Проверка гипотез о распределениях

Размещено на http: //www. allbest. ru/

1

Цель работы:

Работа посвящена наиболее важным методам обработки экспериментальных данных, а именно, оцениванию распределений и их параметров и проверке гипотез о распределениях.

Задание:

В результате испытания контрольной партии, состоящей из 100 тыс. машин, были получены следующие значения времени наработки до первого отказа:

Необходимо:

Найти оценки математического ожидания и дисперсии случайной величины Х.

Найти доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии, соответствующие заданной доверительной вероятности ( р = 0,95 ).

Оценить вероятность попадания случайной величины Х в заданный интервал.

Для этой вероятности найти доверительный интервал, соответствующий заданной доверительной вероятности.

Построить гистограмму и эмпирическую функцию распределения случайной величины Х.

Найти и построить доверительные области для плотности распределения f(x) и функции распределения F(x), соответствующие заданной доверительной вероятности.

Решение:

1.Найдем точечные оценки математического ожидания и дисперсии, учитывая, что n=100.

Дисперсия:

Выборочная дисперсия:

2. Рассчитаем доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии, предварительно задав доверительную вероятность (1-). Пусть (1-) = 0,8. Тогда по таблице значений функции Лапласа находим и, следовательно, искомые доверительные интервалы будут иметь вид:

для математического ожидания:

для дисперсии:

3. Находим точечную оценку вероятности попадания случайной величины X в интервал (0,7;1,1) = (4,28;6,73). Так как в этот интервал попало m=19 экспериментальных значений, то искомая оценка будет равна:

4. Рассчитываем доверительный интервал для вероятности Р, оцененной в предыдущем пункте. Пусть в этом случае доверительная вероятность равна (1-) = 0,95. Тогда =1,96 , и искомый интервал имеет вид :

5. Для построения гистограммы Г(x) заключаем все экспериментальные данные в интервал (0; 30) и разбиваем его на 10 равных разрядов, каждый длиной 3. . Для каждого разряда рассчитываем:

значение гистограммы Г(x):

,

где - число экспериментальных точек, попавших в этот разряд , а

- его длина.

частоты попадания экспериментальных точек в разряды гистограммы:

Размещено на http: //www. allbest. ru/

1

Рис.1 Гистограмма

Находим доверительные области для плотности распределения f(x) и функции распределения F(x).

На каждом разряде находим доверительную область для вероятности

попадания исходной величины X в этот разряд. Вычисляем по формуле с заменой величины соответственно на . В данном случае общее число разрядов r = 10 плюс 1 полубесконечный разряд , r = 11. Выбираем доверительную вероятность (1-), равную 0,99 , из условия:

и, используя таблицу значений функции Лапласа, находим = 3,36.

Размещено на http: //www. allbest. ru/

1

Рис.2 Гистограмма с доверительной областью

Графической оценкой функции распределения F(x) является эмпирическая функция распределения:

, где - число экспериментальных точек, лежащих левее x.

По таблице распределения величины (распределение Колмагорова) находим ее величину, соответствующую коэффициенту доверия (1-) = 0,99. Она равна =1,6. Затем рассчитываем доверительную область для функции распределения F(x):

математический дисперсия распределение интервал

Размещено на http: //www. allbest. ru/

1

Рис.3 График доверительной области функции распределения.

Размещено на http: //www. allbest. ru/

1

Рис.4. Эмпирическая функция распределения с доверительной областью

Размещено на Allbest.ru