Сводка и группировка статистических данных

Размещено на http://www.allbest.ru

Исходные данные

Имеются следующие выборочные данные по предприятиям одной из корпораций в отчетном году (выборка 20%-ная, механическая), млн руб.:

№ предприятия п/п	Средняя списочная численность работников, чел.	Выпуск продукции, млн руб.	№ предприятия п/п	Средняя списочная численность работников, чел.	Выпуск продукции, млн руб.
1	110	14	16	155	43
2	115	18	17	156	42
3	126	22	18	160	41
4	131	27	19	162	47
5	133	30	20	163	60
6	136	40	21	173	55
7	141	35	22	175	52
8	144	38	23	177	53
9	152	41	24	181	56
10	154	34	25	183	57
11	156	40	26	185	51
12	150	30	27	192	61
13	150	36	28	193	71
14	150	36	29	205	69
15	152	42	30	210	79

Задание 1

1. Провести группировку единиц наблюдения статистической совокупности по факторному признаку, образовав пять групп с равными интервалами. Построить аналитическую таблицу. Построить гистограмму и круговую диаграмму. Сделать выводы.

2. По данным первоначальной и аналитической таблицы по факторной и результативной переменными расчетным путем (в форме расчетной таблицы) и с использованием статистических функций в Excel (в качестве проверки правильности расчета) определить и обосновать:

- средние значения, моду и медиану. Сравнить их между собой и сделать соответствующие выводы.

- показатели вариации (среднее линейное отклонение, дисперсию, среднеквадратическое отклонение, коэффициент вариации). Оценить исходную информацию на устойчивость и сделать выводы.

Решение

Проведем группировку единиц совокупности по среднесписочной численности работников, образовав 5 групп с равными интервалами.

Для этого определим размер интервала по формуле:

где h - шаг интервала;

x_max, x_min - максимальное и минимальное значение признака в ряду;

n - число групп.

Построим аналитическую группировку, для чего рассчитаем по каждой группе объем выпуска всего и в среднем на одно предприятие. Результаты представим в таблице. статистический факторный корреляция



Таблица

Группировочная таблица

№ группы	Средняя списочная численность работников, чел.	Число предприятий	Выпуск продукции, млн. руб.
			всего	в среднем на 1 предприятие
1	110-130	3	54	18
2	130-150	5	170	34
3	150-170	12	492	41
4	170-190	6	324	54
5	190-210	4	280	70
Итого	30	1320	44

Результаты проведенной группировки показывают, что с ростом среднесписочной численности работников на предприятии увеличивается также выпуск продукции, то есть между показателями имеется прямая зависимость.

Представим результаты группировки в виде гистограммы и круговой диаграммы.

Рисунок 1 - Гистограмма распределения предприятий по средней списочной численности работников



Рисунок 2 - Круговая диаграмма распределения предприятий по средней списочной численности работников, чел.

Наиболее наполненной оказалась группа предприятий с средней списочной численностью работников от 150 до 170 человек.

Рассчитаем показатели по данным первоначальной таблицы.

Таблица

Расчетная таблица

№ предприятия п/п	Средняя списочная численность работников, чел., x
1	110	49	2401
2	115	44	1936
3	126	33	1089
4	131	28	784
5	133	26	676
6	136	23	529
7	141	18	324
8	144	15	225
9	152	7	49
10	154	5	25
11	156	3	9
12	150	9	81
13	150	9	81
14	150	9	81
15	152	7	49
16	155	4	16
17	156	3	9
18	160	1	1
19	162	3	9
20	163	4	16
21	173	14	196
22	175	16	256
23	177	18	324
24	181	22	484
25	183	24	576
26	185	26	676
27	192	33	1089
28	193	34	1156
29	205	46	2116
30	210	51	2601
Сумма	4770	584	17864

Среднее значение средней списочной численности работников найдем по формуле средней арифметической простой:

Мода - варианта с наибольшей частотой. В данном ряду наиболее часто встречается значение 150.

Медина - значение совокупности делящее выборку на две равные части.

Так как число единиц совокупности четное, то медиана будет равна полу сумме двух средних вариант:

То есть на половине предприятий средняя численность работников более 155,5 человек, анна половине - менее.

Среднее значение ряда больше моды и медианы, следовательно, для ряда характерна правосторонняя асимметрия.

Произведем расчет показателей вариации.

Среднее линейное отклонение:

Дисперсия:

Среднее квадратическое отклонение:

Для оценки однородности совокупности рассчитаем коэффициент вариации.

Полученное значение коэффициента вариации показывает, что совокупность предприятий однородна по средней списочной численности работников.

Рассчитаем данные показатели с помощью встроенных функций EXCEL.

СРЗНАЧ	159
МОДА	150
МЕДИАНА	155,5
ДИСПР	595,4667
СТАНДОТКЛОНП	24,40219

Результаты расчетов совпадают.

Произведем расчеты показателей по выпуску продукции. Проранжируем предприятия по величине выпуска продукции для того чтобы в дальнейшем определить медиану.

Таблица

Расчетная таблица

№ предприятия п/п	Выпуск продукции, млн руб., у
1	14	30	900
2	18	26	676
3	22	22	484
4	27	17	289
5	30	14	196
12	30	14	196
10	34	10	100
7	35	9	81
13	36	8	64
14	36	8	64
8	38	6	36
6	40	4	16
11	40	4	16
9	41	3	9
18	41	3	9
15	42	2	4
17	42	2	4
16	43	1	1
19	47	3	9
26	51	7	49
22	52	8	64
23	53	9	81
21	55	11	121
24	56	12	144
25	57	13	169
20	60	16	256
27	61	17	289
29	69	25	625
28	71	27	729
30	79	35	1225
Сумма	1320	366	6906

В данном ряду 5 значений выпуска продукции встречаются одинаковое количество раз.

То есть на половине предприятий величина выпуска продукции меньше 41,5 млн. рублей, а на половине - больше.

Среднее значение ряда больше моды и медианы, следовательно, для ряда характерна правосторонняя асимметрия.

Произведем расчет показателей вариации.

Среднее линейное отклонение:

Дисперсия:

Среднее квадратическое отклонение:

Коэффициент вариации;



Полученное значение коэффициента вариации превышает 33%, следовательно, совокупность предприятий не однородна по величине выпуска продукции

Рассчитаем данные показатели с помощью встроенных функций EXCEL.

СРЗНАЧ	44
МОДА	30
МЕДИАНА	41,5
ДИСПР	230,2
СТАНДОТКЛОНП	15,17234

Результаты расчетов совпадают.

Произведем расчеты по построенному интервальному ряду.

Среднее значение численности работников определим по формуле средней арифметической взвешенной:

Где - середины интервалов;

- число предприятий.

Таблица

Расчетная таблица

№ группы	Средняя списочная численность работников, чел.	Число предприятий,			Накопленная частота
1	110-130	3	120	360	3	126	5292
2	130-150	5	140	700	8	110	2420
3	150-170	12	160	1920	20	24	48
4	170-190	6	180	1080	26	108	1944
5	190-210	4	200	800	30	152	5776
Итого	30	x	4860	x	520	15480

Мода - наиболее часто встречающееся значение признака у единиц данной совокупности.

Выбираем в качестве начала интервала 150, так как именно на этот интервал приходится наибольшее количество.

Медиана делит выборку на две части: половина вариант меньше медианы, половина -- больше.

Медианным является интервал 150-170, т.к. в этом интервале накопленная частота превышает половину общей суммы частот.

Таким образом, у половины предприятий средняя списочная численность работников больше 162 человек, а у половины - меньше.

Среднее линейное отклонение:

Дисперсия:

Среднее квадратическое отклонение:

Результаты расчетов показателей по дискретному и интервальному ряду не значительно отличаются.

Задание 2

1. Установить наличие и направление связи между факторной и результативной переменными

2. Дать количественную оценку тесноте связи между исследуемыми переменными на основе расчета линейного коэффициента корреляции как расчетным путем (в форме расчетной таблицы) так и в автоматическом режиме с использованием статистической функций в Excel в качестве проверки правильности расчета. Сделать вывод.

3. Построить уравнение регрессии и показать его на графике. Обосновать параметры уравнения. Определить теоретические значения результативной переменной. Рассчитать коэффициент эластичности. Все расчеты представить в виде расчетной таблицы. Проверить полученные расчеты в автоматическом режиме с использованием статистических функций в Excel. Сделать выводы.

4. Провести дисперсионный анализ на основе расчета общей, факторной и остаточной дисперсий (расчеты показать в виде данных расчетной таблицы). На основе правила сложения дисперсий определить эмпирический коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение. Оценить выведенное уравнение регрессии на статистическую значимость. Сделать соответствующие выводы.

Решение

Для того чтобы установить наличие и направление связи между переменными построим поле корреляции.

Рисунок 3 - Поле корреляции

Построенный график показывает, что между переменными имеется прямая связь, так как с увеличением факторной переменной - средней списочной численности работников, увеличивается также результативная переменная - выпуск продукции. Форма связи близка к линейной.

Рассчитаем линейный коэффициент корреляции. Воспользуемся формулой:

Промежуточные расчеты произведем в таблице.

Таблица

Расчетная таблица

№ предприятия п/п	Средняя списочная численность работников, чел.	Выпуск продукции, млн руб.	х2	у2	х*у
	х	у
1	110	14	12100	196	1540
2	115	18	13225	324	2070
3	126	22	15876	484	2772
4	131	27	17161	729	3537
5	133	30	17689	900	3990
6	136	40	18496	1600	5440
7	141	35	19881	1225	4935
8	144	38	20736	1444	5472
12	150	30	22500	900	4500
13	150	36	22500	1296	5400
14	150	36	22500	1296	5400
9	152	41	23104	1681	6232
15	152	42	23104	1764	6384
10	154	34	23716	1156	5236
16	155	43	24025	1849	6665
11	156	40	24336	1600	6240
17	156	42	24336	1764	6552
18	160	41	25600	1681	6560
19	162	47	26244	2209	7614
20	163	60	26569	3600	9780
21	173	55	29929	3025	9515
22	175	52	30625	2704	9100
23	177	53	31329	2809	9381
24	181	56	32761	3136	10136
25	183	57	33489	3249	10431
26	185	51	34225	2601	9435
27	192	61	36864	3721	11712
28	193	71	37249	5041	13703
29	205	69	42025	4761	14145
30	210	79	44100	6241	16590
Сумма	4770	1320	776294	64986	220467
Среднее	159	44	25876,5	2166,2	7348,9

Полученное значение коэффициента корреляции показывает, что связь между переменными прямая и тесная.

Рассчитаем коэффициент с помощью функции MS EXCEL «Коррел»:

КОРРЕЛ
0,95317

Результаты расчетов коэффициента корреляции совпадают.

Построим линейное уравнение регрессии. Уравнение парной линейной регрессии в общем виде имеет вид:



Параметры уравнения найдем с помощью метода наименьших квадратов. Система нормальных уравнений МНК для определения параметров модели имеет вид:

Подставим полученные ранее значения и решим систему.

Домножим первое уравнение системы на 159 и решим системы методом вычитания.

Уравнение будет иметь вид:

Значение параметра регрессии означает, что с ростом средней списочной численности работников на 1 человека, выпуск продукции увеличивается в среднем на 0,593 млн. рублей.

Рассчитаем теоретические значения результативной переменной по полученному уравнению регрессии, представим их в таблице, а также представим его на графике.



Таблица

Теоретические и фактические значения результативной переменной

№ предприятия п/п	Средняя списочная численность работников, чел.	Выпуск продукции, млн руб.	Теоретические значения результативной переменной, млн.руб.
	х	у	у теор
1	110	14	15,0
2	115	18	17,9
3	126	22	24,4
4	131	27	27,4
5	133	30	28,6
6	136	40	30,4
7	141	35	33,3
8	144	38	35,1
12	150	30	38,7
13	150	36	38,7
14	150	36	38,7
9	152	41	39,9
15	152	42	39,9
10	154	34	41,0
16	155	43	41,6
11	156	40	42,2
17	156	42	42,2
18	160	41	44,6
19	162	47	45,8
20	163	60	46,4
21	173	55	52,3
22	175	52	53,5
23	177	53	54,7
24	181	56	57,0
25	183	57	58,2
26	185	51	59,4
27	192	61	63,6
28	193	71	64,1
29	205	69	71,3
30	210	79	74,2
Сумма	4770	1320	1320

Представим на графике.

Рисунок 2.2. Фактические и теоретические значения выпуска продукции, млн. руб.

Рассчитаем коэффициент эластичности по формуле:

Рассчитанный коэффициент показывает, что с ростом средней списочной численности работников на 1%, выпуск продукции увеличивается на 2,14%.

Найдем параметры линейной регрессии с помощью MS EXCEL с помощью модуля «Анализ данных».



Результаты, полученные с помощью MS EXCEL, совпали с произведенными ранее вычислениями.

Произведем расчеты дисперсий. Внутригрупповая дисперсия:

Таблица

Средняя списочная численность работников, чел	Выпуск продукции, млн руб.		Средняя списочная численность работников, чел	Выпуск продукции, млн руб.		Средняя списочная численность работников, чел	Выпуск продукции, млн руб.		Средняя списочная численность работников, чел	Выпуск продукции, млн руб.		Средняя списочная численность работников, чел	Выпуск продукции, млн руб.
110-130	14	16	130-150	27	49	150-170	30	121	170-190	55	1	190-210	61	81
	18	0		30	16		36	25		52	4		71	1
	22	16		40	36		36	25		53	1		69	1
Сумма	54	32		35	1		41	0		56	4		79	81
Среднее	18			38	16		42	1		57	9	Сумма	280	164
	Сумма	170	118		34	49		51	9	Среднее	70
	Среднее	34			43	4	Сумма	324	28
			40	1	Среднее	54
			42	1
			41	0
			47	36
			60	361
		Сумма	492	624
		Среднее	41

Средняя из внутригрупповых составит:

Межгрупповая дисперсия:

Общая дисперсия:



Таблица

Расчетная таблица

№ предприятия п/п	Выпуск продукции, млн руб.
1	14	900
2	18	676
3	22	484
4	27	289
5	30	196
6	40	16
7	35	81
8	38	36
12	30	196
13	36	64
14	36	64
9	41	9
15	42	4
10	34	100
16	43	1
11	40	16
17	42	4
18	41	9
19	47	9
20	60	256
21	55	121
22	52	64
23	53	81
24	56	144
25	57	169
26	51	49
27	61	289
28	71	729
29	69	625
30	79	1225
Сумма	1320	6906

Проверим по правилу сложения дисперсий:

Расчеты дисперсий верны.

На основе рассчитанных дисперсий можно рассчитать эмпирический коэффициент детерминации:

Это означает что 86,0% вариации признака обусловлено фактором группировки.

Рассчитанное значение эмпирического корреляционного отношения свидетельствует о высокой статистической связи.

Оценим полученное уравнение на значимость рассчитав значение F-критерия Фишера:

Где m - число параметров.

Таблица

Расчетная таблица

№ предприятия п/п	Средняя списочная численность работников, чел.	Выпуск продукции, млн руб.	Теоретические значения результативной переменной, млн.руб.
	х	у	у теор
1	110	14	15,0	843,3	0,9
2	115	18	17,9	680,0	0,0
3	126	22	24,4	382,5	6,0
4	131	27	27,4	275,4	0,2
5	133	30	28,6	237,4	2,0
6	136	40	30,4	185,8	92,8
7	141	35	33,3	113,8	2,8
8	144	38	35,1	79,0	8,4
12	150	30	38,7	28,5	75,1
13	150	36	38,7	28,5	7,1
14	150	36	38,7	28,5	7,1
9	152	41	39,9	17,2	1,3
15	152	42	39,9	17,2	4,6
10	154	34	41,0	8,8	49,5
16	155	43	41,6	5,6	1,9
11	156	40	42,2	3,2	4,9
17	156	42	42,2	3,2	0,0
18	160	41	44,6	0,4	12,9
19	162	47	45,8	3,2	1,5
20	163	60	46,4	5,6	185,8
21	173	55	52,3	68,8	7,3
22	175	52	53,5	89,9	2,2
23	177	53	54,7	113,8	2,8
24	181	56	57,0	170,0	1,1
25	183	57	58,2	202,3	1,5
26	185	51	59,4	237,4	70,7
27	192	61	63,6	382,5	6,5
28	193	71	64,1	406,0	46,9
29	205	69	71,3	743,2	5,1
30	210	79	74,2	913,5	22,8
Сумма	4770	1320	1320,0	6274,3	631,7
Среднее	159	44	44,0	209,1	21,1

Где n - число наблюдений.

Таким образом, уравнение статистически значимо. Значение рассчитанного F-критерия и дисперсий совпали со значениями рассчитанными с помощью пакета «Анализ данных».

Задание 3

По результатам выполнения задания 1 с вероятностью 0,683 определите:

ошибку выборки средней списочной численности работников и границы, в которых будет находиться средняя списочная численность работников для предприятий в генеральной совокупности;

ошибку выборки доли предприятий со средней списочной численностью работников 170 и более человек и границы, в которых будет находиться генеральная доля.

Решение

Таблица

Исходные данные

№ группы	Средняя списочная численность работников, чел.	Число предприятий
1	110-130	3
2	130-150	5
3	150-170	12
4	170-190	6
5	190-210	4
Итого	30

В задании 1 были рассчитаны среднее значение по выборке:

Дисперсия:

Средняя списочную численность работников в генеральной совокупности может быть найден по формуле:

Где Д_х - предельная ошибка выборки

µ_x - средняя ошибка выборки

Для бесповторного отбора:

Для вероятности 0,683 t=1

Тогда с вероятностью 0,683 средняя списочная численность работников в генеральной совокупности составит

от: 162-3,7=158,3?158 человек

до: 162+3,7=165,7?166 человек.

Определим долю предприятий со средней списочной численностью работников 170 и более человек по выборке:

Доля таких предприятий в генеральной совокупности находиться в пределах:



Дисперсия доли:

Средняя ошибка:

Предельная ошибка доли:

Таким образом, доля предприятий со средней списочной численностью работников 170 и более человек в генеральной совокупности окажется в пределах

от: 0,333-0,077=0,256=25,6%

до: 0,333+0,077=0,410=41,0%

Задание 4

По материалам государственной статистики построить за последние пять лет ряд динамики, характеризующий изменение численности экономически активного населения на любом территориальном уровне. Ряд динамики представить в табличной и графической (в виде линейной диаграммы) форме.

На основе построенного ряда динамики определить:

1. Показатели анализа ряда динамики (абсолютный прирост, темп роста, темп прироста, абсолютное содержание 1% прироста, средний уровень ряда, средний абсолютный прирост, средние темпы роста и прироста). Все расчеты представить в виде данных расчетной таблицы. Сделать выводы по рассчитанным показателям. Определить тенденцию развития исследуемого явления.

2. Построить уравнение тренда, определив теоретические значения уровня ряда динамики за каждый период, обосновать параметры уравнения тренда, определить точечный прогноз по исследуемому показателю.

Решение

Исходные данные возьмем на сайте федеральной службы государственной статистики, раздел:

Официальная статистика \ Рынок труда, занятость и заработная плата \ Трудовые ресурсы http://www.gks.ru/free_doc/new_site/population/trud/trud1.xls

Таблица

Численность экономически активного населения, тыс.человек

	2010	2011	2012	2013	2014
Российская Федерация	75477,9	75779,0	75676,1	75528,9	75428,4

Представим ряд графически в виде линейной диаграммы.



Рисунок 5 - Численность экономически активного населения РФ в 2010-1014 годах

Расчет показателей динамики произведем по формулам:

Цепной абсолютный прирост:

Где - розничный товарооборот в i-год;

розничный товарооборот в (i-1)-год.

Базисный абсолютный прирост:

Где - розничный товарооборот в базисный год.

Цепной темп роста:

Базисный темп роста:

Темп прироста:

Абсолютное содержание одного процента прироста:

Где -розничный товарооборот в (i-1)-год.

Расчеты произведем в таблице.

Таблица

Расчетная таблица

Годы	Численность ЭАН, тыс.чел.	Абсолютный прирост, тыс. руб.	Темп роста, %	Темп прироста, %	А%, тыс. чел.
		цепной	базисный	цепной	базисный	цепной	базисный
2010	75477,9	-	-	-	-	-	-	-
2011	75779,0	301,1	301,1	100,40	100,40	0,40	0,40	754,8
2012	75676,1	-102,9	198,2	99,86	100,26	-0,14	0,26	757,8
2013	75528,9	-147,2	51,0	99,81	100,07	-0,19	0,07	756,8
2014	75428,4	-100,5	-49,5	99,87	99,93	-0,13	-0,07	755,3
Итого	377890,3	-49,5	-	-	-	-	-	-

За рассматриваемый период численность экономически активного населения сначала увеличилась, затем снижалась. В целом за рассматриваемый период она сократилась на 49,5 тысяч человек, что в относительном выражении составило 0,07%.

Среднегодовой уровень ряда найдем по формуле средней арифметической простой:

За период с 2010 по 2014 год численность экономически активного населения составляла в среднем 75578,1 тыс. человек ежегодно.

Среднегодовой абсолютный прирост:

В среднем ежегодно численность ЭАН снижалась на 12,4 тыс. человек.

Среднегодовой темп роста:

Средний темп прироста:

Это означает, что ежегодно численность экономически активного населения сокращалась в относительном выражении в среднем на 0,2%.

Построим линейное уравнение тренда. Уравнение линейного тренда в общем виде имеет вид:

Параметры уравнения найдем с помощью метода наименьших квадратов. Система нормальных уравнений МНК для определения параметров модели имеет вид:

Расчеты произведем в таблице.

Таблица

Расчетная таблица

Годы	Численность ЭАН, тыс.чел., y	t	t2	t*y
2010	75477,9	1	1	75477,9
2011	75779,0	2	4	151558,0
2012	75676,1	3	9	227028,2
2013	75528,9	4	16	302115,6
2014	75428,4	5	25	377142,0
Итого	377890,3	15	55	1133321,7

Уравнение тренда будет иметь вид:



Это означает, что ежегодно численность ЭАН снижается в среднем на 34,91 тыс. человек. Определим теоретические уровни ряда по полученному уравнению тренда.

Таблица

Теоретические и фактические уровни ряда

Годы	Фактическая численность ЭАН, тыс.чел.	Теоретические уровни ряда, тыс.чел.
2010	75477,9	75647,9
2011	75779,0	75613,0
2012	75676,1	75578,1
2013	75528,9	75543,1
2014	75428,4	75508,2
Итого	377890,3	377890,3

Построим точечный прогноз на 2015 год:

При сохранении сложившейся тенденции численность экономически активного населения в 2015 году составит 75473,3 тыс. человек.

Размещено на Allbest.ru