Статистическое изучение динамики

Метод простой скользящей средней. Сглаживание ряда динамики с помощью скользящей средней заключается в том, что вычисляется средний уровень из определенного числа первых по порядку уровней ряда, затем - средний уровень из такого же числа уровней начиная со второго, далее - начиная с третьего и т.д. Т.о., при расчетах среднего уровня как бы «скользят» по ряду динамики от начало до конца, каждый раз отбрасывая один уровень в начале и добавляя один следующий. Отсюда название - скользящая средняя. Каждое звено скользящей средней - это средний уровень за соответствующий период, который относится к середине выбранного периода.

,

где с - квадратический параметр (константа), равный половине ускорения; остальные обозначения прежние.

Выражает ускоренное (замедленное) изменение уровней ряда с постоянным ускорением (например, при прогрессирующем поступлении высокопроизводительного оборудования; ускоренное возрастание может происходить в период после снятия каких-то сдерживающих развитие преград - ограничений в распределении дохода, в уровне оплаты труда; при повышении цены на дефицитную продукцию). Заметим, отрицательное ускорение (c < 0) приводит со временем не только к приостановке роста уровня, но и к его снижению со все большей скоростью (например, при производстве устаревшей продукции). Парабола 2-го порядка имеет либо минимум, либо максимум.

3. Экспоненциальная форма тренда (относится к I классу):

,

где b - постоянный темп роста в разах (темп роста равен );

a - константа тренда.

.

Пригоден для отображения тенденции замедляющегося роста уровней при отсутствии предельно возможного значения (например, для отображения роста спортивных достижений); замедление роста становится все меньше и меньше, и при достаточно большом t становится малоотличимой от прямой линии; экстремума не имеет.

5. Тренд в форме степенной кривой (относится к I классу):

,

где b - константа тренда.

Гибкая, пригодная для отображения изменений с разной мерой пропорциональности изменений во времени: при b =1 - линейный тренд, при b =2 - параболический и т.п. При k = 0 = 0. Общая форма ввиду невозможности логарифмировать применяется крайне редко.

6. Модифицированная экспонента (относится ко II классу):

,

где y = k - горизонтальная асимптота.

Для процессов, характеризующихся «насыщением»: если a < 0 - асимптота находится выше кривой, если a > 0, - то ниже (в экономической практике чаще всего находит применение случай, когда a < 0, b < 1, в этом случае рост уровней происходит с замедлением и стремится к некоторому пределу). Хорошо описывает процесс, на развитие которого воздействует ограничивающий фактор (например, главный инженер предприятия указывает, что производственные мощности не позволяют наращивать объемы производства выше определенного уровня k) - в этом случае уравнение можно линеаризовать.

7. Гиперболическая форма тренда (относится ко II классу):

.

Подходит для отображения тенденции, процессов, ограниченных предельным значением уровня (например, предельный коэффициент полезного действия двигателя, предел 100%-ной грамотности населения), т.к. при b > 0 (b < 0) тренд соответствует тенденции замедляющегося снижения (роста) уровня, стремящегося к пределу a.

8. Кривая Гомперца:

,

где y = k - горизонтальная асимптота.

Для решения экономических задач наибольший интерес представляет вариант кривой, когда log a < 0 и b < 1 (в этом случае относится к III классу, при log a > 0 и b > 1 относится ко II классу). Кривая асимметрична и развитие уровня кривой имеет следующие этапы: на первом этапе прирост кривой незначителен (он медленно увеличивается по мере роста t), но на следующем этапе прирост увеличивается быстрее, а затем, после точки перегиба, начинает уменьшаться, и на подходе к линии асимптоты прирост кривой опять незначителен.

9. Логистическая форма тренда (кривая Перла-Рида) (относится к III классу):

,

где и - максимальное и минимальное из возможных значений уровня;

a, b - параметры тренда;

Если = 0 и = 0, уравнение принимает следующий вид:

.

Кривая симметрична относительно точки перегиба с координатами: t = ln b: a; .

С помощью этой функции хорошо описывается развитие новой отрасли (нового производства). Сначала технические методы производства еще недостаточно разработаны, издержки производства высоки и спрос на рынке на данный товар еще очень мал, поэтому производство развивается медленно. В дальнейшем, благодаря усовершенствованию технических методов изготовления, переходу к массовому производству и увеличению емкости рынка для данного товара производство растет быстрее. Затем наступает период насыщения рынка, рост производства все более замедляется, и наконец, почти прекращается. Наступает стабилизация на определенном уровне (однако выявленные закономерности развития следует обобщать с определенной осторожностью, причем для коротких периодов, например, выявленная тенденция развития производства может быть нарушена вследствие технического перевооружения в данной отрасли или в связи с ним).

Замечания к теме «Выявление типа тенденции динамики»:

1. Оценки параметров в вышеназванных моделях находятся методом наименьших квадратов (МНК). Как известно, суть его состоит в определении таких коэффициентов (параметров), при которых сумма квадратов отклонений расчетных значений уровней от фактических была бы минимальной, т.е. (n - длина временного ряда), поэтому выбранные уравнения необходимо привести к линейному, относительно искомых параметров, виду.

2. Обычно в экономических исследованиях применяются полиномы не выше третьего порядка. Использовать для определения тренда полиномы высоких степеней нецелесообразно, поскольку полученные таким образом аппроксимирующие функции будут отражать случайные отклонения (что противоречит смыслу тенденции).

3. К ряду, состоящему из m точек, можно подобрать многочлен (полином) степени (m - 1), проходящий через все m точек, но очевидно, что такая кривая не слишком пригодна как для выделения тенденции, так и для целей прогнозирования.

4. При выборе типа модели необходим содержательный анализ изучаемого процесса. Например. Предположим, на ретроспективном участке ряд динамики может быть хорошо описан с помощью экспоненциальной кривой. Однако первая половина логистической кривой также представлена экспонентой. Поэтому принять гипотезу об экспоненциальной тенденции ряда в будущем можно только после проведения содержательного анализа, в ходе которого следует дать ответ на вопрос: возможно ли наступление «насыщения» при данной совокупности условий.

5. Не исключена ситуация, когда наилучшей функцией по данному критерию будет признана прямая, но тогда возможно получение отрицательного прогнозного значения, которое из экономических соображений не может быть отрицательным (например, прогнозирование объема выпускаемой продукции). В этом случае следует отказаться от этой функции, выбрав менее «удачную», но соответствующую содержательному смыслу показателя (например, более подходящей в этом случае может оказаться экспоненциальная кривая при значении параметра b < 1).

6. Отметим, что не существует «жестких» рекомендаций для выбора кривых роста. Особенно осторожно следует подходить к решению этой задачи при использовании полученной функции для экстраполяции найденных закономерностей в будущее. Применение кривых должно базироваться на предположении о сохранении выявленной тенденции в прогнозируемом периоде.

Рассмотренные в данном разделе различные статистические приемы и методы могут помочь исследователю при осуществлении сложного выбора подходящей кривой роста.

4. Периодические колебания в рядах динамики

Во многих случаях моделирование рядов динамик с помощью полиномов или экспоненциальной функции не дает удовлетворительных результатов, т.к. в рядах динамики содержатся заметные периодические колебания вокруг общей тенденции или наблюдается автокорреляция не в самих уровнях, а в их отклонениях от теоретических значений, полученных по определенным аналитическим формулам. В таких случаях следует использовать гармонический анализ - нахождение конечной суммы уровней с использованием функций косинусов и синусов. Другими словами, гармонический анализ представляет собой операцию по выражению заданной периодической функции в виде ряда Фурье по гармоникам разных порядков.

В простейшем случае динамика явлений, обладающих периодичностью, может быть аппроксимирована синусоидой .

Аппроксимация динамики экономических явлений рядом Фурье состоит в выборе таких гармонических колебаний, наложение которых друг на друга (сумма) отразит периодические колебания фактических уровней динамического ряда. С помощью ряда Фурье можно представить динамику явлений в виде некоторой функции времени, в которой слагаемые расположены по убыванию периодов:

.

В этом уравнении величина k определяет гармонику ряда Фурье и может быть взята целым числом (чаще всего от 1 до 4). Параметры уравнения рассчитываются методом наименьших квадратов.

Целью данного анализа является выявление и измерение периодических колебаний в рядах динамики и автокорреляции в остатках ряда.

5. Сезонные колебания в рядах динамики. Индексы сезонности

При рассмотрении квартальных или месячных данных многих социально-экономических явлений обнаруживаются определенные, постоянно повторяющиеся колебания, которые существенно не меняются за длительный период времени. Они являются результатом (1) влияния природно-климатических условий, (2) общих экономических факторов, а также (3) ряда многочисленных разнообразных факторов, которые частично являются регулируемыми.

В статистике периодические колебания, которые имеют определенный и постоянный период, равный годовому промежутку, носят название сезонных колебаний, или сезонных волн, а динамический ряд в этом случае называют тренд-сезонным, или просто сезонным рядом динамики.

Сезонные колебания характеризуются специальными показателями, которые называются индексами сезонности (). Совокупность этих показателей отражает сезонную волну.

или

.

январь - ;

февраль - и т.д. (графа 5).

Совокупность исчисленных индексов сезонности характеризует сезонную волну браков, расторгнутых населением города, во внутренней динамике. Для наглядного получения представления о сезонной волне желательно изобразить полученные данные в виде линейной диаграммы.

2). Ряд динамики содержит определенную тенденцию в развитии.

В данном случае, прежде чем вычислить сезонную волну, фактические данные нужно обработать так, чтобы выявить общую тенденцию. Обычно для этого прибегают к аналитическому выравниванию ряда динамики.

6. Циклические колебания в рядах динамики

Подобно сезонной компоненте ряда динамики циклическая компонента также представляет собой волнообразные движения (на графике), но она более продолжительна и менее предсказуема, чем сезонные колебания. Сущность классического метода устранения циклической компоненты ряда динамики заключается в исключении (или в усреднении) основной тенденции и сезонной компоненты из ряда динамики, т.к. при этом остается циклическая и, как правило, нерегулярная компонента. Поскольку эти компоненты составляют то, что остается после подобных расчетов, этот метод называется остаточным.

Размещено на Allbest.ru