Прогнозирование на основе экстраполяции

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

Санкт-Петербургский Государственный университет

Информационных технологий, механики и оптики

Практическая работа по курсу

Социальное и экономическое прогнозирование

"Прогнозирование на основе экстраполяции"

Санкт-Петербург

2015



Исходные данные.

Имеются данные о пассажирообороте железнодорожного пригородного сообщения в республике (млн. пассажирокилометров) по кварталам за 4 года.

Годы	1	2	3	4
Кварталы
I	0,9	0,9	1,0	0,8
II	1,9	2,0	2,1	1,6
III	3,8	4,0	4,1	2,8
IV	0,8	0,8	0,9	0,6

Требуется:

Выявить основную тенденцию процесса (тренд) на основе аналитического выравнивания или с использованием метода скользящей средней, элиминируя сезонные колебания.

Рассчитать коэффициенты и индексы сезонности; проанализировать сезонную волну.

Рассчитать прогнозные значения (точечные и интервальные) на два года с поквартальной разбивкой.

Решение.

Для выравнивания временного ряда воспользуемся методом скользящей средней, который позволит нам выявить нам тенденцию. Данный способ заключается в замене показателей ряда на скользящие уровни. В нашем случае период скольжения будет равен =3. Для расчета используем следующую формулу

где, - фактическое значение исследуемого показателя за прогнозируемый период

Сведем полученные данные в одну таблицу для простоты восприятия.

Таблица №1.

Года	Кварталы	Пассажирооборот	Скользящая средняя (yср)
1	1	0,9	-
	2	1,9	-
	3	3,8	2,17
	4	0,8	1,83
2	1	0,9	1,23
	2	2	2,30
	3	4	2,27
	4	0,8	1,93
3	1	1	1,30
	2	2,1	2,40
	3	4,1	2,37
	4	0,9	1,93
4	1	0,8	1,10
	2	1,6	1,73
	3	2,8	-
	4	0,6	-

Теперь нанесем выравненный тренд на график для наилучшего понимания ситуации.

Рисунок №1.

На графике отчетливо видно, что в данном ряду наблюдаются сезонные колебания. Для того, что бы построить прогноз на основе таких исходных необходимо рассчитать коэффициенты сезонности и индексы сезонности, а так же построить график сезонной волны.

Анализ сезонности.

Анализ сезонности один из важнейших этапов прогнозирования сезонных колебаний. Именно он позволяет оценить их силу. Для этого воспользуемся коэффициентами сезонности - это показатели, характеризующие сезонность в рамках определенного года. Они рассчитываются по следующей формуле.

где, фактическое значение исследуемого показателя за прогнозируемый период

- его выравненное значение

Для простоты расчетов и восприятия воспользуемся таблицей.

Таблица №2

Года	Кварталы	Пассажирооборот	Скользящая средняя (yср)	Коэффициенты сезонности (
1	1	0,9	-	-
	2	1,9	-	-
	3	3,8	2,17	1,754
	4	0,8	1,83	0,436
2	1	0,9	1,23	0,730
	2	2	2,30	0,870
	3	4	2,27	1,765
	4	0,8	1,93	0,414
3	1	1	1,30	0,769
	2	2,1	2,40	0,875
	3	4,1	2,37	1,732
	4	0,9	1,93	0,466
4	1	0,8	1,10	0,727
	2	1,6	1,73	0,923
	3	2,8	-	-
	4	0,6	-	-

Исходя из полученных данных можно сказать, что пик пассажирооборота приходится на третий квартал каждого года. Для проверки данного утверждения рассчитаем индексы сезонности. Они позволяют выявить устойчивость сезонности для нескольких лет. Вычисляются данные показатели по следующей формуле.

где,

-

сумма коэффициентов сезонности за определенный период

n - количество периодов для оценки

Рассчитаем индексы сезонности для 4 лет с поквартальной разбивкой.

Таблица №3

Индекс сезонности для	Значение индекса
1-ого квартала	0,742
2-ого квартала	0,889
3-ого квартала	1,750
4-ого квартала	0,526

Теперь построим график сезонной волны для наглядного представления.

Рисунок №2

Как и ожидалось, наибольшая сезонность наблюдается за все 4 года именно в 3 квартале. Чему есть большое количество объяснений.

Выбор функции

Для того, чтобы строить прогноз на будущие два года с поквартальной для начала нужно выбрать необходимое уравнение тренда. Путем расчета были выявленны несколько функций. Среди них:

· Линейная

· Полином второго порядка

· Степенная

· Экспоненциальная

Для оценки близости трендового уравнения исходному ряду применяется критерий Фишера (F). Фактический(расчетный) уровень F-критерия сравнивается с теоретическим (табличным) значением:

где, - количество праметров уравнения тренда

- теоретический коэффициент детерминации

Его рассчитывают по следующей формуле.

где,

- остаточная дисперсия

- общая дисперсия

Остаточная дисперсия рассчитывается по формуле

Общая дисперсия рассчитывается по формуле

Для признания модели надежной необходимо соблюдение условия:Fфакт > Fкрит .

Промежуточные расчеты представим в следующей таблицах.

Таблица №4.

Кварталы	Уровни ряда (линейная)			Уровни ряда ( порабола)
1	1,943	1,087	0,797	1,557	0,432	0,819
2	1,923	0,001	0,012	1,694	0,043	0,009
3	1,903	3,601	4,030	1,808	3,968	3,979
4	1,883	1,172	0,985	1,900	1,211	1,010
5	1,863	0,926	0,797	1,971	1,146	0,819
6	1,843	0,025	0,043	2,018	0,000	0,038
7	1,823	4,742	4,873	2,044	3,826	4,817
8	1,803	1,005	0,985	2,048	1,557	1,010
9	1,783	0,612	0,628	2,029	1,059	0,648
10	1,763	0,114	0,095	1,988	0,013	0,087
11	1,743	5,558	5,325	1,925	4,731	5,266
12	1,723	0,677	0,797	1,840	0,883	0,819
13	1,703	0,815	0,985	1,732	0,869	1,010
14	1,683	0,007	0,037	1,602	0,000	0,042
15	1,663	1,294	1,015	1,451	1,821	0,990
16	1,643	1,087	1,422	1,276	0,458	1,452
Итого		22,7199	22,8239		22,0136	22,8184

Кварталы (t)	Уровни ряда (экспонента)			Уровни ряда (степенная)
1	1,443	0,295	0,064	1,515	0,378	0,331
2	1,267	0,401	3,610	1,500	0,160	0,181
3	1,112	7,223	14,440	1,492	5,327	5,406
4	0,977	0,031	0,640	1,486	0,470	0,456
5	0,858	0,002	0,810	1,481	0,338	0,331
6	0,753	1,554	4,000	1,477	0,273	0,276
7	0,661	11,146	16,000	1,474	6,379	6,376
8	0,581	0,048	0,640	1,472	0,451	0,456
9	0,510	0,240	1,000	1,469	0,220	0,226
10	0,448	2,730	4,410	1,467	0,401	0,391
11	0,393	13,740	16,810	1,465	6,943	6,891
12	0,345	0,308	0,810	1,463	0,317	0,331
13	0,303	0,247	0,640	1,462	0,438	0,456
14	0,266	1,779	2,560	1,460	0,020	0,016
15	0,234	6,585	7,840	1,459	1,799	1,756
16	0,205	0,156	0,360	1,457	0,735	0,766
Итого		46,4844	74,6338		24,6497	24,6404

Таблица №5

Теперь расчитаем F-критерий для каждой функции

	Линейная	Порабола	Экспонента	Степенная
Остаточная дисперсия	1,374	1,376	2,905	1,541
Общая дисперсия	1,426	1,426	4,665	1,540
Теоритический коэффициент детерминации	0,963	0,965	0,623	1,000
Число параметров, m	2	3	2	2
Теоретический критерий Fкрит, при б=0,05	4,60	3,81	4,60	4,60
Фактический критерий Fфакт	366,44	177,80	23,12	-188,63

Так как, Fфакт и пораболы, экспоненты и линейной ф ункции больше их критических значений, то обе модели признаются надежными.

Наилучшим образом тренд описывает линейная функция так как ее остаточная дисперсия меньше всего.

Расчет прогнозных значений.

Наша функция для прогноза имеет следующий вид . Используя ее получим точечные прогнозные значения на необходимы период. Для того, чтобы учесть сезоннсоть полученные значения нужно умножить на соответствующие индексы. В этом случае формула для расчета будет выглядеть следующим образом:

Для боktе точных лучшего отображения информации используем таблицу.

Года	Кварталы	t	Прогнозное значение
1	1	17	(-0,02*17+1,195)* 0,742=1,20
	2	18	(-0,02*18+1,195)* 0,889=1,42
	3	19	(-0,02*19+1,195)* 1,750=2,8
	4	20	(-0,02*20+1,195) *0,526=0,8
2	1	21	(-0,02*21+1,195) * 0,742=1,1
	2	22	(-0,02*22+1,195) * 0,889=1,4
	3	23	(-0,02*23+1,195) * 1,750=2,6
	4	24	(-0,02*24+1,195) *0,526=0,8

Далее рассчитаем доверительный интервал для каждой оценки. Для этого используем следующую формулу

где , скользящий сезонный волна прогнозный

t - коэффициент распределения Стьюдента, зависящий от надежности расчетов p и числа степеней свободы R. В данном случае при p=0,95 и числе степеней свободы R=14.

S - среднее квадратическое отклонение эмпирических данных от соответствующих значений, полученных по найденному уравнению регрессии. Его вычисляют следующим образом

=1,308

Рассчитав среднеквадратическое отклонение можно вычислить доверительные интервалы

2,1448 * 1,308 * =

=

=

=

=

=3,55

=

=

Теперь рассчитаем интервальные оценки.

1. ==

3. =

4. =

5.=

6. =3,55

7. =

8. =

Отразим всю полученную информацию на графике и сделаем вывод.

Рисунок№2.

Вывод

Выявив тренд и рассчитав прогнозные значения на два года вперед с поквартальной разбивкой, можно сказать, что пассажирооборот постепенно падает. На это есть несколько причин:

· Большое количество людей использует автомобильный транспорт

· Повысился уровень дохода населения и по этому используется более дорогие виды транспорта

· Высокая цена на билеты в железнодорожном транспорте.

При этом все равно наблюдается сезонность. Наибольший пик активности приходит на третий квартал. В это время большое количество людей пользуется железнодорожным транспортом. Ведь данный период выпадает на сезон отпусков.

Размещено на Allbest.ru