам:

- для математического ожидания MX - выборочное среднее:

-для дисперсии DX - исправленная дисперсия:



- выборочная дисперсия - DX

2. Находим доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии для доверительной вероятности (1 - б) = 0,85.

2Ц(еб) = 1 - б, Ц(еб) - функция Лапласа

Ц(еб) = (1 - б)/2 = 0,85/2=0,425

По таблице для функции Лапласа находим еб = 1,44

2) а) доверительный интервал для математического ожидания:

Mx1 = 26,61 - 1,44М Mx2 = 26,61 +1,44М

Mx1?Mx?Mx2,

22,4818?26,61?30,7382

б) доверительный интервал для дисперсии:



Dx1 = = 679,4575

Dx2= = 1025,69609

Dx1?Dx?Dx2,

679,4575?821,8565?1025,69609

3. Вероятность попадания случайной величины Х в заданный интервал (0,8 ч1,1) , то есть 21,288 ? ? 29,271:

,

m = 9 - число значений, попавшее в данный интервал,

n = 100 - общее число значений

4. Доверительный интервал для вероятности попадания случайной величины с доверительной вероятностью (1 - б) = 0,80:

2Ц(еб) = 1 - б, Ц(еб) - функция Лапласа

Ц(еб) = (1 - б)/2 = 0,80/2=0,40

По таблице для функции Лапласа находим еб = 1,28



Р1 = =0,059678

Р2 = =0,1335401

Px1?Px?Px2

0,059678?0,09?0,1335401

5. 1) Для построения гистограммы Г(x) заключаем все экспериментальные данные в интервал (0;160) и разбиваем его на 10 равных разрядов.

Значение гистограммы Г(x) находим по формуле :

,

где - число экспериментальных точек, попавших в этот разряд ;

- его длина.

величина интервала:

количество разрядов: k = 1

величина разряда:

№разряда

Разряд

Частота попадания случайной величины X в разряд

Значение гистограммы Г (х) Размещено на http: //www. allbest. ru/

	Нижняя граница	Верхняя граница
			ni	ni/n
1	0	15,8	50	0,5	0,031646
2	15,8	31,6	19	0,19	0,012025
3	31,6	47,4	14	0,14	0,008861
4	47,4	63,2	9	0,09	0,005696
5	63,2	79	2	0,02	0,001266
6	79	94,8	3	0,03	0,001899
7	94,8	110,6	0	0	0
8	110,6	126,4	1	0,01	0,000633
9	126,4	142,5	1	0,01	0,000633
10	142,5	158	1	0,01	0,000633

Гистограмма представлена на рисунке 1.

Рисунок 1

2) Построение эмпирической функции распределения случайной величины.

Соответствующую эмпирическую функцию рассчитываем по формуле:

,

где - число экспериментальных точек, лежащих левее Х.

график F(x) представлен на рисунке 2



Рисунок 2

6. Построение доверительных областей для плотности распределения f (x) и функции распределения F (x), соответствующие заданной доверительной вероятности (1 - б) = 0,85 и (1 - б) = 0,90.

1) Построение доверительной области для функции распределения F (x): - (1 - б) = 0,90 по таблице Колмогорова = 1,23

- максимальное расхождение D истинной функции распределения и эмпирической функции:

D = - искомая область выражается следующим образом:

F (x)

Таблицу доверительных границ для F(x) см. в приложении

Функция распределения является вероятностью, следовательно, доверительная область для нее не может распространяться ниже нуля и выше единицы.

График эмпирической функции распределения F(x) с доверительной областью.

Рисунок 3

2) Построение доверительной области для плотности распределения f (x):

- для каждого разряда находим частоту попадания случайной величины Х

,

где ni - число экспериментальных точек, попавших в i-ый разряд

Это было определено в 5 пункте.

- находим доверительную вероятность (1-б1) для построения доверительной области на каждом разряде:

(1-б1) = 1 - б/r, r = 11

- число разрядов, включая полубесконечные.

(1-б1) = 1 - 0,15/11 = 0,9864 б1 = 0,15

- находим величину еб из условия:

2Ц(еб) = 1 - б1, Ц(еб) - функция Лапласа

Ц(еб) = (1 - б1)/2 = 0,9864/2=0,4932

По таблице для функции Лапласа находим еб = 2,5

- для каждого разряда гистограммы находим доверительную область для вероятности попадания случайной величины в этот разряд по формулам:

- для каждого разряда гистограммы находим доверительную область для плотности распределения:

и

(для полубесконечных разрядов считаем, что они лежат в доверительной области )

Рассчитываем и строим следующую таблицу.

Разряд(Xi-1,Xi)	Частота попадания случайной величины X в разряд (Xi-1,Xi)	Доверительная область для вероятности попадания случайной величины в разряд (Xi-1,Xi)	Доверительные границы для плотности распределения f (x)
0
15,8	0,5	0,378732	0,6212678	0,02397	0,039321
31,6	0,19	0,111357	0,3051139	0,007048	0,019311
47,4	0,14	0,074396	0,2479566	0,004709	0,015693
63,2	0,09	0,040638	0,1875976	0,002572	0,011873
79	0,02	0,004075	0,0923961	0,000258	0,005848
94,8	0,03	0,007886	0,1074077	0,000499	0,006798
110,6	0	0	0,0588235	0	0,003723
126,4	0,01	0,001232	0,0764154	7,8E-05	0,004836
142,2	0,01	0,001232	0,0764154	7,8E-05	0,004836
158	0,01	0,001232	0,0764154	7,8E-05	0,004836

Гистограмма с доверительной областью изображена на рисунке 4.

Рисунок 4

Сглаживание гистограммы и эмпирической функции распределения подходящим законом распределения.

Из формы гистограммы следует, что гипотетическим распределением может быть экспоненциальное распределение с функцией

,

.

Определим Fг(Х) для нескольких Х, полученные результаты занесем в таблицу.

x	Fг	x	F(x)
-7,9	-0,345654985	0	0
7,9	0,256867465	0	0,01
23,7	0,589608056	0	0,02
39,5	0,773362705	0	0,03
55,3	0,874840468	0	0,04
71,1	0,930881154	1,5	0,05
86,9	0,961829396	1,5	0,06
102,7	0,978920438	1,5	0,07
118,5	0,988358897	1,5	0,08
134,3	0,993571248	1,5	0,09
150,1	0,996449748	2	0,1
165,9	0,998039387	2,5	0,11

Эмпирическая F(x) и гипотетическая Fг(x) функции распределения

Рисунок 5

Для плотности распределения:

Значение fг(x) при разных значениях Х.

x	fг	fэ
-7,9	0,050569522
7,9	0,027926815	0,03164557
23,7	0,015422471	0,012025316
39,5	0,008516997	0,008860759
55,3	0,004703477	0,005696203
71,1	0,002597476	0,001265823
86,9	0,001434446	0,001898734
102,7	0,000792167	0
118,5	0,000437471	0,000632911
134,3	0,000241592	0,000632911
150,1	0,000133418	0,000632911
165,9	7,36795E-05

График для плотности распределения представлен на рисунке 6.

Рисунок 6

7. Проверка правдоподобия гипотезы о совпадении выбранного закона распределения с истинным законом при уровне значимости б = 0,01.

1) Для проверки гипотезы

с уровнем значимости 1 используем критерий Пирсона . Экспериментальное значение находим по формуле:

,

где - число разрядов гистограммы (включая полубесконечные разряды),

- номер разряда.

-

вероятность попадания случайной величины в -й разряд при гипотезе , - число экспериментальных точек, попавших в -й разряд, - общее число экспериментальных точек, n = 100

-

экспериментальная частота попадания случайной величины в -й разряд.

xi	Pi	(Pэi-Pi)^2/Pi
0	0,81078734	0,81078734
15,8	0,44775404	0,0060963
31,6	0,24727036	0,0132644
47,4	0,13655406	8,6958E-05
63,2	0,07541143	0,0028222
79	0,04164566	0,0112505
94,8	0,02299865	0,00213138
110,6	0,01270091	0,01270091
126,4	0,00701403	0,00127117
142,2	0,00387347	0,00969013
158	0,00213911	0,02888759
173,8	0,00118131	0,00118131
		0,9001702
	ч2 эксп=	10,8020424

Распределение критерия зависит от числа степеней свободы , которое находится по формуле:

,

где - число параметров гипотетического распределения.

Если гипотетическим распределением является нормальное, то 1.

Таким образом, при и из таблицы находим

чэ2 чб2

и, следовательно, гипотеза по критерию согласия является правдоподобной.

2) Для проверки гипотезы



с уровнем значимости используем критерий Колмогорова Л.

Если величина D равна максимальной разнице между эмпирической и гипотетической Fг(x) функциями распределения:

При уровне значимости б = 0,01 Лб = 1,63

Лэ < Лб гипотеза правдоподобна.

Вывод: по критерию Пирсона и по критерию Колмогорова гипотеза правдоподобна. Следовательно выбранный закон распределения совпадает с истинным законом распределения при уровне значимости б = 0,01.

Размещено на Allbest.ru