Расчет коэффициента регрессии

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Рассчитать и оценить коэффициенты регрессии по методу наименьших квадратов (используя Cov(x,y) и Var(x)).

2. Построить регрессионную зависимость и дать экономическую интерпретацию.

3. Проверить качество оценки с использованием коэффициента детерминации, используя формулы

регрессия дисперсия экономический детерминация

4. Прокомментировать полученный результат.

Задача: изучив теоретическую часть материала перейти к практическим расчетам заданных величин, освоение методики построения уравнения парной линейной регрессии.

Оценим коэффициенты регрессии с использованием формул для расчета ковариации двух случайных величин и выборочной дисперсии.

Пусть Х -экспорт в миллионах долларов США, Y -производство в тоннах. Промежуточные результаты расчета приведены в таблице 1.

Таблица 1 - Расчет коэффициента регрессии по методу МНК

Суммируя по всем n наблюдениям, запишем S в виде:

S=y_i²+na²+b²x_i²-2ay_i+2abx_i-2bx_iy_i

S= 18582+18+5385576-a37056+ab10771152-b11045113622

Условия первого порядка для минимума, то есть и , принимают вид:

.

.

Эти уравнения известны как нормальные уравнения для коэффициентов регрессии. Уравнение позволяет выразить a через и пока неизвестное b. Подставим вместо x_i, получим:

.

Следовательно,

.

Подставив выражение для a в уравнение и помня, что x_i равно , имеем:

Проведем расчет:

=2an-37056+10771152b=0

=10771152b+10771152a-11045113622=0

a=1032,3333-299198,67b

Получаем следующую систему уравнений:

36a-37056+10771152b=0

10771152b+10771152a-11045113622=0

Подставим а во второе уравнение:

10771152b+10771152(1032,3333-299198,67b )-11045113622=0

3222703581615,84b=74305266,9616

b = 0,79, следовательно a= 235,616.

Оценим коэффициенты регрессии с использованием формул для расчета ковариации двух случайных величин и выборочной дисперсии. Результаты расчета приведены в таблице 2.

Таблица 2 - Оценка коэффициента регрессии b

Так как Cov (х, y) =19319,24и Var(x) =34577,99, то

Таким образом, при расчете коэффициентов регрессии разными способами мы получили равные значения.

Для полученной регрессионной зависимости проверим качество оценки с использованием коэффициента детерминации R². Результаты расчетов приведены в таблице 3.

Таблица 3 - Расчет коэффициента детерминации R²

Представим графическую модель полученной регрессионной зависимости _i= 235,616+0,79x_i (рисунок 1).

Оценена регрессия _i =235,616+0,79x_i.

Полученный результат можно истолковать следующим образом. Коэффициент при x_i показывает, что если x увеличивается на 1 единицу, то возрастает на 0,61 единицы. В нашем случае, коэффициент наклона показывает, что если число совершенных преступлений увеличится на 1 тыс., то число потерпевших возрастет на 0,61 человека.

Постоянная а в уравнении показывает прогнозируемый уровень y, когда x=0. Таким образом, в случае, когда число совершенных преступлений равно нулю, число потерпевших равно1414,6367 человек. Однако подобная буквальная интерпретация может привести к неверным результатам, т.к. x=0 находится достаточно далеко от выборочных значений x. Экстраполяция влево может нарушить точность линии регрессии.

Для проверки значимости модели регрессии используется F-критерий Фишера. Для модели парной регрессии:

.

Так как расчетное значение с ₁= 2 и ₂ = (18 - 2 - 1) степенями свободы, где k - количество факторов, включенных в модель, больше табличного 3,68, при заданном уровне значимости, модель считается значимой.

Для оценки качества модели рассчитаем коэффициент детерминации:

.

Чем ближе R² к 1, тем выше качество модели.

Полученное значение коэффициента корреляции r_x,y свидетельствует о взаимной согласованности изменения переменных X и Y:

.

Таки образом, цель регрессионного анализа состоит в объяснении поведения зависимой переменной Y. Для определения качества такой оценки служит коэффициент детерминации R². Максимальное значение коэффициента R² равно единице. Мы заинтересованы в таком выборе коэффициентов a и b, чтобы максимизировать R². В нашем случае R²=0,4761, следовательно, можно говорить о том, что в выборке присутствует видимая связь между Y и X. Коэффициент корреляции =0,69, что также говорит о достаточно хорошем качестве выбранной модели.

Размещено на Allbest.ru