Размещено на http://www.allbest.ru/

План

1. Середня арифметична проста і зважена, її математичні властивості і спрощені способи обчислення

1.1 Середня арифметична проста і зважена

1.2 Математичні властивості середньої арифметичної та її розрахунок

2. Ряди динаміки, види і основні характеристики

2.1 Поняття про ряди динаміки, їх види та правила побудови

2.2 Основні характеристики рядів динаміки

3. Використавши дані таблиці, обчислити відносні величини динаміки, структури координації, виконання плану. Зробити висновки

4. Визначити базові та ланцюгові темпи зростання та приросту товарообороту, один відсоток приросту товарообороту та середньорічні темпи зростання за такими даними по промтоварному магазину

5. За даними обстежень домогосподарств житлова площа в розрахунку на одного члена домогосподарства становила

6. Список використаної літератури

1. Середня арифметична проста і зважена, її математичні властивості і спрощені способи обчислення

1.1 Середня арифметична проста і зважена

Одним з найбільш поширених видів середньої є середня арифметична. Вона застосовується у тих випадках, коли обсяг варіюючої ознаки для всієї сукупності формується як сума значень ознаки у окремих одиниць сукупності, що вивчається.

Середня арифметична буває двох видів: проста і зважена.

Середня арифметична проста визначається виконанням двох простих операцій - складанням значень варіантів і діленням одержаної суми на їх кількість. Позначивши варіанти через х1, х2 і т.д., розрахунок середньої арифметичної можна подати за такою формулою:

Наприклад: Вік робітників однієї бригади будівельників становить 30, 34, 36, 40, 42, 45, 49, 52 років. Розрахувати середній вік будівельників.

Середній вік становить 41 рік.

Наведений вище розрахунок середньої можна дещо спростити: перед сумуванням помножити варіанти на частоти, тобто на число, що показує скільки раз цей варіант зустрічається у ряді розподілу. Таке множення варіантів на їх частоти у статистиці називається зважуванням, а розрахована на цій основі середня - середньою арифметичною зваженою.

Наприклад: Тарифний розряд робітників бригади, яка складається з восьми чоловік, складає:

Тарифний розряд робітників	2	3	4	5	6	Всього
Число робітників, чол.	-	2	4	2	-	8

Обчислити середній розряд робітників бригади.

Рішення : якщо частоти (ваги) позначити через f, то формула середньої арифметичної зваженої матиме такий вигляд:

Часто вирахування середніх величин здійснюється за даними не тільки дискретних, але й інтервальних рядів розподілу, коли варіанти ознаки подаються у вигляді інтервалу. В такому випадку, для обчислення середньої, спочатку потрібно перетворити інтервальний ряд в дискретний, для чого по кожній групі визначають середину інтервалу. Середина інтервалу розраховується як півсума його верхньої та нижньої межі. Після того, як знайдено середини інтервалів, подальші розрахунки здійснюються так само, як і в дискретному варіаційному

Наприклад: в таблиці 1.1. наведено розподіл робітників підприємства на групи в залежності від рівня продуктивності праці.

Визначити середній виробіток продукції у цілому по підприємству.

Таблиця 1.1.

Розподіл робітників підприємства в залежності від рівня продуктивності праці

Середній виробіток продукції на 1 робітника, грн.	Кількість робітників (f), чол.	Середина інтервалу (х), грн.	Хf, Тис.грн.
800 - 1000 1000 - 1200 1200 - 1400 1400 - 1600 1600 - 1800 1800 - 2000	20 80 160 90 40 10	900 1100 1300 1500 1700 1900	18 88 208 135 68 19
Разом	400	-	536

У наведеному прикладі середній виробіток по підприємству становить:

1.2 Математичні властивості середньої арифметичної та її розрахунок

Середня арифметична має ряд математичних властивостей, важливих для спрощеного її обчислення. Найбільш важливі з них такі:

Добуток середньої на суму частот завжди дорівнює сумі добутку варіантів на частоти. Тобто:

Якщо від кожного значення варіанти відняти будь-яке довільне число А, то одержана середня арифметична зменшиться на те ж число. Тобто:

Якщо до кожного значення варіанти додати будь-яке число А, то середня арифметична збільшиться на це ж число. Тобто:

Якщо кожне значення варіанти помножити на довільне число А, то середня арифметична збільшиться у стільки ж раз. Тобто:

Якщо кожне значення варіанти поділити на довільне число А, то середня арифметична зменшиться у стільки ж раз. Тобто:

Якщо всі частоти поділити або помножити на будь-яке число, то середня арифметична від цього не зміниться.

Сума відхилень варіант від середньої величини завжди дорівнює нулю:

Сума квадратів відхилень варіант від середньої буде менше за будь-яку іншу величину:

Середню арифметичну можна розрахувати також способом відліку від умовного нуля, або способом моментів. Його використовують у рядах з рівними інтервалами і розрахункова формула має такий вигляд:

де m1 - це момент першого порядку, і розраховується за формулою:

Потреба у використанні спрощених способів обчислення середньої сьогодні досить незначна, оскільки все більшого поширення набуває використання електронних машин. Це дозволяє виконувати розрахунки на основі індивідуальних даних незалежно від їх кількості.



2. Ряди динаміки, види і основні характеристики

2.1 Поняття про ряди динаміки, їх види та правила побудови

Ряд динаміки - це ряд числових значень певного статистичного показника, у послідовні моменти або періоди часу (наприклад - чисельність населення за декілька років, виробництво окремих видів продукції за декілька місяців та ін.).

Будь-який динамічний ряд містить перелік хронологічних дат (моментів) або інтервалів часу, а отже числові значення, того чи іншого статистичного показника, які складають динамічний ряд називаються - рівнями ряду () .

За ознакою часу динамічні ряди поділяються на інтервальні та моментні.

Моментний ряд динаміки - це ряд рівень якого фіксує стан явища на певний момент часу t, наприклад кількість працюючих на початок року, студентів --на 1-ше вересня і т. д.(таблиця 1.2.)

Таблиця 1.2.

Парк тракторів у сільських спілках району

Дані на початок місяця	1.01	1.02	1.03	1.04	1.05	1.06	1.07	1.08
Число тракторів, шт.	622	640	643	640	664	670	682	733

Інтервальний ряд динаміки - це ряд рівні якого характеризують явище за певний період часу. Тут рівні виступають, як агрегований результат процесу і залежать від тривалості часового інтервалу (наприклад, виробництво електроенергії за рік, вилов риби за сезон). Особливість цих рядів в тому, що рівні можна ділити і додавати.

Прикладом інтервального ряду динаміки можуть служити дані таблиці 1.3.

Таблиця 1.3.

Валовий збір картоплі в Чернігівській області за 2010-2015pp.

Рік	2010	2011	2012	2013	2014	2015
Валовий збір картоплі, тис. т.	457	605	386	380	763	991

Ряди динаміки бувають одномірні і багатомірні.

Одномірні ряди динаміки характеризують зміну в часі одного показника (валовий збір картоплі, чисельність працюючих).

Багатомірні ряди динаміки характеризують зміну в часі двох, трьох і більше показників (зміна чисельності працюючих та розмір їх заробітної плати).

У свою чергу багатомірні динамічні ряди поділяються на паралельні і ряди взаємозв'язаних показників.

Паралельні ряди динаміки відображають зміну в часі або одного показника різних об'єктів (чисельність населення різних країн), або різних показників одного об'єкта (валовий збір пшениці, цукрових буряків і картоплі в районі).

Ряди взаємозв'язаних показників характеризують залежність одного явища від іншого (залежність заробітної плати робітників від їхнього тарифного розряду).

За повнотою часу динамічні ряди поділяються на повні і неповні.

У повних динамічних рядах дати або періоди ідуть один за одним з рівними інтервалами. У неповних динамічних рядах в послідовності часу спостерігаються нерівні інтервали.

За способом вираження рівнів динамічного ряду вони поділяються на ряди абсолютних, середніх і відносних величин.

При побудові динамічних рядів потрібно дотримуватись порівнянності всіх рівнів ряду між собою за періодами часу, за територією, колом охоплюваних об'єктів, методом обчислення показників, одиницями виміру і іншими параметрами.

Непорівнянність даних може виникнути з різних причин:

зміни в методології обліку та розрахунку показника, зокрема використання різних одиниць вимірювання;

зміни в структурі сукупності, а також територіальні зміни;

різні критичні моменти реєстрації даних чи тривалість періодів, до яких належать рівні;

зміна цін для вартісних показників.

2.2 Основні характеристики рядів динаміки

Швидкість та інтенсивність розвитку суспільних явищ та процесів система взаємопов'язаних характеристик. Серед них: абсолютний приріст, темп зростання (відносний приріст), темп приросту та абсолютне значення одного відсотку приросту.

Розрахунок характеристик динаміки ґрунтується на порівнянні рівнів ряду. При порівнянні певної множини послідовних рівнів база порівняння може бути постійною чи змінною. За постійну базу вибирають початковий рівень, або який вважається вигідним для розвитку явища, що вивчається.

Якщо база порівняння постійно змінюється, тобто коли кожен рівень ряду уі порівнюється з попереднім рівнем ряду уі-1- характеристики ряду динаміки називаються ланцюговими.

Якщо база порівняння постійна (не змінюється) - характеристики ряду динаміки називаються базисними.

Схематично варіанти порівняння ілюструє рисунок 1.4.



Ланцюгова характеристика

Розрахунок аналітичних характеристик рядів динаміки наведено на рисунку 1.5.

Л

анцюгова характеристика Базисна характеристика

Абсолютний приріст

Темп зростання

Темп приросту

Абсолютне значеннядля всіх ”і” однаковий

1 % приросту

уі- поточний рівень ряду динаміки;

уі-1- попередній рівень ряду динаміки;

у0- початковий (перший, „базисний”) рівень ряду динаміки.

Абсолютний приріст (?) - відображає абсолютну швидкість змінювання рівнів ряду за певний інтервал часу. Обчислюється як різниця між поточним і базисним рівнями і показує, на скільки одиниць підвищився чи зменшився рівень порівняно з базисним за певний період часу. Він виражається в тих же одиницях виміру, що й рівні ряду динаміки .

Темп зростання (Ті) - це відносна величина, яка характеризує інтенсивність зміни рівнів ряду. Обчислюється як відношення зіставлюваного рівня з рівнем, прийнятого за базу порівняння, і показує, у скільки разів (процентів) рівень, що порівнюється більший чи менший від базисного.

Темп приросту (Кі) - це відносна швидкість зростання. Визначається, як відношення абсолютного приросту до абсолютного попереднього або початкового рівня і показує, на скільки процентів порівнювальний рівень більший або менший від рівня, взятого за базу порівняння.

Абсолютне значення одного відсотку приросту (А1%) - показує чого вартий один відсоток приросту . Розраховується як відношення абсолютного приросту на темп приросту за один і той же період часу. Абсолютне значення одного відсотку приросту можна розрахувати технічно легшим способом - діленням початкового рівня на 100, оскільки за 100 % завжди приймається базисний рівень, то 1 % буде в 100 раз менший від базисного рівня .

Ланцюгові та базисні характеристики динаміки взаємопов'язані :

1. сума ланцюгових абсолютних приростів дорівнює кінцевому базисному:

2. добуток ланцюгових темпів зростання дорівнює кінцевому базисному:

Якщо швидкість розвитку в межах періоду, що вивчається, неоднакова, порівнянням однойменних характеристик швидкості вимірюється прискорення чи уповільнення динаміки. На базі абсолютних приростів оцінюється абсолютне та відносне прискорення. Абсолютне прискорення - це різниця між абсолютними приростами:

і=і - і-1.



Прискорення характеризується додатковою величиною ?і > ?0, уповільнення - від'ємноюі < 0.

Порівняння темпів зростання дає коефіцієнт прискорення (уповільнення) відносної швидкості розвитку. Для наочності та зручності їх тлумачення дільником є більший за значенням темп зростання. При цьому обидва мають бути одного напряму.

Якщо потрібно порівняти інтенсивність динамки в різних рядах, що мають однаковий зміст по різних об'єктах (регіонах, країнах) або різний зміст по одному, то застосовується коефіцієнт випередження:

Щодо темпів приросту, то співвідношення їх використовують лише для взаємопов'язаних показників XiY. Таке співвідношення називають коефіцієнтом еластичності Y/TX; він показує, на скільки процентів змінюється Y зі зміною X на 1%.

середній арифметичний ряд динаміка

3. Використавши дані таблиці, обчислити відносні величини динаміки, структури координації, виконання плану. Зробити висновки

Товарні групи	Товарообіг, тис. грн..
	Минулий рік	Звітний рік
		план	фактично
1	2	3	4
непродовольчі	6738	7500	7487
продовольчі	4844	5300	5312

Розв'язання:

Відносна величина динаміки характеризує зміну показника у часі і визначається як відношення значення у наступному періоді до величини у попередньому періоді:

або

Непродовольчі ВВД = 7487/6738=1,11 (11,1%) зросли

Продовольчі ВВД = 5312/4844=1,09 (10,9%) зросли

2. Відносна величина структури характеризує співвідношення частини та цілого. Вона показує, яку частину або скільки процентів становить частина від загального підсумку. Якщо ця відносна величина визначається у вигляді коефіцієнту, вона називається часткою, а якщо у процентах -- питомою вагою.



(Сума частин)= 6738+4844=11582

(Непродовольчі) = (6738/11582)*100=58%

(Продовольчі) = (4844/44582)*100=42%

Поглиблений аналiз структури передбачає оцiнювання спiввiдношень, пропорцiй мiж окремими складовими одного цiлого. Такий рiзновид порiвнянь називають вiдносною величиною координацiї. Вона показує, скiльки одиниць однiєї частини сукупностi припадає на 1, 100 і 1000 одиниць iншої, узятої за базу порiвняння. Вибiр бази порiвняння довiльний. У нашій задачі на одиницю власних коштiв припадає 0,72% залучених:

42%/58%=0,72%

3. Відносна величина планового завдання показує, у скільки разів або на скільки процентів запланований рівень показника більший чи менший фактично досягнутого рівня:

або ,

де П1 та Ф0 -- відповідно планове значення показника у наступному та фактичне значення у попередньому періоді.

(Непродовольчі) ВВпл. = 7500/6738 = 111,3%

(Продовольчі) ВВпл. = 5300/4844 =109,4%

Висновок: Розвязок задачі показав, що непродовольчі товари мають більшу відносну величину динаміки 11,1%, так як в продовольчих 10,9%. Тобто непродовольчі мають перевагу. Відносна величина структури у непродовольчих 58%, а у продовольчих 48%. У нашій задачі на одиницю власних коштiв припадає 0,72% залучених - це вiдносна величина координацiї. Відносна величина планового завдання показує, що планове завдання в непродовольчих товарів виконано на 111,3%, коли в продовольчих 109,4%.



4. Визначити базові та ланцюгові темпи зростання і приросту товарообороту, один відсоток приросту товарообороту та середньорічні темпи зростання за такими даними по промтоварному магазину: тис. грн.

Рік	2001	2002	2003	2004	2005
Обсяг товарообороту, тис. грн.	510	528	634	785	834

Розв'язання:

Позначимо обсяг товарообороту в 2001 році , в 2002 - , …, в 2005 - . тис. грн., тис. грн., ... , тис. грн.

Визначимо абсолютний приріст, темп зростання та темп приросту, а також абсолютне значення 1 % приросту товарообороту.

Базисний абсолютний приріст характеризує абсолютну зміну обсягу товарообороту в t-му періоді у порівнянні з базисним (з 0-вим).

Ланцюговий абсолютний приріст характеризує абсолютну зміну обсягу товарообороту в t-му періоді у порівнянні з t-1 им.

Базисний темп зростання показує, який відсоток становить обсяг товарообороту в t-му періоді порівняно з показником базисного періоду.

Ланцюговий темп зростання показує, який відсоток становить обсяг товарообороту в t-му періоді у порівнянні з t-1 им.

Базисний темп приросту показує на скільки відсотків зріс обсяг товарообороту в t-му періоді порівняно з показником базисного періоду:.

Ланцюговий темп приросту показує на скільки відсотків зріс обсяг товарообороту в t-му періоді у порівнянні з t-1 им.

Абсолютне значення одного відсотку приросту показує скільки тис. грн. складає 1% приросту обсягу товарообороту за t-ий період:.

Обчислимо вказані показники, результати занесемо до таблиці.

Показники динаміки товарообороту за 2001-2005 рр.

Рік	Товарооборот, тис. грн.	Абсолютний приріст, тис. грн.	Темп зростання, %	Темп приросту, %	Абсолютне значення 1% приросту, тис. грн.
		базисний	ланцюговий	базисний	ланцюговий	базисний	ланцюговий
2001	510	-	-	-	-	-	-	-
2002	528	18	18	103,53%	103,53%	3,53%	3,53%	5,1
2003	634	124	106	124,31%	120,08%	24,31%	20,08%	5,28
2004	785	275	151	153,92%	123,82%	53,92%	23,82%	6,34
2005	834	324	49	163,53%	106,24%	63,53%	6,24%	7,85

Отже, обсяг товарообігу промтоварного магазину щороку лише збільшувався. Загалом з 2001 по 2005 рік товарооборот зріс на 324 тис. грн. або на 63,53%.

Середній абсолютний приріст:

тис. грн. - отже, обсяг товарообороту в період з 2001 по 2005 рр. в середньому за рік зростав на 81 тис. грн.

Середньорічний темп зростання:

Середній темп приросту:

- отже, середнє зростання обсягу товарообороту промтоварного магазину на рік в період з 2001 по 2005 роки становило 13,08%.

Висновок: Отже, з отриманих даних робимо висновок, що товарооборот підприємства зростав щороку. Найбільший приріст товарообороту порівняно з попереднім роком відбувся в 2004 році - на 151 тис. грн. або на 23, 82%, а найменший приріст в 2002 році на 18 тис грн або на 3,53%. Обсяг товарообороту в період з 2001 по 2005 рр. в середньому за рік зростав на 81 тис. грн. Середнє зростання обсягу товарообороту промтоварного магазину на рік в період з 2001 по 2005 роки становило 13,08%.



5. За даними обстежень домогосподарств житлова площа в розрахунку на одного члена домогосподарства становила

Житлова площа на одного члена домогосподарства, кв. м.	До 5	5-7	7-9	9-11	11-13	13 і більше
Кількість домогосподарств	16	25	38	46	15	10

Визначити середнє значення житлової площі на одного члена домогосподарства, середнє квадратичне відхилення та коефіцієнт варіації. Зробити висновки.

Розв'язання:

Вважатимемо мінімальне значення житлової площі рівне 3 кв. м., а максимальне - 15 м. кв. Для обрахунку середнього значення житлової площі на одного члена домогосподарства та середнього квадратичне відхилення складемо допоміжну таблицю:

Житлова площа на одного члена домогосподарства, кв. м.,	3-5	5-7	7-9	9-11	11-13	13-15
Середина інтервалу,	4	6	8	10	12	14	-	-
Кількість домогосподарств,	16	25	38	46	15	10	150	1
	64	150	304	460	180	140	1298	8,653
	21,65	7,04	0,43	1,81	11,20	28,59	-	-
	346,46	176,00	16,22	83,42	168,00	285,87	1075,97	7,173

Середнє значення житлової площі на одного члена домогосподарства:

м. кв.

Отже, на одного члена домогосподарства в середньому припадає 8,653 м. кв. житлової площі;

Середнє квадратичне відхилення житлової площі на одного члена домогосподарства:

Коефіцієнт варіації:

Отримане значення коефіцієнта варіації менше 33%, отже задана сукупність однорідна.

Висновок: З отриманих даних робимо висновок, що на одного члена домогосподарства в середньому припадає 8,653 м. кв. житлової площі. А отримане значення коефіцієнта варіації вказує на те, що задана сукупність однорідна.



Список використаної літератури

Волинь 2009. Статистичний збірник. Луцьк: Головне управління статистики у Волинській області, 2010. - 558 с.

Статистика: Підручник / С.С.Герасименко та ін. - К.: КНЕУ, 1998. - 468 с.

Гегало В.П. та ін., Економічна статистика - Полтава: ”Світоч”, -2002.

«Статистика». В.Б.Захожай, І.І.Попов. Київ 2006.

«ТЕОРІЯ СТАТИСТИКИ». В. Б. Захожай, В. С. Федорченко. Київ 2006

Размещено на Allbest.ru