Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

В экономической теории есть много предпосылок и высказываний о том, что фирма является рациональным агентом, которая самостоятельно принимает решения о том, сколько и как необходимо производить товаров и услуг. В таких обсуждениях можно подчеркнуть одну особенность - в большинстве случаев выводы и объяснения о деятельности такой фирмы являются “односторонними” и не всегда они подкреплены моделями, которые могут наглядно прояснить цель существования данной фирмы.

В данной выпускной квалификационной работе внимание уделялось, в большей степени, на получение полных решений независимо от начальных условий, иными словами, рассматривается модель взаимодействия двух агентов: собственника-потребителя и фирмы-производителя. Приводится их характеристика поведения в динамических моделях общего равновесия, при этом экономическая динамика рассматривается в непрерывном времени, а также накопленные инвестиции это единственный фактор производства, при этом производственная функция линейно зависит от этого фактора.

Рассматривается задача оптимального планирования, где потребитель планирует свое производство в соответствии со своими интересами, причем для всех ограничений вводятся дополнительные двойственные переменные.

Следует отметить, что при рассмотрении задачи производителя, дополнительные двойственные переменные также присутствуют и производитель максимизирует полезность выплаченных потребителю дивидендов. Для того чтобы выполнялось условие равновесия, необходимо чтобы выполнялись соотношения основного макроэкономического баланса, выполнялось условие равенства спроса на кредиты и предложения.

Что касается техники решения в данных моделях, то можно смело предположить, что каждая описываемая модель не выходит за рамки:

1.Выписывания функционала Лангража

2.Интегрирования по частям

3. Выписывания достаточных условий максимума

4. Преобразований условий и получения решений задачи

Во внимание берется еще один фактор, помимо того, что экономика замкнута и в ней выпускается единственный однородный продукт и записывается он следующим образом: Y (t) = C(t) +J (t), рассматривается еще многопродуктовая декомпозиция. Использование такой модели объясняется тем, что в стандартной декомпозиции привязывается один из продуктов к импорту. Из-за привязки к импорту дефлятор импорта всегда должен быть наибольшим или наименьшим. Это не всегда выполняется, поэтому использование декомпозиции один из способов решения данной проблемы.

В настоящей работе, внимание также привлекает еще один момент, который, на мой взгляд, и является ключевым. В процессе нахождения равновесий в моделях, встречалось довольно много, на первый взгляд, нестандартных ситуаций, к примеру, возник вопрос о том, как ввести в модель несколько продуктов, если равновесие найдено на заданных нам начальных условиях? И в таких ситуациях приходилось использовать собственное мнение и опираться на моделирование задач.

Необходимо учесть, что в экономике существует большое количество продуктов(микро). Эти продукты могут собираться в большие группы: агрегаты(макропродукты). Предполагается что цены на эти продукты(макро) разные, причем в каждом компоненте ВВП эти макропродукты входят с разными долями(структура разная), что и обеспечивает различную динамику цен для компонент ВВП. Казалось бы, что это и является ответом на поставленный мною вопрос, но после каждого небольшого объяснения и раскрытия вопроса, вытекает следующий вопрос, а как определить структуру каждого компонента ВВП? Как разбить ее на Аа и Аb? Ответ был найден в использовании иерархической полезности . Что это? Мы говорили что есть микро и есть макро продукты , микропродукты - это то что внутри, и они агрегируются в макропродукты, но при этом появляются некоторые агенты с их функциями полезности (например за С отвечает потребитель , за i отвечает инвестор и т.д.) и должны быть выполнены балансы с их прикрепленными ценами.

Целью данного исследования является поиск и представление модели общего равновесия, где вид производителя является акционерным обществом и целью данной фирмы будет служить максимизация приведенного потока дивидендов. Необходимо понимать, что результаты должны будут показать, что модель с таким видом (акционерным) должно иметь эффективное равновесие.

Учтенная в работе система многопродуктовой декомпозиции избавляет нас от привязки к экспорту и импорту, что в свою очередь приводит к более корректной понимании модели.

Полученные в выпускной работе результаты должны помочь реальному сектору экономики в более точном анализе рынка, а также в использовании данного метода как одного из инструментов в построении экономических моделей.

расход потребитель дивиденд

Глава 1. Формулировка модели

1.1 Используемые предпосылки и система обозначений

Рассматривается замкнутая экономика с выпуском двух однородных продуктов, которые используются на потребление и инвестиции. Таким образом, можно написать где - выпуск-го продукта в экономике, - потребление -го продукта и являются валовыми потреблениями. Предполагается линейная зависимость производственной функции от объема накопленных инвестиций, а именно , где - коэффициент приростной фондоемкости. Наконец, предположим, что , тогда получим:

(1.1)

(1.2)

Так же считаем заданными начальные условия: и терминальные: . Выполнений этих условий достаточно, чтобы неравенство было верно при всех

В качестве функции полезности агентов используется CRRA функция:

при при (1.3)

1.2 Решение задачи потребителя

Потребитель максимизирует полезность собственного потребления:

за счет выбора в рамках финансового баланса:

При заданных начальных условиях и терминального ограничения:

(1.4)

при заданных на переменных:

Решения задачи доставляют максимум функционалу Лагранжа

(1.5)

при некотором выборе двойственных переменных и при этом выполнялись условия дополняющей нежесткости:

(1.6)

(1.7)

(1.8)

Интегрируем по частям при максимизации:

(1.9)

Данное выражение достигает максима тогда и только тогда, когда производные по следующим величинам обращаются в ноль:

(1.10)

(1.11)

(1.12)

(1.13)

(1.14)

(1.15)

Уравнения (1.6)-(1.8) и (1.10)-(1.15) образуют полную систему условий для определения решения.

В силу того, что .

Из (1.10)

Из (9) , тогда

Из (3)

Таким образом из (9)

И из (10)

Введем переменную это доходность активов, которыми располагает агент. Тогда из (7) Рассматриваем только S(t) >0, поэтому из (2) и (8) следует ц(t)=0,

Поскольку первое слагаемое (1.10) и (1.11) кусочно-дифференцируемо, функции тоже кусочно-дифференцируемы. Взяв от обеих частей (1.10) и (1.11) логарифмическую производную, получим:



Или , где i = 1,2.

1.3 Решение задачи производителя

Производитель максимизирует полезность выплаченных потребителю дивидендов

за счет выбора траекторий дивидендов , произведенных продуктов , объема взятых кредитов в рамках финансового баланса

при заданных начальных условиях LP(t0) , YP(t0) > 0 и терминального ограничения

при известных на всем временном отрезке информационных переменных: процентная ставка по депозиту r (t) , цены продуктов , запас акций у собственника и курс акций a (t) .

Для оптимальности достаточно, чтобы они максимизировали функционал Лагранжа

(1)

при некотором наборе двойственных переменных, и при этом выполнялись условия дополняющей нежесткости

(2)

(3)

(4)

(5)

Интегрируем функционал Лагранжа по частям:



Это выражение достигает максимума по y₁(.), y₂(.), L_p(.), Div₁(.), Div₂(.)тогда и только тогда, когда на [t₀,T]обращаются в 0 производные по ним:

(6) y₁:

(7) y₂:

(8) L_p:

(9) Div₁:

(10) Div₂:

(11) y₁(T):

(12) y₂(T):

(13) L_p(T):

Соотношения (2)-(5) и (6)-(13) образуют полную систему условий.

Из (8) и (13) и условий Ц ? 0, ц (t) ? 0?ц (t) ? 0 при всех t? [t₀,T]

Из (9) т.к. Div₁(t) кусочно-непрер., то она огранич. на [t₀,T]?Div₁(t)> 0, левая часть ур-ия отделена от нуля на [t₀,T]?ц (t) > 0, а по (13) Ц > 0

А тогда (из (2))

Из (11)-(13) и Ц > 0?

Введем новую переменную , которую можно интерпретировать как доходность активов, которыми располагает агент. Тогда

Из (8) ?

Из (3) и (6) ?, ?

Из (7) и (4) ?, ?

Возьмем логарифмическую производную от (9) (аналогично (10))

С учетом

Следует



(5) (dC₁):

При логарифмировании получим

Дифференцируем данное выражение по переменной времени

Аналогично из (6):



1.4 Нахождение равновесия

С учетом найденных зависимостей, а именно

Получим

Тогда выпуск найдем из дифференциального уравнения

Это неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами вида:



1.5 Общее решение соответствующего однородного уравнения

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения:

подставим в уравнение и найдем коэффициент A.

Тогда

В терминах задачи это решение будет иметь вид:

1.6 Поиск отношения расходов на потребление разного типа товаров

Найдем отношение

Все не зависящие от t множители записываем в виде константы Const:

=

С учетом



Следовательно Зависит от t , не является постоянной величиной.

Глава 2. Общий вид функции полезности

Потребитель максимизирует полезность собственного потребления:

за счет выбора в рамках финансового баланса:

При заданных начальных условиях и терминального ограничения:

(1.4)

при заданных на переменных:

Решения задачи доставляют максимум функционалу Лагранжа

(1.5)

при некотором выборе двойственных переменных и при этом выполнялись условия дополняющей нежесткости:

(1.6)

(1.7)

(1.8)

Интегрируем по частям при максимизации:

(1.9)

Данное выражение достигает максима тогда и только тогда, когда производные по следующим величинам обращаются в ноль:

(1.10)

(1.11)

(1.12)

(1.13)

(1.14)

(1.15)

Уравнения (1.6)-(1.8) и (1.10)-(1.15) образуют полную систему условий для определения решения.

В силу того, что .

Из (1.10)

Из (9) , тогда

Из (3)

Таким образом из (9)

И из (10)

Введем переменную это доходность активов, которыми располагает агент. Тогда из (7) Рассматриваем только S(t) >0, поэтому из (2) и (8) следует ц(t)=0,

Поскольку первое слагаемое (1.10) и (1.11) кусочно-дифференцируемо, функции тоже кусочно-дифференцируемы. Взяв от обеих частей (1.10) и (1.11) логарифмическую производную, получим:

Или , где i = 1,2.

Производитель максимизирует полезность выплаченных потребителю дивидендов

за счет выбора траекторий дивидендов , произведенных продуктов , объема взятых кредитов в рамках финансового баланса

при заданных начальных условиях LP(t0) , YP(t0) > 0 и терминального ограничения

при известных на всем временном отрезке информационных переменных: процентная ставка по депозиту r (t) , цены продуктов , запас акций у собственника и курс акций a (t) .

Для оптимальности достаточно, чтобы они максимизировали функционал Лагранжа

(2)

при некотором наборе двойственных переменных, и при этом выполнялись условия дополняющей нежесткости

(2)

(3)

(4)

(5)

Интегрируем функционал Лагранжа по частям:

Это выражение достигает максимума по y₁(.), y₂(.), L_p(.), Div₁(.), Div₂(.)тогда и только тогда, когда на [t₀,T]обращаются в 0 производные по ним:

(6) y₁:

(7) y₂:

(8) L_p:

(9) Div₁:

(10) Div₂:

(11) y₁(T):

(12) y₂(T):

(13) L_p(T):

Соотношения (2)-(5) и (6)-(13) образуют полную систему условий.

Из (8) и (13) и условий Ц ? 0, ц (t) ? 0?ц (t) ? 0 при всех t? [t₀,T]

Из (9) т.к. Div₁(t) кусочно-непрер., то она огранич. на [t₀,T]?Div₁(t)> 0, левая часть ур-ия отделена от нуля на [t₀,T]?ц (t) > 0, а по (13) Ц > 0

А тогда (из (2))

Из (11)-(13) и Ц > 0?

Введем новую переменную , которую можно интерпретировать как доходность активов, которыми располагает агент. Тогда

Из (8) ?

Из (3) и (6) ?,

Из (7) и (4) ?,

Возьмем логарифмическую производную от (9) (аналогично (10))



С учетом

Следует

(5) (dC₁):

При логарифмировании получим

Дифференцируем данное выражение по переменной времени

Аналогично из (6):

Нахождение равновесия.

С учетом найденных зависимостей, а именно

Получим

Тогда выпуск найдем из дифференциального уравнения

Это неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами вида:

2.1 Решение для другой функции полезности

Предположим теперь, что вид функции полезности

Тогда

Иначе можно записать через U(C₁C₂):

Тогда

Аналогично

Это система дифференциальных уравнений с двумя неизвестными функциями C₁(t) и C₂(t). Найти в явном виде функции невозможно, найдем отношение:



С ростом темпа инфляции l₁ растет величина ? уменьш. за счет знака минус.

При уменьш. либо C₂ снижается (Из-за роста цены на товар приходится жертвовать потребл. товара 2) либо C₁ увеличивается.

Глава 3. Усложнение задачи

Потребитель максимизирует полезность собственного потребления:

за счет выбора в рамках финансового баланса:

При заданных начальных условиях и терминального ограничения:

(1.4)

при заданных на переменных:

Решения задачи доставляют максимум функционалу Лагранжа

(1.5)

при некотором выборе двойственных переменных и при этом выполнялись условия дополняющей нежесткости:

(1.6)

(1.7)

(1.8)

Интегрируем по частям при максимизации:

(1.9)

Данное выражение достигает максима тогда и только тогда, когда производные по следующим величинам обращаются в ноль:

(1.10)

(1.11)

(1.12)

(1.13)

(1.14)

(1.15)

Уравнения (1.6)-(1.8) и (1.10)-(1.15) образуют полную систему условий для определения решения.

В силу того, что .

Из (1.10)

Из (9) , тогда

Из (3)

Таким образом из (9)

И из (10)

Введем переменную это доходность активов, которыми располагает агент. Тогда из (7) Рассматриваем только S(t) >0, поэтому из (2) и (8) следует ц(t)=0,

Поскольку первое слагаемое (1.10) и (1.11) кусочно-дифференцируемо, функции тоже кусочно-дифференцируемы. Взяв от обеих частей (1.10) и (1.11) логарифмическую производную, получим:

Или , где i = 1,2.

Производитель максимизирует полезность выплаченных потребителю дивидендов

за счет выбора траекторий дивидендов , произведенных продуктов , объема взятых кредитов в рамках финансового баланса

при заданных начальных условиях LP(t0) , YP(t0) > 0 и терминального ограничения

при известных на всем временном отрезке информационных переменных: процентная ставка по депозиту r (t) , цены продуктов , запас акций у собственника и курс акций a (t) .

Для оптимальности достаточно, чтобы они максимизировали функционал Лагранжа

(3)

при некотором наборе двойственных переменных, и при этом выполнялись условия дополняющей нежесткости

(2)

(3)

(4)

(5)

Интегрируем функционал Лагранжа по частям:

Это выражение достигает максимума по y₁(.), y₂(.), L_p(.), Div₁(.), Div₂(.)тогда и только тогда, когда на [t₀,T]обращаются в 0 производные по ним:

(6) y₁:

(7) y₂:

(8) L_p:

(9) Div₁:

(10) Div₂:

(11) y₁(T):

(12) y₂(T):

(13) L_p(T):

Соотношения (2)-(5) и (6)-(13) образуют полную систему условий.

Из (8) и (13) и условий Ц ? 0, ц (t) ? 0?ц (t) ? 0 при всех t? [t₀,T]

Из (9) т.к. Div₁(t) кусочно-непрер., то она огранич. на [t₀,T]?Div₁(t)> 0, левая часть ур-ия отделена от нуля на [t₀,T]?ц (t) > 0, а по (13) Ц > 0

А тогда (из (2))

Из (11)-(13) и Ц > 0?

Введем новую переменную , которую можно интерпретировать как доходность активов, которыми располагает агент. Тогда

Из (8) ?

Из (3) и (6) ?,

Из (7) и (4) ?,

Возьмем логарифмическую производную от (9) (аналогично (10))



С учетом

Следует

(5) (dC₁):

?

При логарифмировании получим

Дифференцируем данное выражение по переменной времени



Аналогично из (6):

Нахождение равновесия.

С учетом найденных зависимостей, а именно

Получим

Тогда выпуск найдем из дифференциального уравнения

Это неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами вида:

Усложним задачу, предположим, что оба товара используются в производстве

При максимизации функционала Лагранжа получим следующие уравнения:

:

Найдем отношение цен:

Откуда следует, что

Подставим полученные зависимости в

=

=

Из получим . Откуда

Обозначим отношение цен за

Откуда

3.1 Получение результатов

Следовательно

Найдем выпуски из уравнений:

Заключение

В заключении, хотелось бы сказать, что данное исследования представило модель общего равновесия, где правовой формой производителя является акционерное общество, а целью данной фирмы будет служить максимизация приведенного потока дивидендов. Результаты работы показывают, что модель с таким видом имеет эффективное равновесие.

Учтенная в работе система многопродуктовой декомпозиции избавляет нас от привязки к экспорту и импорту, что в свою очередь приводит к более корректной понимании модели.

Надеюсь, что полученные в выпускной работе результаты должны помочь реальному сектору экономики в более точном анализе рынка, а также в использовании данного метода как одного из инструментов в построении экономических моделей.

Список литературы

1. K. Sourirajan, L. Ozsen, R. Uzsoy, A genetic algorithm for a single product network design model with lead time and safety stock considerations (European Journal of Operational Research, 197 (2009), pp. 599-608)

2. M. Pazoki, S.M.T. Fatemi Ghomi, A multiproduct dynamic model to design a converge-diverge supply network with supplier partnership considerations (2012)

3. Edward P. C. Kao, A Multi-Product Dynamic Lot-Size Model with Individual and Joint Set-up Costs(University of Houston, 1979)

4. Turnovsky S.J. Monetary Growth, Inflation and Economic Activity in a Dynamic Macro Model // NBER Working Paper. January 1987.

5. Keller W.J. A nested CES-type utility function and its demand and price-index functions (European Economic Review. -- 1976.)

Размещено на Allbest