Использование дифференциальных уравнений в экономической теории

Размещено на http: //www. allbest. ru/

Задание 1. Дана функция

z = f(x,y)

найти:1) полный дифференциал dz; 2) частные производные второго порядка , ,, .

2)

Задание 2. Исследовать функцию на экстремум.

Найдём критические точки.

Имеем критическую точку Р(2;0). Рассмотрим достаточное условие экстремума, для этого найдём производные второго порядка.

Т.к. ?>0 и <0, то в точке Р(2;0) максимум.

Задание 3. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

Это линейное ДУ первого порядка

Полагаем:

, то

Подставим в предыдущее уравнение и получим:

Решаем уравнение

,

найдем одно из его частных решений:

Тогда

, т.е.

Подставим найденное решение в (1) и получим:

Тогда общее решение исходного уравнения:

Найдем частное решение:

Тогда частное решение исходного уравнения:

Задание 4. Даны линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

Это линейное неоднородное ДУ с постоянными коэффициентами и специальной правой частью. Находим общее решение соответствующего однородного уравнения

.

.

Его характеристическое уравнение

имеет корни:

В этом случае общее решение однородного уравнения имеет вид:

Частное решение ищем в виде

Найдем коэффициенты:

подставим в исходное уравнение:

отсюда находим:

Тогда

А общее решение исходного уравнения имеет вид:

Найдём частное решение:

Тогда частное решение имеет вид:

Задание 1. Заданы функция предложения некоторого товара S=S(p) и функция спроса q=q(p) относительно цены p. Определить цену равновесия, т.е. цену, при которой спрос и предложение уравновешиваются, а также эластичность спроса и предложения для этой цены. Построить графики S=S(p) и q=q(p). Как изменится цена при увеличении предложения на 0,2%? Как изменится цена при увеличении спроса на 0,3%?

Вычислим равновесную цену из уравнения

Значит, цены равновесия нет, т.к. она не может быть отрицательной.

Находим 0,2% от предложения:

Вычислим цену из уравнения

Это уравнение не имеет действительного положительного решения.

Находим 0,3% от спроса:

Вычислим цену из уравнения

Это уравнение не имеет действительного положительного решения.

Задание 2. Исследовать сходимость числового ряда .

Воспользуемся признаком Даламбера сходимости ряда:

Значит, ряд расходится.

Задание 3. Найти интервал сходимости степенного ряда .

.

Найдем радиус сходимости данного ряда по формуле Коши-Адамара:

.

Значит, R=2. Тогда, интервал сходимости будет или (-2;2).

Рассмотрим сходимость данного ряда на концах интервала сходимости.

Пусть х = -2. Тогда получим ряд

.

Т.к. последовательность расходящаяся по необходимому признаку

,

то данный ряд расходится.

А это говорит о том, что данный ряд расходится при х=-2.

Пусть х =2. Тогда получим ряд

.

Этот ряд расходится, т.к. по необходимому признаку

Значит, область сходимости интервал (-2;2).

Задание 4. Использование дифференциальных уравнений в экономической динамике

Функция спроса и (соответственно) предложения имеют вид:

.

Найти зависимость равновесной цены от времени, если . Является ли равновесная цена устойчивой?

В нашем случае получим:

Проинтегрируем обе части уравнения:

- общее решение дифференциального уравнения. Найдем частное решение:

-зависимость равновесной цены от времени.

Т.к. ,

экономический дифференциальный экстремум математический

то равновесная цена является устойчивой.

Размещено на Аllbest.ru