Рассмотрим одношаговый аукцион, в рамках которого некоторая неделимая на части работа (или неделимый на части набор работ) выставляется на аукцион. Пусть известны требования к качеству и расписанию выполнения работы (набора работ), которая (который) составляет предмет аукциона, а также требования к организаторам или (и) частным лицам, заинтересованным в участии в аукционе. Одношаговость аукциона обычно понимается в том смысле, что если согласно какому-либо правилу определения победителя аукциона более одного участника аукциона должны быть признаны победителями, единственный победитель выбирается путем жребия, а не каким-либо другим способом. Тем самым цена за работу, которая выставляется на аукцион, не меняется в результате выбора единственного победителя из числа тех, кто может рассматриваться победителем в соответствии с предложенным правилом.

Рассмотрим следующее правило определения победителя одношагового аукциона, проводимого только по цене за выполнение работ [Беленький, 2009а]. Заказчик объявляет, что победитель аукциона получит заказ по цене не менее чем kx, где x - неизвестная для участников аукциона (но известная заказчику и выбираемая им) цена за выполнение работ, составляющих предмет заказа, а 0 k 1 - некоторый коэффициент, выбираемый заказчиком и объявляемый участникам аукциона.

Например, заказчик, проводящий торги, объявляет что победитель аукциона получит не менее 97% от (неизвестной для участников) некоторой фиксированной цены, за которую заказчик готов "отдать" заказ квалифицированному исполнителю. При этом

а) если все участники аукциона предложили цены ниже, чем 0,97x, то аукцион выигрывает участник, предложивший цену наиболее близкую к 0,97x; так, например, если в аукционе участвуют 10 потенциальных исполнителей, предложивших такие цены за работы, составляющие предмет аукциона, которые соответствуют числам 0,5x, 0,6x, 0,7x, 0,82x, 0,83x, 0,85x, 0,90x, 0,91x, 0,93x, 0,952x, то аукцион выигрывает участник, предложивший цену 0,952x, причем этот участник выигрывает аукцион по цене 0,97x;

б) если все участники аукциона предложили цены выше, чем 0,97x, то аукцион опять-таки выигрывает участник, предложивший цену наиболее близкую к 0,97x; так, например, если в аукционе участвуют 10 потенциальных исполнителей, предложивших такие цены за работы, составляющие предмет аукциона, которые соответствуют числам 0,973x, 0,975x, 0,981x, 0,982x, 0,983x, 0,984x, 0,985x, 0,986x, 0,987x, 0,988x, то аукцион выигрывает участник, предложивший цену 0,973x; однако, в отличие от предыдущего случая, этот участник выигрывает аукцион по цене 0,973x;

в) если часть участников аукциона (по крайней мере, один участник) предложили цены не ниже чем 0,97x, а остальные участники (по крайней мере, один) предложили цены ниже, чем 0,97x, или если часть участников аукциона (по крайней мере, один участник) предложили цены не выше чем 0,97x, а остальные участники (по крайней мере, один) предложили цены выше, чем 0,97x, то аукцион выигрывает участник из числа предложивших цены не выше чем 0,97x по схеме, описанной в а); так, например, если в аукционе участвуют 10 потенциальных исполнителей, предложивших такие цены за работы, составляющие предмет аукциона, которые соответствуют числам 0,5x, 0,6x, 0,7x, 0,82x, 0,945x, 0,975x, 0,985x, 0,990x, 0,993x, 0,98x, то аукцион выигрывает участник, предложивший цену 0,945x, причем этот участник выигрывает аукцион по цене 0,97x;

г) если несколько участников аукциона предложили одинаковую цену, по которой выигрывается аукцион в рамках случаев (а), (б) и (в), то победитель определяется среди этих участников либо путем жребия, либо с помощью каких-либо дополнительных правил, но цена, по которой выигрывается аукцион, при этом не изменяется; так, например, если в аукционе участвуют 10 потенциальных исполнителей, предложивших такие цены за работы, составляющие предмет аукциона, которые соответствуют числам 0,5x, 0,6x, 0,7x, 0,8x, 0,96x, 0,96x, 0,98x, 0,98x, 0,99x, 0,995x, то победитель аукциона определяется из двух участников, предложивших цену 0,96x, причем победитель получит заказ по цене 0,97x;

д) если все участники аукциона предложили цены выше чем x, то аукцион считается несостоявшимся.

Идея приведенного выше правила состоит в создании экономического механизма, делающего невыгодным для участников аукциона предлагать как слишком высокую, так и слишком низкую цену за работу, выставленную на аукцион, и в то же время позволяющего организатору аукциона обеспечить выполнение работы по цене, не превосходящей его (организатора) возможности по оплате этой работы и учитывающей реальные затраты среднего "желательного" исполнителя работ.

Приведенное правило делает бессмысленным искусственное занижение цены за работу, выставленную на аукцион, по сравнению со "средними" затратами квалифицированного участника аукциона на выполнение этой работы и на подготовку к участию в аукционе. Напротив, оно стимулирует участников аукциона подавать предложения по цене за работу, соразмерной с их затратами на ее выполнение. В то же время это правило не поощряет участников аукциона подавать предложения по цене за работу, превышающей kx.

Обсуждаемое правило проведения аукционов является модификацией правила, предложенного в работе [Belenky, 2006] (в части пунктов 4 и 6 [Беленький, 2009а]), и его идея впервые описана в работе [Ibid]. В настоящей статье используются обозначения и некоторые факты, установленные в вышеуказанных исследованиях.

Математическая модель взаимодействия организатора аукциона с участниками аукциона

Пусть n - число участников аукциона; T - событие, состоящее в том, что аукцион выигрывается каким-либо участником аукциона по цене, превышающей kx; - событие, состоящее в том, что i-й участник аукциона предлагает цену за работу (выставленную на аукцион), не превышающую kx, ; - событие, состоящее в том, что i-й участник аукциона назначает цену за работу, превышающую x.

Как показано в работе [Belenky, 2006], имеет место следующее равенство

(1)

где - вероятность события Т.

Пусть - цена, которую i-й участник аукциона может предложить за работу. Если анализ, проведенный организатором аукциона, показывает что может изменяться в пределах в то время как организатор аукциона не имеет каких-либо сведений о предпочтениях i-го участника аукциона при выборе им значения из указанного сегмента, то естественно предположить, что является непрерывной случайной величиной, распределенной по закону равномерной плотности с плотностью вероятности, описываемой функцией где

Исходя из этих предположений, организатор аукциона может выбрать параметры k и x и оценить вероятность события T, т.е. вероятность "отдать" работу по цене, превышающей kx.

С этой целью организатору аукциона следует установить, как будет выглядеть функция P (T) при различных взаимных расположениях сегментов [kx, x] и

Оказывается, что достаточно рассмотреть пять основных случаев такого взаимного расположения для i-го участника аукциона:

а)

б)

в)

г)

д)

Ясно, что если минимальная цена, которую i-й участник назначает за работу, превосходит kx (т.е. превосходит желательное значение цены для организатора аукциона), то вероятность события равна нулю, так как становится невозможным событием, т.е. в случаях (а) и (б).

Ясно также, что в случае (д) событие является достоверным событием, так что В двух оставшихся случаях вероятность события является линейной функцией значения kx, а именно,

аукцион одношаговый цена работа заказ

Аналогичные рассуждения позволяют убедиться в том, что в случае (а) является достоверным событием, в то время как это событие является невозможным в случаях (г) и (д), так что в случае а) и в случаях (г) и (д). В двух оставшихся случаях (б) и (в) вероятность события является линейной функцией значения x, а именно

Очевидно, что если случай (д) имеет место хотя бы для одного участника аукциона, то событие T становится невозможным событием, т.е. P (T) = 0, поэтому только случаи (а) - (г) представляют интерес для дальнейшего рассмотрения.

Нетрудно убедиться в том, что если случаи (а) - (в) имеют место для всех участников аукциона, то значение вероятности "отдать" работу по цене, превышающей kx, описывается функцией

(2)

в то время как если случай (г) имеет место хотя бы для одного участника аукциона, значение этой вероятности описывается функцией

(3)

Функция P (T) является функцией переменных k и x, для которых выполняются неравенства где смысл чисел и x очевиден. Чтобы исключить случай (д) из рассмотрения, необходимо потребовать, чтобы выполнялось неравенство

Пусть

Организатор аукциона заинтересован в отыскании таких значений параметров k и x, при которых достигается минимальное значение функции P (T) на множестве H. Ясно, что это минимальное значение достигается, так как P (T) является непрерывной функцией переменных k и x [Demyanov, Malozemov, 1990], а множество H является замкнутым, ограниченным множеством, что легко устанавливается простыми рассуждениями.

В то время как задача минимизации функции P (T) на множестве H является достаточно сложной, организатор аукциона обычно заинтересован в оценке значения вероятности P (T) на множестве A снизу и сверху, так как знание даже оценок в неравенстве позволяет выбрать подходящие значения для переменных k и x, т.е. установить максимальную приемлемую и желательную (для организатора) цену за работу, выставляемую на аукцион.

Оценки границ вероятности P (T)