Модель Эванса установления равновесной цены на рынке одного товара

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Курсовая работа

Модель Эванса установления равновесной цены на рынке одного товара



Введение

равновесный цена эванс экономический

Современная экономика широко использует математические методы, как для решения практических задач, так и для моделирования социально-экономических явлений и процессов. Математические модели являются важнейшим инструментом исследования и прогнозирования. Они представляют собой основу компьютерного моделирования и обработки информации, дают более глубокие представления о закономерностях экономических процессов, способствуют формированию образа мышления и анализа на новом, более высоком уровне.

Сегодня, в условиях глобализации мировой экономики и становления общества нового типа - информационного, математические модели становятся мощным инструментом прогнозов эволюции цивилизации, что позволяет определять оптимальные магистрали развития экономики, прежде всего в плане обеспечения жизнедеятельности человека. По мере дальнейшего развития общества все более важной является разработка путей совершенствования экономических отношений с точки зрения оптимального использования всех природных, производственных, материальных трудовых ресурсов. Поэтому неслучайно экономисты и математики, занимающиеся вопросами применения математики в экономике, большое внимание уделяют разработке математических методов построения оптимальных планов, обеспечивающих выпуск необходимой продукции при минимальных затратах труда, и изучению закономерностей наиболее рационального распределения и использования ресурсов производства.

Актуальность рассматриваемой темы состоит в том, что мир не стоит на месте, появляются новые отрасли экономики, которые требуют четкого расчета, по взаимодействию их с давно зарекомендовавшими.

Целью курсовой работы является рассмотрение этапов построения динамических моделей в экономике и изучение процесса построения математических моделей экономических систем.

Для реализации поставленной цели в работе решаются следующие задачи:

· приводятся общие сведения с основными этапами математического моделирования;

· рассматривается динамическая модель установления равновесной цены Эванса.



1. Теория экономико-математических моделей

1.1 Из истории экономико-математического моделирования

Многие современные понятия экономики имеют большую историю. Считается, что математические методы в экономике, как метод анализа макроэкономических процессов, начали использоваться ещё в XVIII в. Опубликовав работу «Экономические таблицы», французский экономист лейб-медик короля Людовика XV доктор Франсуа Кене впервые сделал попытку формализовать процесс общественного воспроизводства. В этой работе была сделана первая попытка количественно описать национальную экономику. В дальнейшем К. Марксом было осуществлено научное обоснование этого процесса за счёт создания схем воспроизводства, которые имели большое влияние на развитие экономической науки. Одно из первых логически последовательных изложений математической модели экономики было выполнено О. Курно в книге «Исследование математических принципов теории богатства», опубликованной во Франции в 1838 г. В этой работе количественные методы были использованы для анализа конкуренции на рынке товара при различных рыночных ситуациях. О вкладе О. Курно в развитие математического моделирования экономических процессов, а также о препятствиях, ограничивающих распространение этого метода, замечательно сказал в предисловии своей книги «Принципы экономической науки» А. Маршалл:»… когда приходится использовать слишком много символов, разбирать их становится трудно всем, кроме самого автора. Правда, гений Курно должен придать новый стимул умственной деятельности всех, кто испытывает на себе влияние его трудов, а равные ему по уровню математики в состоянии использовать своё излюбленное оружие, чтобы пробить себе дорогу к самой сути тех труднейших проблем экономической теории, которые до сих пор затрагивались весьма поверхностно».

В конце XIX в. были разработаны и начали использоваться статистические методы, которые составили предпосылки к возникновению новой науки - эконометрии, представляющей собой одно из ответвлений экономико-математических методов по изучению количественной стороны экономических явлений и процессов средствами математического анализа и математической статистики.

О значении метода математического моделирования в работах по исследованию экономических процессов, выполненных во второй половине XIX в., лучше всего говорит следующий факт: среди выдающихся экономистов этого периода»… только Кларк и Бем-Баверк сумели внести фундаментальный вклад в экономическую теорию без использования или знания математики».

В начале XX в. трудами английского статистика Гукера, начали изучаться взаимозависимости между экономическими показателями. В этот период появляются работы по развитию методов математической статистики и применению этих методов в экономическом анализе (исследование Мура, работы И. Кобба и П. Дугласа о производственной функции как одной из первых эконометрических моделей и др.). Именно эти труды стали основой современной эконометрии.

К началу XX в. усилиями Л. Вальраса, В. Парето, Ф. Эджворта и других классическая экономическая наука была переведена на достаточно строгий математический язык. Поэтому начало XX в. можно считать периодом, когда математическое моделирование окончательно утвердилось в экономике, как науке. Осмысление важности управления рисками как способами стабилизации производства началось в начале XX в. благодаря работам английского экономиста А. Маршалла, американских экономистов Д.М. Кейнса, Ф.Х. Найта и других, поставивших на научную основу изучение личного, предпринимательского, финансового рисков. Расширение использования математических методов в экономике способствовало развитию системного подхода. Например, Л. Вальрас считал, что все социальные явления - религия, политика, экономика и духовная жизнь - тесно связаны между собой. Это соответствует современному пониманию того, что экономика является подсистемой целостной системы социально-экономических отношений, вследствие чего изучение собственно экономики и предсказание траектории её развития на перспективу должно опираться на анализ объекта более общей природы - социально-экономической системы.

Усложнение в XX в. проблем экономики и управления вызвало дальнейшее развитие методов их анализа. В результате обобщения накопленного опыта и естественной эволюции науки сложилась современная методология исследования социально-экономических проблем как на микро-, так и макроуровнях.

Если исследование отдельных экономических проблем в XIX в., в частности процесса расширенного общественного воспроизводства, основывалось преимущественно на соотношениях алгебры, то в начале XX в. при общем анализе динамики экономической системы находят применение и такие разделы высшей математики, как линейная алгебра, дифференциальное и интегральное исчисление. Но такой подход имел отношение, преимущественно, в исследовании общих глобальных характеристик экономической системы. Между тем практические потребности диктовали необходимость не только в глобальных, но и в более конкретных экономических показателях и характеристиках. Это привело к созданию в 20-е гг. XX в. в СССР системы межотраслевого баланса, которая является непосредственным продолжением схем воспроизводства. Был составлен первый в мире баланс народного хозяйства СССР на 1922-1924 гг., проведён ряд исследований по моделированию процесса расширенного воспроизводства. Отечественные разработки межотраслевого баланса повлияли на работы американского экономиста русского происхождения В.В. Леонтьева (позже лауреата Нобелевской премии по экономике в 1973 г.).

Разработанная В.В. Леонтьевым модель межотраслевого баланса о производстве и распределении продукции в США вошла в литературу под названием метода анализа экономики «расходы - выпуск».

Математизация экономической науки в XX в. осуществлялась представителями многих стран, в том числе и России, где вопросы объективного анализа социально-экономических процессов всегда были в центре внимания научной общественности. Несмотря на известные трудности послеоктябрьского периода многие результаты, полученные российскими математиками-экономистами, стали достоянием мировой культуры. К ним, прежде всего, следует отнести анализ Е. Слуцким модели поведения потребителя; открытие Н. Кондратьевым длинных волн в экономике; разработку первого баланса народного хозяйства СССР за 1923-1924 гг., на основе которого была построена широко известная ныне модель В. Леонтьева; развитие Л. Канторовичем методов исследования линейных систем.

В начале 30-х гг. XX в. эконометрия становится отдельной отраслью науки после основания эконометрического общества в США, которое определило себя как «Международное общество для развития экономической теории и её связи со статистикой и математикой».

В середине 30-х гг. американским математиком Дж. фон Нейманом была сконструирована одна из первых макроэкономических математических моделей экономической динамики, которая вошла в литературу под названием «Модели Неймана расширенной экономики» (1937).

В 70-90-х гг. экономико-математическое моделирование стало признанным средством анализа экономических проблем. В отечественной практике в 70-х гг. появляются автоматизированные системы управления (АСУ), предназначенные для оптимизации управления сложными производственными процессами и экономическими системами.

В конце 80-х гг. много передовых корпораций разных отраслей начали интересоваться вопросами учёта рисков, которые стали важной функцией менеджмента.

Конец XX - начало XXI в. знаменуется в мире высокими темпами развития теории и практики экономико-математического моделирования. Нобелевскими лауреатами по экономике становятся, как было отмечено ранее, В.В. Леонтьев (1973) и Л.В. Канторович (1975). Нобелевской премией по экономике в 1983 г. награждается Ж. Дебре, который работал в отрасли математизации экономической теории, а в 2000 г. - Дж. Хекман и Д. Мак-Фадден за разработку микроэконометрии и методов статистического анализа и др.

В настоящее время наблюдается внедрение в отечественную практику экономико-математических методов и моделей с использованием программных комплексов. Растёт роль экономико-математического моделирования как одного из средств совершенствования экономики с научно обоснованными путями последующего развития и прогнозами на будущее в рыночных условиях.

1.2 Классификация экономико-математических моделей

Рассмотрим вопрос о классификации экономико-математических моделей, что имеет немаловажное методологическое значение.

Можно выделить следующие основные классы экономико-математических моделей:

1. Макроэкономические модели описывают экономику как единое целое, связывая между собой укрупнённые материальные и финансовые показатели: (ВВП, потребление, инвестиции, занятость, денежная масса, государственный долг, инфляция и т.д.).

2. Микроэкономические модели описывают взаимодействие структурных и функциональных составляющих экономики либо их поведение в отдельности в рыночной среде.

3. Равновесные модели описывают такие состояния экономики, когда результирующая всех сил, стремящаяся вывести её из данного состояния, равна нулю.

4. Оптимизационные модели присутствуют в основном на микроуровне (оптимизация деятельности потребителя, производителя или фирмы). Для этих моделей характерно наличие одного или нескольких критериев и системных ограничений. На макроуровне результат выбора экономическими субъектами рационального поведения может приводить к состоянию относительного равновесия.

5. Статические модели описывают некоторый объект в определённый (фиксированный) момент времени или усреднено за некоторый период времени. При этом все параметры статических моделей полагаются фиксированными величинами, независящими от времени.

6. Динамические модели включают взаимосвязи переменных во времени. Динамические модели обычно используют аппарат дифференциальных и разностных уравнений и вариационного исчисления, где независимой переменной является время.

7. Детерминированные модели предполагают в своей основе только жёсткие функциональные связи между переменными модели.

8. Стохастические модели допускают наличие случайных связей между переменными модели и используют аппарат теории вероятностей и математической статистики.

9. Теоретические модели являются аппаратом изучения общих свойств экономики и ее составляющих на основе дедукции выводов их формальных предпосылок.

10. Прикладные модели представляют собой аппарат оценок параметров конкретных экономических объектов, выработки рекомендаций для принятия экономических решений и разработки стратегий поведения фирм на рынке.

11. Модели с элементами неопределенности используются для моделирования ситуаций, когда для определяющих факторов невозможно собрать статистические данные, и их значения не определены. В этих моделях используются аппараты теории игр и имитационного моделирования.

12. Экспертные модели - разрабатываются и имеют применение в последние годы в исследованиях ряда экономических процессов, когда в условиях отсутствия количественных характеристик за основу принимаются мнения экспертов по определенной шкале.

Другой подход к классификации экономико-математических моделей связан с учётом фактора времени. В этом случае все разнообразные модели экономических процессов разделяют на следующие два класса: статические и динамические.

В статических экономико-математических моделях все переменные и зависимости отнесены к одному моменту времени. Такими моделями могут описываться как статические системы, координаты которых на изучаемом отрезке времени считаются постоянными, так и динамические системы (в этом случае параметры модели характеризуют состояние системы в заданный момент времени). Например, так изучаются проблемы размещения производства, отраслевая структура экономики на основе статического межотраслевого баланса и другие экономические процессы.

Что касается динамических моделей, то они описывают экономику в развитии и поэтому служат основой прогнозов соответствующих процессов. Эти прогнозы, в свою очередь, используются для обоснования перспективных планов и программ. Формально модель является динамической, если хотя бы одна из её переменных зависит от времени.



2. Модель Эванса установления равновесной цены на рынке одного товара

2.1 Определение равновесной цены

В экономической теории важным является понятие равновесия, т.е. такого состояния объекта, которое он сохраняет при отсутствии внешних воздействий. Достижение равновесия между спросом и предложением служит одним из основных показателей эффективности функционирования экономики страны в условиях рынка.

Рыночное равновесие - ситуация на рынке, при которой нет тенденции к изменению рыночной цены или объема продаваемых благ.

Равновесная рыночная цена - это цена, при которой величины спроса и предложения товара совпадают. Рыночное равновесие цены и объем продаваемого блага могут изменяться в ответ на изменения спроса и предложения.

Когда «потолок цен» устанавливается ниже равновесной цены, образуется дефицит (иногда его называют избыточным спросом благ) и объем спроса превышает объем предложения. Такое положение приведет к конкуренции между покупателями за возможность купить данное благо. Конкурирующие покупатели начинают предлагать более высокие цены. В ответ на это продавцы начинают повышать цены. По мере того как цены растут, объем спроса сокращается, а объем предложения увеличивается. Это продолжается до тех пор, пока цена не достигнет своего равновесного уровня (P0; Q0).

Когда минимальные уровни цен устанавливаются выше равновесной цены, объем предложения превышает объем спроса и образуется избыток благ. Рыночное равновесие и отклонение от него показаны на рис. 1.



Рис. 1. Рыночное равновесие

Выделяют четыре варианта влияния сдвигов кривых спроса и предложения на цену и объем благ:

1. Увеличение спроса на благо вызывает сдвиг кривой спроса вправо, в результате чего увеличиваются и равновесная цена, и равновесный объем блага.

2. Уменьшение спроса на благо смещает кривую спроса влево, в результате чего снижаются равновесная цена и равновесный объем блага.

3. Увеличение предложения блага сдвигает кривую предложения вправо, в результате чего снижается равновесная цена и увеличивается равновесный объем блага.

4. Уменьшение предложения блага сдвигает кривую предложения влево, в результате чего повышается равновесная цена и сокращается равновесный объем блага.

Используя указанные четыре варианта изменения спроса и предложения и сдвига их кривых, можно определить равновесную точку в случае любых колебаний спроса и предложения.

Однако не всегда «срабатывают» названные выше «четыре правила» спроса и предложения, т.к. часто одновременно происходит сдвиг и кривой спроса, и кривой предложения, что значительно усложняет анализ реальных экономических явлений и процессов.

Научно обоснованный метод анализа спроса и предложения предполагает необходимость:

а) отличать изменение спроса или предложения, которые ведут к сдвигу кривой, от изменения объема спроса или предложения, которые вызывают движение вдоль кривой;

б) соблюдать все остальные условия равными, что требует знания различий между влиянием, обусловленным изменением цены блага, и влиянием, обусловленным изменением других факторов.

Равновесная цена является одним из механизмов установления рыночного равновесия.

Равновесная цена - это цена, при которой объем спроса равен объему предложения, иначе говоря, это единственная цена, соответствующая условию:

PE=P_D=P_S,

При данной цене на рынке устанавливается и равновесное количество предлагаемых на рынке товаров:

QE=Q_D=Q_S

Равновесная цена выполняет важнейшие функции:

· информационную - ее величина служит ориентиром для всех субъектов рынка;

· нормирующую - она нормирует распределение товаров, давая сигнал потребителю о том, доступен ли ему данный товар и на какой объем предложения товара он может рассчитывать при данном уровне дохода. Одновременно она воздействует на производителя, показывая, сможет ли он окупить свои расходы или ему следует воздержаться от производства. Тем самым нормируется спрос производителя на ресурсы;

· стимулирующую - она вынуждает производителя расширять или сокращать производство, менять технологию и ассортимент, чтобы издержки «уложились» в цену и осталась еще какая-то прибыль.

2.2 Модели установления равновесной цены

Существует много моделей установления равновесной цены на рынке одного товара. Рассмотрим наиболее известные модели равновесия Л. Вальрасу и по А. Маршаллу, «паутинообразную» модель с дискретным временем и модель Эванса с непрерывным временем.

Равновесие по Вальрасу

Главным в подходе Л. Вальраса является разница в объемах спроса и предложения рис. 2. Если рыночная цена P₁> P_E, то величина предложения больше величины спроса Q_S¹>Q_D¹, на рынке - избыток предложения (при цене P₁), избыток равняется Q_S¹ - Q_D¹. В результате конкуренции продавцов происходит понижение цены P_E и избыток исчезает. Если рыночная цена P₂> P_E, то величина спроса больше величины предложения Q_D²> Q_S², на рынке избыток спроса (при цене P₂), то есть дефицит равен Q_D² - Q_S². в результате конкуренции покупателей происходит повышение цены до P_E и дефицит исчезает.

Рис. 2. Установление равновесной цены по Вальрасу



Равновесие по Маршалу

Главным в подходе А. Маршалла является разность цен P₁ и P₂ рис. 3. А. Маршалл исходит из того, что продавцы, прежде всего, реагируют на разность цены спроса и цены предложения. Чем больше этот разрыв, тем больше стимулов для роста (или сокращения) предложения. Увеличение (или сокращение) объема предложения уменьшает эту разницу и тем самым способствует достижению равновесной цены.

По версии Л. Вальраса, в условиях дефицита активно действуют покупатели, а в условиях излишка товаров - продавцы. Согласно версии А. Маршалла, доминирующей силой в формировании рыночной конъюнктуры всегда являются предприниматели.

Рис. 3 Формирование равновесной цены по А. Маршаллу

Цена равновесия обычно ниже максимально предполагаемой потребителями цены, на величину излишка потребителя, который составляет излишек, прежде всего для состоятельных потребителей, которые могли бы приобрести товар выше равновесной цены P_E вплоть до самой максимальной P_max, но приобретают товар именно по рыночной цене рис. 4.

Графически излишек потребителя, можно изобразить через площадь фигуры, ограниченной кривой спроса, осью ординат и равновесной ценой P_E, то есть площадь P_maxE P_E. Излишек потребителя - это часть общественного излишка от существования рыночного механизма. В свою очередь, равновесная цена обычна выше минимальной цены, которую могли бы предложить наиболее эффективные фирмы. Следовательно, совокупные издержки производителей равны площади фигуры P_minEQ_E, а излишек производителя составляет площадь P_EEP_min. Это излишек наиболее эффективных фирм, которые могут предложить товар на рынок ниже равновесной цены P_E, но предлагают товара по более высокой рыночной цене. Общественный излишек от существования рынка равен сумме излишка потребителя и излишка производителя.

Рис. 4 Излишек производителя и потребителя

Паутинообразная модель

Паутинообразная модель - модель, изображающая траекторию движения к состоянию равновесия, когда реакция предложения или спроса запаздывает. Она описывает динамический процесс: траекторию корректировки цен и объема производства при движении от одного состояния равновесия к другому; используется для описания колебаний цен на рынках сельскохозяйственной продукции; на биржевом рынке, где предложение реагирует на изменение цен с некоторым запозданием.

Рассмотрим вариант динамической модели рынка одного продукта. Допустим, что объем спроса зависит от уровня цен текущего периода, тогда как объем предложения - от уровня цен предыдущего периода:

Q _i^D = Q_i^D (P_t),

Q_i^S = Q_i^S (P_t-1),

где t - определенный период времени (t = 0,1,2,…, T). Это значит, что производители определяют в период t-1 объем предложения следующего периода, предполагая, что цены периода t-1 сохраняются и в период t (P_t-1 = P_t).

В этом случае график спроса и предложения будет иметь вид паутинообразной модели. Равновесие в паутинообразной модели зависит от углов наклона кривой спроса и предложения. Равновесие устойчиво, если угол наклона предложения S круче кривой спроса D. Движение к общему равновесию проходит ряд циклов. Избыток предложения (AB) толкает цены вниз (BC), и в результате возникает избыток спроса (CF), который поднимает цены вверх (FG). Это приводит к новому избытку предложения (GH) и так далее до тех пор, пока не устанавливается равновесие в точке E. Колебания носят затухающий характер. Движение может, однако, приобрести иное направление, если угол наклона кривой D круче угла наклона кривой предложения S. В этом случае колебания носят взрывной характер и равновесие не наступает.

Рис. 5. Устойчивое (а) и неустойчивое (в) равновесие в паутинообразной модели и регулярные колебания (б) вокруг него

Возможен, наконец, и такой вариант, когда цена совершает регулярные колебательные движения вокруг положения равновесия. Это возможно в том случае, если углы наклона кривых спроса и предложения равны.

Паутинообразная модель наводит на мысль о том, что углы наклона кривых спроса и предложения имеют существенное значение для понимания механизма рыночного равновесия, определения закономерностей поведения на рынке покупателей и продавцов.

2.3 Модель Эванса с непрерывным временем

Рассматривается рынок одного товара, время считается непрерывным.

Пусть d(t), s(t), p(t) - соответственно спрос, предложение и цена этого товара в момент t. И спрос, и предложение считаются линейными функциями цены, т.е.

d(p) = a - bp, a, b > 0 - спрос с ростом цены падает,

s(p) = б + вp, б, в > 0 - предложение с ростом цены растет.

Естественно считать, что a > б, т.е. при нулевой цене спрос превышает предложение (иначе говоря, товар желателен).

Основное предположение состоит в том, что цена изменяется в зависимости от соотношений между спросом и предложением:

Дp = г (d - s)Дt,

где г > 0, т.е. увеличение цены прямо пропорционально превышению спроса над предложением и длительности этого превышения.

Итак, получаем дифференциальное уравнение dp/dt = = г (d - s).

Подставляя в это уравнение линейные зависимости спроса и предложения от цены, получаем линейное неоднородное дифференциальное уравнение с начальным условием:



dp/dt = -г((b + в) p - a + б), p(0) = p0. (1)

Это уравнение имеет стационарную точку

p* = (a - б)/(b + в) > 0.

Видно, что dp/dt > 0 при p* > p и dp/dt < 0 при p* < p.

Отсюда следует, что lim t> ? p(t) = p*. При p0 < p* цена стремится к p* возрастая, а при p0 > p* - убывая.

Сама цена p* есть равновесная цена - при ней равны спрос и предложение:

d(p) = s(p) > a - bp = б + вp > > p* = (a - б)/(b + в).

Равновесная цена может быть найдена также графически - как точка пересечения прямых спроса

d(p) = a - bp и предложения s(p) = б + вp (рис. 1).

Рис. 6. Равновесная цена по Эвансу



Выпишем решение дифференциального уравнения с начальным условием (1):

p(t) = p0e-г (b + в) t + (a - б)/(b + в) [1 - e-г (b + в) t] (2)

или

p(t) = p0e-г (b + в) t + p* [1 - e-г (b + в) t].

Опять же видно, что lim p(t) = p*.

t > ?

Рассмотрим дискретный аналог модели Эванса. В дискретной

модели рынок функционирует следующим образом: утром на рынке

обнаруживается некоторое предложение s и спрос d.

В зависимости от их значений цена начинает равномерно расти или убывать:

· если утром спрос был больше предложения, то возрастать;

· если предложение было больше спроса, то убывать.

Предположим, что начальная цена была p0, при этом s(p0) < d(p0). Следовательно, цена начнет возрастать. За день она возрастет до некоторого значения p1. На следующее утро предложение и спрос будут соответствовать этой цене p1, при этом опять будет s(p1) < d(p1) и цена будет возрастать и т.д.

(см. рис. 1).

Как мы выяснили, в точке равновесия кривые спроса и предложения пересекаются. Неверным является утверждение, что равновесие предполагает равенство спроса и предложения. Действительно, спрос и предложения являются функциями, а равенство функций предполагает совпадение, а не пересечение графиков. Следовательно, в точке равновесия совпадают значения (объемы) спроса и предложения, а не функции.

Однако, в отличие от паутинообразной модели рынка, точка равновесия не переходится, т.е. если цена была меньше равновесной, то она так и останется меньше, и весь процесс изображается слева от точки равновесия, а если цена была больше равновесной, то она так и останется больше, и весь процесс изображается справа от точки равновесия.



3. Практическое применение модели равновесной цены Эванса

Пример. Описать процесс установления равновесной цены, если время непрерывно и рассматривается рынок одного товара. Спрос D и предложение S линейно зависят от цены: а изменение цены пропорционально превышению спроса над предложением с коэффициентом пропорциональности Рассмотрим случаи, когда и . Построим графики. На основе получившихся расчетов и построенных графиков сделаем соответствующие выводы.

Решение. Увеличение цены прямо пропорционально превышению спроса над предложением с коэффициентом пропорциональности дифференциальное уравнение Эванса имеет вид:

Подставим в это дифференциальное уравнение линейные зависимости спроса и предложения от цены, получим дифференциальное уравнение:

,

,

Решим это дифференциальное уравнение



Окончательно получаем общее решение дифференциального уравнения в виде

Найдем точку устойчивого равновесия

.

График прямой представлен рядом 3 (рис. 7).

Покажем на графике, что интегральные кривые, заданные уравнением

.

Рис. 7

Если в начальный момент времени , то

С = и .



В этом случае цена на товар уменьшается, приближаясь к равновесной цене . (ряд 1, рис. 7).

Если в начальный момент времени , то С= 2 и

.

В этом случае цена на товар увеличивается, приближаясь к равновесной цене (ряд 2, рис. 7).

Стационарное решение является устойчивым, и отклонение от него в итоге приводит к возврату в первоначальное состояние.

Аналогично рассмотрим и изобразим графически случаи превышения спроса над предложением и равенство спроса предложению, т.е., когда

.

Спрос D и предложение S линейно зависят от цены:

коэффициент пропорциональности По аналогии с предыдущими расчетами найдем дифференциальное уравнение

,

решая его, получаем общее решение дифференциального уравнения в виде

,



Если , то С = -1. Таким образом:

.

Цена на товар уменьшается, приближаясь к равновесной цене . (ряд 1, рис. 8).

Если , то С = 2. Следовательно:

Цена на товар возрастает, приближаясь к равновесной цене (ряд 2, рис. 8).

Рис. 8

Пусть , т.е. линейные уравнения спроса и предложения будут таковы:

,



составим дифференциальное уравнение Эванса

общее решение уравнения, описывающее динамику равновесной цены

Равновесная цена . (ряд 3, рис. 9)

Если , то С=-0,5. Таким образом:

.

Цена на товар возрастает, приближаясь к равновесной цене . (ряд 1, рис. 9).

Рис. 9



Если , то С=0,5. Следовательно:

.

Цена на товар уменьшается, приближаясь к равновесной цене (ряд 2 рис. 9).

Итак, показали, что цена изменяется в зависимости от соотношения между спросом и предложением. Увеличение цены прямо пропорционально превышению спроса над предложением и длительности этого превышения.



Заключение

Рыночный процесс состоит из множества актов обмена товарами и услугами. В каждом таком акте участвует продавец, на стороне которого выступает предложение товара, и покупатель, представляемый спросом на товары. Безусловно, спрос и предложение являются тесно связанными и непрерывно взаимодействующими категориями и служат связующим механизмом между производством и потреблением. Результатом взаимодействия спроса и предложения выступает равновесная цена. Она характеризует состояние рынка, при котором величина спроса равна предложению.

В данной работе была рассмотрена экономическая модель Эванса по изучению установления равновесной цены на рынке одного товара. Приведено ее решение, при помощи аппарата дифференциальных уравнений, и построены графики зависимости цены от времени, доказывающие основное предположение модели, что цена изменяется в зависимости от соотношений между спросом и предложением и ее увеличение прямо пропорционально превышению спроса над предложением и длительности этого превышения. Так же в работе приведены некоторые сведения об этапах построения математических моделей. И некоторые исторические сведения, которые помогают нам проследить эволюцию экономического моделирования.

Надо отметить, что использование математического моделирования в экономике позволяет сделать более глубоким количественный экономический анализ, расширить область экономической информации, интенсифицировать экономические расчёты. Математическая модель отличается по своей природе от оригинала. Исследование свойств оригинала с помощью математической модели удобнее, является более дешёвым, занимает меньше времени, нежели физическое моделирование, которое используется в технике (т.е. имеет ту же природу, что и оригинал).

Применение метода математического моделирования в экономике - это объективный этап её развития, связанный с существованием устойчивых количественных закономерностей и возможностью формализованного описания многих, хотя и далеко не всех, экономических процессов.

В заключение хотелось бы отметить, что многие результаты анализа экономических процессов не могут быть получены без использования математических моделей, несмотря на то, что после осмысления эти результаты выражаются и интерпретируются на обычном языке и зачастую становятся «очевидными» и «само собой разумеющимися».



Список литературы

1. Б.И. Герасимов, Н.П. Пучков, Д.Н. Протасов. Учебное пособие Дифференциальные динамические модели. 2010

2. В.И. Малыхин. Учебное пособие Высшая математика. 2009

3. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения. - М.: КомКнига, 2008. - 320 с.

4. Колемаев В.А. Учебник. Математическая экономика. 2002 -399 с.

5. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Наука, 1984. - 368 с.

6. Красс М.С, Чупрынов Б.П. Учебное пособие. Математические методы и модели для магистрантов экономики. 2-е изд., доп. - СПб.: Питер, 2010. - 496 с.

17. Орлов. А.И. Учебник. Организационно - экономическое моделирование: теория принятия решений. - М.:КНОРУС, 2011-586 с.

Размещено на Allbest.ru