Параметры статистического распределения

Математическое ожидание (среднее значение) EX случайной величины X. Представляет собой интеграл вида:

.

Для непрерывной случайной величины может быть выражено также через плотность ее распределения:

,

а для дискретной случайной величины - через функцию вероятности:

.

Дисперсия также называется рассеяние случайной величины X, имеет вид:

.

В классических методах теории риска дисперсия часто использовалась в качестве меры риска, измерителя рискованности проектов.

Стандартное отклонение случайной величины X задается выражением

.

Асимметрия распределения случайной величины X:

.

характеризует различие «хвостов» распределения. Асимметрия положительна при более тяжелом правом хвосте, и отрицательна при более тяжелом левом хвосте. Для симметричных распределений асимметрия равна нулю.

Островершинность (эксцесс) распределения случайной величины X:

.

характеризует тяжесть «хвостов» распределения. Положительные значения этого параметра соответствуют распределениям с более тяжелыми хвостами, чем у нормального распределения.

Медианой a = med(X) распределения случайной величины X называется корень уравнения:

.

Медиана является средней характеристикой распределения в том смысле, что X с равными вероятностями принимает значения, лежащие справа и слева от a. Преимуществом медианы перед математическим ожиданием является тот факт, что математическое ожидание может быть неопределенным, если задающий его интеграл (в дискретном случае - ряд) расходится, как, например, в случае распределения Коши. Недостатком медианы является ее возможная неоднозначность для дискретных распределений. Медиана симметричного распределения совпадает с его средним значением (если последнее существует).

Модой распределения называется наиболее вероятное значение случайной величины: в непрерывном случае - точка максимума плотности распределения, в дискретном случае - точка максимума функции вероятности. Мода распределения может быть неоднозначной, и использование этого параметра в теории риска ограничено.

2. Закон нормального распределения Гаусса

Нормальное распределение, также называемое распределением Гаусса - распределение вероятностей, которое в одномерном случае задается функцией плотности вероятности, совпадающей с функцией Гаусса:

где параметр м - математическое ожидание (среднее значение), медиана и мода распределения, а параметр у - среднеквадратическое отклонение (у?І дисперсия) распределения.

Таким образом, одномерное нормальное распределение является двухпараметрическим семейством распределений. Многомерный случай описан в статье «Многомерное нормальное распределение».

Нормальное распределение имеет плотность:

(*)

В этой формуле , фиксированные параметры, - среднее, - стандартное отклонение.

Характеристическая функция нормального распределения имеет вид:

Дифференцируя характеристическую функцию и полагая t = 0, получаем моменты любого порядка.

Кривая плотности нормального распределения симметрична относительно и имеет в этой точке единственный максимум, равный

Параметр стандартного отклонения меняется в пределах от 0 до ?.

Среднее меняется в пределах от -? до +?.

При увеличении параметра кривая растекается вдоль оси х, при стремлении к 0 сжимается вокруг среднего значения (параметр характеризует разброс, рассеяние).

При изменении кривая сдвигается вдоль оси х (см. графики).

Варьируя параметры и , мы получаем разнообразные модели случайных величин, возникающие в телефонии [2].

3. Графики

Изучив данную тему, мы ознакомились с параметрами статистического распределения.

1 Статистическое распределение и его параметры (Тринифоров А.Ю.) [Электронный ресурс] - официальный сайт. Режим доступа: http://risktheory.triniforov.com (Дата обращения 30.10.2014).

2 Статистика - [Электронный ресурс] - официальный сайт. Режим доступа: http://www.statistica.ru (Дата обращения 30.10.2014).

Размещено на Allbest.ru