Численные методы анализа

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования Республики Беларусь

БГУИР

Факультет заочного обучения

Кафедра систем телекоммуникаций

Контрольная работа № 1

по дисциплине: «Численные методы анализа»

Задание 1

гаусс mathcad интерполяция

Найти сумму (разность) приближенных чисел и указать ее погрешности (Д и д), если считать в исходных данных все значащие цифры верными:

.

Решение.

По условию:

, , ,

, , .

Вычисляем выражение:

.

Вычисляем абсолютную погрешность:

.

Относительная погрешность:

Ответ. , , .

Задание 2

Найти решение СЛАУ , где - матрица коэффициентов, - вектор свободных членов, - вектор неизвестных, методом Гаусса с выбором главного элемента по столбцу. Заданы матрица и вектор . При поиске решения (в MathCAD) показать все промежуточные вычисления в прямом и обратном ходе указанных прямых методов. Полученное (приближенное) решение сравнить с решением этой СЛАУ в MathCAD вычислительным блоком Given…find (расчет провести в численном виде). Зарисовать блок-схему алгоритма указанного в варианте метода решения СЛАУ при условии произвольного количества уравнений (задаются матрица и вектор ).

,

Решение.

Решение задачи в MathCAD с помощью блока Given..Find:

Блок-схема алгоритма - решение СЛАУ методом Гаусса с выбором главного элемента по столбцу:

- функция , с помощью которой выбираем главный элемент по столбцу и меняем строки:

- функция прямого хода метода Гаусса () и обратный ход метода Гаусса ():

- главная программа:

Последовательность вычислений:

Задание 3

По заданным узловым значениям исходной функции (векторы и ) осуществить интерполяцию - интерполяционным полиномом Ньютона .

Построить в MathCAD в одном графическом шаблоне полученный интерполяционный полином и узловые значения исходной функции.

Зарисовать блок-схему алгоритма, реализующего вычисление значения интерполяционного полинома Лагранжа в любом значении аргумента при условии произвольного количества узловых значений исходной функции.

По заданным узловым значениям исходной функции (векторы и ) записать систему линейных алгебраических уравнений для расчета коэффициентов кубического сплайна со свободным закреплением концов, решить эту систему в MathCAD вычислительным блоком Given…find, записать функцию , реализующую рассчитанный кубический сплайн, считая, что за границами рассматриваемого диапазона изменения аргумента изменение функции осуществляется соответственно по начальному и конечному частям сплайна. Построить в одном графическом шаблоне рассчитанный кубический сплайн и узловые значения исходной функции.

По заданным узловым значениям исходной функции (векторы и ) методом наименьших квадратов определить коэффициенты аппроксимирующего обобщенного многочлена , где цk - система базисных функций (в задании даны степенные функции). Согласно методу наименьших квадратов коэффициенты определяются из условия

(1)

При поиске минимального значения необходимое и достаточное условие:

(2)

дает систему из линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных . Записать систему (2) и решить ее в MathCAD вычислительным блоком Given…find, отобразить в одном графическом шаблоне полученный аппроксимирующий обобщенный многочлен и узловые значения исходной функции. Рассчитать величину для полученного аппроксимирующего обобщенного многочлена.

, , ,

, , , , logfit

Решение.

Строим интерполяционный полином Ньютона (вид записи - интерполяция вперед):

.

Разделенными разностями первого порядка, составленными по соседним узлам, называют отношения

По ним можно определить разделенные разности второго порядка

Аналогично определяются разделенные разности более высокого порядка. Например, если известны разделенные разности -го порядка, то разделенная разность -го порядка определяется как

.

Вычисления производим в MathCAD:

Построим в MathCAD в одном графическом шаблоне полученный интерполяционный полином и узловые значения исходной функции.

Блок-схема алгоритма, реализующего вычисление значения интерполяционного полинома Лагранжа в любом значении аргумента XT при условии произвольного количества узловых значений исходной функции:

По заданным узловым значениям исходной функции (векторы и ) запишем СЛАУ для расчета коэффициентов кубического сплайна со свободным закреплением концов.

Известно, что при кубическом сплайне между парой соседних узлов интерполяции имеем кубический многочлен вида

Для определения коэффициентов , , , на всех отрезках записывают и решают линейных уравнений из условия непрерывности функции

непрерывности первых и вторых производных в узлах интерполяции

и условия свободного закрепления концов

В нашем случае имеем:

Решаем эту систему в MathCAD вычислительным блоком Given…find:

Получаем:

Запишем функцию , реализующую рассчитанный кубический сплайн, считая, что за границами рассматриваемого диапазона изменения аргумента изменение функции осуществляется соответственно по начальному и конечному частям сплайна:

Построим в одном графическом шаблоне рассчитанный кубический сплайн и узловые значения исходной функции:

По заданным узловым значениям исходной функции (векторы и ) методом наименьших квадратов определим коэффициенты аппроксимирующего обобщенного многочлена , где - система базисных функций (в задании даны степенные функции). Согласно метода наименьших квадратов коэффициенты определяются из условия

. (1)

При поиске минимального значения необходимое и достаточное условие

(2)

дает систему из линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных .

Запишем систему (2) и решим ее в MathCAD вычислительным блоком Given…find.

Экстремальная задача примет вид:

.

Параметры искомой зависимости находятся из системы:

Отобразим в одном графическом шаблоне полученный аппроксимирующий обобщенный многочлен и узловые значения исходной функции:

Величина для полученного аппроксимирующего обобщенного многочлена:

а) Реализуем в MathCAD по рассчитанным узловым значениям (векторы и ) кусочно-линейную интерполяцию (функция linterp), кубическую сплайновую с различным продолжением (функции lspline, pspline, cspline, interp). Отобразим в одном графическом шаблоне исходную функцию , узловые значения (векторы и ) и четыре полученные интерполяционные функции.

б) По узловым значениям (векторы и ) реализовать в MathCAD В-сплайн интерполяцию с различными степенями заменяющих полиномов (), выбрав самостоятельно векторы точек сшивок . В одном графическом шаблоне отобразить исходную функцию , узловые значения (векторы и ), три интерполяционные функции В-сплайнов и соответствующие им точки сшивок.

Графики:

в) По узловым значениям (векторы и ) реализуем в MathCAD линейную аппроксимацию (функции line, medfit), полиномиальную аппроксимацию (функции regress (в задании даны степени аппроксимирующих полиномов) и loess (параметр span выбрать самостоятельно)), аппроксимацию функциями специального вида (в задании указана одна из функций expfit, lgsfit, sinfit, pwfit, logfit, lnfit).

Для всех аппроксимирующих функций рассчитаем величину среднеквадратичного отклонения ().

Отобразим в одном графическом шаблоне исходную функцию , узловые значения (векторы и ) и полученные аппроксимирующие функции.

Задание 4

В MathCAD вычислить интеграл методом трапеций при заданном количестве разбиений интервала интегрирования (шаг интегрирования ) и оценить погрешность применения данной составной квадратурной формулы для вычисления интеграла.

Для вычисления интеграла по указанному методу написать функцию пользователя, в которой входным параметром является количество разбиений интервала интегрирования. Отобразить функции , и (в соответствии с применяемыми методами) на интервале .

, ,

Решение.

Разбиение интервала задается следующим образом:

.

Для вычисления интеграла методом трапеций воспользуемся формулой:

.

Составим в MathCAD функцию пользователя и вычислим интеграл при разных количествах разбиений:

В методе трапеций в соответствии с оценкой остаточного члена формулы для вычисления интеграла - оценка погрешности

, где .

Вычисляем максимальное значение модуля второй производной на данном отрезке:

Оценки погрешности для каждого :

Строим графики функций и :

Находим необходимое количество интервалов для достижения заданной точности:

Литература

1. Электронный учебно-методический комплекс по дисциплине "ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА" для специальностей: 1-45 01 01 «Многоканальные системы телекоммуникаций»…, БГУИР - 2012.

2. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. - М.: Бином, 2006.

3. Самарский А.А. Введение в численные методы. - М.: Лань, 2009.

4. Крылов В.И. Вычислительные методы / В.И. Крылов, В.В. Бобков, П.И. Монастырный - М.: Наука, 1976, т. 1

5. Крылов В.И. Вычислительные методы / В.И. Крылов, В.В. Бобков, П.И. Монастырный - М.: Наука, 1977, т. 2

6. Черняк А.А., Черняк Ж.А., Доманова Ю.А. Высшая математика на базе MathCad. Общий курс. - СПб.: БХВ Петербург, 2005.

Размещено на Allbest.ru