Использование статистических показателей в дисперсионном анализе

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача 1

По территориям Волго-Вятского, Центрально-Черноземного и Поволжского районов известны данные:

Задание:

1. Рассчитайте параметры линейного, степенного, показательного уравнения парной регрессии.

2. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

3. Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.

4. Оцените значимость уравнений регрессии в целом.

5. Выберите лучшее уравнение.

Решение. Уравнение линейной функции:

.

Для нахождения параметров функции используется метод наименьших квадратов. Решается система нормальных уравнений.

или .

Необходимые расчеты произведем в Excel.

>

Уравнение регрессии:

.

При изменении заработной платы на 1 тыс. руб., потребительские расходы увеличиваются на 0,966 тыс. руб.

Характеризует тесноту связи линейный коэффициент парной корреляции: .

.

.

Связь между заработной платой х и потребительскими расходами у прямая, тесная.

Коэффициент детерминации позволяет определить на сколько процентов изменяется результат под действием фактора. В данном случае на 60 % вариация у объясняется вариацией х, т.к. .

Значимость уравнения регрессии проверяется на основании F-критерия Фишера:

.

Расчетное значение критерия сравнивается с табличным.

F_табл=4,67 при уровне значимости б=0,05, k₁=1 и k₂=n-2=13.

F_факт?F_табл, следовательно, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что уравнение линейной регрессии статистически значимо.

Подставив в полученное уравнение фактические значения х, получим расчетные (теоретические) значения .

Средняя ошибка аппроксимации определяется по формуле:

.

Сначала ошибку находим по каждому наблюдению, например, . Далее считаем сумму по всем наблюдениям и определяем среднее значение.

В среднем расчетные значения потребительских расходов отклоняются от фактических на 15,5 %.

Расчеты параметров линейной функции можно получить с помощью ППП Excel, используя встроенную статистическую функцию ЛИНЕЙН и инструмент анализа данных РЕГРЕССИЯ.

2. Построению степенной функции:

предшествует процедура линеаризации переменных путем логарифмирования обеих частей уравнений.

> b=1.478 c=-1.58.

Получили линейное уравнение:

е У=-1,58+1,478Х.

Производим потенцирование:

В степенной функции коэффициент регрессии b является коэффициентом эластичности. При увеличении заработной платы (х) на 1 % потребительские расходы (у) увеличивается на 1,478 %.

Подставив в полученное уравнение фактические значения х, получим расчетные (теоретические) значения .

Для оценки тесноты связи в нелинейной функции используем индекс корреляции:

.

Коэффициент близок к 1, следовательно, связь между х и у тесная.

На 61 % вариация у объясняется вариацией х (коэффициент детерминации 0,78²=0,61).

Ошибку аппроксимации рассчитываем аналогично линейной функции. Получаем, что в среднем расчетные значения потребительских расходов отклоняются от фактических на 14 %.

Значимость уравнения регрессии проверяется на основании F-критерия Фишера:

.

F_табл=4,67 при уровне значимости б=0,05, k₁=1 и k₂=13.

F_факт?F_табл, следовательно, с вероятностью 0,95 можно, утверждать, что уравнение степенной функции статистически значимо.

Аналогичные результаты получаем, используя Excel и выполняя команду: Данные - Анализ данных - Регрессия.

3. Построению показательной функции

предшествует процедура линеаризации переменных путем логарифмирования обеих частей уравнений.

> b=0,00093 с=1,961.

Получили линейное уравнение У=1,961+0,00093Х.

Производим потенцирование и уравнение показательной функции примет вид:.

Подставив в полученное уравнение фактические значения х, получим расчетные (теоретические) значения .

Индекс корреляции: .

Коэффициент близок к 1, следовательно, связь между х и у тесная.

На 62,3 % вариация у объясняется вариацией х (коэффициент детерминации 0,789²=0,623).

Значимость уравнения регрессии проверяется на основании F-критерия Фишера:

.

F_табл=4,67 при уровне значимости б=0,05, k₁=1 и k₂=13.

F_факт?F_табл, следовательно, с вероятностью 0,95 можно, утверждать, что уравнение показательной функции статистически значимо.

Ошибка аппроксимации - 15,7 %, следовательно, в среднем расчетные значения потребительских расходов отклоняются от фактических на 15,7 %.

Сравнивая полученные значения показателей корреляции и ошибки аппроксимации, однозначного вывода сделать нельзя. Степенная функция имеет наименьшую ошибку аппроксимации, а наибольший коэффициент корреляции и детерминации имеет показательная функция.

Задача 2

Зависимость объема продаж у (тыс. долл.) от расходов на рекламу х (тыс. долл.) характеризуется по 12 предприятиям концерна следующим образом:

Уравнение регрессии:

y = 10.6 +0.6x

Среднее квадратическое отклонение x .

Среднее квадратическое отклонение y.

Задание:

1. Определите коэффициент корреляции.

2. Постройте таблицу дисперсионного анализа для оценки значимости уравнения регрессии в целом.

3. Найдите стандартную ошибку оценки коэффициента регрессии.

4. Оцените значимость коэффициента регрессии через t-критерий Стьюдента.

5. Определите доверительный интервал для коэффициента регрессии с вероятностью 0.95 и сделайте экономический вывод.

Решение. Уравнение парной регрессии дополняется показателем тесноты связи между признаками. Таковым является линейный коэффициент парной корреляции. Чем ближе значение коэффициента к 1, тем теснее связь.

.

Связь между х и у характеризуется как прямая, тесная.

Определим коэффициент детерминации .

Коэффициент детерминации характеризует долю дисперсии результативного признака у, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака. Вариация результата на 68,8 % объясняется вариацией фактора.

Дисперсионный анализ проводится с целью расчета F-критерия и проверки значимости полученного уравнения регрессии. Результаты расчета представим в таблице.

- общая сумма квадратов отклонений.

.

.

.

.

F=D_факт /D_ост=95,44/4,328=22,05.

Расчетное значение критерия сравнивается с табличным (F_табл=4,96 при уровне значимости б=0,05, k₁=1 и k₂=n-2=10).

F_факт>F_табл, следовательно, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что уравнение статистически значимо.

Для оценки статистической значимости параметров уравнения регрессии рассчитывается t-критерий Стьюдента. С этой целью по каждому из параметров определяется его стандартная ошибка.

Стандартная ошибка коэффициента регрессии b определяется по формуле: регрессия уравнение корреляция стьюдент

.

Для оценки существенности коэффициента регрессии его величина сравнивается с его стандартной ошибкой, т. е. определяется фактическое значение t-критерия Стьюдента:

.

Полученное значение сравнивается с табличным (t_табл=2,23 при уровне значимости =0,1 и числе степеней свободы n-2=10).

Расчетное значение t-критерия по параметру b больше табличного, следовательно, параметр статистически значим.

Доверительный интервал для коэффициента регрессии находим по формуле:

,

.

С вероятностью 0,95 коэффициент регрессии будет находиться в интервале от 0,315 до 0,885. Полученный интервал не противоречит экономическому смыслу фактора: с увеличением расходов на рекламу х увеличивается объем продаж у.

Задача 3

По 40 предприятиям одной отрасли исследовалась зависимость производительности труда у от уровня квалификации рабочих x₁ и энерговооруженности их труда х₂._. Результаты оказались следующими:

Задание:

1. Определите параметр а и заполните пропущенные значения.

2. Какой из факторов оказывает более сильное воздействие на результат?

3. Оцените значимость уравнения регрессии в целом используя общий F-критерий Фишера.

Решение. Пропущенные характеристики определим, исходя из t критерия и стандартной ошибки параметров:

.

.

.

.

Параметры при переменных х ₁ и х ₂ означают насколько изменится результат при изменении фактора на 1.

Параметр b=10 означает, что при увеличении уровня квалификации рабочих на единицу производительность труда возрастает на 10 единиц. Параметр с=2 означает, что при увеличении энерговооруженности труда на единицу производительность труда увеличивается на 2 единицы. Таким образом, наибольшее влияние на результат оказывает первый фактор.

Множественный коэффициент корреляции (0,85) характеризует тесную связь между признаками.

Значимость уравнения регрессии проверяется по F-критерию Фишера.

,

.

Табличное значение F-критерия 3,26 при уровне значимости б = 0,05, k₁=2 и k₂=37.

Так как , с вероятностью 0,95 можно утверждать, что уравнение регрессии статистически значимо.

Литература

1. Эконометрика: учеб. / под ред. д-ра экон. наук, проф. В.С. Мхитаряна. - М.: Проспект, 2008. - 384 с.

2. Эконометрика: учеб. / под ред. И.И. Елисеевой. - М.: Проспект, 2012. - 288 с.

3. Эконометрика: Учебник/И.И. Елисеева, С.В. Курышева, Т.В. Костеева и др. Под ред. И.И. Елисеевой. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Финансы и статистика, 2012. - 576 с.

Размещено на Allbest.ru